Research Collection
Doctoral Thesis
Composition des formes quadratiques de quatre et de huit variables indépendantes
Author(s):
Robert, Eugène Publication Date:
1912
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000091948
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COMPOSITION
DESFORMES QUADRATIQUES
DEQUATRE
ET DE HUITVARIABLES INDÉPENDANTES
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THÈSE
PRÉSENTÉE
A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE
POUR OBTENIR LE TITRE DE
DOCTEUR ÈS-SCIENCES MATHÉMATIQUES
PAR
EUGÈNE ROBERT
DU LOCLE
RAPPORTEUR: MR LE PROF. D» A. HURWITZ CO-RAPPORTEUR: M« LEPROF. D" J. FRANEL
ZURICH
IMPRIMERIE ZURCHER &. FURRER 1912
Monsieur le DR A. HUEWITZ
PROFESSEUR A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE.
Hommage respectueux et témoignage
de profonde reconnaissance
JEuff. BOBEBT.
Considérons 3 formes quadratiques de n variables indépen¬
dantes:
tp(xl, x2, x3, , . ,xn)
^{yuVi,y^ ---y»)
chacune de déterminant différent de zéro; le problème de lacom¬
position revient à remplacer les variables zlf z2,za,.. . zn par des fonctions bilinéaires, convenablement choisies, des variables xu x2, x3,. .. xn et y1, y2, ya, . . . yn, de manière à satisfaire à la relation:
(1) <p(xux2, xB,... xn) ip(yuy2, y3,. . .yn) = %(z,,z2, z3,. . . zn).
Par une transformation linéaire non-singulière des variables,
une forme quadratique peut toujours être ramenée à une somme
de carrés, de sorte que, sans altérer la généralité des considéra¬
tions, la relation (1) pourra être remplacée par l'équation: (2) (xl+xl+xl-] ha£) (y\-hyl+!%-+ ^î£)=
2,2,2, ,2
= z1+%+zs-\ rsre.
Ce problème fut introduit par Gauss, qui se borna au cas des
formes binaires quadratiques à coefficients entiers.
Les formules qui expriment le produit de deux sommes de
chacune 2, 4 ou 8 carrés au moyen d'une somme de 2, 4, respec¬
tivement 8 carrés parfaits constituent des cas tout particuliersde composition de formes quadratiques.
Monsieur Hurwitz a démontré que seules les formes quadra¬
tiques de 2, 4 et 8 variables indépendantes sont susceptibles de
1
composition. Son mémoire') a servi de point de départ à mes recherches; je me suis proposé de déterminer les fonctions bili- néaires les plus générales, zit des variables x{ et yt, satisfaisant à la relation (2).
Dans le premier chapitre, je rappelle quelques résultats, établis
par Mr. Hurwitz dans le mémoire cité plus haut, qui conduisent
à une importante réduction du problème, — et je donne la dé¬
monstration d'une propriété caractéristique des matrices symétri¬
ques gauches orthogonales, dont il est fait usage dans la suite.
Les chapitres deuxième et troisième sont consacrés à la ré¬
solution du problème pour les formes quadratiques de 4 et de 8
variables indépendantes. — Le cas des formes binaires quadrati¬
ques ne présente aucune difficulté; le résultat auquel on aboutit
est le suivant:
Toutes les transformations, A, dont les éléments, fonctions
linéaires homogènes des deux variables x, et cc2, vérifient la relation :
AA' = {x\+x\)E
sont contenues dans la formule:
A= PAQ
où A désigne une solution particulière, P et Q deux matrices orthogonales quelconques du 2e ordre.
Monsieur le Professeur Hurwitz, après m'avoir suggéré l'idée
de ce travail, a bien voulu s'intéresser à mes recherches, et m'accorder ses précieuxet bienveillants conseils; je lui en exprime
ici ma très sincère gratitude.
') „Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln." Gôttinger Nachrichten. Jahrgang 1898. Heft 3.
•
CHAPITRE Ier.
CONSIDÉRATIONS SUR DES SYSTÈMES LINÉAIRES PARTICULIERS.
§ 1. Enoncé et réduction du problème.
L'équation de composition de deux formes quadratiques non- singulières de n variables en une troisième peut toujours être
ramenée à la relation:
(1) (xl+ xl +xl+ ...+xl) $+ £ +£+-.- + 91) =
= zx + z2 + z3H \-zn
dans laquelle zlt s2, z3, • • zn doivent êtreremplacées par desfonc¬
tions bilinéaires des variables xu x2, xs, . .. xn et yu y2, y3, ... yn.
Posons donc:
(2) zt= atl y, +oia yi+a{s y3^ +-aiH yn
i = 1, 2, 3, . .. n
les coefficients «^ désignant des fonctions linéaires homogènes à
coefficients constants des variables xlt x2, x3, ..'. xn:
ail=K X\+K XZ+k3 X3^ ^K Xn
i, l= 1, 2, 3 ... n.
De la relation (2) nous déduisons:
i...» •
a,fi
L'équation (1) peut s'écrire:
1...n
i,a,fi
/ 2 , 2 , 2 , . 2\ / 2 i 2 , 2 . |2\
= {xl +x2-+ xs H h- xn) [yl+ y2+% H f-y„).
Appelons A le tableau des coefficients des transformations
(2), en d'autres termes la matrice de substitution; nous aurons:
«11> «12» ai3l
*21> *22> *23'
«3J, «g2, «gg,
. a 1«
2»
. «„
a«l>a»2'a»3' 4 • •anr,
= «.
«ft
Désignons par A' la matrice conjuguée de ^4, — c'est-à-dire celle que nous obtenons en permutant, dans A, les lignes en
colonnes et réciproquement, — et posons:
C= A' A.
Un élément quelconque, ca„, de la matrice C sera:
n
C 0= "S" «. «.„
i=l
donc le coefficient du terme en yayfi dans le premier membre de l'équation (3).
Pour que cette relation (3) soit satisfaite, il faut que nous ayons:
(2,2,2, , 2 • o
_ \xx -+ x% +x3 H -+-xn si a = p
«;»— \
\ 0 si « 4= (3.
J?"<„''i/S'
Les éléments «a„ de la matrice A, fonctions linéaires homo¬
gènes des variables xt, x2, xs, . . . xn, devront ainsi être choisis tels que la propriété:
Ji. J± — [OC-, \~~OCn JLn +xi) E
où E désigne la matrice-unité du ne ordre, soit vérifiée.
Cette condition étant remplie par les éléments de la matrice A, nous aurons aussi
AA' =A(A' A) A'1 = A(x\+ x\ + x\ +
et finalement:
+ xl)EA~l
(4) Ji. JL — )00, I 0C( +x')E
de sorte que nous pouvons énoncer le résultat suivant:
Pour que l'équation (1) de composition soit satisfaite, il faut
que la matrice A des substitutions (2) vérifie la relation (4).
La condition est évidemment suffisante.
La détermination des transformations (2) les plus générales, permettant la composition de deux formes quadratiques en une troisième, est ainsi ramenée à la seule recherche de la matrice la plus générale dont les éléments, fonctions linéaires homogènes
des variables xx, x2, x3, ... xn vérifient la relation (4).
Soit
cette matrice.
Nous pouvons écrire, en ordonnant par rapport aux variables
^lî ^2> ^3î ' * ' n'
(p) A = %i Ax ~\~3?2-"8 ~T"%3 A3~T~* " -"T"%nAn-
Alt A2, AB,...An désignent alors des matrices du ne ordre à éléments constants.
La matrice conjuguée de A sera:
A =^1i1 -f- x2A2 +x3A3 -+ • +xnAn.
L'équation de condition:
AA'= (x\+ x\ +x\ H hx2n)E
devient:
(x1A1+xiA2+xtAa H \-xnAn)
(6) • (x1A'1+x2A'2+x3A's H \-xnA'H) =
= (xl+xl+x\-\ Ha£).E.
En égalant, en particulier, les coefficients de xn dans les deux membres, nous obtenons:
ce qui exprime que la transformation An est orthogonale.
Faisons les substitutions:
(7) £«=44.
i= 1, 2, 8, .. . (m— 1).
Les (n— 1) matrices nouvelles, Bv B2, B3,.. . Bn_1 sont complètement déterminées par les relations (7) de définition.
En tenant compte de l'orthogonalité de la matrice An, nous
pouvons remplacer le système (7) par le suivant:
(7') A{= BtAn
i = 1, 2, 3,... (« — 1)
et nous en déduisons:
(7") 4 = 4,*;
i= 1, 2, 3,.. . (m— 1).
Introduisons les valeurs fournies par les relations (7') et (7")
dans l'équation (6); il vient:
{xlB1+xtBi-\-xzBi-\ ï-Xn-iBn-i-+-x»)A»- A'n(xi Bi+x2B^+xsBs-\ Hxn_xB'n_x+xn)
= (x\ +xl+xl-i \-aQE
ou, plus simplement:
(xl Bl+x2B2i-+xiB3^ ha;,_i5»-i+xn) '
(8) .(aSiB[+xaBÏ+xaB;-t---'+xH_1Bi_1+xn)
= (x\-\-xl+x23 ~\ hxl) E.
Cette égalité doit avoir lieu quelles que soient les valeurs attribuées aux variables se,, x2, xa,.. . xn; nous sommes conduits,
parl'identification des deux membres del'équation(8)auxrelations:
( B. B! = E
Bi= —Bl
i = 1, 2, 3,.. . (»—1)
.**& = -BkB't
i,k= 1, 2, 3,. .. (» — 1)
i + fe
que nous pouvons aussi écrire, en désignant, dès maintenant, la matrice-unité indifféremment par E ou par le nombre 1:
(9)
-B, b:
B' = —1
BtBh = -BkBt
i= 1, 2, 3, ..'. (n— 1) i, & = 1, 2, 3, .. .0— 1)
t+ fc.
Les (m — 1) matrices i?j sont donc symétriques gauches ortho¬
gonales.
A chaque matrice A, vérifiant la condition de composition, correspond un groupe de (n— 1) matrices, Bv B2, Bs, .. . BnV
satisfaisant aux équations (9).
Réciproquement, à tout groupe de (n— 1) matrices jouissant
des propriétés (9) correspond, en vertu des substitutions (7) une
matrice A, solution du problème, An désignant une matrice ortho¬
gonale choisie arbitrairement.
La recherche de la matrice la plus générale, — dont les éléments, fonctions linéaires homogènes des variables xv x2, xs,
. . .x, vérifient la relation (4), — est ainsi ramenée au problème
suivant:
Déterminer le groupe le plus général de (n — 1) matrices:
£1? B%, B3, Bn_1 satisfaisant aux conditions:
b; = — b:
B =
B<Bk = -BkBt
i=l, 2,3,...(h-1)
k = 1, 2, 3,...0— 1) i^k.
§ 2. Constitution et propriétés d'un système caractéristique.
Considéronsun groupe de (n—1)matrices, BvBv Bs,... Bn_v jouissant des propriétés (9) du paragraphe précédent, — et formons
le Système représenté par le tableau:
0<il<n 0<it<is<n 0<i1<i2<ia<n
renfermant 2n~~ matrices.
Soit:
BtPiPu Bi,
0<r < n
le terme général de ce système; son conjugué sera:
(B. B. B. ...B.)' =-- B'. ... B' B'. B'..
En tenant compte des conditions (9) nous obtenons:
r(r+X)
(B. B. B,. ... B, )' = (- 1) 2 B, B. B. ...B. .
De cette relation, nous déduisons la propriété suivante:
Le produit de r matrices, appartenant au tableau (I), est
une matrice symétrique quand:
r=0 (mod 4)
ou bien
r=3 (mod 4).
Ce produit est une matrice symétrique yauche quand:
/•= 1 (mod 4)
ou bien
rzz2 (mod 4).
En vertu des équations (9) du § 1, une fonction entière quel¬
conque des (m—1) matrices Bv B%, B3, ... Bnl pourra toujours
être représentée parune fonction linéaire des 2n~ transformations du tableau (I).
Désignons par R, Rlt JB2, ... des combinaisons linéaires des éléments du système caractéristique, où les coefficientsdes matrices
ne sont pas tous simultanément nuls. S'il existe une relation linéaire entre les 2m~ matrices (I), elle pourra s'écrire:
B = 0.
Toute transformation figurant dans l'équation R = 0 avec un
coefficient différent de zéro sera dite «impliquée».
Deux relations linéaires:
i2, = 0
#2=0
seront appelées «étrangères » si aucune matrice du système (P
n'est simultanément impliquée dans les deux équations.
Enfin, nous dirons d'une relation linéaire:
qu'elle est «réductible», si le premier membre de l'égalité peut
se décomposer en:
R = R1 -f--Zt2
où
[^ = 0 U2= o
sont deux relations linéaires «étrangères».
Lorsqu'une telle décomposition n'est pas possible, nous quali¬
fierons la relation d'« irréductible».
Ces dernières restent irréductibles si nous lesmultiplions par l'une quelconque des matrices du système (I). — Par un choix
convenable de ces facteurs, — et grâce aux propriétés (9) du § 1,
— nous pourrons toujours impliquer la matrice-unité dans la relation.
Soit donc:
R = c+ ZchBh+ Zc^B^B^ +
+Cl*S...Cn-VBlB*B*---B»-l=°
une relation linéaire irréductible.
Le terme général a la structure:
c B. B. B. ...B.
«1*2*3 V H *2 H *>•
0 <i,<i2<i3<• • <i,.<n— 1
0<r<w — 1.
Formons la combinaison:
— B RB =0
a a
où Ba désigne une matrice quelconque du groupe Bv B2, B3, Bn-v
Le terme général, abstraction faite du coefficient numérique,
devient:
— B B. B. B- ...B. Ba .
ti î2 H V a
Deux cas peuvent se présenter:
1er cas. —
« =p %, ï2> *3> • • V
Au moyen de r permutations successives, entraînant chacune
un changement de signe à cause de la relation
B;Bk = — BkBt
nous pourrons juxtaposer les deux facteurs — Ba et Ba, qui se
combinent alors en:
et le terme général devient ainsi:
(— l)r-B. B. B. ...B..
2e cas. —
a est égal à l'un des indices i,, i2, iB, . .. ir.
Soit, pour fixer les idées:
« = h-
Après (le— 1) permutations successives, le facteur — Ba pré¬
cédera immédiatement le facteur B- , et il se combinera avec
lui en:
—BaBf = — Bl=l.
a lie a
(r—k) permutations successives ramèneront le facteur Ba à
sa place. Chaque permutationprovoquantun changement de signe,
le terme général a été multiplié par:
/ *\k—l+r—k / 1Y"-1
et il est ainsi devenu:
{-iri.BhBhBh.:.Bir.
Il sera donc toujours possible de déterminer l'indice a de
telle sorte que dans la combinaison (— BaBBa) un terme:
c, . . . .., B, B. B. ...B, , choisi arbitrairement, figure changé de signe, pourvu que:
0<r<n — 1.
Lepremierterme, c, etle dernier, c123 (n_vBx B2B3... Bn_
de la relation B = 0, ne changent pas quand nous les multiplions
à gauche par (—BJ et à droite par Ba. En effet, nous avons:
- BacBa= -c &a= c.
Le nombre n qui désigne l'ordre des matrices Bt est pair,
car, des conditions:
!*« = -*;
nous déduisons:
|*,|"=(-D"
Donc
I5J + 0
et il faut dès lors que nous ayons:
(_1)"= + 1
c'est-à-dire n pair.
Nous aurons par conséquent:
-BaB^B,Bz...Bn__x Ba= (_If"2• (-Ba) 2*.^J3.3,... Bn_t
= (rlTB1BlB,...Bn_1
= B1BiBB...B1t_v
Ceci établi, posons:
221 = [i2+(-fla225a)]
Ra = [R-(-BaRBa)]-
Nous avons évidemment:
R1=0 R2 = 0.
Ces deux relations linéaires sont étrangères, car la première
ne renferme que les transformations qui n'ont pas changé de signe dans la combinaison — BaRBa, tandis que dans la deuxième
ne figurent que les matrices ayant changé de signe.
Des équations de définition des combinaisons Rl et R%, nous calculons:
-B =
-j(R^ -+-R^
et nous aboutissons ainsi à une contradiction, puisque nous avons expressément supposé que la relation linéaire R = 0 était irré¬
ductible.
Il faut donc, de toutenécessité, que la combinaison linéaireR2 soit nulle identiquement, ce qui impose la condition:
c. . . . = 0
?1 H «s •«c
0 <i] <«2<i3<• • •<ir< n—1
0<r <n— 1.
La seule relation linéaire irréductible, de la forme indiquée précédemment, qui puisse exister entre les 2n~~ matrices du système (I) sera donc:
R= e+c'B1BtB8...Bn_1 = 0
ou encore:
Pour calculer la constante C, formons le produit:
{BiBiB8...Bn_1)(BiBiBa...BH_1)'=
= B1BaB8...Bn_1-B'n_1...B;BÏB[.
Par applications successives de la condition:
BtB[ = l
il vient:
1 = œ d'où nous déduisons:
C= ±l.
La seule relation linéaire possible est donc:
BlBiBs...Bn_l=±l.
Or, le second membre de cette équation est une matrice symétrique. Pour qu'il en soit de même du premier membre, il faut, d'après le résultat énoncé plus haut, que nous ayons:
n — 1 = 3(mod 4).
n étant un nombre pair, — ou encore:
n =4 (mod 4).
En résumé:
Si les (m— 1) transformations
Bv B%, B3, ...Bn-î
satisfont aux conditions:
b<=-b;
• J5* = —1
.BiB1t= -BhBl
i = l,2,3,. ..{ri--1) i, k = 1, 2, 3, .
i=|=fc.
..(»--1)
n est forcément un nombre pair.
Les 2,i_ matrices du système (I) sont: linéairement indépen¬
dantes, si
n = 2 (mod 4)
Par contre, si
n = 4 (mod 4)
elles sont: ou bien linéairement indépendantes,
ou bien liées par la relation:
BlB2B3...Bn_1=±l
et par toute autre obtenue en multipliant l'équation précédente, à droite ou à gauche, par l'une quelconque des matrices du système caractéristique (I).
§ 3. Théorème général relatif
aux matrices symétriques gauches orthogonales.
Théorème.
La matrice symétrique gauche orthogonale la plus générale, A, peut toujours s'exprimer, au moyen d'une matrice symétriquegauche
orthogonale particulière, A, sous la forme:
Â= BAR'
où R désigne une transformation orthogonale choisie arbitrairement.
Démonstration.
Les hypothèses faites sur la matrice particulière A nousper¬
mettent d'écrire:
|A +A" = 0
\ AA' = 1
ou encore:
f A = —A' l A* = -\
L'ordre d'une matrice jouissant de ces deux propriétés est,
comme nous l'avons montré au paragraphe précédent, nécessaire¬
ment pair.
Le produit RAR' représente bien une matrice symétrique gauche orthogonale, si R est une transformation orthogonale, car
nous avons:
1° RAR' +(RAR')'= R AR'+RAR[ = R(A+A')B'= 0.
2° (RAR')(RAR') =RA(R'R)A!R'=R(AA!)B!=RR'=1.
La relation
A2+1 = 0
peut être mise sous la forme:
(il)2- 1 = 0.
La matrice iA satisfait donc à l'équation: q>(iA) = (iAf— 1 = 0.
D'autre part, l'équation
(p(x) = x2—1 = 0
admet les deux racines simples x= -\-l et x — — 1.
En vertu d'un théorème général connu, la matrice iA, satis¬
faisant à la relation:
q>(iA) = 0
où l'équation
9>0) = 0
a toutes ses racines différentes, sera semblable à une matrice- diagonale, dont les éléments sont les racines del'équation <p(x) — 0.
Soit D cette matrice-diagonale. Nous exprimerons la simi¬
litude par le symbole:
i A<*>D.
Il existera donc unetransformationnon-singulière, 8,telle que:
(1) iA = SDS~1
où | s| 4= 0.
Désignons par 2»w l'ordre pair de la matrice A, m étant un nombre entier positif quelconque. Nous pourrons toujours sup¬
poser que, dans D, les v premiers termes de la diagonale princi¬
pale sont égaux à H-1, — les (2»»—v) restants égaux chacun
à — 1.
La transformation A étant symétrique gauche, nous aurons:
iÂ= —%A
et, à cause de la relation (1):
(2) (S') 1DS'= —SD8~\
Multiplions l'équation (2) à gauche par S' et à droite par S;
il vient:
(3) DS'S=-S'SD.
Posons, pour abréger:
a/5/
a, |3 = 1, 2, 3, ... 2m.
Enfin désignons par:
le terme général de la matrice DS'S, et par:
(s'sd)afi
celui de la matrice S'SD.
Nous aurons:
(.d**)afi=ÉdaJ8Jfi-
_=1
En vertu de la définition de la matrice-diagonale D, nous
avons :
d ^
| 0 si 3 + «
a/ 1 <=„ » i = «
où ea(a = 1, 2, 3, .. . 2m) a l'une des valeurs -4-1 et — 1.
Il reste donc:
(ds's)afi = sasaf!.
D'une manière analogue:
2m
(s sd)afi=J>' sajdjfj= £fi safS
OÙ Efi = + 1.
La relation (3) entre matrices, nousfournit, pour les éléments, la condition:
ou encore:
SaSafl ~ SfiSafi
^+^^=0.
