5. Übung Mathematische Logik

Lehr- und Forschungsgebiet

Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen

Prof. Dr. E. Grädel, F. Abu Zaid

SS 2011

5. Übung Mathematische Logik

Abgabe : bis Mittwoch, den 18.05. um 13:00 Uhr am Lehrstuhl.

Geben Sie bitte Namen, Matrikelnummer und die Übungsgruppe an.

Aufgabe 1 10 Punkte

Wir betrachten die Struktur R = (R,+,·, N^R) der Signatur τ = {+,·, N}, mit der üblichen Addition und Multiplikation sowie N^R =N. Drücken Sie die folgenden Sachverhalte in FO(τ) aus. Achten Sie dabei auf die freien Variablen Ihrer Formeln.

(a) x= 0.

(b) x > y.

(c) x ist eine irrationale Zahl.

(d) x ist Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten vom Grad höchstens 5.

(e) x ist eine Primpotenz, d.h.x=pⁿ für eine Primzahl pund einn∈N.

Aufgabe 2 10 Punkte

Ein unendliches Wort über einem endlichen Alphabet Σ ist eine unendliche Folge α = α(0)α(1). . ., so dass α(i) ∈ Σ für alle i ∈ N. Die Menge aller unendlichen Wörter über Σ bezeichnen wir mit Σ^ω. Jedesα∈Σ^ω kann kann durch dieWortstruktur W_α= (N, <,(Pa)_a∈Σ) kodiert werden, wobei P_a = {i ∈ N | α(i) = a}. Ein Satz ϕ ∈ FO({<} ∪ {P_a | a ∈ Σ}) definiert dann die ω-Sprache L(ϕ) :={α∈Σ^ω | W_α |=ϕ}.

(a) Beschreiben Sie die durch folgende Sätze definiertenω-Sprachen über Σ ={a, b, c, d}:

(i) ϕ0 :=∀x∃y(x < y∧(Pax→P_by)∧(P_bx→Pay));

(ii) ϕ1 :=∃x∀y((x < y→ ¬P_ay)∧(y < x→ ¬P_cy)).

(b) Geben Sie FO-Sätze an, welche folgendeω-Sprachen über Σ ={a, b, c, d}definieren:

(i) {(aba)^ω}={abaaba . . .};

(ii) die Sprache derω-Wörter über Σ, die wenn sie ein aenthalten auch unendlich vieleb enthalten.

Aufgabe 3 10 Punkte

Wir betrachten eine endliche Signatur τ.

(a) Sei Φ ={ϕ₀, ϕ₁, . . .} eine Menge von FO(τ)-Sätzen und

Φ⁰ :={ϕ₀} ∪ {(ϕ₀∧ · · · ∧ϕn−1)→ϕ_n : n >0}.

Beweisen Sie, dass Mod(Φ) = Mod(Φ⁰).

(b) Eine Menge Φvon FO(τ)-Sätzen heißt glatt, wenn keine Struktur mehr als einen Satz aus Φ verletzt, d.h. wenn für jede τ-Struktur A gilt|{ϕ∈Φ : A 6|=ϕ}| ≤1. Zeigen Sie, dass jede FO-axiomatisierbare Klasse auch ein glattes Axiomensystem hat.

http://logic.rwth-aachen.de/Teaching/MaLo-SS11/