Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame-

trisierungen

Zwei-Momenten-Verfahren zur Sedimentation

Corinna Ziemer

Bremerhaven, 23./24. M¨arz 2010

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Inhalt

1 Grundlagen der Zwei-Momenten-Methode

2 Ergebnisse: Variation von D max

3 Andere Parametrisierungen

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen

Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Erinnerung

Spektrale Bilanzgleichung f¨ur Sedimentation

∂

∂t f (D) − ∂

∂z (v T (D)f (D)) = 0 Durch Integration folgt:

∂

∂t M j − ∂

∂z F j = 0

∂

∂t M k − ∂

∂z F k = 0 mit j , k ∈ N ₀ , j < k und

M j = Z D

0

D ^j f (D) dD F j =

Z D

0

v T (D)D ^j f (D) dD

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen

Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Parametrisierungs-Annahmen

f (D) = n 0 D ^µ e ^{− λD} λ, n 0 > 0 var., µ ≥ 0 fest v T (D) = αD ^1/2 α > 0

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

D [cm]

f(D) [1/cm4]

µ = 3 µ = 0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

vT(D) [cm/s]

D [cm]

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen

Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Parametrisierungs-Annahmen

f (D) = n 0 D ^µ e ^{− λD} λ, n 0 > 0 var., µ ≥ 0 fest v T (D) = αD ^1/2 α > 0

Damit:

M j = Z D

0

D ^j f (D) dD = n 0 P(λD max , j + µ + 1)Γ(j + µ + 1)λ ^{− (j+µ+1)} F j =

Z D

0

v T (D)D ^j f (D) dD

= αn 0 P(λD max , j + µ + 3/2)Γ(j + µ + 3/2)λ ^{− (j+µ+3/2)} mit

P(x , a) = 1 Γ(a)

Z x

0

D ^{a − 1} e ^{− D} dD

unvollst¨andige Gammafunktion.

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen

Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Analytische L¨osungsstruktur

... f¨ur D max = ∞ einfach zu berechnen.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Mk [cm^k−3]

Hoehe [m]

Anfangszustand: t = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Mk [cm^k−3]

Hoehe [m]

t > 0

Als Vergleich: L¨osung der spektralen Bilanzgleichung verf¨ugbar.

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Numerische L¨osung

1D Finite-Differenzen-Verfahren: MUSCL-Hancock

0 1 2 3

x 10⁻³ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M

[1/cm

]

Hoehe [m]

0 2 4 6

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L ~ M

[g/cm

]

Hoehe [m]

t = 0 s t = 300 s t = 450 s

j = 0, k = 3, µ = 0, D max ≫ 0.

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Ergebnisse

D max klein: Knick in unterer Verd¨unnungswelle.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L ~ ρ w M

3[g/cm³]

Hoehe [m]

t = 300 s Initial D

= ∞ D

= 0,25 cm

j = 0,k = 3

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Einfluss auf die Schockwelle

Logarithmische Darstellung der Unterkante.

10⁻¹⁸ 10⁻¹⁶ 10⁻¹⁴ 10⁻¹² 10⁻¹⁰ 10⁻⁸ 10⁻⁶ 500

1000 1500 2000 2500

L ~ ρ_w M 3 [g/cm³]

Hoehe [m]

t = 50 s Dmax = 0.25 Dmax = 1 Dmax = 12

Kleineres D max : - geringere Amplitude

- geringere Geschwindigkeit

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Vergleich mit spektraler L¨osung

Prognostische Momente f¨ur j = 0, k = 3, t = 300 s:

0 2 4 6

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L ~ ρ_w M 3 [g/cm³]

Hoehe [m]

Dmax = 0,25 cm

0 2 4 6

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L ~ ρ_w M 3 [g/cm³]

Hoehe [m]

Dmax = 0,50 cm

Initial param. Lsg.

spektr. Lsg.

Kleineres D max : - progn. Momente tendenziell dichter an spektraler

L¨osung

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Ergebnisse

Mehrdeutigkeit: M j und M k haben f¨ur verschiedene j , k die selbe Struktur.

0 1 2 3

x 10⁻³ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M

− normiert

Hoehe [m]

0 0.5 1

x 10⁻⁶ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M

− normiert

Hoehe [m]

Initial M

(j = 0, k = 3) M

(j = 3, k = 6) Initial

M

(j = 0, k = 3)

M

(j = 3, k = 6)

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Geschwindigkeit der Momente

Mittlere momentgewichtete Fallgeschwindigkeit

¯

v k (D max ) := F k (D max ) M k (D max ) =

R D

0 v T (D)D ^k f (D) dD R D

0 D ^k f (D) dD

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700

Dmax [cm]

vk [cm/s]

k = 0 k = 3 k = 6

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Diagnose von Momenten

Zwei Momente - zwei Parameter:

∀ t , z : M j (t, z ), M k (t, z ) ←→ n 0 (t, z ), λ(t , z )

Implizite Gleichung f¨ur λ

λ = M j

M k

P(λD max , k + µ + 1)Γ(k + µ + 1) P(λD max , j + µ + 1)Γ(j + µ + 1)

λ > 0 nicht immer gegeben.

unvollst¨ andige Gammafunktion nicht mehr definiert.

Abhilfe: manuelles Setzen von λ = 10

.

Konsequenzen f¨ ur L¨ osungsverlauf noch unklar.

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Diagnose von Momenten

Zwei Momente - zwei Parameter:

∀ t , z : M j (t, z ), M k (t, z ) ←→ n 0 (t, z ), λ(t , z ) Daher

∀ t, z : M l = n 0 P(λD max , l + µ + 1)Γ(l + µ + 1)λ ^{− (l+µ+1)}

= fct(M

k−l k−j

j , M

l−j k−j

k )

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Diagnostische Effekte - ¨ Uberschiessen

l < j , k j, k < l

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M0 [1/cm³]

Hoehe [m]

t = 150 s −− j = 3, k = 6

Initial param. Lsg spektr. Lsg.

10⁻²⁵ 10⁻²⁰ 10⁻¹⁵ 10⁻¹⁰ 10⁻⁵ 10⁰

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M6 [cm³]

Hoehe [m]

t = 150 s −− j = 0, k = 3

Initial param. Lsg.

spektr. Lsg.

M 0 ∼ M ₃ ² M ₆ ^{− 1} M 6 ∼ M ₀ ^{− 2} M ₃ ²

Ursache: unterschiedliche mittlere Geschwindigkeiten der Momente

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Diagnostische Effekte - D¨ampfen

j < l < k

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L ~ ρ_w M 3[g/cm³]

Hoehe [m]

t = 450 s −− j = 0, k = 6 Initial param. Lsg.

spektr. Lsg.

M 3 ∼ M ₀

M ₆

Diagn. Effekte nehmen f¨ur kleineres D max ab.

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Wahl von D max

Bisherige Ergebnisse f¨ur kleines D max

Schockwelle ist geringer ausgepr¨ agt

progn. Momente sind tendenziell n¨ aher an der spektralen L¨ osung diagn. Effekte sind schw¨ acher.

−→ D max m¨oglichst klein.

Physik/Natur: D max ≈ 0, 7 cm, gr¨ossere Tropfen sind instabil.

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Vergleich mit µ = 3

Verwende Verteilungsfunktion: f (D) = n 0 D ³ e ^{− λD}

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

D [cm]

f(D) [1/cm4]

µ = 3 µ = 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10⁻³ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M0 [g/cm³]

Hoehe [m]

j = 0, k = 3 Initial µ = 0, t = 300 s µ = 0, t = 600 s µ = 3, t = 300 s µ = 3, t = 600 s

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Vergleich mit µ = 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10⁻⁶ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M3 [g/cm³]

Hoehe [m]

j = 0, k = 3 Initial µ = 0, t = 300 s µ = 0, t = 600 s µ = 3, t = 300 s µ = 3, t = 600 s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x 10⁻⁸ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M6 [cm³]

Hoehe [m]

j = 0, k = 3, D

max = 0,50 cm Initial µ = 0, t = 300 s µ = 0, t = 600 s µ = 3, t = 300 s µ = 3, t = 600 s

Links: progn. Moment M 3

Rechts: diagn. Moment M 6

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Sedimentationsparametrisierung

... anderer Ansatz:

v T (D) = c(1 − e ^{− bD} ) mit b, c > 0.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

D [cm]

vT(D) [cm/s]

v_T(D) =1300D^0.5 v_T(D) = 965(1−e^−6.6677D) v_T(D) = 900(1−e^−7.3241D) v_T(D) = 1010(1−e^−6.7081D)

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Ergebnisse

D max = 0, 50 cm, j = 0, k = 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L [g/cm³]

Hoehe [m]

Initial

t = 300 s, param. Lsg.

t = 450 s, param. Lsg.

t = 300 s, spektr. Lsg.

t = 450 s, spektr. Lsg.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x 10⁻⁶ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M3 [g/cm³]

Hoehe [m]

Initial

t = 300 s, p−Ansatz t = 450 s, p−Ansatz t = 300 s, e−Ansatz t = 450 s, e−Ansatz

Links: Vergleich von Exponentialansatz und spektraler L¨osung

Rechts: Vergleich von Exponentialansatz und Potenzansatz

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Mittlere Geschwindigkeiten

0 0.2 0.4 0.6 0.8

100 200 300 400 500 600 700 800

D_max [cm]

vk [cm/s]

Potenzansatz k = 0 k = 3 k = 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8

100 200 300 400 500 600 700 800

D_max [cm]

vk [cm/s]

Exponentialansatz

−→ Diagnostische Effekte nehmen zu

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

f ( D ) f¨ur variierendes D ^max

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

f(D) [1/cm

]

D [cm]

D max = 0,25 cm D max = 0,5 cm

λ = 17.8481 n

= 0.058

λ = 26.6061

n

= 0.0798

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Problem: λ ≤ 0

0 1 2 3

x 10⁻³ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

N [1/cm³]

Hoehe [m]

0 0.5 1

x 10⁻⁶ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L [g/cm³]

Hoehe [m]

0 1 2 3

x 10⁻³ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

N [1/cm³]

Hoehe [m]

0 0.5 1

x 10⁻⁶ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L [g/cm³]

Hoehe [m]

Links: D max = 0, 25 cm, rechts: D max = 0, 50 cm, jeweils j = 0, k = 3

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Diagn. Effekte - ¨ Uberschiessen bei M 0

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M0 [1/cm³]

Hoehe [m]

D

= 0,25 cm

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M0 [1/cm³]

Hoehe [m]

D

= 0,50 cm

Initial param. Lsg.

spektr. Lsg.

j = 3, k = 6, t = 150 s

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Diagn. Effekte - ¨ Uberschiessen bei M 6

0 1 2 3 4

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M6 [cm³]

Hoehe [m]

D

= 0,25 cm

0 1 2 3 4

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

M6 [cm³]

Hoehe [m]

D

= 0,50 cm

param. Lsg.

spektr. Lsg.

j = 0, k = 3, t = 150 s

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Diagn. Effekte - D¨ampfen bei M 3

0 2 4 6

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L [g/cm³]

Hoehe [m]

D_max = 0,25 cm

0 2 4 6

x 10⁻⁷ 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

L [g/cm³]

Hoehe [m]

D_max = 0,50 cm

Initial param. Lsg.

spektr. Lsg.

j = 0, k = 6, t = 450 s

Kleineres D max : - diagnostische Effekte nehmen ab

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Fallgeschwindigkeiten f¨ur µ = 0 und µ = 3

0 0.2 0.4 0.6 0.8

100 200 300 400 500 600 700

D_max [cm]

vk [cm/s]

Potenzansatz, µ = 0

0 0.2 0.4 0.6 0.8

100 200 300 400 500 600 700

D_max [cm]

vk [cm/s]

Potenzansatz, µ = 3

k = 0

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

k = 5

k = 6

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Mittlere Tropfenmasse - Potenzansatz

t = 150 s – Oben: D max = 0, 25cm – unten: D max = ∞

0 0.005 0.01

0 1000 2000 3000 4000 5000

Hoehe [m]

ε [g]

spektral

0 10 20 30

0 1000 2000 3000 4000 5000

Hoehe [m]

ε [g]

parametrisiert

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 1000 2000 3000 4000 5000

Hoehe [m]

ε [g]

spektral

0 50 100

0 1000 2000 3000 4000 5000

Hoehe [m]

ε [g]

parametrisiert

Zwei-Momenten- Verfahren zur Sedimentation Corinna Ziemer

Grundlagen Ergebnisse Andere Parame- trisierungen

Mittlere Tropfenmasse - Exponentialansatz

t = 150 s – Oben: D max = 0, 25cm – unten: D max = ∞

0 2 4 6 8

x 10⁻³ 0

1000 2000 3000 4000 5000

Hoehe [m]

ε [g]

spektral

0 0.5 1 1.5

0 1000 2000 3000 4000 5000

Hoehe [m]

ε [g]

parametrisiert

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0

1000 2000 3000 4000 5000

Hoehe [m]

ε [g]

spektral

0 10 20 30

0 1000 2000 3000 4000 5000

Hoehe [m]

ε [g]

parametrisiert