Mathematische Kleinigkeiten

Paper-ID: VGI 190627

Mathematische Kleinigkeiten

Karl Fuchs

¹

1

Preßburg

Osterreichische Zeitschrift f ¨ur Vermessungswesen ¨ 4 (17–18), S. 272–275 1906

BibTEX:

@ARTICLE{Fuchs_VGI_190627,

Title = {Mathematische Kleinigkeiten}, Author = {Fuchs, Karl},

Journal = {{\"O}sterreichische Zeitschrift f{\"u}r Vermessungswesen}, Pages = {272--275},

Number = {17--18}, Year = {1906}, Volume = {4}

}

. .

. -. 272 -

!

;�

Mathematisch� Kleinigkeiten.

, V0n Professor Karl Fuchs (PreßburJ)·

L j . • •

,

^{' .:�' -;::-��}

·

Die

logarithmischen Formeln der Trigönometric kann man auf sehr

cinh c1t :;.:';,�, liehe

^und ü bersichtl iche Art ;1us c\e.rn Si n ussatz ab lei ten . Zun1Lchst stellc11 wir

de r1 <[

Apparat _· zusammen. , mit ^dem wir arbeiten werden.

Wir

werden folgenden bekannten Satz atmenden :

a1 . � ^• ai

+

^{a�· a1 -az} · n

q

= b; =

^{b2. =}

·b;-�-=-b�

^=.

^{bi= h� - .}

^{' ' .}

; d, h. wenn zwei Brüche a 1/b1 und

a2/b2 .

d e n s e l b e n Wert q haben, <lanu er• _.

hält man neue Brüche von d e m s e l b e n

Wert

q, wenn

man

^{sowohl die Ztihlt:t}

. als auch die

Nenner

addiert oder subtrahiert.

Sod;:inn werden w ir die folgenden geometrischen Gleichun gen be11 ut;1.e11, ^voJi

denen die ersten drei allgemein, die letzten aber speziell fiir, das

el)ene

^Dreie-i;k­

•·{ ct

+ � +

^{y = 2 R) giltig sind . . Wir} b'ezeichncn dabei die h a l b e n W i i1kel �

ß

^Y

,. mi t rJ.'

I}'

^{y' :}

sin a = 2 ^sin cz' cos r1.' ^•

sin a

+

^sin

ß

^{__:_ 2 sin}

^(rx' + ß')

^{cos a'} ...:...,

W

^J

· sin o: - siri

ß _:_

^{2 cos l CX'}

+ ß'

^{· si11}

^(rJ.'

^�

[�')

.

si11

^et

-·b'

siu

�

^{--1-'sin y} ::--":: 4 COS a' C()S

�·

^{COS '('}

sin

^o:

+

^sin

[3

^-

siil y

^{� 4}

^sin

^{er.' si11-}

ß• ··os y'

^.

si n

•:Cl + r�)

^{= sin y}

S t u fe.

cos

(a: + ß) ^.

^{. . � cos y .}

sin la.' + ß•)

⁼

c,os y'

cos

(0:' + (3')

^{= sili y'}

. . - ^'

'.?)

�)

+J

5)

^.

(i)

7)

8 ) I U)

9)'

Den Siruissatz

kön n e n wir so schreiben, wen n wir .den

Radius <le's

u m

. , . ÖceJcck geschriebenen

Kreises mit

^� bezekh11en :

' ·.' . . . .

2 � =

.2.... ·=

sin et· ··

�:

sin ^· � ^_:..: . sln 1

^:._

^{· . . . . .}

^{1 1 )}

^{· , ,}

· unter Anwendul1g v.on 2) fiuderi wir fülraus die

folgenden

Ei11zelgleil'hungeni Substitutio11en brauchen

werqen : .

^.

a =

2

<; sin ex oder : .a ='4 <; si11 �· cos·a.' b = 2 <; si n

ß \.

^{b ..•. 4 <; sin r�· cos}

w

c = 2 <;; sin y . c . · 4 i; .si n

' ( ^c�s

^y'

. z \v

e i

^t e

s

t u f c .

.• . ·

1 Z) 1 3)

1 4 )

:0;1Ler A

nwendung der Formel

1)

^{gewinnen w i r aus d�m ·}.Sinussatz 1 1 ) die

. ,�,;;

(tilg�n:d�t�

Gleichungen : •

·' „ ^_ a

+.b

^_ · ^a b

"' � ^�

Siii7.+

^sin

^•. ß

^{�. STa-·�- ��-sin�. · · · · · · · · 1 S ) ·} Unter An"•endung von 3) u nd '4J wer.deu daraus "die folgenden Einzelgleichungen : .

· · a

+

^{b = 4 �}

sin (oc' -t ß') cos ^{(DG' �} fl')

^{: · 1 61 '}

a ·- b ...;;. 4 � cos

(0:1 + ß'l sln ^(o:„

^-

�·)

^'

' . ' 1 7 )

-, •,,._ ·

-- '.2 7 3 ^··-

U n ter A 11 w c 1 1du 11g von 9) u 1 1 d l Ü l w i rd dar au'-' :

a

+

h ^{= ·l ; c o s}

/

^{cos i. Cl'}

\'.i') .

^{. l}

:�)

I ')) Durch

I )ividieren

a -b ⁼ -� ; si 1 1 y' sin (a' ^{· · -}

l)' )

gehen

diese b e i den C.Jlc ich u 1 1 k'1; 1 t r k 1 1 T a 11 g c 11 t L'. ll s a t z :

a

+

^{h tg ( :x· + �· J}

:1 - ·-1� ^==.::

1-�

^{( '1. • ·,n} . <;!() )

_

Wen n _{wir aber}

1 8)

^{u 11d}

1 'J) durch

¹

� )

dividier en. li111k11 ^{l\'i l r l i 1 · �l 1 ;}

1 1 1\·

^{(' i d i·}

'·-!Ycl1cr ( 1 _{• 1}

• eichungen :

�

-!:::_�

^{= cn s (u' -;; ')}

c sin ·r'

. 1 .... h · d ll 1 1 ,' ,: -, .:.. 1 , 1 . )

D r i t t e S t u f e .

. Aus dem Sinussatze

1 1 )

gc w 111 nen wir 11n t l'r A 1 1 w c 1 1 i l u 11 � ^{v n 1 1}

1)

d i1: iul�L· ll · G leichheiten :

2 � ⁼ _�ill ^{.. _ _}

:i + 1i

+ c

'I.

+

siii �

+

^s\1;.1

= ^{·- ·---·} n.

+ b +

^{c ;, li . . ( :1 ! \;}

---sin ^'/..

·-1· si;1·{:�:

^{sin ·r ·-- �in r.1. , i 1 1 ;: + �1n ·r ·-- ,in · ..}

l >er K iirze wegen ^... fijh rcn wir r1 1lf�1·1Hlt> Zeil' ll1•11 ^{1 ·1l l:}

So = a

·+

b

+

^c

'-111

. 81 ^{= ·-}a

·+

^h

\-

^c

Unter A 11wcndu1w _" v on

s� = a --- h

\

^{· c :: � == :t}

ⁱ

^{h , ·}

;)) und

( 1 ) gi b t 2 .; 1

d:11111

l n l �,l· 1 1 t l c Ei 1 1 1 c ! v: k l 1 h u 1 1 �.�cn : S11 ⁼ 8 � c n s r:J.1 cos

\1' 1:1;-, y,

S I ₌ 8 _c t" 1 '(_{.,, c.} )_. '' _{" ..,}^"'_, ¹ _s , ' 11 ₁ '·1lj ' ^<·' ^{(. I I .}l ^,'

S;i ^:::-- 8 ; sin a.' s l n

[i'

^{rn s y' .)(>)}

Aus dieser ( ;rup pe ^{\' Oll} c ; 1cid1L1 n gen ki.innc-11 wir S!J\\'i J]i\ d 11 1 d1 l )i 1 isi1 1rw11

s2 = 8 .; ^sl 1 1 a' ' n ';

p'

si11

·/

nurh du rch ivlultiplik ati(J l l C t • ei 11c i\l cn gc l'ornwl11 :tbkiten; ^'Z H .

s � t lg'( ) "'

:.1 ⁼ t1r 13' tgr ^{" ' ·--- -1 )}

fiö b 1' ^{1 �:t IV,} [l'

Durch paarweise

� :! lß ^r;.

··--

s1 s! .:== ·1· a b si11 ' . l ^. ...

y'

1

Su s2 ⁼ 4 ^{c a cos2}

(3'

^{s� s!�} :;::::..:: + ^{i "} �;n 1, a ^·

. s0 sa

^{= 4 a h cos2 y' s;1 s1 '"." 4· c a si11:J}

iJ'

Su s1 ⁼ 4 b c cos2 a'

Furn1f'l 1 1 :

3

\ )

Das si J d' b · l I '

l

.. · · ' nc ie ekannten u n d gcbrfü1cli hr ^{1c 1 1} ' on 1 1 c _{1 1 .}

AOJli Went1 man alle vier Glci

· huuie n

^{2 l i . .} „,;u•iuauder mu ! < ipliiicn . °' '"' in·

iv·

^{. ..}

.füldet

^mau

die

dritte u nd vierte G lcic'1 uu� 3

2)

mi to· i u a u ,frr mult•plmcr\ . dan u

:�,-:' ^'·

inan :

� 274 -

oder :

Y ^s0 st s2 s�-=

^{2 cv b sin y = 4}

^f

=· 2

ft·c

^{sin oc .}

Wir ^{kö nnen} auch die Gleich

�

^{11 ge}

,;�� i".n. ^�

^mit

¹²

^J

1 3) 1 4)

^{div idicren}

� � ;�

tinde11 wir dann beispielsweise : .

s1

:? sin ß

sla 'r' �o

^{Z cos} ß ^cos ·(

-ä =

---�---

^{a = --- sin}

�---

s1

.

^{Z s}in '"( sin ,r.t/· ^{· s0} . 2 ^cos ·( ^cos

· Cl

b

=

---sl'ilß·-- b- =

^{-sin ß--}

s� 2 sfo ^Cl sin ß ^s0 2 cos ^a cos ß -c =

- - sfii1 - - . c- = ---sin

^·(

Wenn wir die Gleichu n gen. der ^er�ten K olumne paarweise tiplizieren, ^{fin de n} wir scho n bekannte Formeln :

S 1 S1 _{·11 h =} 4 _s

.

_m^a _{• j'} ^S.

· b c•

^{s. -:-} 4 ^s111�

.

^{„ !X1 Sa}

^{- c„�·}

^I',

^.

^{. 4} Siil" 11 ^{• q (), . •}

3 4) ,

So kan n man ^noch mancherlei F. rmeln gewi011en. Eii1

Beispiel möge

g�;

niigen

. .

^{Wir kö nnen}

1 1)

^so schreiben, indem wir erweitern : i:;

2 - ^__ ':_Cl,)B

l__

^{- b}

CO�

^{_ ___ c_}

3�)

^<

i; - sln ^rx cos � - cos ^a sin � - sln ·r ·

Aus den

ersten

zwei Brüchen aber fi.uden wir auch durch A<lditio n : 2 ^{� _} _- -:_cos

�-±_h

c1>11 Cl ^_ � cos

�j�� ^eo�·

sin

(a. + �)

^- sln ·r

Aus ³⁶⁾

ⁱⁿ 37) folgt also :.

361

3

.

. :�

c = fl.

cos � +

^{p cos (% .}

Mit dieser Gleichung ist

·aber

bekan.ntlich auch„ der C a ^r n o t' s c h _e

S�t t::�d

' " · ·

· . .

.

lL· .

,, ::{,1

ßis i u d'.ie jüngste Zeit. habe ich j�nge Techniker klagen hören, die ^·

Forin el:�fä;

�· : ·d ef T � ii g'e n t i a l e b e n e wäre ihnen nicht klar. V ielleicht ist die folgende

Al:i · ·. � � :>/ ^.

^· ." " ^· leit�n� .^· _{. ' . 'EJn} (li1lleuchtend. _Raumpunkt E� _'Po sei ^· _von ^die _de11

_F

Gleichung irgend

_(x

Kö.otdi11aten

_{y z)}

_{--:-- 0 ' .}

Xo Y.u

_{. .} einer _·

_:

^Zo

. . . 1 )

^{Fläche so11 ·· dieser}g�geben : ^{. Fläche}

ange;t

^·

i(��� .:-: ''V" j} )

'höre.n„ d h. ^· \\Tenn wir in F die Werte �o

yö

z6 einsetzen, soll die ^{F u n ktion t}

'·>�:

: ipe1)tiscl1

Null' sein ; F

(Xo

^y�

zo) ;;::;

^{·o ·}

^.

^{. ·,· . . •}

^. . 2) ,''.: �

�(: -'i:,·.

^<Jrgendein and�rer Raumpunkt p v011 den _Koordinaten x y z ^wird

im

^all���_'..

/

^r:;

�:>: ^.'.1

^{mein�ß.:Jticbt. der} Fläche F angehören.

Er ·

^{hat in.} Bezug auJ p0 als Ur!)ptu11g

die„ ··· ;·

, _.-'kt1of(lfüaten : ^. .

·

;. :�·1

,: · · ' ^. · _ ·': ,

6. x.. = 'x·'� xa , 6 y = y: � . y0 ß z = z . - z 3) _ - , '/'';;1

.<;{. ^{:_ .}. _{- .}

_·,_ - .: . ' - c;':'"

; ' � -;,. .;

^{' „ .· ' .;' -} . - ,i--,,.

"·":_:,

�: wo/ {S. x. . 6 ^y 6.z

irgendwekhe

·

^endlicne Größen sind.�-Wenn wir aber annehmen,,.,�;,f;;

:

;;.;'jf-

^.

^\

^{��{f p :s e h r···n a h e .iu} p� Hegt, dann· si.nd die .Koordi:natendifferenzen sehr

kleh1 � :' � ^{'\ '} _:

\�1:,„: �} .';

^{· und· _ ·_ man „ . . · pflegt}cJ x -;- � -- xo ^{· sie so·-zu}

bezeichneo·;

d )1 ·' :Y � Yl> '' ^·

d t � z :_ zo

^{. · ·}

. ·

^{.· . . .}

⁴⁾ :A�·i

�

^{,c:Jlie,r ,sji1cl also .ß �1 d y, d}

z

die auf.� Po als Urspr,ting hei·ogerien' Koordinaten

,f'.i·r:� ,ehfos. �aumpµnktes p, der sehr nahe,.zu p0 liegt.

,

\�,1,[;'.f l� ' E;-

.

^. .. ,

> ^{· ' , .. . . .}

- 2 7 5

, ,, . \V e1111 wir w olle11, daß der l' uu k l p ebe11falls 1 11 der Fl<Hie F lic�c, ,Ja11ll

:'::•C 1!loss eu

^sei11e Koordinate11 ebe11 falls die Fu 11ktio 11

1 )

i •len tisd1 g lei

.h N uli ruac hc11 •

'·'' . F \l<-0

+ d

^{x, y0}

^{+ d}

^{y, z„}

^{+ •l}

^{' J �� ü .}

^{. . . S)}

• ,

y

,

Die . ser �

Ar"dru ck 5) können wir aber immer so e n l wickcl n , Uni! er trn tc r

.,, _

e rn,ich l · •ss1g

^. h " I (� 1· d ^. I' .

i(' _P

^{'".· u ng, o ierer , re er ehe ' o rrn anrnrnml}

·

·�·· ·

(Xo )'o Z o) - L

^l•

' (x·

)' z 1 1 ] ' '

( · )

1

\

^{I• ''x· y ., ' (\Z -- 0}

^('>)

:r

:;,t]·

^{. , · 1 x}

o

0 0 c X ^{-·,- • r} x0 y0 z0 c y ^{--- "· 1 11 n}

''! I' .^{. · ---}

'� rier ist ·1• ^·

G l' ·

^·

· 1 1

1 · l · l 1 ·

ß'• , ^•_'Jr.

^{, : . "·" erste • red laut 2) je den f} :il\s iden t rs r., 1 Nu l . J ^{" '} • r e r '.' > �" cnc 1 tr1 1

• t

uuk ltoneo aber ha be11 irgend w e ldie best i rn m t e 11 '"'"' d>Ch · Wer"'. tiro' " " " den

.numcrisd w ^· · ^{. · · · ·}

f · t ·

^{· 1}

!l

^{· ien erlen x11 y, z0 abMn�en, und drc w rr rnr t j „ ,}

}, "'' ·' '"' ' ""'

^{"" l cn}

� a <.las erste Glied überflüssig ist , bleibt nur der Ausdruck übri � :

f,

^d

^{X +} /y

^{U y}

^{+ f}

^.. d Z = ()

7 )

gewisse konstan te Z ahlen si nd, wiihrcnd d x , rl y , d 1. ir�\cnrh\'eklH•

R

^{G riißen} sind , rlic n u r a n die Jlerli ngu 11 g 7 ¹ gcbu 11Jeu >incl .

.J r ·dt•{

aum1)l111kt

1 ^. r

r • ! j l 1· 1) . 1: . ' ^{" .}

„ • < essen ^aur !'> bezoge11e Koorr\rnat en r s r y • /. r "''°

rc• rngu n g ^{t r}

.erfullen 'st · r1 ^.„ , ^· · Y l 1· 1 · 1 • J ^·

T

^• 1 elll u11k t der

\' i;iche

l• ,

^{N un 1sl}

7)

aber ^o hc11 eu r ^'" "" ' r u ng n11cr

� b e n e cl"· ^{d ·h „ ·} J'

\ ' · . h1

^{1· ·}

- 1 · 1

· , ^{• re u rc} den Koordmatenurspru11g p0 geht ; ur

'.n r :r .ei l • "^"" ' ' >cncn·

gleicltung s' d 1 ^{· ·}

· ^„ (^{, ·}

1

· i ^{· L' ·}II · 1 1

· , in c x , d y, d z ; ihre Kon stan ten sind /, , . , , / . u 1 1< 1 1 1 e

.:ik w 1 n \.l',

C<

ß

"( sind bestimmt durch · •-'

cos oc=f, cos�=J,

^{co s y=}

�

f," = J!

!· /.' 1 /.' ^·

⁸¹

Diese Ebene ist s e h r ^{k l ci}

;

¹ Ja die G kicl1u n v 7 ) n u r ltir sehr tki n e K D- -Ordinat · , ."' ^. d X , d y d z ab�elcrt ct ^{. .} rsl ; ,1cder ^'

.

l ' u 11 k l rhc"r J•, henc

^.

^{' · ·} 1sl :rnd1 c 1 1 1

·

1 ^' n nl. ! der Hiche t? t · · · ^{· '} 1· 1 1 ) k

Eben

^{',. .' "}

'.

^{" m der M 1 1 t e rhcse r k\01 ue1 1 l,hc11e . wgt ,}

'.

^{cr .} "'"

'.

^{, p„} !lie>'e r1 ^,

'.

^„"t also nrc!r ts anderes, als das um p„ herurng dcgene 1 ^{,, n} g e n 1 „1 l c k 11\ !' u 1

· ^{1 !•lache}

F. Wir

^{kön nen} die l•'J:iche ^auch \\'achsen h1s�wn u nd dt11 K oofJ 1 na kn

�ndliche W ·t 1 · ⁱ

7 )

l.

1 t

. c1 e zusc 1re1ben , so dal.1 ^{· c} ann autc :

/, .

^x'

+fv . y' + /, .

^{z ' = 0 . . . . . · ·}

^iJ)

D i e l�bene iindert dadurch ihre Lage n icht, nur gchiiren ihrt: v o n Po e 1 1 t ·

f erntere1 1 Pu rrkle nicht mehr der

Fl:lche F

^a11 l)ie l ;

!eidrung 'J)

is< d<r r r ri .!ir"

. Gleichung

d

^{. 'l' . .} l''I" l 1 · ^. 1 1 ·\·1. 1 ^' , z'

. er a n g e n t > a l e b e rr e ' der ' ar. w ^' r rn u n , ' !"" u nr x Y ^·

srnd

die auf den Pu11kt p, bezogene II K uorrli na <en ir�en� welchen !Chcrrcnprr rr k tes

·

Wenn

wir die Koord i 11 ate11 der Ebene e auf derr lk<pru 11� 0 rler F liirlre

l )

^{u m}

scl 'b

· • iret cn wollen, dann müssen wir setzen :

. , x

⁼ x,

+ x'

^{y = y,}

^{+ y'}

^{' = Zo}

^1-

^z'

" . · '

�nd

^so ergibt sich für die Tange11tialeberre Jer Fläche

F irn l'urrkrc

p„ rlie aul

en Ursp rung 0 bezogene G lcic

h

^{ung :}

f� . (x

^-

^x0) + /y . (y

^-·

yl}) -+- j� .

^{( 1, -�}

^/,n)

^{'= 0}

Die S tellwinkel dieser Ebene aber sind Jie alter ; sie Ri:1d dur·h

8) gc•gdJefl .

. , Diese Ableitun g ist in erster Linie darum klar, wei l darin keirr W<>ri '""' .D1ffere·nt' \ ^· · f „ \ l St 1· ^.., ·J • li..'l. 1 111'

· , ra q u o t r e n t e n vorkommt

Den

An !lrr�crn wrrr< ^e "" ^·

ur ru „. ^' 0• " ^{" · •}

· 11\etr

k

außerordentlich erleichtert, wen rr man <' 11ad 1 Möglichkeit v «·m ierl" . vo 1

''.�tfferential q u

o

t i e n t e n zu sprec Iren ; der Kopf des A nf:irr�ers hal rrichli e h K"""\(

zu. tun, sich in den

D i f f

^{e r e n}

i i

^{a 1 e n} zurecht zu finden.

_,..,_ . .--"·�...---'-·