ÂÅÑÒÍÈÊ ÓÄÌÓÐÒÑÊÎÃÎ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÀ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 2008. Âûï. 2
ÓÄÊ 517.977.58 c
°
À. À. Êðàñîâñêèé, À. Ì. Òàðàñüåâ
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÂÐÅÌÅÍÈ ÎÑÒÀÍÎÂÊÈ
 ÌÍÎÃÎÓÐÎÂÍÅÂÛÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌÀÕ
1Ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèëîæåíèå äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè îïòèìàëüíîãî âðåìåíè îñòà- íîâêè ê çàäà÷å îïòèìèçàöèè èííîâàöèîííîãî ïðîöåññà â êîíêóðåíòîñïîñîáíîé ðûíî÷íîé ñðåäå. Ïðåäëàãàåòñÿ àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî âðåìåíè êîì- ìåðöèàëèçàöèè è îïòèìàëüíîãî èíâåñòèöèîííîãî ïëàíà. Äàí àíàëèç òî÷åê ýêñ- òðåìóìà äëÿ ìîäåëåé ñ êóñî÷íî-ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ðûíêà.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ôóíêöèÿ öåíû, ìíîãîóðîâíåâàÿ ìîäåëü, îïòèìàëüíîå âðåìÿ îñòàíîâêè.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü èííîâàöèîííîãî ïðîöåññà, îñó- ùåñòâëÿåìîãî â ðûíî÷íîé ñðåäå. Ìîäåëü ñôîêóñèðîâàíà íà òðåõ çàäà÷àõ:
(1) îöåíêà äèíàìèêè ðûíêà, (2) îïòèìèçàöèÿ âðåìåíè êîììåðöèàëèçàöèè, (3) ñèíòåç îïòèìàëüíîãî èíâåñòèöèîííîãî ñöåíàðèÿ. Äèíàìèêà ñ ýôôåê- òîì çàïàçäûâàíèÿ àäàïòèðóåòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà èí- âåñòèðîâàíèÿ. Ïîñòðîåíèå ôóíêöèîíàëîâ ïðèáûëè è çàòðàò îñíîâàíî íà èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ïëàòû â çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ êî- ýôôèöèåíòàìè äèñêîíòèðîâàíèÿ. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ òðàåêòîðèé ðûíêà èñ- ïîëüçóåòñÿ äèíàìèêà, êîòîðàÿ îïèñûâàåò èíåðòíîå ïîâåäåíèå ðûíî÷íîé ñðåäû ñ áîëüøèì ÷èñëîì êîíêóðåíòîâ.
 ðåøåíèè çàäà÷è ñèíòåçà [1, 2] îïòèìàëüíîãî óðîâíÿ èíâåñòèöèé èñ- ïîëüçóþòñÿ îñíîâíûå êîíñòðóêöèè äëÿ ìîäåëåé îïòèìàëüíîãî ðîñòà ñ íåîáðàòèìûì èíâåñòèðîâàíèåì è ðàñïðåäåëåíèåì ðåñóðñîâ [3]. Íà îñíîâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà ñòðîèòñÿ îïòèìàëüíûé ïëàí äëÿ ñòðàòå- ãèè èíâåñòèðîâàíèÿ. Îïòèìàëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü ãåíåðèðóåò îïòèìàëü- íûå òðàåêòîðèè ðîñòà òåõíîëîãèè.  ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ìíî- æåñòâî ôóíêöèé çàòðàò, çàâèñÿùèõ îò ìîìåíòîâ âðåìåíè îñòàíîâêè [4].
Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè ìîæåò áûòü ðàçáèòî íà äâà óðîâíÿ: íà ïåðâîì óðîâíå ïðîèçâîäèòñÿ ñèíòåç îáðàòíîé ñâÿçè è âû-
÷èñëÿþòñÿ ôóíêöèè öåíû; íà âòîðîì óðîâíå îïòèìèçèðóåòñÿ ôóíêöèÿ
1Ðàáîòà ïîääåðæàíà ãðàíòîì Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, 05-01-00601; ãðàíòîì Ðîññèéñêîãî ãóìàíèòàðíîãî íàó÷íîãî ôîíäà, 05-02-02118a; ãðàí- òîì ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë, ÍØ-8512.2006.1; ãðàíòîì Ôîíäà ñîäåéñòâèÿ îòå÷åñòâåííîé íàóêå; IIASA.
64 À. À. Êðàñîâñêèé, À. Ì. Òàðàñüåâ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ 2008. Âûï. 2
ïðèáûëè ïî âðåìåíè îñòàíîâêè. Ïðè îïèñàíèè äèíàìèêè ðûíêà èñïîëüçó- åòñÿ âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Âåðîÿòíîñòü ïðèñóòñòâèÿ òåõ- íîëîãè÷åñêèõ êîíêóðåíòîâ íà ðûíêå îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëå- íèÿ, êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ íà îñíîâàíèè ýêîíîìåòðè÷åñêîãî àíàëèçà [5]. Àëãî- ðèòì ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî âðåìåíè îñòàíîâêè îñíîâàí íà êà÷åñòâåí- íîì àíàëèçå ýêñòðåìàëüíûõ òî÷åê ôóíêöèè ïîëåçíîñòè, êîòîðûå ñîîòâåò- ñòâóþò òî÷êàì ïåðåñå÷åíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðûíêà è êðèâîé ïðå- äåëüíûõ çàòðàò èííîâàöèîííîãî ïðîöåññà.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Êðàñîâñêèé Í. Í., Ñóááîòèí À. È. Ïîçèöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå èãðû.
Ì.: Íàóêà, 1974. 456 ñ.
2. Ïîíòðÿãèí Ë. Ñ., Áîëòÿíñêèé Â. Ã., Ãàìêðåëèäçå Ð. Â., Ìèùåíêî Å. Ô. Ìàòå- ìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: Íàóêà, 1969. 384 ñ.
3. Èíòðèëèãàòîð Ì., Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû îïòèìèçàöèè è ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ. Ì.: ÀÉÐÈÑ ÏÐÅÑÑ, 2002. 576 ñ.
4. Øèðÿåâ À. Í. Îñíîâû ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè. Ì.: ÔÀÇÈÑ.
2004. 1056 ñ.
5. Àéâàçÿí Ñ. À., Ìõèòàðÿí Â. Ñ. Ïðèêëàäíàÿ ñòàòèñòèêà è îñíîâû ýêîíîìåò- ðèêè. Ì.: ÞÍÈÒÈ, 1998. 1022 ñ.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 02. 02. 08
A. A. Krasovskii, A. M. Tarasyev
Optimization of the stopping time in multilevel dynamic systems
A dynamic model of investment process in a market environment is designed. The model is focused on three decision making problems: identication of the market time trends; optimization of the commercialization time; optimal control design of the investment policy. A stochastic model based on probabilistic distributions for description of the price formation mechanism is realized for identication of the market trajectories. It is proved that extremum of the prot function coincide with points of intersection of the distribution function and the marginal costs. The model is calibrated based on the econometric data analysis.
Êðàñîâñêèé Àíäðåé Àíäðååâè÷
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÓðÎ ÐÀÍ
620219, Ðîññèÿ, ã. Åêàòåðèíáóðã, óë. Ñ. Êîâàëåâñêîé, 16
E-mail: ak@imm.uran.ru
Òàðàñüåâ Àëåêñàíäð Ìèõàéëîâè÷
Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÓðÎ ÐÀÍ
620219, Ðîññèÿ, ã. Åêàòåðèíáóðã, óë. Ñ. Êîâàëåâñêîé, 16
E-mail: tam@imm.uran.ru
