Übungen XI: Investition und Finanzierung

Übungen XI: Investition und Finanzierung

Christian Keuschnigg Universität St.Gallen, FGN

Dezember 2004

Exercise 1 (a) Ermitteln Sie aus (11.1) die Arbeitsnachfrage eines einzelnen Unterneh- mens mit Kapitalstock K und quasikonkaver Produktionsfunktion F (K, L),

π(Kt) = max

L {F (Kt, Lt)−wtLt}, π⁰(K)>0> π⁰⁰(K). (11.1) Das gesamtwirtschaftliche Arbeitsangebot sei auf L¯ = 1 normalisiert. Zeigen Sie, wie im Vollbeschäftigungsgleichgewicht der Lohn gebildet wird, und wie sich der Produktionserlös auf Löhne und Cash-Flow verteilt.

(b) Zeigen Sie, dass der Cash-Flow π⁰(K)>0> π⁰⁰(K) erfüllt..

Lösung: (a) Die BEO erfordert, dass das Grenzprodukt der Arbeit gleich dem Lohnsatz ist. Die BEO legt dann die Arbeitsnachfrage fest:

FL(K, L) =w ⇒ L(w, K). (i)

Abbildung UE1 zeigt, dass die Arbeitsnachfrage eines preisnehmenden Unternehmens mit dem Lohn sinkt. Der Kapitalstock ist dabei in jeder Periode vorgegeben. Im gesamtwirt- schaftlichen Gleichgewicht muss sich der Lohn so anpassen, dass die Nachfrage gerade

∗Institut für Nationalökonomie, Varnbüelstrasse 19, CH-9000 St.Gallen.

dem fixen Arbeitsangebot L¯ = 1 entspricht. Bei höherem Lohn würden die Unterneh- men weniger nachfragen. Die Arbeitnehmer werden dann gegenseitig die Löhne hinunter konkurrenzieren. Beim Gleichgewichtslohn entspricht die Arbeitsnachfrage gerade dem Arbeitsangebot, so dass Vollbeschäftigung herrscht. Die Fläche unter der Grenzproduk- tivitätskurve FL bis L¯ = 1 gibt den Produktionserlös an, während das Rechteck wL die Lohnsumme anzeigt. Die Differenz ist der Cash-Flowπ, siehe (11.1).

1 L =

( ^, )

F

K L

wL w

Abb. UE1: Produktionsgleichgewicht

(b) Wie wenden das Envelopen-Theorem auf (11.1) an und erhaltenπ⁰(K) =FK(K, L) mitLals optimaler Arbeitsnachfrage. Im gesamtwirtschaftlichen Gleichgewicht passt sich der Lohn an, so dassL= 1 undπ⁰(K) =FK(K,1)>0. Die nochmalige Ableitung dieses Ausdrucks ergibt, im Gleichgewicht, π⁰⁰(K) =FKK(K,1)<0. Die Vorzeichen folgen aus der Konkavität der Produktionsfunktion.

Exercise 2 Leiten Sie das Investitionskriterium π⁰(K1) = r1 +δ her, indem Sie eine Abschreibungsrate δ berücksichtigen, so dass K1 =I0+ (1−δ)K0 gilt.

Lösung: Die Ausschüttungen betragen D0 = π(K0) − I0 und D1 = π(K1) − I1. Der Kapitalstock folgt Kt+1 = It + (1−δ)Kt. Die Endbedingung K2 = 0 impliziert I1 =−(1−δ)K1 und damit D1 =π(K1) + (1−δ)K1. Das Investitionsproblem ist nun maxD0+D1/R1 bzw.

maxI0

(π0−I0) +π(K1) + (1−δ)K1

R1

, K1 =I0+ (1−δ)K0. (i)

Die BEO für die optimale Investition lautet 1 = π⁰(K1) + 1−δ

1 +r1 ⇔ π⁰(K1) =r1+δ. (ii) Die Opportunitätskosten bzw. Kapitalnutzungskosten müssen nun auch die Kosten für die Abschreibung berücksichtigen.

Exercise 3 Zeigen Sie, dass auch bei vollständiger Fremdfinanzierung dieselbe Investiti- onsregel π⁰(K1) =r1 wie in (11.12) optimal ist und damit Selbst- und Fremdfinanzierung äquivalent sind.

Lösung: Bei vollständiger Fremdfinanzierung gilt nach (11.3) It = B_t^N und damit na- türlich V_t^N =Et = 0. Bei vollständiger Fremdfinanzierung I0 = B₀^N betragen in Periode 1 Unternehmensschuld und Kapitalstock gleichB1 =B0+I0 und K1 =K0+I0, während sich nach (11.4) die Ausschüttungen in jeder Periode auf Dt = πt−rtBt belaufen. Für eine vollständig fremdfinanzierte Unternehmung lautet das Optimierungsproblem daher

maxI0

π0−r0B0+[π(K1)−r1(B0+I0)]

R1

, K1 =I0+K0. (i) Beachte, dass die Investition I0 = B₀^N die Dividende D0 = π0 −r0B0 nicht beeinflusst, weil die Investitionsausgaben durch einen Fremdmittelzufluss in genau gleicher Höhe fi- nanziert werden. Das Problem reduziert sich also auf die Maximierung der Dividende (gleich dem eckigen Klammerausdruck) in Periode 1. Die BEO ergibt wiederπ⁰(K1) =r1

wie in (11.12), womit die Finanzierungsäquivalenz gezeigt ist.

Nebenbemerkung: Genaugenommen müssten wir die Finanzierungsidentität der Fir- ma mit Dt = πt−rtBt+¡

B_t^N −It

¢. In Periode 0 gilt per Annahme B₀^N −I0 = 0. Die Endbedingungen K2 = B2 = 0 bedeuten in Periode 1 einen Mittelzufluss aus Desinve- stition von K1 =−I1 und einen Mittelabfluss aus Schuldenrückzahlung von −B1 =B₁^N. Es ist B₁^N −I1 = K1−B1 = 0 genau dann, wenn auch B0 = K0 gilt. Dies ist der Fall in (i). Für K0 > B0, aber vollständiger Fremdfinanzierung der Investition B₀^N = I0, gilt B₁^N −I1 =K1−B1 =K0−B0 >0. Also muss in Periode 1 das noch vorhandene Eigen- kapital zurückbezahlt (desinvestiert) werden, so dass die Ausschüttung anders als in (i)

D1 = π1−r1(B0+I0) + (K0−B0) beträgt. Da aber K0 −B0 exogen ist, wird dadurch das Ergebnis nicht beeinflusst.

Exercise 4 (a) Ermitteln Sie aus (11.5), (11.6) und (11.8)

Ct =wt+πt−It+RtB_t^F −B_t+1^F . (i) (b) Verwenden Sie (11.1) für den Cash-Flow π und leiten Sie die Investitions-Spar- Identität ab (Sparen = Investition + Leistungsbilanzsaldo). Stellen Sie das Ergebnis zu Abbildung 3 in Beziehung.

Lösung: (a) SetzeA=V +B+B^f aus (11.5) in (11.8) ein. Verwende (11.6) und (11.3), Ct =wt+RtAt−At+1 =wt+¡

Dt−V_t^N −B_t^N¢

+rtBt+RtB_t^f −B_t+1^f . (ii) Als nächstes verwenden wir (11.3-4) und schreiben

Dt−V_t^N −B_t^N =Dt+Et−It=πt−rtBt−It. (iii) Nach Einsetzen von (iii) in (ii) folgt (i).

(b) Gemäss (11.1) gilt wt+πt = F (Kt,1) = Ft. Einsetzen in (i) ergibt nach einer Umformung

³

B_t+1^f −B_t^f´

+It =Ft+rtB_t^f −Ct ⇔ LBt+It=St. (iv) Auf der rechten Seite bezeichnetFtdas BIP (Inlandseinkommen) undFt+rtB_t^f das BNP (Inländereinkommen aus dem In- und Ausland). Einkommen (BNP) minus Konsum ergibt die gesamtwirtschaftlichen Ersparnisse St. Diese werden für heimische Investitionen zur Verfügung gestellt oder in den Erwerb von Auslandsvermögen (Leistungsbilanzüberschuss LBt ≡B_t+1^f −B_t^f) investiert. In Abbildung 3 haben wir das Auslandsvermögen gleich Null gesetzt, B₀^f = 0, so dassB^f₁ den gesamten Leistungsbilanzüberschuss bezeichnet. Mit B₀^f lesen wir in Abbildung 3 die Identität (iv) auf der horizontalen Achse als LB = B^f₁ = F0−I0−C0 ab.

Exercise 5 Gegeben sei eine Technologie F (K, L) = AK^αL^1−α mit 0< α < 1 und dem Arbeitsangebot L = 1. Das Investitionskriterium lautet (1−τ^∗)π⁰(K) = r, wobei π⁰(K) gleich dem Grenzprodukt des Kapitals bei Vollbeschäftigung ist.

(a) Berechne die KapitalnachfrageK formal, ermittle dann die Nachfrage für Parameter- werte von α = 1/3, r = 0.1 und A= 2.7, und zwar einmal für τ^∗ = 0 und τ^∗ = 1/9 (ca.

11%). Um wieviel Prozent sinkt der Kapitalstock?

(b) Berechne durch Linearisierung der Investitionsbedingung (mit π⁰ =FK aus der ange- gebenen Technologie) den prozentuellen Rückgang des Kapitalstocks, d.h. bilde das Diffe- rential und ermittle den Ausdruck fürdK/K (prozentuelle Änderung). Wie hoch ist dann der Rückgang des Kapitalstocks, wenn Sie die Parameterwerte aus Teil (a) verwenden?

(c) Berechne die prozentuelle Lohnänderung. Was schliessen Sie daraus für die Steuer- überwälzung?

Lösung: (a) Aus dem Investitionskalkül erhalten wir r

1−τ^∗ =π⁰(K) =FK =αAK^α−1 ⇒ K = [αA(1−τ^∗)/r]^1/(1−α). (i) Einsetzen der Parameterwerte ergibt K =¡

3√

1−τ^∗¢3

, so dass wir K(τ = 0) = 27 und K(τ = 1/9) = ³

3p 8/9´3

≈ 22.6 berechnen. Der Rückgang des Kapitalstocks beträgt also(27−22.6)/27≈16.3%.

(b) Das Differential des Investitionskalküls r= (1−τ^∗)FK = (1−τ^∗)αAK^α−1 lautet dr = 0 = (1−τ^∗) (α−1)FK

K dK+FKd(1−τ^∗) ⇒ dK

K =− 1 1−α

dτ^∗

1−τ^∗. (ii) Die zweite Gleichung erhält man nach Division durch (1−τ^∗)FK und einer weiteren leichten Umformung. Die Elastizität der Kapitalnachfrage beträgt ₁₋¹_α = 3/2, und die Änderung des Steuerterms relativ zum Ausgangswert vonτ^∗ = 0ist₁^dτ_−τ^∗_∗ =dτ^∗ = 1/9. Der prozentuelle Rückgang beträgt dann dK/K =−1/6≈16.7%. Die Approximation in (ii) ist also fast identisch mit der exakten Berechnung nach (i). Eine Erhöhung der effektiven Grenzsteuerbelastung von 0 auf 11% führt also zu einem Rückgang des Kapitalstocks um mehr als 16%.

(c) Der Lohn ist gleich dem Grenzprodukt der Arbeit, w = (1−α)AK^α für L = 1.

Der höhere Grenzsteuersatz hemmt die Kapitalbildung. Mit geringerer Kapitalintensität fällt der Lohn. Die Lohneinbusse beträgt ^dw_w =α^dK_K =−1−^αα

dτ^∗

1−τ^∗ ≈−1/18oder ca. 5.6%.

Die Gewinnbesteuerung wird also zumindest teilweise auf die Arbeit überwälzt.

Exercise 6 Es sei die Beschränkung in (11.37) angenommen. Ausserdem sei in Periode 1 ein Anteilsrückkauf (negative Anteilsfinanzierung) von V₁^N =−V₀^N möglich. Gehen Sie von (11.26) aus und zeigen Sie, dass unter diesen Annahmen die Investitionsbedingung π⁰₁ =r1/¡

1−t^D¢

in (11.30) folgt.

Lösung: Nach (11.37) wird der gesamte Gewinn einbehalten, E0 =π0, so dass D0 = 0 gilt und ein Betrag V₀^N = I0 −π0 mit Anteilen finanziert werden muss. In Periode 1 werden Anteile im Umfang von V₁^N = −V₀^N = π0 −I0 zurückgekauft. Die Dividende beträgt D1 = π1 −E1 mit E1 = I1 −V₁^N = −K1 −π0 +I0 und K1 = K0 +I0. Diese Definitionen in (11.26) eingesetzt ergibt

maxI0 −(I0−π0) + 1 R1

µ1−t^D

1−t^V (π1+K0+π0)−(π0−I0)

¶

. (i)

Daraus folgt die BEO [es ist R1 = 1 +r1/¡

1−t^V¢ ]

−1 + 1 R1

µ1−t^D 1−t^V π⁰₁+ 1

¶

= 0 ⇔ ¡

1−t^D¢

π⁰₁ =r1. (ii) Dies entspricht exakt der Bedingung (11.30).