On a density property of weakly absolutely continuous measures. General case

ÓÄÊ 517.9

^{À.Ï. Áàêëàíîâ}

Î ÑÂÎÉÑÒÂÅ ÏËÎÒÍÎÑÒÈ Â ÏÎÑÒÀÍÑÒÂÀÕ ÑËÀÁÎ ÀÁÑÎËÞÒÍÎ

ÍÅÏÅÛÂÍÛÕ ÌÅ. ÎÁÙÈÉ ÑËÓ×ÀÉ

1

Ïîêàçàíàâîçìîæíîñòüïîãðóæåíèÿíåêîòîðûõìíîæåñòâñòóïåí÷àòûõóíêöèéèìíîæåñòâðàâíîìåðíûõïðå-

äåëîâóïîìÿíóòûõóíêöèéâêîìïàêòíûåâ

∗

^{-ñëàáîéòîïîëîãèè}ïîäìíîæåñòâàìíîæåñòâàâñåõîãðàíè÷åííûõ êîíå÷íî-àääèòèâíûõ (ê.-à.) ìåð â âèäå âñþäó ïëîòíîãîìíîæåñòâà.  ÷àñòíîñòè ðàññìàòðèâàåòñÿìíîæåñòâî

âñåõ ñòóïåí÷àòûõ óíêöèé, èíòåãðàë ìîäóëÿ êîòîðûõ ïî íåîòðèöàòåëüíîé ê.-à. ìåðå

λ

^{ðàâåí åäèíèöå. Äëÿ}

òàêèõ ìíîæåñòâ óñòàíîâëåíà âîçìîæíîñòü óïîìÿíóòîãî ïîãðóæåíèÿ áåç äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé íà

ìåðó

λ,

^÷òîñóùåñòâåííî îáîáùàåò ðàíåå ïîëó÷åííûåðåçóëüòàòû.Èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèåÑîá÷èêàÕàììåðà, áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òîåñëèìåðà

λ

^{èìååò êîíå÷íîåìíîæåñòâîçíà÷åíèé,òîòàêèåìíîæåñòâàóíêöèéäîïóñ-}

êàþòïîãðóæåíèåâåäèíè÷íóþñåðó(âñèëüíîéíîðìå-âàðèàöèè)ïðîñòðàíñòâàñëàáîàáñîëþòíîíåïðåðûâíûõ

ê.-à. ìåð îòíîñèòåëüíî

λ

^{â âèäå âñþäó ïëîòíîãî ìíîæåñòâà. Äëÿ ìåðû}

λ

^ñ áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì çíà÷å- íèéóñòàíîâëåíî,÷òîóïîìÿíóòûåìíîæåñòâàóíêöèéäîïóñêàþòïîãðóæåíèåâåäèíè÷íûéøàðïðîñòðàíñòâà

ñëàáî àáñîëþòíîíåïðåðûâíûõê.-à.ìåð îòíîñèòåëüíî

λ

^{â âèäåâñþäóïëîòíîãîìíîæåñòâà.åçóëüòàòûìîãóò}

áûòüèñïîëüçîâàíûâêîíñòðóêöèÿõðàñøèðåíèÿëèíåéíûõçàäà÷óïðàâëåíèÿâêëàññåê.-à.ìåðäëÿïîñòðîåíèÿ

àíàëîãîâìíîæåñòâäîñòèæèìîñòè,óñòîé÷èâûõîòíîñèòåëüíîîãðàíè÷åíèéàñèìïòîòè÷åñêîãîõàðàêòåðà.

Êëþ÷åâûåñëîâà:êîíå÷íî-àääèòèâíûåìåðû,ñëàáàÿàáñîëþòíàÿíåïðåðûâíîñòü,*-ñëàáàÿ òîïîëîãèÿ,íåàòîìè-

÷åñêèåìåðû,äåêîìïîçèöèÿÑîá÷èêàÕàììåðà.

DOI:10.20537/2226-3594-2017-50-01

Ââåäåíèå

 ïðèêëàäíûõ çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûå îãðàíè÷å-

íèÿ íà ðàñõîä òîïëèâà, à óïðàâëåíèÿ ïîëàãàþòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè (ê.-ï.) èëè êóñî÷íî-

íåïðåðûâíûìè(ê.-í.),÷òîîòâå÷àåòèõèçè÷åñêîéðåàëèçóåìîñòè.Îáñóäèìýòèîãðàíè÷åíèÿíà

ñîäåðæàòåëüíîì óðîâíå.Ïðèïîäõîäÿùåé èçìåðèìîé ñòðóêòóðåòàêèå óïðàâëåíèÿåñòåñòâåííî

îòîæäåñòâëÿòü ñîñòóïåí÷àòûìè èÿðóñíûìèóíêöèÿìè (ðàâíîìåðíûåïðåäåëû ñòóïåí÷àòûõ

óíêöèé),àòîïëèâíûåîãðàíè÷åíèÿèäåàëèçèðîâàííîçàäàâàòüââèäåíåðàâåíñòâàíàèíòåãðàë

îò óíêöèè. Ïóñòü

λ

íåîòðèöàòåëüíàÿ êîíå÷íî-àääèòèâíàÿ ìåðà. Òîãäà, íàïðèìåð, ìîæíî ïîëîæèòü,÷òîäîïóñòèìûìèÿâëÿþòñÿíåîòðèöàòåëüíûå ê.-ï.èëèê.-í. óïðàâëåíèÿ

f

^{,êîòîðûå}

íà çàäàííîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè

E

óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èçóñëîâèé:

Z

E

f dλ = 1,

^(0.1)

Z

E

f dλ 6 1.

^(0.2)

Óñëîâèå (0.1) ìîæåò îòâå÷àòü òðåáîâàíèþ íà ïîëíûé ðàñõîä òîïëèâà óïðàâëÿåìûì îáúåêòîì

ñíåðåâåðñèðóåìûìäâèãàòåëåì,óñëîâèå(0.2) îñëàáëÿåòýòî òðåáîâàíèå, îïðåäåëÿÿëèøüçàïàñ

òîïëèâà. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî óñëîâèå (0.1) åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîÿâëÿåòñÿ â çàäà÷àõ, ñâÿ-

çàííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé (ñì., íàïðèìåð, [15℄). Óáðàâ óñëîâèå íåîò-

ðèöàòåëüíîñòè äëÿ ê.-ï. èëè ê.-í. óïðàâëåíèÿ

f

^{, ìû ìîæåì} ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû íà çàäàííîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè

E

^{óïðàâëåíèå} óäîâëåòâîðÿëî îäíîìó èçóñëîâèé:

Z

E

|f | dλ 6 1,

^(0.3)

Z

E

|f | dλ = 1.

^(0.4)

1

Èññëåäîâàíèå âûïîëíåíî ïðè èíàíñîâîé ïîääåðæêå ÔÔÈ â ðàìêàõ íàó÷íîãî ïðîåêòà  163100177

ìîë_à.

åãîïîëíûé ðàñõîä âñëó÷àå óïðàâëÿåìîãî îáúåêòàñ ðåâåðñèðóåìûìäâèãàòåëåì.

Èçâåñòíî, ÷òî âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ïðè èñïîëüçîâàíèè ¾îáû÷íûõ óïðàâëåíèé¿ îïòèìàëü-

íûé ðåçóëüòàò íå äîñòèãàåòñÿ, à îáëàñòü äîñòèæèìîñòè íå ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòûì ìíîæåñòâîì.

Ýòîìîòèâèðóåòðàñøèðåíèåêëàññà¾îáû÷íûõóïðàâëåíèé¿äîîáîáùåííûõóïðàâëåíèé.Âïåð-

âûå ðàñøèðåíèå ëèíåéíûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ñ èìïóëüñíûì îãðàíè÷åíèåì áûëî ïðåäëîæåíî

Í.Í. Êðàñîâñêèì [8℄. Äëÿ çàäà÷ ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè áûëè ïðåäëîæåíû êîí-

ñòðóêöèè ðàñøèðåíèÿ â êëàññåìåðîçíà÷íûõ óíêöèé [4,5℄èâ êëàññå ñòðàòåãè÷åñêèõìåð [9℄.

Âëèíåéíûõçàäà÷àõñ èìïóëüñíûì îãðàíè÷åíèåìè ðàçðûâíûìêîýèöèåíòîìïðè óïðàâëÿ-

þùåì âîçäåéñòâèè ñâîþ ýåêòèâíîñòü äîêàçàëî ðàñøèðåíèå â êëàññå êîíå÷íî-àääèòèâíûõ

(ê.-à.) ìåð [14,16,17℄. Äëÿ ïîñëåäíåãî êëàññà çàäà÷ ïðîöåäóðà ðàñøèðåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïî-

ãðóæåíèè ìíîæåñòâ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé (0.1) (0.4) â êîìïàêòíûå â *-ñëàáîé òîïîëîãèè

ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà âñåõ ê.-à. ìåð îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè â âèäå âñþäó ïëîòíîãî ìíî-

æåñòâà. Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [16, (15.37), (15.41), (15.42)℄ äëÿ îãðàíè÷åíèé (0.1) (0.3) áûëè

óêàçàíû êîìïàêòû, äàþùèå âîçìîæíîñòü òàêîãî ïîãðóæåíèÿ. Ìû æå èçó÷àåì âîçìîæíîñòü

óïîìÿíóòîãîïîãðóæåíèÿ äëÿìíîæåñòâàâñåõóïðàâëåíèé,óäîâëåòâîðÿþùèõ(0.4) .Èññëåäîâà-

íèå äàííîãî âîïðîñà áûëî íà÷àòî àâòîðîì â ðàáîòå [12℄, ãäå áûëî ðàññìîòðåíî äâà íàèáîëåå

ïðîñòûõ ñëó÷àÿ:ìåðà

λ

^{ïîëàãàëàñü} íåàòîìè÷åñêîé ëèáî èìåëà êîíå÷íîå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé.

Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ýòè äâà ñëó÷àÿ ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íûìè, òî åñòü àêò íàëè-

÷èÿ àòîìîâ ó óïîìÿíóòîé ¾áàçîâîé¿ ìåðû

λ

^{âëèÿë íà} âîçìîæíîñòü ïîãðóæåíèÿ ìíîæåñòâà âñåõ óïðàâëåíèé,óäîâëåòâîðÿþùèõ (0.4) .Îòìåòèì, ÷òî ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (0.1) (0.3)íàëè÷èå

àòîìîâ íå èìåëîçíà÷åíèÿ ïðè êîìïàêòèèêàöèè.

 ðàáîòå [12℄ îñòàëñÿ îòêðûòûì âîïðîñ: à ÷òî åñëè ¾áàçîâàÿ¿ ìåðà ñîäåðæèò àòîìû, íî

íå ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé? Äàííàÿ ñòàòüÿ ðàçðåøàåò ýòîò âîïðîñ,

èñïîëüçóÿòåîðåìóÑîá÷èêàÕàììåðà[18℄,êîòîðàÿóêàçûâàåòíàâîçìîæíîñòüðàçëîæåíèÿëþ-

áîéê.-à.ìåðûâñóììóäâóõê.-à.ìåð,îäíàèçêîòîðûõíåïðåðûâíàÿ,àâòîðàÿÿâëÿåòñÿíåáîëåå

÷åì ñ÷åòíîé âçâåøåííîé ñóììîé

(0, 1)

^{-ìåð.  ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî} îïðåäåëÿþùèì àêòîðîì äëÿóïîìÿíóòîãîïîãðóæåíèÿÿâëÿåòñÿíåàêòíàëè÷èÿàòîìîâó¾áàçîâîé¿ìåðû,àñóùåñòâî-

âàíèå â ëþáîìêîíå÷íîì ðàçáèåíèèìíîæåñòâà, êîòîðîå íåÿâëÿåòñÿàòîìîì.

Îäèíèç îñíîâíûõðåçóëüòàòîâ ðàáîòû,òåîðåìà3.2, óêàçûâàåòíàòî,÷òî âîìíîãèõëèíåé-

íûõçàäà÷àõñèìïóëüñíûìèóïðàâëåíèÿìèèðàçðûâíûìèêîýèöèåíòàìèïðèóïðàâëÿþùåì

âîçäåéñòâèèìû ìîæåì íåðàçëè÷àòüîãðàíè÷åíèÿ(0.3) è(0.4)ïðèèññëåäîâàíèèàñèìïòîòè÷å-

ñêèõ àíàëîãîâ îáëàñòåé äîñòèæèìîñòè (ìíîæåñòâ ïðèòÿæåíèÿ, ñì. [14,16,17℄) è àñèìïòîòèêè

çíà÷åíèé ìàêñèìèíîâ (â ðóñëå ðàáîò [1,2,11℄). Òîåñòüèìååòñÿ ýêâèâàëåíòíîñòü ïîðåçóëüòàòó

âñëó÷àÿõ ðàçëè÷íûõìíîæåñòâïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèé(îòâå÷àþùèõ(0.3) , (0.4)).Óïîìÿíó-

òàÿ ýêâèâàëåíòíîñòü îáóñëîâëåíà ñîâïàäåíèåì ìíîæåñòâ îáîáùåííûõ óïðàâëåíèé äëÿ òàêèõ

ìíîæåñòâ ïðîãðàììíûõ óïðàâëåíèé â ñëó÷àå, êîãäà

λ

^{íå ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ñ êîíå÷íûì ìíîæå-}

ñòâîì çíà÷åíèé. Äëÿ ìåðû

λ

^{ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ïîäîáíàÿ} ýêâèâàëåíòíîñòü íå èìååò ìåñòà.

Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå ìû íå áóäåì ñòàâèòü çàäà÷ó óïðàâëåíèÿ è ïðèâîäèòü êîíñòðóêöèè

ðàñøèðåíèÿâêëàññåê.-à.ìåð,ïîäîáíûéìàòåðèàëóæåäîñòàòî÷íîïîäðîáíîèçëîæåíðàíåå(ñì.

[14,16,17℄).Ìûñîñðåäîòî÷èìñÿ ëèøüíà àáñòðàêòíîìèññëåäîâàíèè âîçìîæíîñòè ïîãðóæåíèÿ

ìíîæåñòâñòóïåí÷àòûõèÿðóñíûõóíêöèé(óäîâëåòâîðÿþùèõ(0.4) ),îïðåäåëåííûõíààëãåáðå

èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, â êîìïàêòíûå â*-ñëàáîé òîïîëîãèèïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà âñåõê.-à.

ìåð îãðàíè÷åííîéâàðèàöèè â âèäå âñþäóïëîòíîãîìíîæåñòâà.

Ÿ1. Îñíîâíûå îáîçíà÷åíèÿ è îïðåäåëåíèÿ

Ìû èñïîëüçóåì êâàíòîðû, ïðîïîçèöèîíàëüíûå ñâÿçêè, à òàêæå ïðèíèìàåì àêñèîìó âûáî-

ðà.×åðåç

= △

^{îáîçíà÷àåìðàâåíñòâîïî}îïðåäåëåíèþ.Ñåìåéñòâîìáóäåìíàçûâàòüìíîæåñòâî,âñå

ýëåìåíòûêîòîðîãîñàìèÿâëÿþòñÿìíîæåñòâàìè.Åñëè

S

^{ìíîæåñòâî,òî÷åðåç}

P (S)

^{îáîçíà÷à-}

åìñåìåéñòâîâñåõïîäìíîæåñòâìíîæåñòâà

S.

^Ïóñòü

R

âåùåñòâåííàÿïðÿìàÿ,

N = ^△ {1; 2; . . .}

íàòóðàëüíûé ðÿä è

1, s ^△ = {i ∈ N | i 6 s} ∀s ∈ N .

^{Â äàëüíåéøåì ëèíåéíûå îïåðàöèè, óìíî-}

Åñëè

s ∈ N ,

^{òî ÷åðåç}

R ^s

îáîçíà÷àåì ìíîæåñòâî âñåõ êîðòåæåé

(x i ) _i∈1,s : 1, s → R ,

^{ïîëó÷àÿ}

àêòè÷åñêè

s

^{-ìåðíîå}àðèìåòè÷åñêèåïðîñòðàíñòâî;

τ R

^{åñòüîáû÷íàÿ}

| · |

^{-òîïîëîãèÿ}

R .

Åñëè

(X, τ )

òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî(ÒÏ) è

A ∈ P(X),

^òî

cl(A, τ)

^{åñòüïîîïðåäåëå-}

íèþ çàìûêàíèå ìíîæåñòâà

A

^âÒÏ

(X, τ ),

^à

τ | A

= △ {A ∩ G : G ∈ τ }

^{òîïîëîãèÿ ìíîæåñòâà}

A,

èíäóöèðîâàííàÿ èçÒÏ

(X, τ ).

^{Åñëè æå}

(X, τ )

^ÒÏè

x ∈ X,

^{òî ïîëàãàåì}

N _τ (x) ^△ =

Y ∈ P(X) ∃G ∈ τ : (G ⊂ Y )&(x ∈ G) ,

^(1.1)

ïîëó÷àÿâ (1.1) èëüòð [3,ãë.I℄ îêðåñòíîñòåé

x

^âÒÏ

(X, τ ).

Íàïðàâëåííîñòüþ[7,ãë.2℄âìíîæåñòâå

H

^{íàçûâàåòñÿâñÿêèéòðèïëåò}

(D, , f ),

^ãäå

(D, )

íåïóñòîåíàïðàâëåííîåìíîæåñòâî[7,ãë.2℄,à

f

îòîáðàæåíèåèç

D

^â

H.

^Åñëè

(D, , f )

^{åñòüíà-}

ïðàâëåííîñòüâ

H,

^{îñíàùåííîìòîïîëîãèåé}

τ,

^è

h ∈ H,

^{òîñõîäèìîñòü}

(D, , f )

^ê

h

îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

(D, , f ) → ^τ h def

⇐⇒ ∀S ∈ N τ (h) ∃d ∈ D ∀δ ∈ D (d δ) ⇒ (f (δ) ∈ S)

.

^(1.2)

Ôèêñèðóåì íåïóñòîå ìíîæåñòâî

E

^{è àëãåáðó [3, ãë. I℄}

L

ïîäìíîæåñòâ

E.

^×åðåç

(add) ₊ [L]

îáîçíà÷àåì êîíóñ âñåâîçìîæíûõíåîòðèöàòåëüíûõ â/çê.-à. ìåðíà

L,

^à÷åðåç

A (L)

^{ëèíåéíîå}

ïðîñòðàíñòâî (âñåõ)â/ç ê.-à.ìåðíà

L,

^{èìåþùèõ}îãðàíè÷åííóþ âàðèàöèþ.Ìåðà

µ ∈ (add) ₊ [L]

íàçûâàåòñÿ

(0, 1)

^{-ìåðîéíà}

L,

^åñëè

µ(E) = 1

^è

µ(L) = 0

∨ µ(L) = 1

∀L ∈ L.

^Åñëè

η ∈ A (L),

òî ïîîïðåäåëåíèþ

v η

^{åñòüâàðèàöèÿ}

η

^{êàêóíêöèÿ ìíîæåñòâ (ñì.[6, ãë.III, Ÿ1℄)è}

L[η] = ^△ {L ∈ L | η(L) 6= 0}.

×åðåç

B ₀ (E, L)

^{îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ} ñòóïåí÷àòûõ, â ñìûñëå

(E, L),

^{â/ç óíêöèé íà}

ìíîæåñòâå

E

^{[10, ãë.2℄), à ÷åðåç}

B(E, L)

^{çàìûêàíèå}

B ₀ (E, L)

^{â òîïîëîãèèsup-íîðìû}

|| · || E

(ñì. [6, ãë. IV, Ÿ2℄) ïðîñòðàíñòâà

B (E)

^âñåõ îãðàíè÷åííûõ â/ç óíêöèé íà

E

^{; óíêöèè èç}

B(E, L)

^{íàçûâàþòÿðóñíûìè(âñìûñëå}

(E, L)

^{).Îòìåòèì,÷òîâîáùåìñëó÷àå èçìåðèìîãîïðî-}

ñòðàíñòâà

(E, L)

^{èìååì,÷òî}

B(E, L),

^êàê ïîäïðîñòðàíñòâî

( B (E), || · || E ),

^{ÿâëÿåòñÿáàíàõîâûì}

ïðîñòðàíñòâîì, ïðè÷åì ïðîñòðàíñòâî

B ^∗ (E, L),

òîïîëîãè÷åñêè ñîïðÿæåííîå ê

B(E, L),

^èçî-

ìåòðè÷åñêè èçîìîðíî

A (L)

^{â ñèëüíîé íîðìå,} îïðåäåëÿåìîé êàê ïîëíàÿ âàðèàöèÿ (ñì. [10,

Ÿ3.6℄). Êîíêðåòíûé èçîìåòðè÷åñêèé èçîìîðèçì

A (L)

^íà

B ^∗ (E, L)

îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòåéøåé îïåðàöèåéèíòåãðèðîâàíèÿ[10,Ÿ3.3℄,èñïîëüçóåìîéíèæåáåçäîïîëíèòåëüíûõïîÿñíåíèé.Èòàê,

(B (E, L), A (L))

^åñòüäâîéñòâåííîñòü,÷òîïîçâîëÿåòîñíàùàòü

A (L)

ñòàíäàðòíîé *-ñëàáîéòîïî- ëîãèåé

τ _∗ (L)

^{(ñì. [6,ãë.5℄).}

×åðåç

τ ₀ (L)

^{îáîçíà÷èì òîïîëîãèþ} òèõîíîâñêîé ñòåïåíè ïðîñòðàíñòâà

( R , τ _∂ )

^{ñ èíäåêñíûì}

ìíîæåñòâîì

L

^,ãäå

τ _∂

^{äèñêðåòíàÿòîïîëîãèÿ}

R

.Ïîäðîáíîîòîïîëîãèÿõ

τ _∗ (L)

^è

τ ₀ (L)

^ñì.â[17,

Ÿ2.6, 4.6; 14, . 4146; 16, . 11131115℄. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî îãðàíè÷åííîãî (â ñìûñëå

íîðìû-âàðèàöèè) ìíîæåñòâà

H, H ⊂ A (L),

âûïîëíÿåòñÿ

τ _∗ (L)| H ⊂ τ ₀ (L)| H .

^(1.3)

×åðåç

Fin(X)

^{îáîçíà÷èì ñåìåéñòâî âñåõ êîíå÷íûõ} ïîäìíîæåñòâ

X.

^{Ïðèâåäåì äàëåå îïèñàíèå}

óíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû îêðåñòíîñòåé äëÿ

ν ∈ A (L)

^âÒÏ

( A (L), τ 0 (L))

^è

( A (L), τ ∗ (L))

^:

N _L ^(∂) (ν) = ^△

{η ∈ A (L) | ν(L) = η(L) ∀L ∈ K} : K ∈ Fin(L) ;

^(1.4)

N _L ^∗ (ν) = ^△ n

η ∈ A (L) Z

E

f dη − Z

E

f dν

< ε ∀f ∈ K : ε > 0, K ∈ Fin(B(E, L)) o .

Åñëè

µ ∈ (add) ₊ [L]

^{,òî ïî}îïðåäåëåíèþ

A _µ [L] ^△ =

ν ∈ A (L) ∀L ∈ L (µ(L) = 0) ⇒ (ν(L) = 0) .

^(1.5)

ñèòåëüíî

µ

^.Åñëè

Y

^{íåïóñòîåìíîæåñòâî,òî÷åðåç}

χ Y

^{îáîçíà÷èìèíäèêàòîð}

Y

^;

χ Y ∈ B ₀ (E, L)

∀Y ∈ L

^{. Äëÿ ÿðóñíîé óíêöèè}

f ∈ B(I, L)

^{è ìåðû}

µ ∈ A (L)

^ââåäåì

f ∗ µ ∈ A (L)

^{, ÷òî îò-}

âå÷àåò íåîïðåäåëåííîìó

µ

^{-èíòåãðàëó}

f

^{(ñì., íàïðèìåð, [10,} îïðåäåëåíèå 3.7.1℄).Îòìåòèì, ÷òî

Z

E

gf dµ = Z

E

g d(f ∗ µ) ∀g ∈ B(I, L)

^.

Ïóñòü

∆(E, L)

^{ìíîæåñòâîâñåõ êîíå÷íûõ ðàçáèåíèéìíîæåñòâà}

E

^{ýëåìåíòàìè}

L

^.Íàïîì-

íèìîïðåäåëåíèå ïîëíîé âàðèàöèè ìåðûïðîèçâîëüíîé ê.-à.ìåðû

ν

^,

ν ∈ A (L)

^:

v _ν (E) = sup

ξ ∈ [0, ∞[ | k ∈ N , Y _i∈1,k ∈ ∆(E, L), ξ = X k

i=1

|ν(Y _i )| .

^(1.6)

×åðåç

D

îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ íåóïîðÿäî÷åííûõ êîíå÷íûõ ðàçáèåíèé

E

^{(ñì. [14,}

(3.6.10)℄) ýëåìåíòàìè

L

^;

{E} ∈ D

. Ìíîæåñòâî

D

îñíàñòèì åñòåñòâåííûì íàïðàâëåíèåì, õà- ðàêòåðèçóåìûìñâîéñòâîì âïèñàííîñòèîäíîãî ðàçáèåíèÿ â äðóãîå:

∀Z ∈ D ∀R ∈ D

(Z ≺ R) ⇐⇒ (∀R ∈ R ∃Z ∈ Z : R ⊂ Z).

Ÿ2. Òåîðåìà Ñîá÷èêàÕàììåðà

 ýòîì ïàðàãðàå ìû ïðèâîäèì òåîðåìó Ñîá÷èêàÕàììåðà è ñîîòâåòñòâóþùèåíåîáõîäè-

ìûåîïðåäåëåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå2.1(ñì. [13,Denition5.1.4℄). Ê.-à.ìåðà

µ

^{íààëãåáðå}

L

^{ÿâëÿåòñÿñòðîãî}

íåïðåðûâíîé, åñëè

∀ǫ > 0

^{ñóùåñòâóåò òàêîå êîíå÷íîå}

L

^{-ðàçáèåíèå}

{L ₁ , . . . , L _n }

^{ìíîæåñòâà}

E,

÷òî

ν µ (L i ) 6 ǫ ∀i.

Òåîðåìà 2.1 (SobzykHammer Deomposition Theorem, ñì. [13, Theorem 5.2.7℄). Ïóñòü

L

^{àëãåáðà} ïîäìíîæåñòâ

E

^,

µ

ïîëîæèòåëüíàÿ ê.-à. ìåðà. Òîãäà ñóùåñòâóþò ïîñëåäîâà- òåëüíîñòüðàçëè÷íûõîãðàíè÷åííûõïîëîæèòåëüíûõê.-à.ìåð

µ _i

^,

i ∈ {0}∪ N

,èïîñëåäîâàòåëü- íîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ÷èñåë

α _i

^,

i ∈ N ,

^{äëÿ êîòîðûõ} âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:

(1)

µ ₀

^{åñòü ñòðîãî}íåïðåðûâíàÿ ìåðà íà

L;

(2)

µ _i

(0, 1)

^{-ìåðà íà}

L

^{äëÿ âñåõ}

i > 1;

(3)

P

i> 1

α _i 6 ∞;

(4)

µ = µ ₀ + P

i> 1

α _i µ _i .

Êðîìå òîãî,ïðåäñòàâëåíèå (4)åäèíñòâåííî.

Îïðåäåëåíèå 2.2 (ñì. [13, Denition 5.1.1℄). Ïóñòü

L

^{àëãåáðà èçìåðèìûõ ïîäìíî-}

æåñòâ

E

^è

µ ∈ A (L).

^{Òîãäàìíîæåñòâî}

L a ∈ L

^{ÿâëÿåòñÿ}

µ

^{-àòîìîì,åñëèâûïîëíåíûñëåäóþùèå}

óñëîâèÿ:

(i)

µ(L a ) 6= 0;

(ii) åñëè

(E ∈ L & E ⊂ L a )

^,òî

µ(E) = 0

^ëèáî

µ(L a \ E) = 0.

×åðåç

L _µ

^{ìû îáîçíà÷àåì ñåìåéñòâî âñåõ èçìåðèìûõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ}

µ

^{-àòîìàìè .}

Îïðåäåëåíèå2.3(ñì. [13,Denition5.1.2℄). Íåîòðèöàòåëüíóþê.-à.ìåðó

ν

^{íààëãåáðå}

L

áóäåì íàçûâàòü íåàòîìè÷åñêîé, åñëè

∀L ∈ L[ν] ∃L ∗ ∈ L[ν ] : (L ∗ ⊂ L)&(ν(L ∗ ) < ν(L))

^{. Ýêâè-}

âàëåíòíî: íåîòðèöàòåëüíàÿ ê.-à. ìåðà

ν

^{íà àëãåáðå}

L

^{ÿâëÿåòñÿ} íåàòîìè÷åñêîé òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà

∀L ∈ L[ν ] ∃L _∗ ∈ L[ν] : (L _∗ ⊂ L)&(L \ L _∗ ∈ L[ν]).

Îòìåòèì, ÷òî ëþáàÿ ñòðîãî íåïðåðûâíàÿ ê.-à. ìåðà ÿâëÿåòñÿ íåàòîìè÷åñêîé (ñì. [13,

Theorem 5.1.6℄). Ñëåäîâàòåëüíî, ê.-à. ìåðà

µ ₀

^â ïðåäñòàâëåíèè òåîðåìû 2.1 ÿâëÿåòñÿ íåàòî- ìè÷åñêîé.

Îïðåäåëåíèå 2.4 (ñì. [13, Ÿ11.1℄). Ìåðà

µ, µ ∈ A (L),

^{íàçûâàåòñÿ ìåðîé ñ êîíå÷íûì}

ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé, åñëè

{µ(L) : L ∈ L}

^{åñòüêîíå÷íîåìíîæåñòâî.}

(a)

µ ₀ (L) = 0 ∀L ∈ L

^{, è} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

µ _i

^{ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé (òî åñòü}

µ

^ìåðà

ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé, ñì.[13, Lemma 11.1.3℄);

(b)

µ ₀ (L) = 0 ∀L ∈ L

^,è ïîñëåäîâàòåëüíîñòüÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîé;

()

µ(E) > µ ₀ (E) > 0

^,èïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿêîíå÷íîé;

(d)

µ ₀ (E) > 0

^,è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íîé;

(e)ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèòòîëüêî èçíåàòîìè÷åñêîé ìåðû

µ ₀ .

Ñëó÷àè (a) è (e) áûëè ðàññìîòðåíû ðàíåå â ðàáîòå [12℄.  ýòîé ñòàòüå ìû ðàññìîòðèì

ñâîéñòâà ïëîòíîñòèäëÿñëó÷àåâ (b), ()è(d).

Ÿ3. Ñâîéñòâî ïëîòíîñòè

Âýòîì ïàðàãðàå ìû èññëåäóåì âîçìîæíîñòü ïîãðóæåíèÿ ìíîæåñòâñòóïåí÷àòûõ è ÿðóñ-

íûõóíêöèé(óäîâëåòâîðÿþùèõ(0.4) )âñëó÷àå,êîãäàñëàáàÿàáñîëþòíàÿíåïðåðûâíîñòüîïðå-

äåëÿåòñÿîòíîñèòåëüíîíåîòðèöàòåëüíîéê.-à.ìåðûäëÿñëó÷àåâ(b),()è(d),êîòîðûåîòâå÷àþò

òåîðåìåÑîá÷èêàÕàììåðà.

Çàèêñèðóåì èçìåðèìîå ïðîñòðàíñòâî

(E, L)

^{ñ àëãåáðîé}ïîäìíîæåñòâ. Åñëè

λ ∈ (add) ₊ [L],

òî ïîîïðåäåëåíèþ (ñì.îïðåäåëåíèå ïîëíîé âàðèàöèè â(1.6) )

b F _λ = ^△ n

f ∗ λ: f ∈ B ₀ (E, L), Z

E

|f | dλ = 1 o

, F _λ = ^△ n

f ∗ λ : f ∈ B(E, L), Z

E

|f| dλ = 1 o ,

S _λ = ^△

µ ∈ A _λ (L) v _µ (E) = 1 , B _λ = ^△

µ ∈ A _λ (L) v _µ (E) 6 1 .

Äâàïîñëåäíèõìíîæåñòâàÿâëÿþòñÿñåðîéèøàðîìïðîñòðàíñòâàñëàáîàáñîëþòíîíåïðåðûâ-

íûõ ìåð ñîîòâåòñòâåííî. Îòìåòèì, ÷òî â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ ñ èìïóëüñíûìè îãðàíè÷åíèÿìè

åñòåñòâåííî ïîëàãàòü

λ

^{ìåðîéËåáåãà(èëèååñëåäîì). Âòàêîìñëó÷àåìíîæåñòâà}

F b _λ

è

F _λ

îð- ìàëèçóþò íààáñòðàêòíîì óðîâíåòðåáîâàíèå íà ïîëíûéðàñõîä òîïëèâà äëÿñèñòåìû ñ ðåâåð-

ñèðóåìûìäâèãàòåëåì(ñì.(0.4) ).Ïîäîáíîåòðåáîâàíèåÿâëÿåòñÿäîñòàòî÷íîðàñïðîñòðàíåííûì

â çàäà÷àõ êîñìè÷åñêîé íàâèãàöèè. Îòìåòèì, ÷òîïðè ýòîì

λ

^{îòâå÷àåòñëó÷àþ (e).}

Ëåììà3.1. Ïóñòü

λ ₀

^,

(λ _i ) _i∈1,n

^è

(α _i ) _i∈1,n , n ∈ N ,

^{îïðåäåëÿþò} ïðåäñòàâëåíèå(4)âòåîðå- ìå 2.1 äëÿ íåîòðèöàòåëüíîéê.-à. ìåðû

λ

^{íà àëãåáðå}

L

^{â ñëó÷àå (). Òîãäà â ëþáîì êîíå÷íîì}

ðàçáèåíèè ìíîæåñòâà

E

^{èçìåðèìûìè} ïîäìíîæåñòâàìè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò (èçìåðèìîå ïîäìíîæåñòâî), êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ àòîìîì.

Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü äàíî íåêîòîðîå ðàçáèåíèå

K

^{ìíîæåñòâà}

E

^{èçìåðèìûìè ïîä-}

ìíîæåñòâàìè. Òàê êàê

λ ₀

^{ÿâëÿåòñÿ} ïîëîæèòåëüíîé ê.-à. ìåðîé, òî â ðàçáèåíèè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò

L _∗ ∈ K

^{òàêîé, ÷òî}

λ ₀ (L _∗ ) > 0

^{. Èç} íåàòîìè÷íîñòè

λ ₀

^{ñëåäóåò, ÷òî}

L _∗ ∈ L _λ 0

^{. Òàê êàê}

â ðàçëîæåíèè ìåðû

λ

^{ó÷àñòâóþò òîëüêî} íåîòðèöàòåëüíûå ìåðû, òî

L _∗ ∈ L λ 0

^âëå÷åò

L _∗ ∈ L λ

^.

Îòìåòèì,÷òî äàííîå äîêàçàòåëüñòâî ëåãêî îáîáùèòüèíà ñëó÷àé (e).

Îïðåäåëåíèå 3.1 (ñì. [13, Denition 5.2.1℄). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ê.-à.

(0, 1)

^-ìåð

µ _i

^,

i ∈ N

, íà àëãåáðå

L

^{ÿâëÿåòñÿ} êîíå÷íî-äèçúþíêòíîé, åñëè

∀i ∈ N

ñóùåñòâóåò òàêîå êîíå÷íîå

L

^{-ðàçáèåíèå}

{L 1 , . . . , L _i }

^{ìíîæåñòâà}

E,

^÷òî

µ _j (L j ) = 1 ∀j = 1, . . . , i.

Ôàêòè÷åñêè äàííîå îïðåäåëåíèå ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç

ðàçëè÷íûõìåð [13, Proposition5.2.2℄.

Ëåììà 3.2. Ïóñòü

(λ i ) i∈ N

^è

(α i ) i∈ N

^{îïðåäåëÿþò} ïðåäñòàâëåíèå (4) â òåîðåìå 2.1 äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ê.-à. ìåðû

λ

^{íà àëãåáðå}

L

^{â ñëó÷àå (b). Òîãäà â ëþáîì êîíå÷íîì ðàçáèåíèè}

ìíîæåñòâà

E

^{èçìåðèìûìè} ïîäìíîæåñòâàìè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò (èçìåðèìîåïîäìíîæå- ñòâî),êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ àòîìîì.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü

{L ₁ , . . . , L n }

^{åñòü êîíå÷íîå ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà}

E

^{èçìåðè-}

ìûìè ïîäìíîæåñòâàìè. Èç îïðåäåëåíèÿ

(0, 1)

^{-ìåðû èìååì, ÷òî}

∀i ∈ N ∃!j ∈ 1, n : λ(L _j ) = 1

^.

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íåêîòîðîãî ýëåìåíòà ðàçáèåíèÿ

L e

^èìååì áåñêîíå÷íóþ (ïîä)ïîñëåäîâà- òåëüíîñòüìåð

λ _k

^,ïðèíèìàþùèõçíà÷åíèå1íàýòîììíîæåñòâå.Ïóñòüìåðû

ν, e ν

^{åñòüíåêîòîðûå}

ýëåìåíòû ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Âñèëó êîíå÷íîé äèçúþíêòíîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåð

èçèñõîäíîãî ðàçëîæåíèÿ

λ,

^{ñóùåñòâóåòðàçáèåíèå}

L e

^{ýëåìåíòàìè}

L e ₁ ∈ L[ν]

^è

L e ₂ ∈ L[ e ν]

^{.Òàêêàê}

â ðàçëîæåíèè ìåðû

λ

^{ó÷àñòâóþò òîëüêî} íåîòðèöàòåëüíûå ìåðû, òî

L, e L e ₁ , L e ₂ ∈ L[λ],

^{à çíà÷èò}

L e

^{íåÿâëÿåòñÿàòîìîì.}

Ëåììà 3.3. Ïóñòü

λ ₀ , (λ i ) i∈ N

^è

(α i ) i∈ N

^{îïðåäåëÿþò} ïðåäñòàâëåíèå (4)â òåîðåìå2.1 äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ê.-à. ìåðû

λ

^{íà àëãåáðå}

L

^{â ñëó÷àå (d). Òîãäà â ëþáîì êîíå÷íîì ðàçáèåíèè}

ìíîæåñòâà

E

^{èçìåðèìûìè} ïîäìíîæåñòâàìè ñóùåñòâóåò ýëåìåíò (èçìåðèìîå ïîäìíîæå- ñòâî),êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿ àòîìîì.

Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íîäîêàçàòåëüñòâó ëåììû3.2.

Ïîä÷åðêíåì,÷òîâñëó÷àÿõ(b)(e)âëþáîìêîíå÷íîìðàçáèåíèèìíîæåñòâà

E

^{èçìåðèìûìè}

ïîäìíîæåñòâàìèñóùåñòâóåòýëåìåíò(èçìåðèìîåïîäìíîæåñòâî),êîòîðûéíåÿâëÿåòñÿàòîìîì.

Ïîêàæåì, ÷òî âîáùåì ñëó÷àåýòî íåâåðíî äëÿðàçëîæåíèÿ (a).

Ïðåäëîæåíèå 3.1. Ïóñòü

(λ _i ) _i∈1,n

^è

(α _i ) _i∈1,n , n ∈ N ,

^{îïðåäåëÿþò} ïðåäñòàâëåíèå (4) âòåîðåìå2.1äëÿíåîòðèöàòåëüíîéê.-à.ìåðû

λ

^{íààëãåáðå}

L

^{âñëó÷àå(a).Òîãäà ñóùåñòâóåò}

òàêîå êîíå÷íîåðàçáèåíèåìíîæåñòâà

E

^{èçìåðèìûìè} ïîäìíîæåñòâàìè,÷òî âñååãîýëåìåí- òû ÿâëÿþòñÿ àòîìàìè.

Äîêàçàòåëüñòâî âûòåêàåò èç àêòà êîíå÷íîé äèçúþíêòíîñòèìåð

λ _i

^{è êîíå÷íîñòè ïîñëåäî-}

âàòåëüíîñòè ýòèõ

(0, 1)

^{-ìåð âñëó÷àå (a).}

Îòìåòèì, ÷òîèçìåðèìûåìíîæåñòâàèçðàçáèåíèé,êîòîðûåíåÿâëÿþòñÿàòîìàìè(ñì.ëåì-

ìû3.13.3), èãðàþòêëþ÷åâóþðîëüâäîêàçàòåëüñòâåñëåäóþùèéíèæåòåîðåìû.Òàêèå ìíîæå-

ñòâàïîçâîëÿþòòàêêîíñòðóèðîâàòüñòóïåí÷àòûå óíêöèè,÷òî îòâå÷àþùèåèììåðû(íåîïðå-

äåëåííûå èíòåãðàëû)ïðèíèìàþò òðåáóåìûåçíà÷åíèÿ èâàðèàöèþ.Âýòîé ñâÿçèìûïðèâîäèì

ñëåäóþùóþ ëåììó.

Ëåììà 3.4. Ïóñòü

λ

îãðàíè÷åííàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ê.-à. ìåðà íà àëãåáðå

L, µ ∈ B _λ

,

L ∈ L _λ

^{.Òîãäà ñóùåñòâóåò}

f e ∈ B ₀ (E, L)

^{òàêàÿ, ÷òî}

∀γ ∈ [1 − v _µ (E \ L), 1]

âûïîëíÿåòñÿ

Z

L

f dλ e = ( f e ∗ λ)(L) = µ(L), Z

L

| f e | dλ = γ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñóùåñòâóþò

L ₁

^,

L ₂ ∈ L[λ]

^{, è}

L = L ₁ ∪ L ₂

^{, òàê êàê}

L

^{íå ÿâëÿåòñÿ}

λ

^{-àòîìîì. Ïóñòü}

a ₁ = ^△ λ(L 1 )

^,

a ₂ = ^△ λ(L 2 )

^{. àññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé}

x ₁ a ₁ + x ₂ a ₂ = µ(L)

è

|x ₁ |a ₁ + |x ₂ |a ₂ = γ

^{, ãäå}

γ ∈ [1 − v _µ (E \ L), 1]

^{. Îòìåòèì, ÷òî}

|µ(L)| 6 v _µ (L) 6 1 − v _µ (E \ L)

^.

Íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé âñåãäà èìååò íå ìåíåå îäíîãî ðåøåíèÿ,

âêîòîðîìíåèçâåñòíûå

x ₁

^è

x ₂

^{íåðàâíûíóëþ.Ïóñòü}

( x e ₁ , x e ₁ )

^{åñòüðåøåíèåñèñòåìû,òîãäàäëÿ}

ñòóïåí÷àòîé óíêöèè

f e = ^△ e x ₁ χ L 1 + x e ₂ χ L 2

âûïîëíÿåòñÿ

Z

L

f dλ e = ( f e ∗ λ)(L) = µ(L), Z

L

| f e | dλ = v _{f∗λ e} (L) = γ.

Âñâÿçèñïîñëåäíåéëåììîéíàìïîòðåáóåòñÿèíñòðóìåíò,êîòîðûéïîçâîëÿëáûäëÿíàáîðà

λ

^,

L ∈ L λ

^,

(k 1 , k ₂ ) ∈ [−1, 1] × [0, 1]

^,

k ₂ > |k 1 |

^,îñóùåñòâëÿòüïîñòðîåíèåñòóïåí÷àòîé óíêöèè

f e

^.

Ëåììû 3.13.3 ãàðàíòèðóþò, ÷òî

L λ 6= ∅

âñëó÷àÿõ (b)(d).Ïóñòü

c _λ (L, k ₁ , k ₂ ) : L λ × R × R →

→ B ₀ (E, L)

^{åñòü íåêîòîðîå} îòîáðàæåíèå, êîòîðîå ¾ãåíåðèðóåò¿ ñòóïåí÷àòûå óíêöèè

f e = ^△

= △ x e ₁ χ L 1 + e x ₂ χ L 2

^{ñî âîéñòâîì}

Z

L

e

f dλ = ( f e ∗ λ)(L) = k ₁ , Z

L

| f| e dλ = v _{f∗λ e} (L) = k ₂ ,

ãäå

L e = L ₁ ∪ L ₂ , L ₁ , L ₂ ∈ L[λ]

^è

L ₂ = L \ L ₁

(ñóùåñòâîâàíèå òàêîéóíêöèèñëåäóåòèçàêñèîìû âûáîðà èëåììû3.4).

Ââåäåìîòîáðàæåíèå

i : D → L λ

^{,êîòîðîåñïîñîáíî¾âûäåëÿòü¿èçðàçáèåíèé}

K ∈ D

ýëåìåíò, êîòîðûé íå ÿâëÿåòñÿàòîìîì,ñëåäóþùèì îáðàçîì:

∀K ∈ D

i (K) ∈ K ∩ L _λ .

Î÷åâèäíî,÷òî äëÿñëó÷àåâ (b)(d) äàííîå îòîáðàæåíèå îïðåäåëåíî êîððåêòíî.

Òåîðåìà3.1. Ïóñòü ðàçëîæåíèå íåîòðèöàòåëüíîé ê.-à. ìåðû

λ

^{íà àëãåáðå}

L

^{, ñîãëàñíî}

òåîðåìå 2.1 îòâå÷àåò ñëó÷àÿì (b), ()èëè (d).Òîãäà

cl( F b _λ , τ ) = cl( F _λ , τ ) = cl( S _λ , τ ) = B _λ ∀τ ∈ {τ _∗ (L); τ ₀ (L)}.

Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååìî÷åâèäíóþ öåïî÷êó

F b _λ ⊂ F _λ ⊂ S _λ ⊂ B _λ

.Èç òåîðåìû Àëàî- ãëóè(1.3)èìååì,÷òî

B _λ = cl( B _λ , τ ) ∀τ ∈ {τ _∗ (L); τ ₀ (L)}

^{.Êàêñëåäñòâèå,}

cl(b F _λ , τ ) ⊂ cl( F _λ , τ ) ⊂

⊂ cl( S _λ , τ ) ⊂ B _λ ∀τ ∈ {τ _∗ (L); τ ₀ (L)}

^.Ñëåäîâàòåëüíî,

cl( F b _λ , τ ₀ (L)) ⊂ cl( F b _λ , τ _∗ (L)) ⊂ cl( F _λ , τ _∗ (L)) ⊂ cl( S _λ , τ _∗ (L)) ⊂ B _λ ,

^(3.1)

cl( F b _λ , τ ₀ (L)) ⊂ cl( F _λ , τ ₀ (L)) ⊂ cl( S _λ , τ ₀ (L)) ⊂ B _λ .

^(3.2)

Ïîêàæåì, ÷òî

B _λ ⊂ cl( F b _λ , τ ₀ (L)).

^{Çàèêñèðóåì} ïðîèçâîëüíóþ ìåðó

µ ∈ B _λ

(

v _µ (E) 6 1

^).

Äëÿïðîèçâîëüíîãîðàçáèåíèÿ

K ∈ D

çàäàäèìñòóïåí÷àòóþóíêöèþ

Φ µ [K] : E → R

ïîïðàâèëó

∀K ∈ K, e ∈ K

^:

(λ(K ) = 0) ⇒ (Φ µ [K](e) = 0), ^△

(K 6= i (K) & λ(K) 6= 0) ⇒

Φ _µ [K](e) = ^△ µ(K)

λ(K) χ _K (e) ,

(K = i (K)) ⇒

Φ µ [K](e) = ^△ c _λ L, µ(L), 1 − X

S∈K\{i(K)}

|µ(K)|

(e) .

Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî

Φ µ [K] ∈ B ₀ (E, L).

Îñòàíîâèìñÿ ïîäðîáíåå íà

Φ µ [K].

^{Íà ìíîæåñòâå}

i (K)

óíêöèÿ ¾ñîñòîèò èç äâóõ ñòóïåíåê¿. Ïðè ýòîì ñîãëàñíî ëåììå 3.4 ìû èìååì, ÷òî

(Φ µ [K]∗

∗λ) i (K)

= µ i (K)

è

Z

i(K)

|Φ _µ [K]| dλ = 1 − X

S∈K\{i(K)}

|µ(K)|.

Ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå

Φ µ [K],

^ìû óáåæäàåìñÿ, ÷òî

Z

E

|Φ µ [K]| dλ = 1

^è

(Φ µ [K] ∗ λ)(K) =

= µ(K ) ∀K ∈ K.

Ïóñòü

Φ _µ [·] ∗ λ ^△ = (Φ _µ [K] ∗ λ) _K∈D .

^{Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê} îïðåäåëåíèþ ñõîäèìîñòè íàïðàâ- ëåííîñòè (ñì. (1.2) ) è îïðåäåëåíèþ óíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû îêðåñòíîñòåé òîïîëîãèè

τ ₀ (L)

(ñì.(1.4) ).Ïóñòü

T ∈ N _L ^(∂) (µ),

^{òîãäàñóùåñòâóåòñåìåéñòâî}

K ∗ ,

^{êîòîðîåïîðîæäàåò}

T

^{(ñì.(1.4)).}

Ïî ïîñòðîåíèþ óíêöèè

Φ µ [·]

^{èìååì, ÷òî}

∀K ∈ D ∀K ∈ K _∗ K _∗ ≺ K

⇒ (Φ µ [K] ∗ λ)(K) =

= (Φ _µ [K _∗ ] ∗ λ)(K ) = µ(K)

.

^{Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî}

∀K ∈ D K _∗ ≺ K

⇒ Φ _µ [K] ∗ λ ∈ T .

Ñîãëàñíî (1.2) íàïðàâëåííîñòü

( D , ≺, Φ µ [·] ∗ λ)

^{ñõîäèòñÿ ê}

µ

^â

( A (L), τ ₀ (L))

^. Ñëåäîâàòåëüíî,

µ ∈ cl(b F _λ , τ ₀ (L)).

^Âñèëó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà

µ ∈ B _λ

ìûïîëó÷èëè, ÷òî

B _λ ⊂ cl( F b _λ , τ ₀ (L)).

Êîìáèíèðóÿýòî ñ (3.1) è(3.2) , ìûçàâåðøàåìäîêàçàòåëüñòâî.

Îòìåòèì,÷òîêëþ÷åâûììîìåíòîìâäîêàçàòåëüñòâåÿâëÿåòñÿâîçìîæíîñòüâûáîðàâëþáîì

êîíå÷íîì ðàçáèåíèèìíîæåñòâà, êîòîðîåíå ÿâëÿåòñÿ àòîìîì. Ïðåäëîæåíèå 3.1óêàçûâàåò, ÷òî

äëÿ ìåðû ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ýòî âîçìîæíî íå âñåãäà, à ïîýòîìó íåâîçìîæíî

ïðåäúÿâèòü íàïðàâëåííîñòü èç ñòóïåí÷àòûõ óíêöèé, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿëà áû èíòåãðàëü-

íûìîãðàíè÷åíèÿìèîáåñïå÷èâàëàáûòðåáóåìóþñõîäèìîñòü äëÿíåîïðåäåëåííûõèíòåãðàëîâ.

Òåîðåìà3.2. Åñëè

λ

îãðàíè÷åííàÿíåîòðèöàòåëüíàÿê.-à.ìåðàíà àëãåáðå

L

^{,êîòîðàÿ}

íå ÿâëÿåòñÿ ìåðîé ñ êîíå÷íûììíîæåñòâîì çíà÷åíèé, òî

cl( F b _λ , τ ) = cl( F _λ , τ ) = cl( S _λ , τ ) = B _λ = cl

f ∗ λ : f ∈ B ₀ (E, L), Z

E

|f | dλ 6 1 , τ

=

= cl

f ∗ λ : f ∈ B(E, L), Z

E

|f | dλ 6 1 , τ

∀τ ∈ {τ _∗ (L); τ ₀ (L)}.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ïîëó÷àåòñÿ êîìáèíàöèåé òåîðåìû 3.1 (ñì. [12, òåîðåìà 2℄

èñîîòíîøåíèé [16, (15.37)℄.

Àíàëîãòåîðåìû3.2íåèìååòìåñòàâñëó÷àå,êîãäàñëàáàÿàáñîëþòíàÿíåïðåðûâíîñòüîïðå-

äåëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîìåðû ñêîíå÷íûììíîæåñòâîì çíà÷åíèé.

Òåîðåìà3.3 (ñì. [12, òåîðåìà3℄). Äëÿ ê.-à. ìåðû

λ

^{ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé}

âûïîëíÿåòñÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ:

cl( F b _λ , τ _∗ (L)

= cl( F _λ , τ _∗ (L)

= cl( F b _λ , τ ₀ (L)

= cl( F _λ , τ ₀ (L)

= S _λ 6= B _λ .

Îòìåòèì, ÷òî òåîðåìû 3.13.3ÿâëÿþòñÿ ëîãè÷åñêèìçàâåðøåíèåì èññëåäîâàíèé[14,16,17℄,

êàñàþùèõñÿ âîçìîæíîñòè ïîãðóæåíèÿ ìíîæåñòâ óïðàâëåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ (0.1) (0.3) ,

â êîìïàêòû.

Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

1. ÁàêëàíîâÀ.Ï.Îáîäíîé èãðîâîéçàäà÷åàñèìïòîòè÷åñêè èìïóëüñíîãîóïðàâëåíèÿ//Âåñòíèê Óä-

ìóðòñêîãîóíèâåðñèòåòà.Ìàòåìàòèêà.Ìåõàíèêà.Êîìïüþòåðíûåíàóêè.2011.Âûï.3.Ñ.314.

DOI:10.20537/vm110301

2. ÁàêëàíîâÀ.Ï. Êâîïðîñóîïðåäñòàâëåíèèìàêñèìèíàâîäíîé çàäà÷åèìïóëüñíîãîóïðàâëåíèÿ //

Äèåðåíöèàëüíûåóðàâíåíèÿèïðîöåññûóïðàâëåíèÿ.2012.3.Ñ.4969.

3. ÁóðáàêèÍ.Ýëåìåíòûìàòåìàòèêè.Îáùàÿòîïîëîãèÿ.Îñíîâíûåñòðóêòóðû.Ì.:Íàóêà,1968.272ñ.

4. ÂàðãàÄæ.Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèåäèåðåíöèàëüíûìèèóíêöèîíàëüíûìèóðàâíåíèÿìè. Ì.:

Íàóêà,1977.624ñ.

5. àìêðåëèäçå.Â.Îñíîâûîïòèìàëüíîãîóïðàâëåíèÿ.Òáèëèñè:Èçä.Òáèëèñ.óí-òà,1975.254ñ.

6. Äàíîðä Í., Øâàðö Äæ. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû.Îáùàÿ òåîðèÿ. Ì.: Èçä-âîèíîñòð. ëèò-ðû, 1962.

895ñ.

7. ÊåëëèÄæ.Ë.Îáùàÿòîïîëîãèÿ.Ì.:Íàóêà,1981.432ñ.

8. ÊðàñîâñêèéÍ.Í.Òåîðèÿóïðàâëåíèÿäâèæåíèåì.Ì.:Íàóêà,1968.476ñ.

9. ÑóááîòèíÀ.È., ×åíöîâÀ..Îïòèìèçàöèÿãàðàíòèèâçàäà÷àõóïðàâëåíèÿ.Ì.:Íàóêà,1981.287ñ.

10. ×åíöîâÀ..Ýëåìåíòûêîíå÷íî-àääèòèâíîé òåîðèèìåðû.I.Åêàòåðèíáóðã:ÓÒÓÓÏÈ,2008.

11. ×åíöîâ À.. Î ïðåäñòàâëåíèè ìàêñèìèíà â èãðîâîé çàäà÷å ñ îãðàíè÷åíèÿìè àñèìïòîòè÷åñêîãî

õàðàêòåðà// Âåñòíèê Óäìóðòñêîãî óíèâåðñèòåòà.Ìàòåìàòèêà.Ìåõàíèêà. Êîìïüþòåðíûå íàóêè.

2010.Âûï.3.Ñ.104119.DOI:10.20537/vm100312

12. Baklanov A.P. On density properties of weakly absolutely ontinuous measures // CEUR Workshop

Proeedings.2016.Vol.1662.P.6272.

13. BhaskaraRaoK.P.S.,BhaskaraRao M.Theory ofharges. Astudy of nitely additivemeasures.New

York:Aademi Press,1983.315p.DOI:10.1016/s0079-8169(09)x6004-6

14. ChentsovA.G.Asymptotiattainability.Dordreht:Kluwer,1997.322p.

DOI:10.1007/978-94-017-0805-0

15. Chentsov A.G. Corret expansion of some unstable problems of statistial information proessing //

Cybernet.SystemsAnal.2001.Vol.37.No.2.P.235250.DOI:10.1023/A:1016751120054

16. ChentsovA.G.Finitely additivemeasures andextensions ofabstratontrol problems// J.Math. Si.

(N.Y.). 2006.Vol.133.No.2.P. 10451206.DOI:10.1007/s10958-006-0030-0

17. ChentsovA.G.,MorinaS.I.Extensionsandrelaxations.Dordreht:Kluwer,2002.408p.

DOI:10.1007/978-94-017-1527-0

18. Sobzyk A., Hammer P.C. A deomposition of additiveset funtions // Duke Math. J. 1944. Vol. 11.

No.4.P.839846.DOI:10.1215/s0012-7094-44-01172-5

Áàêëàíîâ Àðòåì Ïàâëîâè÷, ê..-ì.í., íàó÷íûé ñîòðóäíèê, Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè èìå-

íèÍ.Í.ÊðàñîâñêîãîÓðÎÀÍ,620990,îññèÿ, ã.Åêàòåðèíáóðã,óë.Ñ.Êîâàëåâñêîé,16;

Ìåæäóíàðîäíûé èíñòèòóò ïðèêëàäíîãî ñèñòåìíîãî àíàëèçà, A-2361, Àâñòðèÿ, ã. Ëàêñåíáóðã, Øëîñ-

ñïëàö,1.

E-mail:artem.baklanovgmail.om

A.P. Baklanov

Ona density property of weakly absolutely ontinuousmeasures. General ase

Citation: Izv. Inst. Mat. Inform. Udmurt. Gos. Univ.,2017,vol.50,pp.312(inRussian).

Keywords:nitelyadditivemeasures,weakabsoluteontinuity,weak-startopology,nonatomioratomlessmeasures,

SobzykHammerdeomposition.

MSC2010:54H99

DOI:10.20537/2226-3594-2017-50-01

Itisshownthatsomesetofallstepfuntions(andthesetofalluniformlimitsofsuhfuntions)allowsanembedding

into a ompatsubset (with respetto weak-star topology) of the set of all nitely additive measuresof bounded

variation in the form of an everywhere dense subset. In partiular, we onsider the set of all step funtions (the

set ofall uniformlimits of suhfuntions) suhthat anintegral ofabsolute value ofthe funtions withrespet to

nonnegativenitelyadditivemeasure

λ

^{isequaltounity.Forthesesets,the}possibilityofembeddingisprovedwithout any additional assumptionson

λ

^{; this} generalizes the previous results. Using the SobzykHammerdeomposition theorem,weshowthatfor

λ

^{withtheniterange,the}above-mentionedsetsoffuntionsallowanembeddingintothe unitsphere(inthestrongnorm-variation)ofweaklyabsolutelyontinuousmeasureswithrespetto

λ

^intheformof

aneverywheredensesubset.For

λ

^{withaninniterange,the}above-mentionedsetsoffuntionsallowanembedding into the unitball of weaklyabsolutely ontinuousmeasures withrespet to

λ

^{inthe form ofan everywhere dense}

subset.Theresultsanbehelpfulfor anextensionoflinearimpulseontrolproblemsinthelassofnitelyadditive

measurestoobtainrobustrepresentationsofreahablesetsgivenbyonstraintsofasymptotiharater.

REFERENCES

1. Baklanov A.P. A game problem with asymptoti impulse ontrol, Vestn. Udmurt. Univ. Mat. Mekh.

Komp'yut. Nauki,2011,issue3,pp.314(inRussian).DOI:10.20537/vm110301

2. Baklanov A.P. On the representation of maximin of an impulse ontrol problem, Dierentsial'nye

Uravneniya iProtsessyUpravleniya,2012,no.3,pp.4969(inRussian).

3. Bourbaki N. Topologie Generale (GeneralTopology),Paris: Hermann, 1961. Translated under thetitle

Elementy matematiki.Obshhaya topologiya. Osnovnyestruktury,Mosow:Nauka,1968,385p.

4. WargaJ.Optimalontrolofdierentialandfuntionalequations,NewYork:AademiPress,1972,531p.

DOI:10.1016/2013-0-11669-8

Translated under the title Optimal'noe upravlenie dierentsial'nymi i funktsional'nymi uravneniyami,

Mosow:Nauka,1977,624p.

5. GamkrelidzeR.Priniples ofoptimal ontroltheory, NewYork:Plenum,1978,175p.

DOI:10.1007/978-1-4684-7398-8

Original Russian text published in Gamkrelidze R.V. Osnovy optimal'nogo upravleniya, Tbilisi:Tbilisi

StateUniversity,1975,254p.

6. DunfordN.J.,ShwartzJ.T.Linearoperators.PartI:generaltheory,NewYork:Intersiene,1958,874p.

Translatedunderthetitle Lineinyeoperatory.Obshhayateoriya, Mosow:Izd.Inostr.Lit.,1962,895p.

7. KelleyJ.L.GeneralTopology,NewYork:VanNostrand,1955,298p.TranslatedunderthetitleObshhaya

topologiya,Mosow:Nauka,1968, 385p.

8. KrasovskiiN.N.Teoriyaupravleniyadvizheniem(Theoryofmotionontrol),Mosow:Nauka,1968,476p.

9. SubbotinA.I.,ChentsovA.G.Optimizatsiyagarantiivzadahakhupravleniya(Optimizationofguarantee

inontrolproblems),Mosow:Nauka,1981,287p.

10. ChentsovA.G. Elementy konehno-additivnoi teorii mery. I(The elementsofnitelyadditivemeasures

theory,I),Yekaterinburg:USTUUPI,2008.

11. Chentsov A.G. About presentation of maximin in the game problem with onstraints of asymptoti

harater,Vestn.Udmurt.Univ. Mat. Mekh. Komp'yut. Nauki,2010,issue3,pp.104119(in Russian).

DOI:10.20537/vm100312

Proeedings,2016,vol.1662,pp.6272.

13. Bhaskara Rao K.P.S., Bhaskara Rao M.Theory of harges. A study of nitely additive measures, New

York:AademiPress,1983,315p. DOI:10.1016/s0079-8169(09)x6004-6

14. ChentsovA.G.Asymptotiattainability,Dordreht:Kluwer,1997,322p.DOI:10.1007/978-94-017-0805-0

15. Chentsov A.G. Corret expansion of some unstable problems of statistial information proessing,

Cybernet.Systems Anal., 2001,vol.37,no.2,pp.235250.DOI:10.1023/A:1016751120054

16. Chentsov A.G. Finitely additive measures and extensions of abstrat ontrol problems, J. Math. Si.

(N.Y.),2006,vol.133,no.2,pp.10451206.DOI:10.1007/s10958-006-0030-0

17. ChentsovA.G., MorinaS.I.Extensions andrelaxations,Dordreht:Kluwer,2002,408p.

DOI:10.1007/978-94-017-1527-0

18. SobzykA.,HammerP.C.Adeompositionofadditivesetfuntions,DukeMath.J.,1944,vol.11,no.4,

pp.839846.DOI:10.1215/s0012-7094-44-01172-5

Reeived28.10.2017

Baklanov ArtemPavlovih, Candidate of Physisand Mathematis, Researher,N.N. Krasovskii Institute

of Mathematis and Mehanis, Ural Branh of theRussian Aademy of Sienes, ul. S. Kovalevskoi, 16,

Yekaterinburg,620990,Russia;

InternationalInstituteforAppliedSystemsAnalysis,Shlossplatz,1,Laxenburg,A-2361,Austria.

E-mail: artem.baklanovgmail.om