Universität Paderborn Fachbereich Erziehungswissenschaft, Psychologie, Sportwissenschaft Fachbereich Mathematik, Informatik

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Herausgeber: Der Rektor

FernUniversität – Gesamthochschule in Hagen Fachbereich Kultur- und Sozialwissenschaften

Universität Paderborn

Fachbereich Erziehungswissenschaft, Psychologie, Sportwissenschaft Fachbereich Mathematik, Informatik

Studiengang zum Erwerb der Zusatzqualifikation „Medien und Informationstechnologien in Erziehung, Unterricht und Bildung“

Leitung: Prof. Dr. Horst Dichanz, Prof. Dr. Johannes Magenheim, Prof. Dr. Gerhard Tulodziecki

Das Studienangebot zum Erwerb der Zusatzqualifikation „Medien und Informationstechnologien in Erziehung, Unterricht und Bildung“ wird im Rahmen der „e- initiative.nrw − Netzwerk für Bildung NRW“ durch das Ministerium für Schule, Wissenschaft und Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen gefördert.

Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere das

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bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in

irgendeiner Form (Druck, Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche

Genehmigung der FernUniversität reproduziert oder unter Verwendung elektronischer

Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden.

Vorbemerkung 1 (Download-Informationen)... 15

Vorbemerkung 2 (Einsatz Dynamischer Geometriesysteme) ... 15

Vorbemerkung 3 (Einsatz mathematischer Assistenzprogramme)... 17

2.0 Einleitung ... 18

2.1 Einsatz von Computerwerkzeugen in der Geometrie (S I) ... 19

2.1.1 Satzbehandlung mittels Dynamischer Geometrie − exemplarisch 19 2.1.2 Eine computergrafische Behandlung geometrischer Körper 39 a) Einleitung 39 b) Computergrafische Behandlung eines Körpers 40 2.2 Einsatz von Computerwerkzeugen in der Algebra (S I)... 54

2.2.1 Gleichungslehre mit einem Assistenzprogramm 54 2.2.2 Das Lösen komplexer Berechnungsaufgaben mit einem Assistenzprogramm 82 2.2.2.3 Fazit 88 2.3 Einsatz von Computerwerkzeugen in der analytischen Geometrie (S II): Computerunterstützte Behandlung analytisch-geometrischer Aufgaben im IE³ ... 89

2.3.1 Einleitung 89 2.3.2 Computerunterstützte Behandlung 89 2.3.3 Schlussbemerkungen 99 2.4 Einsatz von Computerwerkzeugen in der Analysis (S I/II): Funktionen einer reellen Variablen − dynamisch... 100

2.4.1 Dynamische Behandlung elementarer Funktionen 100 2.4.2 Dynamische Untersuchung funktionaler Beziehungen an geometrischen Figuren 110 2.4.3 Dynamische Behandlung von Extremwertaufgaben 112 3 Bewertung mathematischer Lernprogramme...115

3.1 Einleitung ...115

3.2 Ein Schema zur Bewertung mathematischer Lernprogramme...115

3.3 Anwendung des Bewertungsschemas auf ein Lernprogrammbeispiel...119

3.4 Schlussbemerkung ...131

4 INTERNET und Mathematikunterricht ...132

4.1 Einleitung ...132

4.2 INTERNET und Mathematikunterricht ...134

4.2.1 Das INTERNET als Quelle von Lexikon-Wissen 135

4.2.2 Das INTERNET zur Beschaffung von Unterrichtsmaterialien 139

4.2.3 Das INTERNET als Medium zur Literatursuche 142

4.2.4 Das INTERNET als Publikationsmedium 143

4.2.5 Das INTERNET als Kommunikationsmedium 144

4.2.6 Das INTERNET als tutorielles System 147

4.2.7 Das INTERNET als Demonstrationsmedium 154

4.2.8 Das INTERNET und Werkzeuge (Tools) 156

Beherrschung der entsprechenden Regeln mit ihren Hierarchien und der entsprechenden Algorithmen liegen. Im traditionellen Algebraunterricht werden vorwiegend formalmathematische Intentionen verfolgt.

Das Lösen von Gleichungen bildet eine der wesentlichen Grundlagen für die Behandlung vielfältiger Berechnungs- und Modellierungsaufgaben. Die systematische Gleichungslehre beginnt in der Klassenstufe 7, auf der die Schüler/ Schülerinnen die entsprechenden kognitiven Voraussetzungen für formales Operieren besitzen.

Der Kurs der Gleichungslehre für die Sekundarstufe I hat, über die Schuljahre verteilt, folgende Inhalte:

Klasse 7

Lösen einfacher linearer Gleichungen durch Gegenoperatoren und durch Äquivalenzumformungen

Klasse 8

Lösen von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen; Bruchgleichungen;

einfache Gleichungssysteme; Formelumstellungen Klasse 9

Quadratische Gleichungen; Wurzelgleichungen; Potenzgleichungen;

Formelumstellungen Klasse 10

Exponentialgleichungen, logarithmische, trigonometrische Gleichungen;

Formelumstellungen

Der heute übliche Lehrgang vernachlässigt vor allem die Behandlung der Ungleichungen!

Neben die herkömmliche Darstellung der Schulalgebra auf der Tafel, im Schulbuch und Schulheft tritt heute die computerrepräsentierte Algebra, wie sie durch die Computeralgebra- und die Computergrafik-Komponenten mathematischer Assistenzprogramme MATHEMATICA, MAPLE, MATHCAD, DERIVE usw. vorgegeben ist. Außer dem traditionellen händischen Standard der Behandlung von Schulalgebra verfügen wir jetzt über einen weiteren Standard, der in den Mathematikunterricht integriert werden muss, wenn man es mit der Computerintegration in einen zeitgemäßen Mathematikunterricht ernst meint; es wäre unredlich, den Schülern/ Schülerinnen solche Werkzeuge vorzuenthalten. Eine notwendige Voraussetzung dafür ist, dass das in der Sekundarstufe I einzusetzende Assistenzprogramm von den Schülern/Schülerinnen relativ intuitiv benutzt werden kann und dass das Preis-Leistungsverhältnis günstig ist. Diese Voraussetzung erfüllt für temporäre Nutzer, trotz gewisser Vorbehalte, dass per Menü zu steuernde mathematische Assistenz- programm DERIVE, das auch in grafikfähigen Taschenrechnern und Palmtops verfügbar ist.

• ...sollen im Fachunterricht lernen, mit dem Computer als kognitivem Werkzeug zu arbeiten.

• ...sollen im Mathematikunterricht lernen, mit mathematischen Computerwerkzeugen (Dynamische Geometriesysteme, Tabellenkalkulationsprogramme, Funktionsplotter, ...) zu arbeiten.

• ...sollen im Algebra-Unterricht lernen, mit mathematischen Assistenzprogrammen zu arbeiten.

• ...sollen z. B. in der Gleichungslehre lernen, mit dem Computeralgebra-System (CAS) eines mathematischen Assistenzprogramms zu arbeiten.

• ...sollen in der Gleichungslehre lernen, z. B. mit der Lösungsautomatik des Computeralgebra-System (CAS) eines mathematischen Assistenzprogramms Gleichungen sowie Gleichungssysteme zu lösen.

Im folgenden schränken wir uns bei unseren Überlegungen auf die Gleichungslehre ein.

Was ist denn nun der „didaktische Mehrwert“, den der Einsatz eines mathematischen Assistenzprogramms wie DERIVE in der Gleichungslehre mit sich bringt? Als Argumente sind zu nennen:

(1) Die schnelle Verfügbarkeit der exakten oder (näherungsweisen) numerischen Lösung einer Gleichung bzw. eines Gleichungssystems für die Kontrolle der händischen Lösung und zur Lösung einer Anwendungsaufgabe, bei der der algorithmische Aspekt des Lösens nicht im Vordergrund steht. (Aber: die Lösungsautomatik arbeitet wie eine Black- Box; die Schüler/Schülerinnen wissen nicht, wie das Ergebnis zu Stande gekommen ist.) (2) Die schnelle visuelle Veranschaulichung einer Gleichung und ihrer Lösung bzw. eines

Gleichungssystems und seiner Lösung.

(3) Das simulative Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen, das die Aufmerksamkeit auf die Planung der Lösung und die wesentlichen Lösungsschritte lenkt.

(Verstärkung der Metakognition im Lösungsprozess.)

(4) Die Definition von Lösungsbausteinen (Lösungsmakros) und das Arbeiten mit diesen, welches die Abstraktion und den Aufbau modularer Wissensstrukturen unterstützt.

(5) Das kontextuelle Lösen von Anwendungsaufgaben mittels Ganzwort-Variablen.

(6) Die Verfügbarkeit von Inhalten der Gleichungslehre, die vernachlässigt worden sind oder die noch nicht zum traditionellen Curriculum gehören.

(7) Die einfache Reorganisation des Arbeitens mit Gleichungen und Gleichungssystemen, das u. a. probierendes und experimentelles Arbeiten unterstützt.

(8) ...

Editieren des Koordinatensystems.

Die grafische Interpretation von T₁(x)=T₂(x) bzw. T(x)=0 besteht aus der Bestimmung der x- Koordinate des Schnittpunkts (der Schnittpunkte) der Schaubilder der Funktionen x→y= T1(x) mit x→y= T2(x) bzw. des Schnittpunkts (der Schnittpunkte) des Schaubilds der Funktion x→y= T(x) mit der x-Achse x→y=0.

Die Lösungen von T₁(x)=T₂(x) bzw. T(x)=0 können auch mittels des auf einem Schaubild laufenden Cursors per Augenmaß näherungsweise bestimmt werden. Das soll aber bei den Beispielen nicht ausgeführt werden.

Ein Lösungsmakro, das alle Fälle berücksichtigt, kann definiert werden mittels

„LÖSUNG(a,b,c,...):=“; Fallunterscheidungen sind dabei mit „Wenn ..., dann ... “ („IF...,THEN...“) usw. zu treffen.

DERIVE verfügt nur über die Möglichkeit einer zeileneditierten Eingabe, was die Schüler/Schülerinnen zum Umcodieren der formeleditiert gegebenen algebraischen Ausdrücke zwingt und deshalb die anfängliche Nutzung von DERIVE erschwert.

a) Lineare Gleichungen

Abb. 1.1

Automatik der Kontrolle der Invarianz der Lösung. Die Syntax für die, die Lösung erhaltenden Gleichungsumformungen, auch Äquivalenzumformungen genannt, unterscheidet sich in DERIVE von der in der Schulalgebra üblichen Notation.

„Zu beiden Seiten einer Gleichung den gleichen Term addieren oder subtrahieren“ bedeutet in DERIVE: (T1(x)=T2(x)) ±T(x);

„Beide Seiten einer Gleichung mit dem gleichen Term (≠0) multiplizieren bzw. durch den gleichen Term (≠0) dividieren“ bedeutet in DERIVE: (T₁(x)=T₂(x))⋅T(x) bzw. /T(x).

Obwohl diese Implementationsform in sich bündig ist, können z. B. bei der Division Verfremdungen auftreten, wenn die ganze Gleichung im „Zähler“ und der Divisor im „Nenner“

steht, was aber eigentlich der üblichen Sprechweise: „die Gleichung wird dividiert durch...“

entspricht.

In #16-18 der Abbildung 1.2 fassen wir im Rückblick alle Äquivalenzumformumgen, die auf unsere Gleichung angewendet worden sind, zusammen.

In Abbildung 1.3 entwickeln wir nun für lineare Gleichungen vom Typ ax+b=cx+d einen Lösungsmodul, der alle Fälle

berücksichtigt. Der in #5 definierte Modul wird #8-17 getestet. Dabei tritt u. a. im Fall der Unlösbarkeit die „Lösung“ ±∞ auf, die aber mit der SOLVE-Automatik korrekt als

„false“ bewertet wird. Diese Verfremdung kommt von der mangelnden Unterscheidung in DERIVE zwischen

„diskreter“ Gleichungslehre und grenzwertbetrachtender Analysis, in der es sinnvoll ist, die Menge der reellen Zahlen mit den uneigentlichen Elementen ±∞ zu ergänzen.

In #18 definieren wir deshalb mit entsprechenden Fallunterscheidungen ein allgemeingültiges Lösungsmakro und überprüfen dieses anhand einiger Beispiele in #19-24.

Abb. 1.2

Abb. 1.3

b) Lineare Gleichungssysteme

Durch eine Verallgemeinerung linearer Gleichungen mit einer Variablen erhalten wir lineare Gleichungen mit zwei Variablen, deren Schaubilder in der Regel Geraden darstellen. Durch Kombination zweier solcher Gleichungen mit dem logischen UND „∧“ entsteht ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösung aus allen Paaren (x;y) besteht, die sowohl die eine als auch die andere Gleichung erfüllen. Graphisch gesehen besteht die Lösung aus allen Punkten, die die beiden durch die Gleichungen gegebenen Geraden gemein haben.

In Abbildung 2.1 werden zwei Gleichungen des Typs ax+by=c zuerst grafisch dargestellt (dabei erkennt man den Schnittpunkt der Geraden), dann wird aus ihnen ein Gleichungssystem gebildet (#49) und dieses mit der SOLVE-Automatik gelöst (die Schreibweise (x,y) ist hier verfremdet zu [x,y]; das ursprüngliche Gleichungssystem ist vereinfacht worden zu der Lösungsform x=... ∧ y=...). Schließlich wird die Lösung grafisch dargestellt (die vertikal verlaufende Gerade mit der Gleichung x=24/19 und die horizontal verlaufende Gerade mit der Gleichung schneiden einander im Schnittpunkt der beiden ursprünglichen Geraden.

Abb. 2.1

Wegen der generellen algebraischen Bedeutung der „Gleichsetzungsmethode“ (Methode des Gleichsetzens von Termen), der „Substitutionsmethode“ oder „Ersetzungsmethode“

(Methode der Termsubstitution) und der „Additionsmethode“ (Sonderfall des Gaußschen Eliminationsverfahrens für das Lösen linearer Gleichungssysteme) für das Lösen von linearen Gleichungssystemen, simulieren wir diese Methoden an jeweils einem Beispiel (Gleichsetzungsmethode: Abb. 2.2; Substitutionsmethode: Abb. 2.3, Additionsmethode: Abb.

2.4)

Abb. 2.2

Abb. 2.3

Abb. 2.4

Im Grafikfenster der Abbildung 2.4 sieht man, wie sich die Äquivalenzumformungen in den schnittpunktinvarianten Lageänderungen der entsprechenden Geraden darstellen bis die Lagen erreicht werden, an denen sich die Schnittpunktkoordinaten sofort exakt ablesen lassen.

Die Kombination von Computeralgebra und Computergrafik unterstützt also die geomtrisch- anschauliche Interpretation der formalen algebraischen Darstellung. Die entsprechende geometrische Modellierung kann auch für die beiden anderen Lösungsverfahren durchgeführt werden. Im folgenden Diagramm ist diese wechselseitige Interpretation des algebraischen und geometrischen Sachverhaltes veranschaulicht.

Diagramm (Wechselseitige Beziehung zwischen Algebra und Geometrie)

Wie auch schon bei den linearen Gleichungen wird für lineare Gleichungssysteme ein allgemeingültiges Lösungsmakro definiert. Die Entwicklung eines solchen Makros kann in Abbildung 2.5 nachvollzogen werden.

Als eine innermathematische Anwendung des Lösens eines Gleichungssystems mit zwei Lösungsvariablen wählen wir die Bestimmung der Parameter der Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte gegeben ist (Abb. 2.6). Die perfekte Modularisierung ist hier nicht durchgeführt. Wie müsste der Modul für alle möglichen Fälle definiert werden? Lässt sich die modulare Lösung des Problems auch mit Hilfe des Lösungsmakros für lineare Gleichungen (vergl. Abb. 2.5) bewerkstelligen?

Abb. 2.5

Abb. 2.6

Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen sind heute schon nicht mehr überall Unterrichtsgegenstand, so z. B. im Realschul-Bildungsplan von Baden-Württtemberg.

In Abbildung 2.7 ist die Visualisierung der drei Gleichungen als Ebenen mit ihrem Schnittpunkt zu sehen (die 3-dimensionale Pixelgrafik von DERIVE ist – unter Verwendung der Voreinstellung – nicht besonders zur Darstellung von Ebenen mit ihren Schnittgeraden

Abb. 2.7

Abb. 2.8

In Abbildung 2.8 ist die Lösung des Problems, die Gleichung der quadratischen Funktion zu bestimmen, von der drei Wertepaare gegeben sind, ausgeführt (Verallgemeinerung des

Abb. 3.1

Auch hier verfremdet die SOLVE-Automatik wieder die Lösung, indem sie uneigentliche Lösungen ausgibt. Die Bruchgleichung #5 wird richtig bewertet; #8 hat keine Lösung und ±∞

sind keine üblichen Lösungen; #11 wird richtig bewertet, aber erst die Umformung bringt die Einsicht, dass alle Zahlen, ausgenommen 1 und 2, Lösungen sind. Die Lösungsautomatik liefert also nicht die komplette Lösung, denn man muss die Wertem, für die die Nenner gleich Null sind, selbst bestimmen. Wegen der lehrreichen Folgen einer blinden Nutzung der SOLVE-Automatik könnte diese deshalb auch beim Lösen von Bruchgleichungen zum Einsatz kommen.

In Abbildung 3.2 lösen wir eine Bruchgleichung, die Formparameter (Formvariablen) besitzt, teilweise simulativ. Diese Bruchgleichung führt auf eine quadratische Gleichung (#7), die mit der SOLVE-Automatik aufgelöst wird. Es müssen noch die Nullstellen der Bruchterme der Gleichung bestimmt werden (#10-13), um sie bei den Lösungen ausschließen zu können.

Auch sind Parameterwerte mit a=b nicht zulässig, da die Lösungsterme für sie nicht existieren.

Abb. 3.2

Systeme aus Bruchgleichungen mit zwei Lösungsvariablen sind normalerweise nicht Gegenstand des Algebraunterrichts; sie stellen aber eine Verallgemeinerung der entsprechenden linearen Gleichungssysteme dar, die natürlich größere Schwierigkeiten beim Lösen mit sich bringen (Abb. 3.2, ohne dreidimensionale Visualisierung).

Abb. 3.3

d) Quadratische Gleichungen

Die Abbildung 4.1 zeigt an einigen Beispielen das Lösen quadratischer Gleichungen mit der SOLVE-Automatik und grafische Veranschaulichung der Lösungen als x-Koordinaten entsprechender Schaubilder. Die Gleichung #10 hat keine reelle Lösung, weil das Schaubild oberhalb der x-Achse verläuft − und die reelle Lösungsautomatik mit „false“ keine Lösung anzeigt.

Abb. 4.1

DERIVE unterstützt das simulative Lösen von quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung nicht besonders, denn DERIVE verfügt über keine Option

„Vervollständige zum Quadrat“ („CompleteSquare“). Aber das Faktorisieren in lineare Faktoren mit Quadratwurzelausdrücken ist möglich (Abb. 4.2). Mit Hilfe von A⋅B=0⇔A=0∨B=0 kann dann die Lösung abgelesen werden. Die Gleichung #8 hat keine reelle Lösung, da eine entsprechende Faktorisierung nicht möglich ist.

Abb. 4.2

Die Entwicklung eines allgemeingültigen Lösungsmakros für das reelle Lösen quadratischer Gleichungen der Form ax²+bx+c=0 und dessen empirisches Testen zeigt die Abbildung 4.3.

Abb. 4.3

Es lassen sich auch Systeme aus quadratischen Gleichungen mit zwei Variablen bilden (Abb. 4.4), auf deren Veranschaulichung als Flächen 2. Ordnung mit der dreidimensionalen Grafik wir hier nicht eingehen.

Abb. 4.4

Wir schließen diesen Abschnitt mit der Zurückführung ganz besonderer Gleichungen geraden Grades auf quadratische Gleichungen durch Substitution. Das ist an zwei Beispielen in Abbildung 4.5 ausgeführt. Bei der händischen Algebra kann x² bzw. x³ direkt durch t ersetzt werden; mit DERIVE muss x umständlich durch die 2. bzw. 3. Wurzel von t substituiert werden.

Abb. 4.5

e) Kubische, biquadratische Gleichungen und Gleichungen höheren Grades Kubische Gleichungen gehören nicht zum Gleichungsrepetoire der Sekundarstufe, da ihre (trigonometriefreie) Lösungstheorie viel zu komliziert ist und die (trigonometriefreie) Lösungstheorie nicht ohne komplexzahlige Terme auskommt. Mit der SOLVE-Automatik als Black-Box können wir uns trotzdem die Lösung solcher Gleichungen zugänglich machen.

Das ist in Abbildung 5.1 an einem Beispiel zusammen mit der grafischen Veranschaulichung (kubischen Parabel!) ausgeführt.

Abb. 5.1

Gleichungen 4. Grades (auch biquadratische Gleichungen genannt) lassen sich auf kubische Hilfsgleichungen zurückführen; ihre Lösungstheorie ist ebenfalls viel zu kompliziert, um in der Sekundarstufe I behandelt werden zu können. In Abbildung 5.2 ist ein Beispiel ausgeführt, das „Monsterterme“ als exakte Lösungen besitzt, die durch Approximieren zusammenschrumpfen (#8). Immerhin benötigt DERIVE mit einem Pentium III-Prozessor ca.

½ Minute, um die exakte Lösung zu berechnen.

Für Gleichungen höheren Grades lassen sich die Lösungen im Allgemeinen nur näherungsweise mit NSolve berechnen, denn der Satz von Abel (1802-1829) besagt, dass

Abb. 5.2

Mittels der NSolve-Automatik, angewendet auf zahlreiche Beispiele, kann der Hauptsatz der (reellen) Algebra von den Schülern und Schülerinnen selbst entdeckt werden:

Jede algebraische Gleichung n. Grades

-

- ... , , , ,...,

+ + + + = ∈ = ≠

n n 1

n n 1 1 0 i n

a x a x a x a 0 mit a i 1 2 a 0 hat höchstens n (reelle) Lösungen usw.

f) Wurzel- und Potenzgleichungen

Wir erweitern nun den Bereich der rationalen Gleichungen um die irrationalen Gleichungen, d. h. um die Wurzel- und Potenzgleichungen.

Wir beginnen mit zwei Wurzelgleichungen, die Quadratwurzelausdrücke enthalten.

Zuerst wird die Wurzelgleichung 2 x⋅ + +5 4 x⋅ − + =4 1 0, die auch als Potenzgleichung

1 1

2 2

(2 x⋅ +5) −(4 x⋅ −4) + =1 0 geschrieben werden könnte, mit der SOLVE-Automatik gelöst (Abb. 6.1, dabei können Wurzelgleichungen in DERIVE nicht echt formelediert dargestellt werden, denn das Wurzelzeichen reicht nicht über den Radikanden und die Klammern um diesen sind deswegen notwendig). Die Visualisierung erfolgt wie üblich.

In Abbildung 6.2 simulieren wir das händische Lösen unserer ersten Wurzelgleichung, um diese auf eine quadratische Gleichung (#16) zurückzuführen. Wegen des Quadrierens müssen wir prüfen, ob alle Lösungen der quadratischen Gleichung auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. 2 ist keine Lösung (#22); was wir auch mit der SOLVE-Automatik bestätigen (#23/24).

Abb. 6.2

In Abbildung 7.1 ist eine Potenzgleichung automatisch gelöst und visualisiert. DERIVE gibt beim versuchsweisen exakten Lösen „false“ aus, das hier als die Nichtexistenz einer exakten Lösung interpretiert werden muss.

Abb. 7.1

Abb. 7.2

g) Transzendente Gleichungen

Transzendente Gleichungen werden aus Funktionstermen der transzendenten Funktionen wie der Exponentialfunktion, der Logarithmusfunktion oder den trigonometrischen Funktionen gebildet. Sie können in der Regel nicht auf rationale oder irrationale Gleichungen zurückgeführt und im allgemeinen nur näherungsweise mit der NSolve-Automatik gelöst werden.

Im folgenden lösen wir mit DERIVE Beispiele für Exponentialgleichungen, logarithmische Gleichungen und trigonometrische Gleichungen.

Die Beispiele in Abbildung 8.1 lassen sich mit der exakten SOLVE-Automatik lösen, denn die Gleichungen können auf rationale Gleichungen zurückgeführt werden. Die erste Gleichung ist wie üblich visualisiert.

Abb. 8.1

Die Abbildung 8.2 zeigt die Simulation des händischen Lösens für unser erstes Beispiel.

Abb. 8.2

Als außermathematisches Anwendungsbeispiel für das Lösen von Exponentialgleichungen wählen wir die Berechnung der Ansparzeit (in Jahren) bei vorgegebener Rente (50 000 €), jährlicher Sparrate (4 000 €) und dem Zinssatz (3,5%). Lösung: 10,2484 ≈ 10 Jahre und 3 Monate (#10). Außerdem definieren wir einen Modul, der für jeden Datensatz die Ansparzeit direkt berechnet (#11).

Abb. 8.3

In Abbildung 9 wird eine logarithmische Gleichung gelöst und visualisiert: Die NSolve- Automatik liefert nur eine numerische Lösung, obwohl wir sehen, dass noch eine Lösung bei 5 existieren muss, die wir genauer mit dem Bildschirmcursor zu 1,565 bestimmen. Auch das automatische Lösen mit Angabe eines Intervalls (#5) ergibt keine weitere Lösung. Führen wir die logarithmische Gleichung auf eine Exponentialgleichung zurück, so hat diese die noch fehlende Lösung (#7-10), die auch die logarithmische Gleichung erfüllt (#11/12).

Offensichtlich können wir nicht davon ausgehen, dass uns DERIVE für solche Gleichungen alle Lösungen ausgibt. Eine grafische Kontrolle ist also immer angezeigt!

Abb. 9

Mit der Lösung dreier trigonometrischer Gleichungen schließen wir diesen Abschnitt (Abb.

10). Die erste hat eigentlich unendlich viele Lösungen, von denen bei exaktem Lösen nur drei im Winkelmaß ausgegeben werden (#4). Da die grafische Darstellung sich auf das Bogenmaß bezieht, rechnen wir 45/2° ins Bogenmaß um (#6/7).

Abb. 10

h) Betragsgleichungen

Das händische Lösen von Gleichungen, in denen Betragsterme vorkommen, ist für die Schüler und Schülerinnen, schon wegen der zu treffenden Fallunterscheidungen, eine besondere intellektuelle Herausforderung. Mittels der Lösungsautomatik von DERIVE können die händischen Lösungen kontrolliert und visualisiert werden.

An drei Beispiele zeigen wir das exakte Lösen und die grafische Veranschaulichung von Betragsgleichungen: lineare Betragsgleichung (Abb. 11.1), quadratische Betragsgleichung (Abb. 11.2), Betragsgleichung mit Bruchtermen (Abb. 11.3).

Abb. 11.1

Abb. 11.2

Abb. 11.3

i) Textgleichungen

Textgleichungen sind solche Textaufgaben, die mehr oder weniger direkte umgangs- sprachliche Einkleidungen von linearen Gleichungen, Gleichungssystemen und quadratischen Gleichungen sind. Textgleichungen sind in didaktischer Hinsicht ein wichtiges Bindeglied zwischen der formalsprachlichen Schulmathematik und ihren Anwendungen. Ihre mathematische Modellierung, d. h. die Übersetzung der umgangssprachlich gegebenen Informationen in die Sprache der Mathematik bereitet den Schülern/Schülerinnen bekanntlich erhebliche Schwierigkeiten. Die Verwendung von auf den Aufgabenkontext bezogenen Wortvariablen kann deshalb Schülern/ Schülerinnen das Lösen solcher Aufgaben erleichtern.

In CAS muss mit den Wortvariablen ja nicht (schriftlich) gerechnet werden; nur zur Ansatzformulierung sind die Wortvariablen einzugeben, sonst kommt man mit dem Kopieren der entsprechenden Ausdrücke aus.

Als erstes Beispiel wählen wir eine Textgleichung mit außermathematischem Kontext (Abb.12.1, #2-4), die mittels einer linearen Gleichung modelliert werden kann. Der Ansatz (#8) wird direkt aufgelöst. Er kann zum Ansatz für jede typgleiche Aufgabe abstrahiert werden (#12-15). Die Struktur der Lösung wird jetzt sichtbar (#16). Danach könnte der Ansatz noch durch geeignete Umbenennung so verallgemeinert werden, dass er auch auf jeden vergleichbaren Kontext zutrifft.

Abb. 12.1

Die zweite Textgleichung hat innermathematischen Kontext (Abb. 12.2, #2/3), die mittels eines linearen Gleichungssystems modelliert werden kann (#10). Der Ansatz kann zum Ansatz für jede typgleiche Aufgabe abstrahiert werden (#13-15). Die Struktur der Lösung wird jetzt sichtbar (#17). Außerdem können wir den allgemeinen Ansatz auch nach anderen Variablen auflösen lassen (#18); wir erhalten so die Lösung einer neuen, noch umgangssprachlich zu formulierenden Aufgabe usw.

Abb. 12.2

Beziehung zwischen den gegebenen Größen bestehen muss, damit überhaupt eine Lösung im Kontext der Aufgabe existiert.

Abb. 13.1

Erstes Beispiel (Abb. 13.1): Die Mantellinie s muss notwendigerweise positiv sein; das ist genau dann der Fall, wenn die Oberfläche größer als das Doppelte des Grundkreises ist (#5- 8). Damit ist aber noch nichts über die Existenz des Kegels ausgesagt! Anschließend wird die Formel (#5) als Makro definiert (#9).

Beispiel 2 (Abb. 13.2): Von den automatisch berechneten Lösungen ist die zweite die richtige, da die erste negativ ist und der Radius r als positiv vorausgesetzt werden muss (#6/7). Hier ist keine weitere Untersuchung des voluminösen Lösungsterms nötig, da auch O positiv ist.

Abb. 13.2

Abb. 13.3

Zusatz: Mit der SOLVE-Automatik von DERIVE 5.0 können sogar nichtlineare Gleichungssysteme, sogenannte algebraische Gleichungssysteme, direkt aufgelöst werden (MATHEMATICA z. B. verfügt aber über ein leistungsfähigeres Solve-Kommando für das Lösen algebraischer Gleichungssysteme). Damit eröffnen sich Möglichkeiten des ansatzorientierten Lösens von Berechnungsaufgaben. Das illustrieren wir am folgenden stereometrischen Berechnungsproblem (Abb. 13.4).

Abb. 13.4

• Lineare Ungleichungen mit einer Variablen (Klasse 7/8)

• Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen (Klasse 8)

• Lineare Ungleichungssysteme mit einer Variablen (mit ihrer Anwendung beim Linearen Optimieren) (Klasse 8/9)

• Quadratische Ungleichungen mit einer Variablen (Klasse 9).

Im folgenden skizzieren wir an einigen Beispielen die Nutzung der SOLVE-Automatik und der Grafikkomponente von DERIVE für das Lösen von Ungleichungen bzw. Un- gleichungssystemen. Dazu schicken wir die Besonderheiten der grafischen Darstellung von Ungleichungen einer Variablen bzw. ihren Lösungen mit DERIVE voraus. Üblicherweise werden diese durch Kennzeichnung von offenen bzw. abgeschlossenen Intervallen auf der Zahlgeraden dargestellt, so z. B. für x < -1/2 und für x ≥ 2 ∧ x ≤ 3 wie in Abbildung 14.1.

Abb. 14.1

In DERIVE werden solche Ungleichungen im Koordinatensystem aber flächenhaft als Halbebenen bzw. Schnittmenge aus Halbebenen mit vertikalen Randgeraden dargestellt, so z. B. wird {x; 2<x<3} zu {(x;y); 2<x<3}; allerdings ohne dabei anzugeben, ob das Intervall abgeschlossen oder offen ist, d. h., ob die vertikale Randgerade zur Fläche gehört oder nicht (Abb. 14.2).

Abb. 14.2

Die Ungleichungen bzw. Ungleichungssysteme können in DERIVE zuerst grafisch durch Plotten dargestellt werden, bevor auf sie die Lösungsautomatik angewendet wird. Zur besseren Veranschaulichung sind noch z. B. bei T1(x)<T2(x) die Schaubilder von x→y= T1(x) und von x→y= T2(x) zu zeichnen.

In Abbildung 14.3 ist nur die erste Ungleichung visualisiert. Die beiden U10:14ngleichungen

#2 und #5 sind in der Ungleichung #8 zusammengefasst, deren Lösungsmenge komplementär zur Lösungsmenge der Gleichung 7⋅x-4=13+12⋅x ist.

Als eine Erweiterung der oben angegebenen minimalen Inhalte ist in der Abbildung 14.4 die Lösung einer Bruchungleichung und eines Systems aus zwei linearen Ungleichungen mit einer Variablen ausgeführt.

Abb. 14.4

Abb. 14.5

Abbildung 14.5 zeigt das Ergebnis der Behandlung einer quadratischen Ungleichung.

Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen der Form ax+by≥c bzw. ≤c mit a≠0∨b≠0 stellen mit ihren Randgeraden ax+by=c abgeschlossene Halbebenen dar. Das illustriert die Abbildung 14.6 an zwei Beispielen. Die Schnittmenge der zwei Halbebenen bildet ein überstumpfes Winkelfeld.

Abb. 14.6

Schließlich visualisieren wir ein lineares Gleichungssystem aus vier Gleichungen mit zwei Variablen, deren Randgeraden mittels #8 eingezeichnet werden (Abb. 14.7). Mit solchen Gleichungssystemen kann man polygonale Flächen als Schnittmengen von Halbebenen algebraisch beschreiben, womit wir eine weitere Verbindung zwischen Algebra und Geometrie gewinnen.

Abb. 14.7

2.2.1.4 Schlussbemerkung

Trotz einiger Verfremdungen und Irritationen, die die Nutzung des menügesteuerten Assistenzprogramms DERIVE mit sich bringt, ist es für den Einsatz bei der Behandlung der Gleichungslehre in der Sekundarstufe I geeignet, wenn dies in medienkritischer und in, die händischen Standards der Gleichungslehre, ergänzender Weise geschieht. – Die technische Handhabung seiner Black-Box ist kein Ersatz für das Verstehen der Begriffe, Aussagen, Algorithmen und der Heuristik der Gleichungslehre. Auf die Verstehensprozesse ist deswegen bei einer integrierenden Nutzung solcher Werkzeuge besonders Wert zu legen.

und mit wenigen Optionen für das Aufgabenlösen auskommen. Auch wegen seines günstigen Preises bietet sich das mathematische Assistenzprogramm DERIVE (DOS- oder Windows-Version mit deutschsprachiger Oberfläche) an.

Wir kommen im wesentlichen mit folgenden Optionen aus:

• Exaktes oder näherungsweises Lösen (solve)

• Vereinfachen (simplify)

• Ausmultiplizieren (multiply)

• (Näherungsweises) Ausrechnen (approximate)

• Einsetzen (substitute)

• Zeichnen (plot)

(Das Menü von DERIVE kann dementsprechend minimal konfiguriert werden.

Allerdings müssen wir gewisse Verfremdungen in Kauf nehmen, die z. B. unsere gewöhnliche mathematische Darstellungsweise betreffen, so z. B. hat DERIVE zur Eingabe nur einen Zeileneditor und keinen Formeleditor usw.)

Im folgenden wollen wir am Beispiel mathematischer Abschlussprüfungaufgaben an Realschulen (B.-W.) als komplexe Berechnungsaufgaben zeigen, wie diese mit dem Computerwerkzeug DERIVE gelöst werden können.

2.2.2.2 Das Lösen von Pflicht- und Wahlaufgaben der Realschulabschlussprüfung mit DERIVE

Unter den von den Schülern und Schülerinnen zu lösenden Berechnungsaufgaben nehmen die Prüfungsaufgaben für die Abschlussprüfungen der Sekundarstufe I (Realschulabschluss und Mittlere Reife) eine besondere Stellung ein, weil diese Aufgaben einerseits die Ziele und Intentionen der jeweiligen Bildungspläne im Fach Mathematik widerspiegeln sollen, andererseits aber auch dem tradierten Kanon von Prüfungsaufgaben verpflichtet sind sowie den Ansprüchen der die Prüflinge abnehmenden Bildungsinstitutionen genügen sollen. (Es ist hier nicht der Ort, die herrschende Prüfungsaufgabenpraxis einer entsprechenden Analyse und Kritik zu unterziehen.)

Die Prüfungsaufgaben (Realschule Baden-Württemberg) lassen sich nach ihrer Thematik einteilen in:

• raumgeometrische Berechnungsaufgaben

• trigonometrische Berechnungsaufgaben

die Prüfungsaufgabenstellung, ist im folgenden dokumentiert durch die Angabe naheliegender und von den Leser und Leserinnen − am besten mit Benutzung von DERIVE

− nachvollziehbarer Lösungswege; die Lösungen sind mit einem Kommentar versehen.

a) Das Lösen von "Pflichtaufgaben" mit DERIVE Pflichtaufgabe 2:

Gegeben ist ein Kegel mit dem Radius r=4,5 cm und dem Volumen V=155 cm³.

Berechnen Sie seine Oberfläche.

Kommentar zur Lösung der Pflichtaufgabe 2:

An dieser Aufgabe lässt sich die „Top-Down-Methode“ zur Lösung einer Berechnungsaufgabe gut veranschaulichen: Man lässt im Term der gesuchten Größe schrittweise alle Variablen bis auf die gegebenen Variablen ersetzen. Im Lösungsterm (Zeile 12) erkennen wir, dass er für alle gegebenen (positiven) Größen V und r zur Lösung führt.

Substitution der Variablen durch die konkreten Daten ergibt die gesuchte Lösung (Zeile 13/14). Die Lösungsformel kann auch als Berechnungsmakro definiert werden (Zeile 15).

Damit ist die Klasse aller entsprechenden speziellen Aufgaben gelöst; durch Einsetzen aktueller Werte für V und r in O(V, r) erhalten wir den zugehörigen Wert für O. − Zusätzliche Kommentare, die die einzelnen Lösungsschritte beschreiben und begründen, sind noch einfügbar.

diese Formel ist an Realschulen Baden-Württembergs nicht mehr Unterrichtsgegenstand (vgl. Bildungsplan Realschule B.-W.). Die allgemeine Lösung der 1. Teilaufgabe steht in Zeile 6. Aus der allgemeinen Lösung erhält man durch Einsetzen der konkreten Daten den gesuchten Werte (Zeile 7/8). Mit dem Ansatz K2=K3 für die 2. Teilaufgabe erhalten wir eine lineare Gleichung für R (Zeile 11) und in Zeile 14 die Lösung.

Eine knappere, an der Erstellung und Verwendung von Berechnungsmakros orientierte Lösung, ist die folgende:

b) Das Lösen von "Wahlaufgaben" mit DERIVE Wahlaufgabe 1 a):

Im Viereck ABCD sind gegeben: AD= 5,0 cm, DE= 6,4 cm, BE= 6,9 cm, Winkel DEA = Winkel BEC.

Berechnen Sie den Winkel DCE.

Kommentar zur Lösung der Wahlaufgabe 1a):

Ziel der Lösung ist es, den Winkel DCE in Abhängigkeit von den gegebenen Längen AD, DE, EB darzustellen: Zeile 13. Wir hätten auch, streng "top down" von wDCE = wBCD - wBCE (Zeile 12), ausgehen können. Als Lösbarkeitsbedingungen ergeben sich 13 aus DE² - AD² >

0 und AD / DE < 1 : DE > AD (die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck ist immer größer als jede der Katheten; für den Grenzfall DE = AD degeneriert die Figur und der Winkel DCE wird 0°) und aus BE - √( DE² - AD²) > 0 (denn Zähler BE⋅√( DE² - AD²) - AD² + DE² > 0) : BE² + AD² > DE². – In Zeile 14 ist das entsprechende Berechnungsmakro definiert. Die gegebenen Werte, eingesetzt in das Makro, liefert den Winkel DCE im Gradmaß (Zeile 15/16).

Wahlaufgabe 2 a):

Gegeben sind eine nach oben geöffnete Normalparabel p mit dem Scheitelpunkt S(3⏐-4) und eine Gerade g mit der Steigung m = -1, welche durch den Punkt P(3⏐-2) geht. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von Parabel und Gerade.

Eine weitere nach oben geöffnete Normalparabel geht durch die Punkte Q(-2⏐1) und S(3⏐-4).

Bestimmen Sie rechnerisch die Funktionsgleichung dieser Parabel.

Kommentar zur Lösung der Wahlaufgabe 2 a):

Hier ist eine recht konservative Lösung dokumentiert; man kann natürlich auch die gesuchten Größen als Berechnungsmakros in Abhängigkeit von den gegebenen entwickeln.

Die x - Koordinaten der Schnittpunkte von parallel verschobener Normalparabel (gegeben als Funktionsgleichung in Scheitelform) mit einer nicht vertikalen Geraden (gegeben in Punkt-Steigungsform) sind die Lösungen einer quadratischen Gleichung (Zeile 6). Aus den allgemeinen Lösungen (Zeile 7/8) entnehmen wir die Lösbarkeitsbedingung:

m² + 4 m (x_s - x_p) + 4 (y_p - y_s) ≥ 0

„Löse die Aufgabe zuerst allgemein und dann für die speziellen Daten. Gib die Lösbarkeitsbedingung für die allgemeine Aufgabenstellung an.“ Oder: „Entwickle die allgemeine Lösung für die folgende Aufgabe... Welches sind die Lösbarkeitsbedingungen?

Prüfe, ob diese von den gegebenen Daten erfüllt werden. Berechne die Lösung für die gegebenen Daten durch Einsetzen in die allgemeine Lösung.“ Die Bestimmung von Lösbarkeitsbedingungen und deren Diskussion für eine Klasse von Aufgaben verstärkt den Begründungsaspekt beim Lösen von Aufgaben; Voraussetzung für die Diskussion von Lösbarkeitsbedingungen ist aber − die in der Sekundarstufe I vernachlässigte − Behandlung von Ungleichungen.