Hans Walser, [20180711]
Ellipsen in Ellipse 1 Die Figur
Wir suchen Ellipsen mit folgender Eigenschaft.
Wir stellen n solcher Ellipsen im Hochformat nebeneinander (Abb. 1 für n = 4). Dann sollen sie in eine formgleiche größere Ellipse im Querformat passen derart, dass die Krümmungskreise in den stumpfen Scheiteln der stehenden kleinen Ellipsen mit den Krümmungskreisen in den spitzen Scheiteln der liegenden großen Ellipse übereinstim- men. Wir haben also links und rechts außen nicht nur eine Berührung, sondern einen kissing point.
Abb. 1: Aufgabenstellung und Bezeichnungen
2 Berechnungen
Die kleinen Ellipsen haben die Halbachsen a und b, die große Ellipse die Halbachsen A und B.
Der Krümmungskreisradius r in einem stumpfen Scheitel der kleinen Ellipsen ist:
r=ab2 (1)
Der Krümmungskreisradius R in einem spitzen Scheitel der großen Ellipse ist:
R= BA2 (2)
Die kissing point Bedingung führt auf:
B
A a b
a2
b = BA2 (3)
Die Ähnlichkeit der kleinen Ellipsen mit der großen Ellipse bedeutet:
AB =ba (4)
Weiter ist als Folge des Nebeneinanderstellens der kleinen Ellipsen:
A=nb (5)
Wir führen eine Normierung für b ein:
b=1 (6)
Aus den Gleichungen (3) bis (6) ergibt sich:
a=n14, b=1, A=n, B=n43 (7)
3 Beispiele
3.1 Eine kleine Ellipse
Die kleine und die große Ellipse sind beide der Einheitskreis (Abb. 2.1).
Abb. 2.1: Kreis im Kreis
3.2 Zwei kleine Ellipsen
Abb. 2.2: Zwei kleine Ellipsen
Die Figur kann (wie auch alle folgenden Figuren) fraktalisiert werden (Abb. 2.2a)
Abb. 2.2a: Entstehung des Fraktals
3.3 Drei kleine Ellipsen
Abb. 2.3: Drei kleine Ellipsen
3.4 Vier kleine Ellipsen
Abb. 2.4: Vier kleine Ellipsen
Die Ellipsen passen in ein Rechteck im DIN-Format (Abb. 2.4a) [1] .
Abb. 2.4a: Einpassen in ein DIN-Rechteck
3.5 Fünf kleine Ellipsen
Abb. 2.5: Fünf kleine Ellipsen
3.6 Sechs kleine Ellipsen
Abb. 2.6: Sechs kleine Ellipsen
3.7 Sieben kleine Ellipsen
Abb. 2.7: Sieben kleine Ellipsen
3.8 Acht kleine Ellipsen
Abb. 2.8: Acht kleine Ellipsen
3.9 Neun kleine Ellipsen
Abb. 2.9: Neun kleine Ellipsen
Wir können noch weitere stehende kleine Ellipsen einfügen (Abb. 2.9a).
Abb. 2.9a: Noch zwei Ellipsen
Die Figur lässt sich in ein reguläres Dreiecksraster einpassen (Abb. 2.9b).
Abb. 2.9b: Reguläres Dreiecksraster
Die Abbildung 3 zeigt eine Überlagerung der Abbildungen 2.1 bis 2.9.
Abb. 3: Überlagerung
Die Überlagerung ist allerdings nicht maßstäblich. Es wurden alle Abbildungen auf die gleiche Breite skaliert. Die optischen Effekte sind eine Folge der unterschiedlichen Ska- lierungen.
Die Abbildung 4 zeigt dagegen eine maßstäbliche Überlagerung der Abbildungen 2.1 bis 2.9.
Abb. 4: Maßstäbliche Überlagerung
Websites
[1] Hans Walser: Ellipsen im DIN-Format:
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/E/Ellipsen_DIN/Ellipsen_DIN.htm
