E le m e n te de r In te g ra lr e chn ung

(1)

K a pi te l 1 0

E le m e n te de r In te g ra lr e chn ung

HatmaneineFunktionf:D!R,worinDirgendeinIntervall,kannmansichf¨urdieFl

ten”Fl (unterhalb)derX-Achseverläuft.DermathematischeBegri↵fürdiesen“orientier- positivem(negativem)Vorzeichenverbuchtwird,wennderFunktionsgraphoberhalb linksundrechtsvondenGrenzeneinesIntervalls[a,b]⇢Dbegrenztwird,undmit ächeinteressieren,die“zwischenFunktionsgraphundX-Achse”liegt,von

¨acheninhaltistdasIntegral

Zb

a dxf(x),(10.1)

wennesdennexistiert(=einenendlichenWerthat)–dieFunktionfalso

¨ub

er[a,b]⇢D“integrierbar”ist.

Abb10.1GeometrischeDeutungdesIn-tegrals. Die“elementarsteFl

¨ache”diemansichvorstellenkannistdieFl

¨acheeinesRecht-

cMartinWilkens14116.November2019

(2)

142ElementederIntegralrechnung

ecks,undsostehtamAnfangderIntegralrechungdieDefinitionZb

a dxc:=(ba)c(10.2)

lies:dasIntegralderkonstantenFunktionf(x)=c

¨ub

erdemIntervall[a,b]hatWert(ba)c.

1 0 .1 R ie m a nn-i n te g ri e rba re F unk ti o ne n

UmdieFl

“indieZange”.ManunterteiltdasIntegrationsintervall 1 ¨achef¨ureineallgemeineFunktioneinzugrenzen,nimmtmandieFunktion

a:=x0<x1<...<xn1<xn:=b,(10.3)

undw

¨ahlt

f¨urjedesSubintervall[xi1,xi]

kif(x)hi,xi1xxi(10.4)

DieUnterteilung(10.3)zusammenmitdenBegrenzungen(10.4)bildendieDateinerZangeZf¨urdieFunktionf.DerorientierteFl

GreifbackederZangeheißtdieUntersumme(Obersumme)derZange, ¨acheninhaltderunteren(oberen) U(Z):= X

i ki·(xixi1),O(Z):= X

i hi·(xixi1),(10.5)

1aus:J

¨an

ichMathematik1,S.41–60.Gegen

¨ub

erdem

FolgenuntstetigerFunktionen(Treppenfunktionen)verzichtetwerden. beiVerwendungvonZangenaufdieDiskussionderApproximationvonstetigenFunktionend integrierendeFunktiondurchTreppenfunktionenvonobernbzw.untenapproximiertwird, ¨ublichenVorgehen,beidemdie

16.November2019142cMartinWilk

(3)

10.2Rechenregeln143

unddieDi↵erenz

O(Z)U(Z)= X

i (hiki)·(xixi1)(10.6)

heißtdieToleranzderZangeZ.

Abb10.2EineFunktioninderZange. Definition:EineFunktionheißtRiemann-integrierbarwennsiebeschr¨anktistundsichzujedemnochsokleinen">0eineZangeZumfmiteinerToleranzO(Z)U(Z)<"angebenl¨aßt.

IstfRiemann-integrierbar,sogibtesgenaueineZahlIf¨urdieU(Z)IO(Z)f¨uralleZangen,indiefgenommenwerdenkann,unddieseZahlheißtdasIntegralvonf

¨ub

er[a,b],notiertZb

a dxf(x)(10.7)

(Beweis:J

¨anic

hMathematik1,S.519–520).

1 0 .2 R e che nr e g e ln

Jedebeschr¨ankteFunktionmitnurendlichvielenUnstetigkeitsstellenistRiemann-integrierbarundesgeltendieRechenregelnZb

a dxf(x)= Za

b dxf(x)(10.8)

Zb

a dx(f(x)+µg(x))= Zb

a dxf(x)+µ Zb

a dxg(x)(10.9)

(4)

Zc

a dxf(x)= Zb

a dxf(x)+ Zc

b dxf(x)(10

Regel(10.8)ber

¨ucksichtigtdieOrientierungbeimUmlaufenvonFl

Riemann-integrablenFunktionen,undRegel(10.10)sagt,dassFl (10.9)besagt,dassIntegrationeinelineareAbbildungaufdemVektorraum ¨achen;Regel sichtigungderOrientierungadditivsind. ¨achenunterBer

Satz(HauptsatzderDi↵erential-undIntegralrechnung):F

¨ur f:D!Rstundx02Dgiltddx Zx x0 dtf(t)=f(x)(10

aufganzD.

DerBeweisberuhtaufderRegel(10.10)unsistansonsteneinfachzuf¨uhren.Mbeachte,dassdielinkeSeitevonderunterenIntegrationsgrenzeabh

¨angt,

dierecSeiteabernicht.

Definition:Einedi↵erenzierbareFunktionF:D!RmitF 0=fstetighStammfunktionvonf.

O↵ensichtlichistmitFauchF+cStammfunktion(denndieAbleitungderkostantenFunktioncistNull).

HatmaneineStammfunktiongefunden,kenntmanalle(manmusszuseinemFnureineirgendwiegew

¨ahlte

Konstantehinzuf

¨uge

n).

MittelsStammfunktionschreibtsichdasbestimmteIntegralZb

a dxf(x)=F(b)F(a)=:F(x)| ba.(10.12)

(5)

10.3Beispiele145

wasetwasmissverst

wiederderNamederIntegrationsvariablenauf.... ¨andlichanmutet,tauchtdochimAusdruckganzrechtsauch

1 0 .3 B e is pi e le

WennmanhierdieobereGrenzealsvariabelau↵asst,w

¨urde

manpedantischno-tieren Rxa dtf(t)=F(x)F(a).InIntegraltafelnoder

k dtcos(kt)=sin(kx)(10.16) 1 xZ k dtsin(kt)=cos(kx)(10.15) 1 xZ  dte=e(10.14) tx1 xZ s+1 dtt=x(10.13) ss+11 xZ angeben, sichmitBlickauf()–()dieStammfunktioneneinigerelementarerFunktionenleicht F(a)unterdenTischfallen.MitdieserKonventiondieNotationbetre↵endlassen zichtetmanaufPedantik,lässtdieuntereIntegrationsgrenzeunbenannt,undlässt ähnlichenFormelwerkenver-

Istf:]a,b]!Rf¨urjedes0<"<ba

¨ub

er[a+",b]integrierbar,soheißtderGrenzwertZb

a dxf(x):=lim"!0+ Zb

a+" dxf(x)(10.17)

dasuneigentlicheIntegralvonf

¨ub

er]a,b].F

¨ur

Funktionen,die

¨ub

erganzRdefiniertsind,heißtentsprechend R11 dxf(x):=lima!1limb!+1 Rba dxf(x)dasuneigentlicheIntegralvonf

¨ub

erR.

(6)

DieFunktion 1px istauf[0,1]nichtRiemann-integrierbar(daf¨urx!0nichtb

schr¨ankt).AllerdingsexistiertdasuneigentlicheIntgeral R10 dx 1px ,denn

Zb

a dx 1px =2 px ba =2 ⇣pb pa ⌘(10.18)

undalsolim"!0+ R1" dx 1px =2.

1 0 .4 P a rt ie lle In te g ra ti o n und Subs ti tut io n

BeimAusrechenvonIntegralensindzweiTechnikenvonhervorragenderBedeutugenanntpartielleInegrationundSubstitution.DiepartielleIntegrationbasiertderIdentit

¨at

(fg) 0=f 0g+g 0f,umgestelltf 0g=(fg) 0fg 0,integriertZb

a dxf 0(x)g(x)= Zb

a dx(fg) 0(x) Zb

a dxf(x)g 0(x)(10.1

=fg| ba Zb

a dxf(x)g 0(x)(10.2

auchtre↵endgenannt“Abw

¨alzenderAbleitung”.

BeiderTechnikderSubstituionwirddieIntegrationsvariablealsabh

¨angige

Variableeinergeschicktgew

¨ahlten

Funktionaufgefasst,x=(t),undmanschreibtZb

a dxf(x)= Z1(b)

1(a) f((t)) 0(t)dt(10.21)

(7)

10.5Aufgaben147

1 0 .5 A uf g a b e n

.Aufgabe10-1

GegebeneineFunktion

f(x):= 1(xa)(xb) (10.22)

(a)SkizzierenSiedenFunktionsgraphen.WoerwartenSieProbleme?

(b)BestimmenSiedieStammfunktionvonff¨urdiedreiIntervallex<a,a<x<bundb<x.

Hinweis:Partialbruchzerlegungk

¨onn

tesichbei(b)n

¨utz

licherweisen...

.Aufgabe10-2

ManberechnedieunbestimmtenIntegraleZdxxsin(x 21), Zdxxlnx.(10.23)

.Aufgabe10-3

Manbeweise,dassmitf:[a,b]!RauchdieFunktion|f|(Betragvonf)Riemann-integrierbar,undZb

a dxf(x) Zdx|f(x)|.(10.24)

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