Veröffentlichungen des Lehrstuhls für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Betriebliche Finanzwirtschaft, insbesondere Unternehmensbewertung Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

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Lehrstuhls für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Betriebliche Finanzwirtschaft, insbesondere Unternehmensbewertung

Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald

Herausgeber:

Prof. Dr. M. J. Matschke

Internet-Veröffentlichung Nr. 2

Dr. Thomas Hering

Die Anwendungsvoraussetzungen der internen Zinsfußmethode

April 1997

Alle Rechte beim Verfasser. Verwendung nur unter Zitatangabe.

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Die Anwendungsvoraussetzungen der internen Zinsfußmethode

1 Der Zusammenhang von Kapitalwert und internem Zins

1.1 Definition und Problemstellung

Aus der Investitionstheorie des vollkommenen Kapitalmarkts bei Sicherheit ergibt sich zweifelsfrei, daß ein nichtnegativer Kapitalwert notwendig und hinreichend für die Vor- teilhaftigkeit eines Zahlungsstroms ist.¹ Mit i als Kalku- lationszins und (g0, g1, g2, ... , gn) als zu beurteilendem Zahlungsstrom errechnet sich der Kapitalwert als:

C =

g_t ⋅(1+ i)⁻^t

t=0

∑

n

Weitere Kriterien werden grundsätzlich nicht benötigt.

Empirischen Untersuchungen zufolge erfreuen sich aber in der Praxis Renditekennzahlen einer nach wie vor ungebro- chenen Beliebtheit.² Die wichtigste Kennzahl dieser Art ist der interne Zinsfuß. Dies ist derjenige gedachte Kalkula- tionszinsfuß aus dem ökonomisch relevanten Intervall ]-100%; +∞[, der zu einem Kapitalwert von null führt: C = 0 ⇔: i = r. Als Bestimmungsgleichung für r resultiert:

* Dr. Thomas Hering, Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Betriebliche Finanzwirtschaft, insbesondere Unternehmensbewer- tung, Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald, Friedrich-Loeffler- Straße 70, 17489 Greifswald.

1 Vgl. z.B. Hax (1985), S. 33 f.

2 Vgl. Blohm/Lüder (1991), S. 50 ff.

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r > –1 mit

g_t ⋅(1+ r)⁻^t

t=0

∑

n ^{= 0}

Der interne Zins ist unter bestimmten Bedingungen ein geeignetes Maß für die Effektivverzinsung von Zahlungs- strömen und besitzt in dieser Funktion große praktische Bedeutung nicht zuletzt in der Kreditwirtschaft. Viele betriebswirtschaftliche Abhandlungen enthalten jedoch immer noch das pauschale Verdikt, die interne Zinsfuß- methode sei wegen der in ihr angeblich verborgenen

„Wiederanlageprämisse“ für die Investitionsrechnung unge- eignet. Die Investitionstheorie hat diese ungerechtfertig- ten, nichtsdestoweniger zählebigen Vorwürfe inzwischen weitgehend widerlegt.³

Der Klarheit halber sei ausdrücklich betont, daß sich die interne Zinsfußmethode, abgesehen von Spezialfällen, im allgemeinen natürlich nicht zur Lösung von Wahlproblemen eignet. Renditevergleiche leiten generell in die Irre, da die Bezugsbasis „gebundenes Kapital“ bei den zu vergleichenden Zahlungsströmen nicht identisch ist. Es werden also meist „Äpfel“ mit „Birnen“ verglichen. Über diesen Punkt herrscht auch in der Literatur weitgehend Einigkeit. Im vorliegenden Aufsatz geht es nur um die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einzelner, sich nicht gegenseitig ausschließender Zahlungsströme.

Für die betrachteten Zahlungsströme sei im folgenden (ohne Einschränkung der Allgemeinheit) g0 < 0 und gn ≠ 0 voraus- gesetzt. Entscheidend für die Brauchbarkeit der internen Zinsfußmethode wird dann die Frage, ob das im Zah-

3 Vgl. z.B. Kilger (1965), Altrogge (1977), Norström (1990).

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lungsstrom gebundene Kapital KB_t zu jedem Zeitpunkt t nichtnegativ ist.⁴ Diese Bedingung ist für eine große Klasse von Zahlungsströmen (darunter diejenigen mit nur einem Vorzeichenwechsel) erfüllt und stellt sicher, daß der interne Zinsfuß r existiert und im relevanten Bereich eindeutig bestimmt ist. In diesem Falle kennzeichnet r (ohne jede „Wiederanlageprämisse“) die Effektivverzinsung des gebundenen Kapitals und den kritischen Zins der Kapi- talwertmethode. Ein Zahlungsstrom ist unter dieser Voraus- setzung genau dann vorteilhaft, wenn der interne Zins nicht kleiner als der Kalkulationszins ist, oder kurz: C ≥ 0 ⇔ r ≥ i. Um weitere Situationen aufzuspüren, in denen das Kriterium r ≥ i angewendet werden kann, ist es zweck- mäßig, den Zusammenhang zwischen C und r in einer Formel abzubilden.

1.2 Die C-r-Formel

In einem ersten Schritt läßt sich zeigen, daß das gebundene Kapital zu jedem Zeitpunkt dem Ertragswert der noch ausstehenden Zahlungen, berechnet mit dem internen Zins, entspricht:

KB_t = g_τ

τ =t+1

∑

n ^⋅⁽¹ ⁺ ^r)^t^−τ ^{für alle t}

Beweis durch Induktion nach t.

Induktionsverankerung. Das gebundene Kapital zu t = 0 beträgt −g₀. Es ist gleich dem Ertragswert KB₀, denn: Nach Definition des internen Zinsfußes und des Ertragswertes gilt C = g₀ + KB₀ = 0 ⇔ −g₀ = KB₀.

4 Vgl. Altrogge (1996), S. 315 ff.

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Induktionsvoraussetzung. Für eine feste, aber beliebige Periode t−1 sei KB_t₋₁ das gebundene Kapital am Ende der Periode t−1.

Induktionsschluß von t−1 auf t. Bis zum Ende der Periode t wächst die Kapitalbindung um die Zinsen und sinkt um den Rückfluß in t. Sie beträgt dann

KB_t₋₁⋅(1 + r) − g_t =

g_τ ⋅(1 + r)^t^{− τ} − g_t

τ=t

∑

n ^{= KB}^t^,

was zu zeigen war.

Zur ökonomischen Veranschaulichung der Kapitalbindung diene das Beispiel der Zahlungsreihe (−1000, 200, 390, 460, 220) mit dem internen Zinsfuß r = 10%. Die anfänglich gebundenen 1000 DM werden zu 10% verzinst und schließlich vollständig getilgt:

t KB_t-1 Zinsen 10%

Tilgung Σ = 1000

Zinsen + Tilgung

= Rückfluß

KB_t

0 1000

1 1000 100 100 200 900

2 900 90 300 390 600

3 600 60 400 460 200

4 200 20 200 220 0

Mit der hergeleiteten Formel ergeben sich die Kapitalbin- dungen auch direkt als Ertragswerte: Im Beispiel gilt KB₀ = 200/1,1 + 390/1,1² + 460/1,1³ + 220/1,1⁴ = 1000, KB1 = 390/1,1 + 460/1,1² + 220/1,1³ = 900, KB₂ = 460/1,1 + 220/1,1²= 600, KB3 = 220/1,1 = 200 und KB4 = 0.

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In einem zweiten Schritt kann nun die gesuchte C-r-Formel hergeleitet werden: Aus dem obigen Induktionsschluß ergibt sich die Beziehung g_t = KB_t-1 ⋅ (1 + r) - KB_t und darum

C =

(1+ r)⋅ KB_t₋₁ − KB_t

[ ]

^⋅⁽¹⁺ ⁱ⁾⁻^t

t=0

∑

n

=

[

−KB₀

]

⁺

[

⁽¹⁺ ^r)^⋅ ^KB⁰ ⁻ ^KB¹

]

^⋅⁽¹ ⁺ ⁱ⁾⁻¹ ⁺^...⁺

[

⁽¹ ⁺^r)^⋅ ^KBⁿ⁻¹

]

^⋅⁽¹⁺ ⁱ⁾⁻ⁿ

=

−KB0 +(1 + r)⋅KB₀ 1 + i



  

 ⋅ (1 + i)⁰ +...+ −KBn−1 +(1+ r)⋅KB_n₋₁ 1 + i



  

 ⋅ (1+ i)⁻⁽ⁿ⁻¹⁾

=

−KB_t +(1+ r)⋅KB_t 1 + i



  

 

t=0 n−1

∑

^⋅⁽¹⁺ ⁱ⁾⁻^t

=

KB_t ⋅ −1 + 1 + r 1 + i



  

 



  

 

t=0 n−1

∑

^⋅⁽¹⁺ ⁱ⁾⁻^t

⇔ C=

r − i

1 + i ⋅ KB_t ⋅(1+ i)⁻^t

t=0 n−1

∑

Damit gilt der folgende Formelzusammenhang zwischen Kapi- talwert und internem Zins:⁵

C =(r − i)⋅ KB_t₋₁ ⋅(1 + i)⁻^t

t=1

∑

n

Im obigen Zahlenbeispiel lautet demnach der Kapitalwert:

C =(0,1 − i)⋅ 1000

1 + i + 900 (1 + i)²

+ 600 (1 + i)³

+ 200

(1 + i)⁴



  

 

Der Summenfaktor sei im folgenden mit f(i) abgekürzt, so daß gilt: C = (r - i) ⋅ f(i). Im nächsten Abschnitt wird

5 Norström leitet auf anderem Wege eine ähnliche Formel ab, ohne jedoch einen geschlossenen Ausdruck für das gebundene Kapital anzu- geben. Vgl. Norström (1990), S. 113 f.

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analysiert, in welchen Fällen die interne Zinsfußmethode problemlos angewendet werden kann, d.h., wann die Regel „r

≥ i“ äquivalent ist mit der Regel C ≥ 0.

2 Bedingungen der Äquivalenz von Kapitalwert- methode und interner Zinsfußmethode

2.1 Uneingeschränkte Äquivalenz

Nur bei durchweg nichtnegativer Kapitalbindung darf der interne Zins ökonomisch als Renditekennzahl interpretiert werden, denn nur dann kann der Investor über die ihm zufließenden Überschüsse frei verfügen, ohne daß dadurch die erzielte Rendite beeinflußt wird.⁶ Wegen der eingangs getroffenen Annahme g0 < 0 resultiert aus der Definition des internen Zinsfußes KB₀ = -g₀ > 0. Sofern generell KB_t ≥ 0 gilt, ist der Faktor f(i) in der Kapitalwertformel C = (r - i) ⋅ f(i) positiv, woraus sofort die Äquivalenz C ≥ 0

⇔ r ≥ i folgt. Immer wenn der interne Zins ökonomisch sinnvoll als Rendite interpretiert werden kann, besteht Äquivalenz mit der Kapitalwertmethode. Diese vollkommene Harmonie beider Methoden ist z.B. bei allen Normalinvesti- tionen gegeben, d.h. bei allen Zahlungsreihen mit genau einem Vorzeichenwechsel von - nach +.⁷ Sie kann aber auch bei beliebig strukturierten - selbst bei alternierenden - Zahlungsreihen auftreten, wie das folgende Beispiel zeigt:

Für die Zahlungsreihe (−100, 10, −10, 132) mit dem internen Zins r = 10% errechnen sich die drei positiven Kapitalbin- dungen (Ertragswerte): KB₀ = -g₀ = 100 = 10/1,1 - 10/1,1² +

6 Vgl. z.B. Kilger (1965), S. 776 und 782 ff., Altrogge (1996), S. 317 und 335, Hering (1995), S. 49 f. und 52 f.

7 Zum Beweis vgl. z.B. Hering (1995), S. 53.

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132/1,1³, KB₁ = -10/1,1 + 132/1,1² = 100 und KB₂ = 132/1,1

= 120. Damit gilt für den Kapitalwert C = (r - i) ⋅ f(i):

C =(0,1 − i)⋅ 100

1 + i + 100 (1 + i)²

+ 120 (1 + i)³



  

 

Die Klammer mit den abgezinsten Kapitalbindungen ist ersichtlich positiv, so daß das Vorzeichen des Kapital- werts nur noch davon abhängt, ob der Kalkulationszins den internen Zins übersteigt.

2.2 Technische Äquivalenz

Sofern auch nur eine einzige Kapitalbindung negativ wird, muß der Investor das überschüssig getilgte Kapital genau zum internen Zinssatz r anlegen können, damit spätere Defizite gedeckt werden können und r unverändert als Ren- dite aussagefähig bleibt. Diese mit negativer Kapitalbin- dung einhergehende implizite Anlageprämisse erscheint wirklichkeitsfremd und führt dazu, daß der interne Zins in solchen Fällen ökonomisch nicht mehr als Investitionsren- dite angesehen werden kann.⁸ Gleichwohl ist es sehr gut möglich, daß die Äquivalenz mit der Kapitalwertmethode rein technisch erhalten bleibt. Sofern die Funktion f(i) zwar negative Summanden enthält, aber dennoch positiv bleibt, gilt weiterhin: C ≥ 0 ⇔ r ≥ i.

Die Zahlungsreihe (−1000, 1110, −1011, 1100) hat den internen Zins r = 10% und die Kapitalbindungen (Ertragswerte):

KB₀ = -g₀ = 1000, KB₁ = -1011/1,1 + 1100/1,1² = -10 und KB₂

= 1100/1,1 = 1000. Es gilt:

8 Vgl. die Quellen in Fußnote 6.

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C = (0,1− i)⋅ 1000

1 + i + −10 (1 + i)²

+ 1000 (1 + i)³



  

 

Wie durch quadratische Ergänzung leicht überprüft werden kann, bleibt die rechte Klammer immer positiv. Also fällt die interne Zinsfußmethode die gleiche Entscheidung wie die Kapitalwertmethode, obwohl die ökonomische Interpreta- tion von r als Rendite wegen der negativen Kapitalbindung in t = 1 nicht mehr zulässig ist.

2.3 Faktische Äquivalenz

Selbst in solchen Fällen, in denen der interne Zins im ökonomisch relevanten Bereich r > -1 infolge negativer Kapitalbindung mehrdeutig wird, kann das interne Zinsfuß- kriterium r ≥ i anwendbar bleiben, und zwar dann, wenn nur eine positive Nullstelle existiert. Der als Vergleichsmaß- stab dienende Kalkulationszins i darf auf einem vollkommenen Kapitalmarkt nicht negativ werden, weil sonst Arbi- trage durch Kassenhaltung möglich wäre. Beschränkt man also den Definitionsbereich auf i ≥ 0, liefert die interne Zinsfußmethode faktisch das richtige Ergebnis, wenn die Funktion f(i) auf diesem eingeschränkten Intervall positiv bleibt.

Betrachtet sei Kilgers Zahlungsreihe (-6250, 10000, -3000) mit den beiden internen Zinsfüßen -60% und 20%.⁹ Es errechnen sich für 20% die Kapitalbindungen 6250 und -2500. Man erhält:

C = (0,2 − i)⋅ 6250

1 + i + −2500 (1 + i)²



  

  = (0,2 - i) ⋅ f(i)

9 Vgl. Kilger (1965), S. 782 f.

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Die zweite Klammer f(i) ist positiv für i > -60%, also auf jeden Fall im Definitionsbereich i ≥ 0. Demnach hängt die Vorteilhaftigkeit der Investition nur davon ab, wie sich i zum internen Zins 20% verhält.

2.4 Keine Äquivalenz

Offensichtlich gilt die Regel r ≥ i ⇔ C ≥ 0 dann nicht mehr, wenn der Term f(i) im Bereich i ≥ 0 negative Werte annimmt. Erst in dieser Situation versagt die interne Zinsfußmethode vollständig.

Die Zahlungsreihe (–10000, +22000, –12091) besitzt sowohl den internen Zinsfuß r = 7% als auch den internen Zins r = 13%.¹⁰ Für 7% lauten die Kapitalbindungen 10000 und -11300.

C = (0,07 − i)⋅ 10000

1 + i + −11300 (1 + i)²



  

 

Für i < 13% ist die zweite Klammer f(i) negativ. Der Kapi- talwert nimmt also nur im Intervall 7% < i < 13% positive Werte an. Beträgt der Kalkulationszins etwa i = 5%, wäre es falsch, aus der Relation r > i auf die Vorteilhaf- tigkeit der Investition zu schließen.

3 Folgerungen

Nachdem ein interner Zins ermittelt wurde, sollten – sofern es sich nicht um eine von vornherein unproblemati- sche Zahlungsreihe mit nur einem Vorzeichenwechsel handelt – stets als nächstes die Kapitalbindungen berechnet werden, um zu prüfen, ob das Kriterium „r ≥ i“ anwendbar ist.

Sind alle Kapitalbindungen nichtnegativ, steht fest, daß

10 Das Beispiel ist entlehnt aus Kobelt/Schulte (1985), S. 97 ff.

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der gefundene interne Zins der einzige im relevanten Bereich ist und als Effektivverzinsung des gebundenen Kapitals sowie als kritischer Zins der Kapitalwertmethode interpretiert werden darf. Bei negativer Kapitalbindung ist der interne Zinsfuß zwar als Renditekennzahl unbrauch- bar; der Gültigkeitsbereich der internen Zinsfußmethode reicht jedoch in zwei Fällen noch weiter. Die nachstehende Tabelle enthält eine Zusammenfassung der obigen Fallunter- scheidung.

Äquivalenz: Interner Zins

= Rendite?

r ≥ i

? ⇔ ? C ≥ 0

uneingeschränkte ja ja

technische nein ja

faktische nein ja, für i ≥ 0

keine nein nein

Ob es vom Aufwand her gerechtfertigt erscheint, den Term f(i) auf Positivität zu untersuchen, hängt vom Einzelfall ab. Sollte die Regel „r ≥ i“ jedoch anwendbar sein, liegt in der Bereitstellung des kritischen Zinses r eine echte Zusatzinformation, die nicht schon in der Kapitalwertme- thode selbst enthalten ist. Häufig kennt man die Alterna- tivanlage i in der Praxis nicht genau, oder ihre künftige Höhe ist unsicher. Kann man aber abschätzen, daß der interne Zins auf jeden Fall größer ist als ein realistischerweise zu erwartender Höchstwert von i, läßt sich die Vorteilhaftigkeit der Investition leicht ersehen.

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Literatur

Altrogge, G. (1977), Investitionen und interner Zinsfuß, in: WISU, 6. Jg. (1977), S. 401-406.

Altrogge, G. (1996), Investition, 4. Aufl., München/Wien 1996.

Blohm, H., Lüder, K. (1991), Investition, 7. Aufl., Mün- chen 1991.

Hax, H. (1985), Investitionstheorie, 5. Aufl., Würz- burg/Wien 1985.

Hering, Th. (1995), Investitionstheorie aus der Sicht des Zinses, Wiesbaden 1995.

Kilger, W. (1965), Zur Kritik am internen Zinsfuß, in:

ZfB, 35. Jg. (1965), S. 765-798.

Kobelt, H., Schulte, P. (1985), Finanzmathematik, 3.

Aufl., Herne/Berlin 1985.

Norström, C.J. (1990), Kritische Würdigung des internen Zinsfußes, in: ZfbF, 42. Jg. (1990), S. 107-118.

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Deutsche Zusammenfassung

Die interne Zinsfußmethode wird zu Unrecht kritisiert, wenn man ihr generell eine verborgene „Wiederanlageprä- misse“ unterstellt. Der vorliegende Beitrag zeigt, daß in sehr vielen Fällen Äquivalenz mit der Kapitalwertmethode besteht.

Englische Zusammenfassung

This paper shows that the internal rate of return rule is applicable to a much larger variety of cases than it is usually conceded.