Lösungen zum Arbeitsblatt: y = mx + c Alles klar???

I. Zeichnen von Funktionen

a) Wertetabelle

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y = 2,5x -10 -7,5 -5 -2,5 0 2,5 5 7,5 10

y = - ²₃x 2,7 2 1,3 0,7 0 -0,7 -1,3 -2 -2,7

y = 2x – 1,5 -9,5 -7,5 -5,5 -3,5 -1,5 0,5 2,5 4,5 6,5

y = - ¹₂x + 2 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

y = 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

y = -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2

b) Schaubild mit Steigungsdreieck und y – Achsenabschnitt

Funktion2

b1/2

x y

c)   m > 1 steil steigende Gerade

 0 < m < 1 flach steigende Gerade

 m = 0 Parallele zur x – Achse

 -1 < m < 0 flach fallende Gerade

 m < -1 steil fallende Gerade

  c > 0 Gerade nach oben verschoben, d.h. der y – Achsenabschnitt liegt oberhalb der x – Achse

 c < 0 Gerade nach unten verschoben, d.h. der y – Achsenabschnitt liegt unterhalb der x - Achse

II. Ablesen der Funktionsgleichungen

a) m = ^𝑦_𝑥 b) m = ^𝑦_𝑥 c) m = ^𝑦_𝑥 d) m = ^𝑦_𝑥

m = ⁻¹₁ m = ²₃ m = ₋₁² m = ¹₄

c = 5 c = -3 c = -4 c = 2

y = -x + 5 y = ²₃x – 3 y = -2x – 4 y = ¹₄x + 2

e) m = ^𝑦_𝑥 f) m = ^𝑦_𝑥

m = ⁵₂ m = ₋₃²

c kann nicht abgelesen werden, c = -6 deshalb brauchen wir die Koordinaten

eines Punktes, wie z.B. P (6 | -2) y = −²

3x – 6

y = mx + c

−2 =5 2∙ 6 + 𝑐

−2 = 15 + 𝑐 |-15 c = −17

y = ⁵₂x – 17

III. Punktprobe

- x – Koordinate des Punktes in die Funktionsgleichung einsetzen und die zugehörige y – Koordinate berechnen

- stimmt die berechnete y – Koordinate mit der des Punktes überein liegt der Punkt auf der Geraden

 A(2 | 6) y = 3x B(-1,2 | -3,6) y = 3x

y = 3 ∙ 2 y = 3 ∙ (-1,2)

y = 6 w y = -3,6 w

 A(-1 | 0) y = -2x - 2 B(3 | 8) y = -2x - 2 y = -2 ∙ (-1) - 2 y = -2 ∙ 3 - 2

y = 0 w y = -8 f

 A(3,2 | 4,8) y = −³

2x B(-5 | -7,5) y = −³

2x y = −³

2 ∙ 3,2 y = −³

2 ∙ (-5)

y = -4,8 f y = 7,5 f

 A(-4,5 | 8) y = −²

3x + 5 B(6,5 | -1) y = −²

3x + 5 y = −²

3∙ (-4,5) + 5 y = −²

3∙ 6,5 + 5

y = 8 w y = ²₃ f

IV. Zeichnerische und rechnerische Herleitung der Funktionsgleichung

a) Zeichnerische Herleitung

 - Punkt A1 einzeichnen  - Punkt A2 einzeichnen

- von Punkt A1 das Steigungsdreieck einzeichnen - Steigungsdreieck - den y-Achsenabschnitt c = 3 ablesen - c = -2,5 ablesen - Steigung m und y-Achsenabschnitt in die - m und c einsetzen

allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

y = -x + 3 y = ^𝟓_𝟐x – 2,5

 - Punkt A3 einzeichnen  - Punkt A4 einzeichnen

- c = 7 einzeichnen - c = -4 einzeichnen

- Punkte zur Geraden verbinden - Punkte verbinden

- Steigungsdreieck einzeichnen und Steigung ablesen - Steigungsdreieck - Steigung m und y-Achsenabschnitt in die - m und c einsetzen

allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

y = -2x + 7 y = - ^𝟕_𝟐x – 4

x y

a) Herleitung durch Berechnung

 +  - Steigung m und Punkt A(x | y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + c einsetzen und Gleichung nach c umformen

- anschließend m und c in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

 y = mx + c  y = mx + c 1 = -1 ∙ 2 + c 5 = 2,5 ∙ 3 + c

1 = -2 + c |+2 5 = 7,5 + c |-7,5

c = 3 c = -2,5

y = -x + 3 y = 2,5x – 2,5

Punktprobe mit Punkt B

B(5 | -2) y = -x + 3 B(-2 | -7) y = 2,5x – 2,5

y = -5 + 3 y = 2,5 ∙ (-2) – 2,5

y = -2 w y = -7,5 f



 +  - y – Achsenabschnitt c und Punkt A(x | y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + c einsetzen und Gleichung nach m umformen

- anschließend m und c in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

 y = mx + c  y = mx + c

-3 = m ∙ 5 + 7 |-7 3 = m ∙ 2 - 4 |+4

-10 = 5m |:5 7 = 2m |:2

m = -2 m = ⁷₂

y = -2x + 7 y = ^𝟕_𝟐x – 4

Punktprobe mit Punkt B

B(-1 | 9) y = -2x + 7 B(1 | -1) y = ⁷₂x – 4 y = -2 ∙ (-1) + 7 y = ⁷₂ ∙ 1 – 4

y = 9 w y = -0,5 f

b) Herleitung der Funktionsgleichung durch Berechnung

 +  - Steigung m und Punkt A(x | y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + c einsetzen und Gleichung nach c umformen

- anschließend m und c in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

 y = mx + c  y = mx + c 0 = -0,8 ∙ 3 + c -5 = 0,25 ∙ 4 + c

0 = -2,4 + c |+2,4 -5 = 1 + c |-1

c = 2,4 c = -6

y = -0,8x + 2,4 y = 0,25x – 6

Berechnung der fehlenden Koordinate von Punkt B

- gegebene Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und fehlende Koordinate berechnen

B(-2 | yB) y = -0,8x + 2,4 B(xB | -6,5) y = 0,25x – 6 y = -0,8 ∙(-2) + 2,4 -6,5 = 0,25x – 6 |+6 y = 4 -0,5 = 0,25x |:0,25

B(-2 | 4) x = -2

B(-2 | -6,5)

 +  - y - Achsenabschnitt c und Punkt A(x | y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + c einsetzen und Gleichung nach c umformen

- anschließend m und c in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

 y = mx + c  y = mx + c 2,5 = m ∙ 6 + 4 |-4 -1 = m ∙ 1 - ⁵

3 |∙ 3 -1,5 = 6m |:6 -3 = 3m - 5 |+5

m = -0,25 (= - ¹₄) 2 = 3m |:3

m = ²₃

y = - ^𝟏_𝟒x + 4 y = ^𝟐_𝟑x – ^𝟓_𝟑

Berechnung der fehlenden Koordinate von Punkt B

- gegebene Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen und fehlende Koordinate berechnen

B(xB | 8) y = - ¹₄x + 4 B(7 | yB) y = ²₃x – ⁵₃ 8 = - ¹₄x + 4 |∙ 4 y = ²₃∙ 7 – ⁵

3

32 = -x + 16 |-16 y = 3

16 = -x |∙ (−1) B(7 | 3)

x = -16

B(-16 | 8)

V. Zueinander senkrechte und parallele Geraden



Zeichnerische Herleitung

Senkrechte Gerade h Parallele Gerade i

- Gerade g zeichnen - Punkt B markieren

- Punkt A markieren - Parallele durch B zu g zeichnen - senkrechte Gerade zu g durch A zeichnen - y – Achsenabschnitt ablesen c = 3 - Steigungsdreieck einzeichnen und Steigung - m und c die allgemeine Funktions-

m ablesen m = -2 gleichung einsetzen

- y – Achsenabschnitt ablesen c = 8 y = ^𝟏_𝟐x + 3 - m und c in die allgemeine Funktionsgleichung

einsetzen

y = -2x + 8

x y

h

i

A B

g

Herleitung durch Berechnung

Senkrechte Gerade h

- Die Steigung der senkrechten Geraden h ergibt sich aus dem Kehrbruch der Steigung der Geraden g mit umgekehrten Vorzeichen.

Gerade g m = ^𝟏_𝟐 m = −^𝟐

𝟏 Gerade h

- Steigung m und Punkt A (x | y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + c einsetzen und Gleichung nach c umformen

- anschließend m und c in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen y = mx + c

0 = -2 ∙ 4 + c 0 = -8 + c |+8

c = 8

y = -2x + 8

Parallele Gerade i

- Die Steigung der parallelen Geraden i entspricht der Steigung der Geraden g.

Gerade g m = ^𝟏_𝟐 m = ^𝟏_𝟐 Gerade i

- Steigung m und Punkt B (x | y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + c einsetzen und Gleichung nach c umformen

- anschließend m und c in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

y = mx + c 4 = ^𝟏_𝟐∙ 2 + c 4 = 1 + c |-1

c = 3

y = ^𝟏_𝟐x + 3



Zeichnerische Herleitung

Senkrechte Gerade h Parallele Gerade i

- Gerade g zeichnen - Punkt B markieren

- Punkt A markieren - Parallele durch B zu g zeichnen - senkrechte Gerade zu g durch A zeichnen - y – Achsenabschnitt ablesen c = -7 - Steigungsdreieck einzeichnen und Steigung - m und c die allgemeine Funktions-

m ablesen m = ^𝟐_𝟑 gleichung einsetzen

- y – Achsenabschnitt ablesen c = 2 y = - ^𝟑

𝟐x - 7 - m und c in die allgemeine Funktionsgleichung

einsetzen

y = ^𝟐_𝟑x + 2

y

i

x g

h

Herleitung durch Berechnung

Senkrechte Gerade h

- Die Steigung der senkrechten Geraden h ergibt sich aus dem Kehrbruch der Steigung der Geraden g mit umgekehrten Vorzeichen.

Gerade g m = - ^𝟑_𝟐 m = ^𝟐_𝟑 Gerade h

- Steigung m und Punkt A (x | y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + c einsetzen und Gleichung nach c umformen

- anschließend m und c in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

y = mx + c 0 = ^𝟐_𝟑 ∙ (-3) + c 0 = -2 + c |+2

c = 2

y = ^𝟐_𝟑x + 2

Parallele Gerade i

- Die Steigung der parallelen Geraden i entspricht der Steigung der Geraden g.

Gerade g m = −^𝟑

𝟐 m = - ^𝟑_𝟐 Gerade i

- Steigung m und Punkt B (x | y) in die allgemeine Funktionsgleichung y = mx + c einsetzen und Gleichung nach c umformen

- anschließend m und c in die allgemeine Funktionsgleichung einsetzen

y = mx + c 2 = −^𝟑

𝟐∙ (-6) + c 2 = 9 + c |-9

c = -7 y = −^𝟑

𝟐x - 7