Multi-momentflowmodelsproductionline , MunichPersonalRePEcArchive

Munich Personal RePEc Archive

Multi-moment flow models production line

,

National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute"

14 September 2018

Online at https://mpra.ub.uni-muenchen.de/89009/

MPRA Paper No. 89009, posted 15 Sep 2018 08:05 UTC

О.М. ПИГНАСТЫЙ, д.т.н, профессор, pihnastyi@gmail.com

Национальный технический университет «Харьковский политехнический институт», Харьков

Многомоментные потоковые модели производственной линии

Представлен анализ системы балансовых уравнений для потоковых параметров производственной линии.

Исследован класс решений системы балансовых уравнений для параметров производственной линии, пред- ставленный равновесными функциями. При рассмотрении неравновесных состояний параметров поточной линии использованы приближенные методы, основанные на теории возмущений. Продемонстрирован вывод уравнений системной динамики для сети материалов производственной линии, в основу которого положены балансовые уравнения. Показано, что уравнения системной динамики определяются в результате интегри- рования системы балансовых уравнений. Проанализирован метод построения уравнений системной дина- мики для сети материалов.

The analysis of the system of balance equations for flow parameters of the production line is presented. The class of solutions of the system of balance equations for the parameters of the production line, represented by equilibrium functions, is investigated. Approximate methods based on perturbation theory were used to consider nonequilibrium states of flow line parameters. The derivation of equations of system dynamics for a network of materials of a pro- duction line based on balance equations is demonstrated. It is shown that the equations of system dynamics are determined as a result of integrating the system of balance equations. The method of constructing the equations of system dynamics for a network of materials is analyzed.

Постановка проблемы

Большинство современных поточных линий фун- кционируют в окрестности своего равновесного состо- яния [1]. Распространенным равновесным состоянием поточной линии является синхронизированный режим работы оборудования [1–5]. Если значения потоковых параметров производственной линии начали откло- няться от своего равновесного состояния, то со временем ониили вернутся к своему равновесному состоянию или поточная линияостановится, так как межоперационный задел будет выработан полностью или будет заполнен накопитель, хранящий предметы труда перед их техно- логической обработкой. Поведение потоковых парамет- ров в окрестности равновесного состояния может быть изучено с использованием методов теории возмущений [6]. Приближенные решения дают полное представление о поведении потоковых параметров производственной линии во многих интересных с практической точки зре- ния случаях, что в свою очередь укрепляет уверенность в адекватности выбранной математической модели.

Состояние производственной поточной линии в пространстве S и времени t описывается уравнением [1,c.37]:

t χ



 + S χ



 μ⁺ μ χ



 f=G(t,S,),

) , S , t (

G  =

 







^    

0

S,

t, ~, )~ d~

λPlant ( . (1)

Решение и анализ интегро-дифференциального уравнения (1) относительно фазовой функциираспреде- ления (t,S,) предметов труда по состояниям в фа- зовом пространстве

 

S, связано со значительными трудностями.В уравнении (1)  есть усредненная инте- нсивность переноса технологических ресурсов по всем предметам труда, находящихся в ячейке фазового техно- логического пространства с координатами



S,S dS



S_j  , _j



,d



[7],λ_Plant

 

t,SdS есть ко- личество единиц обобщенного технологического обору- дования на отрезке технологического маршрута



S,SdS



. В единицу времени элемент объема dμ

dS

=

dΩ  , S



S,SdS



, 



,d



посетило в

среднем χ(t,S,μ)μdμ предметов труда, испытав при этом в среднем



λ_Plant

 

t,S dS

 

 χ(t,S,μ)μdμ



актов во- здействия технологического оборудования на предметы труда. Вероятность того, что в результате воздействия технологического оборудования на предмет труда значе- ние случайной величины  окажется в пределах

~ ) d

~+

~;

(   есть величина (t,S,,~)dμ~, а полная вероятность перехода в любое состояние равна единице:

1 S,

t,

0

= dμ )

~,

( 



. (2)

Таким образом, число предметов труда, испытав- ших в единицу времени воздействие со стороны техно- логического оборудования и принявших значения слу- чайной величины в пределах (~;~ +d~ )есть произве- дение вероятности перехода (t,S,,~)dμ~ на общее ко- личество предметов труда λ_Plant

 

t,S dSχ(t,S,μ)μdμ, испытавших воздействие технологического оборудова- ния (t,S,,~)dμ~λ_Plant

 

t,S dSχ(t,S,μ)μdμ (3)

В явном виде плотность распределения )

~,

( 

t,S, случайной величины  может быть запи- сана через плотность распределения (t,S,~_,_) случайной величины . При равномерном переносе технологических ресурсов на все N_m предметов труда, находящихся в межоперационном заделе m-ой обобщен- ной технологической операции, случайные величины  и  связаны функциональной зависимостью [8,c.821], [9,c.783], [10,c.117]



 1 _

Nm , (4)

предполагающей линейный закон увеличения времени обработки партии предметов труда в с увеличением раз- меров очереди Nm, где Nm - неслучайная величина.

Тогда плотность распределения (t,S,~,) случайной величины  может быть представлена в виде [11, с.338]:

)

~,

( 

t,S, =N_m(t,S,N_m~,N_m). (5)

Формулирование цели исследований

Весьма точный класс решений представляется ра- вновесными функциями ₀(t,S,) [12], являющиеся ре- шениемуравнения (1), которые описывают равновесные состояния параметров технологического процесса

) , S , t ( ) , S , t ( lim

t    



 0 . (6)

При рассмотрении неравновесных состояний па- раметров поточной линии будем использовать прибли- женные методы, основанные на теории возмущений [6,13]. Выберем малый параметр , отвечающий исход- ной постановке задачи, и фазовую функцию распределе- ния предметов труда по состояниям (t,S,), которая может быть разложена в асимптотически сходящийся ряд по малому параметру :

  





 ^

0 k

k k (t,S, ) )

, S , t

( , ¹ 0

0 











 _



 (t,S, ) ) , S , t lim (

k

k .(7)

Разложение функции (t,S,) в степенной ряд по параметру  влечет за собой разложение интеграла

   



~



d~ ^k G (t,S, )

m k k

Plant    

 

 0 0

.(8) Значительное число разложений уравнения отно- сительно фазовой функции распределения (t,S,) обладает тем свойством, что членом нулевого порядка в них служит равновесная функция ₀(t,S,), для кото- рой выполняется условие

) , S , t

( 

G0   

 dt ) , S , t ( d ₀

0. (9)

Определим выбор малого параметра. Если при исходной постановке параметр  не входит непосредст- венно в уравнение относительно фазовой функции рас- пределения предметов труда по состояниям (t,S,) (1), то следует обратиться к линеаризованному уравне- нию. Рассмотрим класс технологических процессов со значениями характерных чисел K_v1, P_m1, что со- ответствует плотному потоку предметов труда вдоль те- хнологического маршрута с высокой концентрациейте- хнологического оборудования [14]. Метод решения мо- жно формализовать, вводя искусственный параметр

0



 Kv в качестве множителя перед левой частью уравнения [6,14 -17]. Принимая во внимание

0







d d

v S

K L , 1







 

Pm , (10)

представим кинетическое уравнение (1) в виде



 



  











 









 

 dt

d

t S 



 

  =^G

 

^{t,S,; (11)}

   

 

^

     

 0

 

 

 

 

 

 

 ~ (t,S,~) ~ (t,S, ) d~

~



^



 

 ^



 

  , S , t G_k

k k 0

. (12)

Подставляя (7) в кинетическое уравнение (1), по- лучим:

        







 









 











 









 

 ^











     

 

 f G t,S,

t S k ^k

k k

k k

k k

0 1

1 1

1

(13) или 0

 

  ⁰

, S , t

G , 









 









 f

t S



 

^{0 0 0 G}1



^{t,S,}



,













 









 f

t S



 

^{1 1 1 G}2



^{t,S,}



. (14) Из уравнения 0



 



⁰

, S , t

G находится нулевое

приближение 0, которое используется для определе- ния первого приближения 1, и так далее. Обычно не- сколько приближений достаточно для поиска решения кинетического уравнения (1) с требуемой точностью. Ра- зложение функции распределения предметов труда в ряд по степеням Kv0 позволяет построить в заданном приближении описание функционирования поточной ли- нии через моменты функции распределения.

Предельный случай K_v1, P_m1 определяет технологический процесс, который описывается кинети- ческим уравнением (1) со слагаемыми, равными по по- рядку величины. После подстановки (7) в (1) имеем

 



 



 











 









 

 

0 k

k k

k

k f

t S



 

  ^

 

^





  , S , t G_k

k k 0

, (15) откуда

f t S

k k

k 

 

 









 









 =^Gk



^{t,S,}



. (16) Функция ₀(t,S,) удовлетворяет уравнению в нулевом приближении

S f t



 

 











 









 _{0 0 0}

=G₀(t,S,). (17) Так как 0



 



⁰

, S , t

G , то в качестве нулевого приближения возьмем равновесную функцию. В против- ном случае начальный шаг метода возмущений будет столь же трудным, что и решение исходного уравнения.

Формулы (14) задают алгоритм последовательных приб- лижений решения кинетического уравнения. На каждом шаге решается одно и то же уравнение (16) с новым сво- бодным членом, вычисляемым по предыдущим прибли- жениям.

Для описания функционирования поточной ли- нии с достаточной степенью точности можно ограничи- ваться случаем k0,1,2. Линеаризованное уравнение по форме совпадает с общим кинетическим уравнением.

Изучение линеаризованного уравнения позволяет сде- лать вывод о свойствах решения общего уравнения для случаев, когда нелинейный характер в правой части ки- нетического уравнения несущественный. Условия при- менения линеаризованного уравнения должны быть определены начальными и граничными условиями. Так как ищется решение в виде  _о

 

1 , то требуя, чтобы функция  в том или ином смысле была мала по сравнению с единицей, необходимо, чтобы  была мала и на границе, и в начальный момент времени. Следова- тельно, отклонения начальных данных от равновесной функции распределения предметов труда по состояниям

о должны быть малы. Линеаризация оправдана, если

нелинейные неоднородные члены в начальных и крае- вых условиях малы.

Предельный случай K_v1, P_m1 соответст- вует нестационарному режиму функционирования пото- чной линии. Основной вклад в формирование функции распределения вносит слагаемое

t



 . Если в начальный момент времени функция распределения не является ра- вновесной, то она будет достаточно быстро изменяться, пока таковой не станет. Кинетическое уравнение техно- логического процесса (1) получаем в виде



 



 













  f

Pm t 

  =



 



, S , t

G (18)

Функция распределения предметов труда по сос- тояниям должна меняться в масштабах быстрого вре- мени. В течении небольшого промежутка времени функ- ция распределения предмета труда по состояниям для на- чального потока принимает вид, удовлетворяющий усло- вию ^G

 

^{t,S,} =0. Таким образом, функция распределения принимает значения в окрестности равновесной функ- ции. Получен вывод о том, что начальное распределение предметов труда по состояниям при достаточно боль- ших временах t стремитсяк равновесному распре- делению  ₀, которое определяется параметрами работы технологического оборудования.

Основной материал

1.Приближенные балансовые уравнения для потоко- вых параметров производственных линий

Балансовые уравнения [18,19]

 







0

td

k χ

+

 





  0

1 d

S

k χ

+

  



 



0

μ fd

k χ =

   

      



 ^

0 (t,S,~, ) χ1 μ χd

λ_Plant ^k

,

⁽¹⁹⁾

для потоковых параметров производственной линии[7]

 

_k

k ( t,S,μ)d 

  

 0

,

⁽²⁰⁾

которые получены путем интегрирования уравнения (1), являются незамкнутыми. Для обеспечения замкнутости системы балансовых уравнений используем условия [20]:

 

₀=^( ~,)d

0

S,

t, =

 

₀=1, (21)

 

1=^( ~,)d

0

S,

t, = _







 

   

0

S, 1 t,

d )

~ ,

N_m ( =

=

 

Nm

1

=

   

   

t,S S , t

0 1



 _

. (22) В отличие от используемого для замкнутости ура- внения состояния, представленного сlearing-функцией (Armbruster D, Kempf K., Fonteijn J., Wienke M, Lefeber) [21], условия (21),(22) учитывают предметно-технологи- ческий механизм взаимодействия предметов труда между собой и технологическим оборудованием. Такой подход позволяет описывать с заданной степенью точностью пе- реходные процессы, учитывая при этом схему расположе- ния технологического оборудования и конкретные меха- низмы его воздействия на предметы труда с целью пере- носа технологических ресурсов. Попытки создания не-

стационарных сlearing-функций ограничены специаль- ными теоретическими уточнениями и эксперименталь- ными установками (Fonteijn J., Wienke M., 2012) [22]. В качестве такого уточнения Lefeber (2008) вводит в сlearing-функцию эффективное время обработки

 



 

M m 0 m 0

1 предметов труда на технологических опера- циях, [21]:

 

^_CL^{(W(t}₀⁾⁾. Missbauer H (2009) ра- сширил применение сlearing-функции на переходные процессы, при этом обращалось внимание на существен- ную зависимость пропускной способности производст- венной линии от начального распределения предметов труда по технологическому маршруту и необходимость обеспечения условий перехода производственной сис- темы из одного стационарного устойчивого состояния в другое. Предположение о квазистационарности перехо- дного процесса является значительным ограничением для использования представленных моделей.

Рассмотрим класс поточных линий, для которых качественная оценка состояния параметров системы дает значения характерных чисел (10) Kv1, Pm1 [14].

Модели поточных линий, отвечающих заданному крите- рию, описывают движение плотного потока предметов труда по технологическому маршруту с высокой конце- нтрацией технологического оборудования [3,10,20,22,23]. Замкнутая система балансовых уравне- ний может быть получена в нулевом приближении по ма- лому параметру Kv1 из кинетического уравнения (14) [1]:

 

_{1 0}

0(t,S,) χ μχ

 =0, (23)



 









 









 f

t S



 

^{0 0 0} G₁(t,S,)

, (24)



 









 









 f

t S



 

^{1 1 1} G₂.(t,S,)

. (25)

Решение уравнения (23) дает в нулевом прибли- жении по малому параметру Kv вид фазовой функции распределения предметов труда по состояниям

 











 ₀(t,S, )

1

0 , (26)

откуда система многомоментных балансовых уравнений (19) для потоковых параметров производственной линии принимает вид

 

t



 ₀ +

 

S



 ₁

=0, (27)

 

t



 ₁ +

 

   

S







 _{ 1}

0

1 =

      ^{ } _{ }

_^

















 





 _ ^

0 1 1

1 S , (28)

 

t

n







+

 

S

n





 _1

=nf(t,S)

 

_n1 (29) Система многомоментных балансовых уравне- ний (27)-(29) позволяет построит модели поточных ли- ний в нулевом приближении по малому параметру

1

Kv при Pm1

для одномоментного описания

 

t



 ₀ +

 

S



 _1

=0, (30)

для 2-х моментного описания

 

t



 ₀ +

 

S



 ₁

=0,

 

t



 ₁ +

 

   

S







 _

1 0

1 =

      ^{ } _{ }

_^

















 





 _ ^

0 1 1

1 S . (31)

Как правило, для описания функционирования поточной линии используются первые два момента

 

_n фазовой функции распределения предметов труда по со- стояниям [23,24]. В связи с этим систему уравнений для трехмоментного описания приводить не будем. Одномо- ментное уравнение (3.73) независимо было получено в работах [25] (Пигнастый, Демуцкий, 2003), [9]

(Armbruster, Marthaler, Ringhofer, 2003), в дальнейшем использовано при расчете параметров поточных линий с синхронизированной работой технологического обору- дования. Двухмоментная модель поточной линии с син- хронизированной работой технологического оборудова- ния [7,c.820], [20] может быть получена из двухмомент- ной системы уравнений (31)

t ) x , t (





 +



(t,x) v(t,x)



x  



 =0, (32)

t ) x , t ( v



 +

x ) x , t ( ) v x , t (

v 

 =0, (33)

где x,(t,x),v(t,x) - соответственно степень незавер- шенности изготовления изделия, плотность распределе- ния предметов труда и темп их обработки вдоль техно- логического маршрута (по координате x).

Характерные числа Kv1 при Pm1 ограни- чили пределы применимости двухмоментной модели по- точной линии (31). При количестве предметов труда в межоперационном заделе N_m1следует

   

₁_1. Следующий предельный случай Kv1, Pm1 соответствует переходному, сильно нестационарному режиму работы поточной линии. Такое поведение харак- терно для производственной деятельности предприятия, когда требуется осуществить, переход с одних прои- зводственных показателей на другие в результате рез- кого изменения спроса на производимую продукцию. За- мкнутая система балансовых уравнений может быть по- лучена в нулевом приближении по малому параметру

1 1

Pm из кинетического уравнения технологиче- ского процесса (18):

 

t



 ₀

=0,

 

t



 ₁

- f(t,S)

 

0=0,

 

t

n





 -nf

 

t,S 

 

_n1=0. (34) Система многомоментных балансовых уравне- ний (34) позволяет построить модели поточных линий в нулевом приближении по малому параметру 1 1

Pm ,

1 Kv

для одномоментного описания

 

t



 ₀

=0; (35)

для 2-х моментного описания

 

t



 ₀

=0,

 

t



 ₁

- f(t,S)^

 

^₀=0; (36) для 3-х моментного описания

 

t



 ₀

=0,

 

t



 ₁

- f(t,S)

 

₀=0,

 

t



 ₂

-2f

 

t,S 

 

₁=0. (37) В силу уравнения

 

t



 ₀

=0 следует

 

 

^_^















0 1

t =f(t,S). Переход от уравнений PDE-модели поточной линии к уравнениям Fluid-модели. Статистическое обоснова- ние уравнений системной динамики.

Идея моделирования сложных производственно- технических систем на уровне потокового описания, ко- гда исследователь абстрагируется от индивидуальных объектов, таких как предметы труда, работники, еди- ницы технологического оборудования, и рассматривает только агрегированные количественные характеристики потоков этих объектов, была предложена Дж.Форресте- ром (Jay W. Forrester) [26,стр.17]. Для демонстрации фу- нкционирования сложных производственных систем Дж.Форрестер применил принципы исследования сис- тем с обратной информационной связью, показал сущес- твенную зависимость поведения параметров производс- твенной системы от структуры связей между ними. Про- веден анализ взаимодействия потоков информации, де- нежных средств, заказов, товаров, рабочей силы и техно- логического оборудования производственной системы [26, стр.17]. Динамическое моделирование «воплощает количественный и экспериментальный подход к реше- нию задачи приведения организационной структуры предприятия в соответствии с требованиями промышленного развития и устойчивости» [26,стр.17].

Методология системной динамики представляет в насто- ящее время достаточно мощный инструментарий иссле- дования динамических моделей производственных сис- тем. Актуальным в этом исследовании является вопрос построения адекватных математических моделей прои- зводственных линий и определение связей между пото- ковыми параметрами.

Модель системной динамики для потокового описания производственных процессов содержит урав- нения уровней [26,стр.65], темпов [26,стр.66], вспомога- тельные уравнения [26,стр.66] и уравнения начальных условий [26,стр.68] для взаимосвязанных сетей [26,стр.59] материалов, заказов, денежных средств, рабо- чей силы, оборудования, информации. Разделение на шесть сетей условно [26,стр.60]. Уравнения уровней есть интегральные уравнения вида [26,стр.65]:

 

 _,m,n(tt)

 

 _,m,n(t)^t

  

 _{_in,m,n}

 

 _{_out,m,n}



dt

0 1 1

0

0 ,

n=1..6, m1..N_m (38) где

 

_0,m,n(t),

 

_{1_in,m,n}(t),

 

_{1_out,m,n}(t)-обозначение уровня, темпа входящего и темпа исходящего потока в момент времени t для m-го объекта n-ой сети. Вывод уравнений системной динамики для поточной линии (рис.1.2) будем рассматривать на примере одной сети (далее индекс «n» опустим) из Nm-объектов. Под m—

объектом подразумевается обобщенная технологическая операция. Под уровнем

 

_0,m для m-ого объекта прои- зводственной линии понимается количество предметов труда в межоперационном и страховом заделе перед m-

обобщенной технологической операцией. Поступление и убыль предметов труда в единицу времени (темп обрабо- тки предмета труда) на m-технологической операции (

 

_{1_out,m1}=

 

_{1_in,m}) определяют темп входящего

 

_{1_in,m} и исходящего

 

^_{1_out,m}потока. Система урав- нений системной динамике, используемая для модели- рования поточной линии, имеет вид

   

^(t)

 

^(t)

dt ) t ( d

m , out _ m

, in _ m

,

1 1

0    

 , (39)

   

m m , m

, out

_ T

) t ) (

t

( ⁰

1

 

 ,m1..N_m, (40)

 

₀,m(0)A₀,m,

 

_{1_in,m}(0)B_in,m, (41)

 

_{1_out,m}(0)B_out,m, (42) где Tm-заданная величина (постоянная запаздывания [26]), а уравнения (41),(42) - начальные условия для по- токовых параметров в уравнениях уровней (39) [26,стр.65] и темпов (40) уравнения темпов [26,стр.76].

Дополним систему уравнений уровней (29)-(42) вспомо- гательными уравнениями [26,стр.68]:

     



^_{0 1} ^_{1 2} ^_{1 3}



^0

_{m ,m} , _{_out,m} (t), _{_out,m} (t) , .. m

m , m ,

m_{1 2 3}1 N . (43)

Уравнения (43) являются уравнениями состояния, связывают потоковые параметры производственной ли- нии между собой. Уравнения состояния накладывают ограничения на поведение потоковых параметров, вво- дятся из соображений обеспечения замкнутости системы уравнений (39), (40).

Система уравнение темпа (39), (40) содержит ура- внение с запаздыванием показательного типа [26,стр.76], определяющее вид решения

 

_0,m^(t). Уравнения систе- мной динамики (39)-(43) образуют замкнутую систему уравнений для описания поточной линии производствен- ной системы.

В настоящее время существует большое количес- тво работ, посвященных моделированию производствен- ных и социально-экономических систем с применением математического аппарата системной динамики. Наряду с этим редкими являются работы, связанные с выводом уравнений системной динамики, адекватно отражающих рассматриваемый производственный или социально- экономический процесс. Так, например, при описании производственно-сбытовой системы в работе [26] испо- льзуются балансовые уравнения системной динамике, не учитывающие особенности технологической обработки предмета труда в результате воздействия технологиче- ского оборудования. Между потоковыми параметрами производственной линии записывают связи, в основе ко- торых лежат накопленные статистические данные [26,27]. Эти данные, как правило, не учитывают дина- мику развития внешней и внутренней среды производст- венного предприятия, особенности его технологического процесса, взаимосвязи между элементами системы и эле- ментами внешней среды. Особенно актуальным является вопрос проектирования поточных линий производствен- ных систем, не обладающих накопленной статистикой.

Возникает естественный вопрос о соответствии исполь- зуемых уравнений изучаемым производственным и эко- номическим явлениям. Методике построения уравнений

системной динамики в требуемом приближении посвя- щен настоящий параграф. В нем предпринята попытка, используя данные о технологическом процессе, количе- стве, расстановке технологического оборудования и его параметрах, получить уравнения системной динамики вида (39)-(43) для потоковых параметров производст- венной линии [7,28,29]. Рассмотрим принцип построения уравнений системной динамики для поточной линии производственной системы с характерными числами:

0

Kv , P_m1. Поведение потоковых параметров производственной линии в одномоментном представле- нии будем описывать балансовым уравнением (30).

Проинтегрируем уравнение в частных производ- ных (30) в пределах m-ой технологической операции

1





S_m S_m S_m

   

(t)

 

(t) dt

) t ( d

m , out _ m

, in _ m

,

1 1

0    

 ,

 

dS

 

_,m(t)

S_m

0 0

0  

 



(44) Дополним (44) уравнениями состояния. Распро- страненными уравнениями состояния являются уравне- ния вида

 

_{1_in,m1}(t)

 

_1(t)(t,S_m),

 

_{1_out,m}(t)

 

_1(t)(t,S_m). (45) Другим распространенным видом уравнений сос- тояния являются соотношения, которые связывают сред- нюю длину очереди N_,m предметов труда, ожидающих обработку на mой технологической операции с общим временем обработки T_m

 

t Δ_m,

 

^t [30] предмета труда на mой технологической операции и темпом об- работки

 

_1m(t)

 

_0,m^(t)=

 

₁_out,m^(t)^Tm

 

^t , T_m

 

t Δ_m,

 

^t ,

m_,

Δ =  ^

 N m

m k

, Δ

1 k

. (46)

Уравнение состояния (46) представлены форму- лой Литтла [31], характеризующий установившийся ре- жим функционирования производственной линии.

Дополним (3.86) и (3.88) начальными услови- ями, получим замкнутую систему уравнений системной динамики в приближении K_v0, P_m1 установив- шегося режима режим функционирования производст- венной линии

   

(t)

 

(t) dt

) t ( d

m , out _ m

, in _ m

,

1 1

0    

 ,

 

dS

 

_,m(t)

S_m

0 0

0  

 



,

   

m m , m

, out

_ T

) t ) (

t

( ⁰

1

 

 ,

 

_{1_in,m1}(t)=

 

_{1_out,m}(t),

 

₀,m(0)A₀,m,

 

_{1_in,m}(0)B_in,m,

 

_{1_out,m}(0)B_out,m, (47) Система уравнений (47) использована для описа- ния производственной линии [26]. Точность и адекват-