Planen mit automatischen Hilfestellungen

Planen mit automatischen Hilfestellungen

Vorlesung Handlungsplanung

Stefan Edelkamp

1 Uberblick ¨

- Reduzierte Operatorlisten - Objektsymmetrien

- Generische Typen

Uberblick¨ 1

2 Reduzierte Operatorlisten

Ziel: Erh ¨ohen der Effektivit ¨at von Planungsverfahren

Weg: Planungsproblem P wird in ein Problem P⁰ ¨uberf ¨uhrt, mit O⁰ ⊆ O.

Beispiel: Operator (move a b c), der Block a von Block b auf Block c bef ¨ordert redundant, da durch (move a b t) und (move a t c) abgedeckt.

Proposition q ∈ F ist inkonsistent zur Menge Q ⊆ F, falls es keinen von I aus erreichbaren Zustand S gibt mit Q ⊂ S und q ∈ S.

Inc(Q): Menge der Propositionen, die inkonsistent zu Q sind.

Kummulation

Kummulativen Vorbedinungen und Effekte C_P, C_A, C_D f ¨ur eine Folge von Operatoren:

- C_P(O) = P_O, - C_A(O) = A_O,

- C_D(O) = D_O und

C_P(O₁, . . . , O_n, O) = C_P(O₁, . . . , O_n) ∪ (P_O − C_A(O₁, . . . , O_n)), C_A(O₁, . . . , O_n, O) = (C_A(O₁, . . . , O_n) \ D_O) ∪ A_O, bzw.

C_D(O₁, . . . , O_n, O) = (C_D(O₁, . . . , O_n) \ A_O) ∪ D_O, falls C_D(O₁, . . . , O_n) ∪ P_O = ∅ und nicht definiert, sonst.

Reduzierte Operatorlisten 3

Kummulative Semantik

Lemma: Kummulativen Operatoren besitzen Strips-Semantik, d.h. wenn C_P(O₁, . . . , O_n) ⊆ S

dann ist der Nachfolger S⁰ = (S \ C_D(O₁, . . . , O_n)) ∪ C_A(O₁, . . . , O_n). Beweis: Vollst ¨andige Induktion ¨uber n.

Implementierung und Redundanz

Folge π von Operatoren (O₁, . . . , O_n) implementiert O, falls O nicht in π enthalten ist, C_P(O₁, . . . , O_n) ⊆ P_O, A_O ⊆ C_A(O₁, . . . , O_n) ⊆ P_O und

C_D(O₁, . . . , O_n) ⊆ D_O ∪ Inc(P_O).

Operator O ∈ O ist redundant, wenn es eine Folge von Operatoren in O \ {O} gibt, die O implementiert. Eine Operatormenge O ist reduziert, wenn es keine

redundanten Operatoren in O gibt.

Beispiel: Kummulativer Effekt von (move a b t) und (move a t c) enth ¨alt das Atom (on-table a), das nicht von dem Operator (move a b c) gel ¨oscht wird.

Allerdings: Atom f ¨ur nahezu jeden Initialzustand inkonsistent mit (on a b), einer Vorbedingung des ausgetauschten Operators.

Reduzierte Operatorlisten 5

Korrektheit

Satz

Falls O redundant ist und Folge (O₁, . . . , O_n) Operator O implementiert, dann ist (O₁, . . . , O_n) in S andwendbar, falls O in S anwendbar ist.

Falls S⁰ das Resultat der Anwendung von O ist und S⁰⁰ das Resultat der Anwendung seiner Impelementierung, gilt S⁰ ⊆ S⁰⁰.

Beweis

Da S⁰⁰ = (S \ C_D(O₁, . . . , O_n)) ∪ C_A(O₁, . . . , O_n), gilt f ¨ur jedes Atom q ∈ S⁰ = (S \ D_O) ∪ A_O): q ∈ S⁰⁰ falls

- entweder a ∈ S und q 6∈ C_D(O₁, . . . , O_n) oder - q 6∈ C_A(O₁, . . . , O_n).

Erster Fall: q kann nicht in Inc(P_O) liegen, da O in S anwendbar ist und P_O ⊆ S gilt.

⇒ q 6∈ C_D(O₁, . . . , O_n) ⊆ D_O ∪ Inc(O). Zweiter Fall: A_O ⊆ C_A(O₁, . . . , O_n),

⇒ q ∈ C_A(O₁, . . . , O_n) und q ∈ S⁰⁰.

Reduzierte Operatorlisten 7

Komplexit ¨at

Im schlimmsten Fall ist die Entscheidung, ob ein Operator redundant ist so hart wie das Planungsproblem selbst.

Dieses l ¨aßt sich mit folgenden polynomiellen Transformation leicht einsehen:

P_O = I, A_O = G und D_O = D(P) \ G.

→ Jeder Plan implementiert f ¨ur P Operator O

→ O ist redundant genau dann, wenn P eine L ¨osung hat.

3 Objektsymmetrien

Planungsdom ¨anen ¨ublicherweise parametrisiert

⇒ Tausch von Objekten in der Problembeschreibung f ¨ur die Dom ¨anenbeschreibung transparent.

Beispiele: Objekte in Zeno sind dan, city-a, und plane. Alle Objektsymmetrien: n!, n = |OBJ | Kandidaten.

Beschr ¨ankung von Objekten gleichen Typs bleiben

n

t₁, t₂, . . . , t_k

= n!

t₁! · t₂! · . . . · t_k!.

Symmetrien, wobei t_i die Anzahl der Objekte vom Typ i, i ∈ {1, . . . , k} ist.

Objektsymmetrien 9

Objekttranspositionen

Maximal n(n − 1)/2 ∈ O(n²) Objekttranspositionen.

Objekttransposition (o, o⁰) ∈ M f ¨ur eine Proposition f = (p o₁, . . . , o_k(p)) ∈ F, kurz f[o ↔ o⁰], ist definiert als (p o⁰₁, . . . , o⁰

k(p)) mit o⁰_i = o_i, falls o_i ∈ {o, o/ ⁰}, o_i = o⁰, falls o_i = o, und o_i = o, falls o_i = o⁰, i ∈ {1, . . . , k(p)}.

Eine Objekttransposition (o, o⁰) ∈ M f ¨ur eine Aktion O ∈ O ist analog definiert.

Es gilt f ¨ur alle f ∈ F, O ∈ O, und (o, o⁰) ∈ M: f[o ↔ o⁰] = f[o⁰ ↔ o], O[o ↔ o⁰] = O[o⁰ ↔ o], f[o ↔ o⁰][o ↔ o⁰] = f, O[o ↔ o⁰][o ↔ o⁰] = O.

Zeitkomplexit ¨at: f[o ↔ o⁰] ∈ F eigentlich O(k(p)), O(1) eine O(|M| · |F |) große

Zust ¨ande und Planungsprobleme

Eine Objekttransposition (o, o⁰) ∈ M angewendet auf den Zustand S ∈ S, kurz S[o ↔ o⁰], ist gleich {f⁰ ∈ F | f ∈ S ∧ f⁰ = f[o ↔ o⁰]}

Ein Planungsproblem P = hS,O, I,Gi ist symmetrisch zur Objekttransposition (o, o⁰) ∈ M, kurz P[o ↔ o⁰], falls I[o ↔ o⁰] = I und f ¨ur alle G ∈ G:

G[o ↔ o⁰] ∈ G.

Zeitkomplexit ¨at: Wird das Planungsziel mit p Propositionen beschrieben, dann ist der Aufwand zu tesen, ob P = hS,O,I,Gi symmetrisch zu (o, o⁰) ∈ M ist, gleich O(|M| · (p + |I|)).

Objektsymmetrien 11

Verfeinerungen

Symmetrien, die im Initialzustand gelten, k ¨onnen w ¨ahrend der Exploration verschwinden oder sich neu bilden.

Da sich innerhalb einer Vorw ¨artssuche das Planungsziel nicht ¨andert, muss nur der der aktuelle Zustand auf bestehende Symmetrien ¨uberpr ¨uft werden.

⇒ Verfeinerung der Menge M zu

M⁰ = (o, o⁰) ∈ M | ∀ G ∈ G : G[o ↔ o⁰] = G . Dabei ist |M⁰| oft viel kleiner als |M|.

Test, ob ein Planungsproblem mit derzeitgen Zustand C symmetrisch zu

Anwendung von Objekttranspositionen

Berechne Menge M⁰⁰(C) = {(o, o⁰) ∈ M⁰ | C[o ↔ o⁰] = C} derjenigen Objektsymmetrien, die in C gelten.

Act(C): Menge der Aktionen, die in Zustand C ∈ S anwendbar sind.

Pruning-Menge: ∆(C,M⁰⁰(C)) ⊂ Act(C) Menge aller Aktionen, die einen symmetrischen Partner haben, der nicht den minimalen Index hat.

∆(C,M⁰⁰(C)): Menge aller O ∈ Act(C) mit der Eigenschaft:

∃ O⁰ ∈ Act(C) : φ(O⁰) > φ(O) und ∃ (o, o⁰) ∈ M⁰⁰(C) : O⁰ = O[o ↔ o⁰]. Reduktion von Act(C,M⁰⁰(C)) ⊆ Act(C) bzgl. M⁰⁰(C):

Act(C,M⁰⁰(C)) = Act(C) \ ∆(C,M⁰⁰(C)).

Wir schreiben Act⁰(C) f ¨ur Act(C,M⁰⁰(C)) und ∆⁰(C) f ¨ur ∆(C,M⁰⁰(C)).

Objektsymmetrien 13

Reduktion erh ¨alt Vollst ¨andigkeit

Die Reduktion der Menge Act(C) to Act⁰(C) w ¨ahrend der Exploration von P = hS,O,I,Gi erh ¨alt die Vollst ¨andigkeit.

Beweis Angenommen, dass f ¨ur einen Zustand C die Reduktion von Act(C) auf Act⁰(C) die Vollst ¨andigkeit zerst ¨ort.

Weiter sei C maximial in dieser Eigenschaft bzgl. der Explorationsreihenfolge gew ¨ahlt.

Beweis

⇒ ex. ein sequentieller Plan π = (O₁ . . . , O_k) in P_C = hS,O,C,Gi mit Zustandsfolge (S₀ = C, . . . , S_k ⊆ G) und O_i ∈ Act(S_i−1), i ∈ {1, . . . , k}.

Durch die Wahl von C haben wir O₁ ∈ Act(S₀) \ Act⁰(S₀) = ∆⁰(S₀).

Per Definition von ∆⁰(S₀) existiert O₁⁰ = O₁[o ↔ o⁰] mit minimalen Index, der in S₀ anwendbar ist.

P_C = hS,O,C,Gi = P_C[o ↔ o⁰] = hS,O,C[o ↔ o⁰] = C,G[o ↔ o⁰] = Gi

⇒ existiert ein sequentieller Plan O₁[o ↔ o⁰], . . . , O_k[o ↔ o⁰] mit Zustandsfolge (S₀[o ↔ o⁰] = S₀, S₁[o ↔ o⁰], . . . , S_k[o ↔ o⁰] = S_k), der das Ziel G erreicht Dies widerspricht der Annahme, dass die Reduktion von Act(C) auf Act⁰(C) die Vollst ¨andigkeit verletzt.

Objektsymmetrien 15

4 Generische Typen

Generische Typen werden in der statischen Analyse erschlossen und basieren auf der Darstellung von sogenannten Eigenschaftsr ¨aumen durch endliche Automaten.

Zust ¨ande: Projektionen von Propositionen auf einer ihrer Argumente.

Beispiel Rocket-Dom ¨ane mit at₁ in₁, fuelled₁ oder unfuelled₁. Index gibt die jeweilige Argumentposition im Pr ¨adikat an.

Ubergange: Verlassen eines Zustands entspricht einer L ¨oschung, das Erreichen¨ eines Zustands entspricht der Hinzuf ¨ugung einer Eigenschaft.

Aktion drive beschreibt ¨Ubergang von fuelled₁ zu unfuelled₁. W ¨ahrend die

Regeln / Invarianzen

Ziel: Regeln der Form enablers ⇒ start → end

enablers: Eigenschaft, die f ¨ur einen ¨Ubergang gelten muss

start bzw. end : Eigenschaft die bei einem ¨Ubergang bzw. verloren bzw.

hinzugewonnen werden.

Beispiel: fuelled₁ ⇒ at₁ → at₁ Regel f ¨ur Rocket-Dom ¨ane. Dabei werden die verschiedenen Automaten zu ¨uberlagert.

Aus Menge von Regeln werden Invarianzen f ¨ur die Planungsdom ¨ane abgeleitet Beispiel Invarianz: Ein Objekt nur entweder an einem speziellen Ort oder in einem speziellen Objekt sein kann.

Diese Invarianzen erleichtern die Plangenerierung mitunter enorm.

Generische Typen 17

Klassifizierung

Gebrauchsmuster z.B. f ¨ur mobile Objekte, die sich wiederentdecken lassen.

Mobile Objekte werden durch ein Lokalisator, hier at, gefunden.

Bezogen auf ihn bewegt sich das mobile Objekt gem ¨aß der Regeln at → at auf Karten.

Hat man ein mobilies Objekt eindeutig klassifiziert, so kann man effizientere Verfahren nutzen, um z.B. den k ¨urzesten Weg bzgl. → auf der Karte zu finden.

Wiederverwendbarkeit

Man findet mobile Objekte nicht nur in klassischen Transport-Dom ¨anen, sondern auch in Dom ¨anen, wo man es nicht unbedingt erwarten w ¨urde.

In der PaintWall-Dom ¨ane werden die W ¨ande als Lokalisatoren festgestellt

Regeln der Form painted → painted weisen darauf hin, dass die Dekorationen auf den W ¨anden als mobile Objekte aufgefasst werden k ¨onnen.

Generische Typen 19

Weitere Gebrauchsmuster

Neben mobilen Objekten k ¨onnen auch

- bewegliche Objekte, wie z.B. Pakete, und

- deren Bef ¨orderungseinheiten wie z.B. Trucks, anhand der Automatstruktur erkannt werden.

Wandelung von at zu in: Eigenschaft beladen bzw. von in zu at Eigenschaft:

entladen.

Hier: Anwendung von effizienten Teilroutinen zum Finden eines guten Schedulings.

Allgemein: Teile des Planl ¨osungsprozesses werden an an spezielle L ¨oser

Generische Typen

Fox und Long sprechen in diesen Zusammenhang von generischen Typen, die f ¨ur verschiedene Dom ¨anen existieren.

Leider ist der Inferenzmechanismus zu komplex, um im Detail dargestellt zu werden.

Generischen Typen werden zwar automatisch erkannt, ihre Beschreibung jedoch vom Benutzer vorgegeben

. . . wurden f ¨ur das Planungssystem STAN entwickelt.

Generische Typen 21