Monotone Systeme mit redundanz-abhängigen Komponentenverfügbarkeiten

deposit_hagen

Publikationsserver der

Mathematik und

Informatik

Informatik-Berichte 25 – 08/1982

Helmut Bähring, Klaus Heidtmann Monotone Systeme mit redundanz-

abhängigen Komponentenverfügbarkeiten

Monotone Systeme mit redundanz-abhängigen Komponentenverfügbarkeiten

Helmut Bähring und Klaus Heidtmann

Zusammenfassung

An einfachen und zum Teil aus der Literatur bekannten Beispielen wird gezeigt, wie sich die Verteilungsfunktion der Lebensdauer von Systemen berechnen läßt, bei denen das Ausfallverhalten der Komponenten statistisch von- einander abhängig ist. zugrundegelegt werden dabei die Verteilungsfunktionen der Komponentenlebensdauer unter den verschiedenen inneren und äußeren Einflüssen, die auf das System einwirken können. Das Verfahren wird danach allgemein für k-von-n Systeme hergeleitet und an einem Beispiel mit exponentialverteilten Lebensdauern der Kompo- nenten demonstriert. Anschließend wird es auf allgemeine monotone Systeme übertragen.

Die folgende Untersuchung stammt aus dem Bereich der Technischen Informatik. Die gefundenen Ergebnisse sind nicht nur z.B. auf Multiprozessorstrukturen, sondern allgemein auf technische - ja sogar auf soziologische - Systeme anwendbar. Deshalb wurde bis auf gelegentliche Randbemerkungen nicht laufend auf die Technische Infor- matik hingewiesen.

Bezeichnuno-en:

*

A ,A s s E

Fs(t),fs(t) Fk _vn ^(t)

a a

F. (t) ,f. (t)

J J

H ( t)

I

K,K.

l L{F}

L. l

N. J IN n IN~

Pr{A}

n(I)

Menge von Vektoren aus Komponentenindizes Envartungswert

Systemlebensdauer-Verteilung mit Dichte fs(t) Lebensdauerverteilung des k-von-n Systems Dichte zu Fk _vn (t)

Lebensdauerverteilung der Komponente K. nach

J

dem Ausfall der Komponente K., iE cr(a),jE cr(a)

l

und deren Dichten f~(t)

J

Verteilungsfunktion der Komponente K. nach dem

J

Ausfall von ~ Systemkomponenten

Heavyside-Funktion H(t)=O für t<O und H(t)=1 für te;;O endliche Indexmenge

Anzahl der Elemente von I Komponenten eines Systems

Laplacetransformierte der Funktion F(t) Lebensdauer der Komponente K.

l

Systemlebensdauer (k-von-n System)

Ausfallrate bei exponentialverteilten Lebens- dauern

·{r I ICIN, II/=j}

n

Menge der natürlichen Zahlen von 1 bis n

JN X {O}

n

Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A

Menge der Permutationen der Elemente von I für I C IN

n

n*(r)

; ( I)

;*(I) a

s s (x)

a ( a)

a (a)

lR T1 •• T

mT

II

T. J V

V' TT

X

x. l

z.

l

z. l

G(t;,)

*, *

{O} X: n(I)

{a I a e n(I), alIIE Tj}

,..

für IET.

J

•

*

{0} X n (I)

Vektor aus den Elementen von I c [N oder

n Ic N ·n

*

ab Abschnitt 3: Permutation der Elemenete von I Variable der Laplacetransformation

Systemfunktion

Menge der Komponenten der Permutation a iN n a(a), Komplement von a(a)

reelle Zahlen

minimale Trennungen eines Systems

{ I ! I C N , T.

c.r

'T. ,-l- I für alle iE N -{ j}}

' n J i ~ m

T Varianz

Disjunktion, logisches "oder"

Produkt

Vektor aus den Indikatorvariablen x.

l

Indikatorvariable

elementare Betriebszustände eines Systems Betriebszustände eines Systems mit unter- schiedlichen Lebensdauer-Verteilungen zum Zeitpunkt, modifizierte Lebensdauer- Verteilung

Faltung

1. Einleitung

Bei der Ermittlung der Lebensdauerverteilung bzw. der Unverfügbarkeit oder der Betriebsdauerverteilung*) eines komplexen Systems

Systemkomponenten

S aus den gegebenen Verteilungen der K. stößt man auf das Problem der Be-

l

rechnung von bedingten Wahrscheinlichkeiten bzw. Verbund- wahrscheinlichkeiten der Form

Pb = Pr { Ki zum Zeitpunkt t intakt K. in t defekt} bzw.

J

P =Pr{K. in t intakt und K. in t defekt}.

V l J

Da eine analytische Berechnung in vielen Fällen nicht oder nur sehr schwierig durchzuführen ist, behilft man sich in vielen Anwendungen mit der Annahme der statistischen Unab- hängigkeit des Ausfallverhaltens der Systemkomponenten, so daß für obige Wahrscheinlichkeiten gilt:

Pb= Pr{Ki in t intakt} bzw.

P = Pr{K. in t intakt} • Pr{K. in t defekt}.

V l J

Unter dieser Annahme werden in der Literatur für viele Systeme geeignete Systemparameter, wie z.B. die Lebens- dauer und ihr Erwartungswert, die Verfügbarkeit usw.

angegeben.

(vgl. [GAED 77])

*) Im weiteren sprechen wir nur von der Lebensdauerver~

teilung. Die dargestellten Ergebnisse gelten völlig analog für die Betriebsdauerverteilung.

Es ist klar, daß in sehr vielen realen Fällen durch diese Annahme ein mehr oder minder großer Fehler gemacht wird, da die Unabhängigkeit der Komponenten eines Systems einen Idealfall bildet, in dem die Komponenten vollkommen iso- liert gegeneinander sind. Dieser Idealfall ist sicher nur in sehr wenigen, speziellen Systemen anzutreffen. Die un- ter dieser Annahme berechneten Zuverlässigkeitskenngrößen dürfen somit für die meisten realen Systeme nur als

Näherungs- oder Richtwerte für die tatsächlichen Größen aufgefaßt werden. Unbefriedigend ist, daß diese Näherungen oder Schranken sehr weit vom exakten gesuchten Wert ab- weichen können, ohne daß man sich ihm weiter nähern könnte.

Dies trifft insbesondere bei komplexen Systemen mit viel- fältigen Komponentenabhängigkeiten deutlich zutage, wie sie zur elektronischen Datenverarbeitung verwendet werden

( [ DALC 8 2 ] ) .

Esary und Proschan [ESAR 70] veröffentlichten 1970 die erste Arbeit, in der Abhängigkeiten unter den Komponenten eines Systems bei seiner zuverlässigkeitsanalyse berück- sichtigt wurden. Sie beschränkten die Vorgaben auf die Marginalverteilungen und gingen vorn Begriff der Asso- ziiertheit von Zufallsvariablen aus [ESAR 67],

[LEHM 66].

Dies bedeutet für die in der Zuverlässigkeitstheorie hauptsächlich betrachteten Zufallsgrößen wie Lebensdauer und Zustand "defekt-intakt", daß sie sich in gleicher Weise verhalten, daß also eine kurze Lebensdauer einer Komponente diejenige anderer nicht verlängert bzw. der

Ausfall einer Komponente denjenigen anderer Komponenten nicht hinauszögert. Wie man an den negierten Verben er- kennt, schließt die Assoziiertheit die Unabhängigkeit ein.

Als Ergebnis ihrer Untersuchungen erhielten Esary und Pro- schan eine untere Schranke für die Verfügbarkeit von

Systemen aus assoziierten Komponenten. Weitere Schranken findet man bei [BARL 73], [BARL 78].

Es gibt jedoch eine große Klasse von Systemen, bei denen die statistische Abhängigkeit der Komponenten einer exak- ten Berechnung zugänglich ist. Diese sind dadurch gekenn- zeichnet, daß die Lebensdauerverteilungen F. der Kornpo-

l

nenten K. durch den Zustandswechsel des Systems zu einem

l

festen oder vom Zufall abhängigen Zeitpunkt durch Ver- teilungsfunktionen F.'

l ersetzt werden. Dazu gehören ins- besondere die Systeme, bei denen durch den Ausfall einer Komponente K.

l die Ausfallwahrscheinlichkeiten der über- lebenden Komponenten

a) vergrößert werden, weil diese durch Übernahme der Auf- gaben vcn Komponente

("Mehrbelastung") bzw.

K. l stärker belastet werden

b) verkleinert werden, weil die Komponente K.

l bis zu ihrem Ausfall die anderen Komponenten belastete

("Entlastung").

c) Ebenso gehören dazu Systeme, deren Belastungsprofil nach einer gewissen Lebensdauer durch andere Umwelt- einflüsse verändert wird.

d) Die eben beschriebene Form der statistischen Abhängig-

treten, daß eine gemeinsame Ursache, z.B. ein Kompo- nentenausfall oder ein äußeres Ereignis, mehrere Kompo- nentenausfälle gleichzeitig oder aufgrund von inneren Systemeigenschaften verzögert herbeiführt.

Ziel dieser Arbeit ist es, über die oben beschriebenen Ansätze von Esary und Proschan et al hinaus Modelle und darauf aufbauende Rechenverfahren für eine präzisere Zu- verlässigkeitsanalyse der oben erwähnten Klassen von Sy- stemen mit abhängigen Komponenten zu entwickeln. Dabei gehen wir im Gegensatz ^ZU [DALC 79a], [DALC 82], [BEIL 81]

von bisher in der Zuverlässigkeitstheorie verwendeten Mo- dellen aus.

Wie schon kurz erwähnt, bieten die redundanten Systeme die bedeutendste Anwendungsmöglichkeit unserer Ergebnisse, die nach dem Ausfall einer oder mehrerer Komponenten weiterhin ihre Aufgabe erfüllen, indem sie den für die bereits aus- gefallene Komponente vorgesehene Arbeitslast auf die noch intakten Komponenten übertragen. Durch die zusätzliche Last wird in der Regel die Ausfallwahrscheinlichkeit der intakten,mehr belasteten Komponenten steigen. Jedoch kann umgekehrt auch die Belastung einer intakten Komponente und damit ihre Ausfallwahrscheinlichkeit sinken, wenn sie bis zum Ausfall einer anderen Komponente durch diese be- lastet wurde.

2. Grundlegende Betrachtungen und einführende Beispiele Ein System S und seine Komponenten K.

l durchlaufen während ihrer Lebensdauer verschiedene Zustände

z0,z

1, . . . ,zn. Die Zustandsübergänge werden durch innere oder äußere Einflüsse herbeigeführt. Als innere Ursache kann man sich z.B. das Auftreten eines nicht zum System- Ausfall führenden Fehlers vorstellen, i.b. d~r Ausfall einer redundanten Komponente. Als äußerer Einfluß ist beispielsweise die Änderung des Lastprofils des Systems

zu nennen. In jedem der Zustände können die Komponenten unterschiedliche Verteilungen der Lebensdauer besitzen. Wir bezeichnen im folgenden die Verteilungs- funktionen der Lebensdauer, die die Komponenten besitzen, wenn das System im Zustand z.

J gestartet wird, als z,;-rerteilungen.

<)

Dabei sei immer vorausgesetzt, daß zum Zeitpunkt t

=

0 , also im Zustand alle Komponenten intakt sind, für die betrachteten Lebensdauerverteilungen F gilt also

F(O) =O.

2.1 Veränderung der Lebensdauerverteilung einer Komponente Wir beginnen mit der Betrachtung einer einzelnen System- komponente K, die zu einem festen oder vom Zufall ab- hängigen Zeitpunkt T vom zustand in den Zustand überwechselt. Sie besitze die z

0-verteilung der Lebens- dauer F (t) und die z

1-verteilung F' (t) , t :2:: 0 •

Für die von T abhängige modifizierte Lebensdauerver- teilung der Komponente K gilt nun:

G (t; T)

=

IF(t)

lF(T) + (1 - F(T) )F' (t - T)

(2.1.1)

1 t

>

^{T •}

Dabe.:.. stellt der Summand F(T) die Wahrscheinlichkeit des Komponentenausfalls im Zustand z

0 dar. Die Ausfall- wahrscheinlichkeit F' (t - T) im Zustand bis zum

Zeitpunkt t wird mit der Wahrscheinlichkeit (1 -F(T)), daß K den Zustand z

0 überlebt, aus Normierungsgründen multipliziert.

Für den Erwartungswert der Lebensdauer L der Komponente K mit dem Modifikations-Zeitpunkt T gilt:

T ⁰⁰

E(L) ₌

f

(1-F(t)!dt+

J

\1-F(T)-(1-F(T))F' (t-T) ]dt

' \ . )

0 T

T ^CO

=

f

(1-F(t))dt+ (1-F(T))

(

(1-F' (t-T) )dt

)

)

0 T

T ^CO

( ( 1 - F ( t) ) d t +

(-1 -

^{F ( T j J ( '} (1-F'(t))dt

=

j

0 0 J

T

=

f

(1-F(t))dt+(1-F(T)) •E

1 , (2.1.2)

wobei E

1 der Erwartungswert der Komponentenlebensdauer ist, wenn diese im Zustand z

1 zum Zeitpunkt t

=

O ge- startet wird.

Ist E

0 der Erwartungswert der Lebensdauer der ausschließ- lieh im Zustand arbeitenden Komponente, so gilt wegen F ( ^{00 )}

=

1 und F ( 0 )

=

0

E(oo)=E

0 und E ( 0 )

=

E

1 •

(Zur Berechnung der Erwartungswerte bei nicht modifizier- ten Lebensdauerverteilungen vergleiche man [STOE 70],

[GAED 77], [HOEF 78])

1- lt'.

w 3 (0 1-

(J !(

zw

{3

11. Q

zz

OJ

i -

.9

F' ( t)

/~:)

/

I

,=0.4

0 .

ANFANGSWERT

Bild 2.1.3: Skizze der Lebensdauerverteilungen F,F' und G.

1

Beispiel 2.1 .4: Modifizierte Exponentialverteilung Es seien F(t)

=

1 -e-;i._t und F' (t)

=

1 -e-;i._' t . Dann gilt:

G(t;,)

=

J1-e-At

l1 -e-:\, +e-;i._'(1 -e-,\' (t-,))

= (1

-e-At

~l1

-(>._-;._'), - , \ ' t

-e e

t ST

t

>

^{T •}

Insbesondere folgt für ,\

= ;,,_'

G ( t; T)

=

F ( t) für alle t E JR '

t ST

t>,

(2.1.5)

d.h. der Zustandswechsel zum Zeitpunkt , wirkt sich nicht auf die Verteilung der Lebensdauer aus.

a,,fl'.

1-

bl 3

(fJ t- 0 Ir {:3

zw

lt. Q

zz

{ bl i

.9

.7

A ' ~ 6 ~

1/

^A=3

;{ /

1

1 ,=O. 4

2

Bild 2.1.6: Modifizierte Exponentialverteilung

Der EDNartungswert der Lebensdauer berechnet sich zu:

1 ( ->,_,) 1 ->,_, E(,)=I· 1-e + I ' e

= (1 - e->,_,)EO + e->,_,E

1 =EO+ e->,_, (E

1 ^{- E )} 0

=F(,) • E

0 + l1 -F(,))E

1 ^(2.1.7)

d.h. als mit der Ausfallwahrscheinlichkeit ( ->,_-r~

1 - e t

im Zustand und der Überlebenswahrscheinlichkeit

- AT

e gewichteter Mittelwert der Erwartungswerte [GAED 77].

Man sieht, daß sich der Erwartungswert E(-r) der Lebens- dauer gegenüber dem Erwartungswert E

0 für

a) >,_ > >,_' vergrößert, da die Fehlerrate >,_' kleiner wird,

b) >,_

<

>,_' verkleinert, da die Fehlerrate >,_' größer wird,

c) >,_ = >,_' nicht und für sehr große T kaum verändert.

In vielen Fällen wirkt sich eine Zustandsänderung, die zum Zeitpunkt -r eintritt, erst mit einer Verzögerung T auf die Änderung der Verteilungsfunktionen aus. Hier er- gibt sich die modifizierte Verteilungsfunktion GT aus F(t) und F'(t) zu:

= ~

^{F ( t)}

(_ F ( ^T +T ) + ( 1 - F ( T +T ) ) F ^{1 (} t - ( T +T ) )

= G(t;T+T) für alle

,t::,;T+T ,t>-r+T

t;;,;

o.

(2.1.8)

GT stimmt also mit der Funktion G überein, die sich bei einem Zustandswechsel zum Zeitpunkt -r + T ohne Ver-

zögerung ergibt. (siehe Bild 2.1 .9)

Spezialfall:

Gilt für die z 1-Verteilung F' (t) die Bedingung

F' ( +0) lim

t-+0,t>O

F'(t) > 0

zum Zeitpunkt T+T

einen Sprung der Höhe (1 - F(T + T) )F' (0) Dies kann als

"verzögerte Schockreaktion" der Komponente auf den Zu- standswechsel interpretiert werden. Im Extremfall

F' (0)

=

1 führt dieser Schock zum Ausfall der Komponente im Zeitpunkt , + T .

Beispiel:

F ' ( t)

=

1 - e - ,\ ' ( t +c ) , F ' ( 0 )

=

1 - e - ,\ ' c

1-,r hl 3

{D 1-

() [(

{3

zw

h. Q

zz

UI 1 .9

„

1

vcrzogerter'.' Ausfall

~ 1 T=O.2

c>0

Schock

Bild 2.1.9: Verzögerter Änderung der Verteilungsfunktion Man beachte, daß diese Fälle auch für T

=

0 , also un- verzögert, auftreten können.

2.2 Herleitung der Lebensdauerverteilung des 1-von-2 Systems

Wir betrachten nun das 1-von-2 System aus den Komponenten K1 und K

2 mit heißer Reserve und ohne Reparatur. Der Zustandswechsel von z

0 nach z

1 zum Zeitpunkt , wird in diesem Fall durch den ersten Ausfall einer der Kornpo- nenten K1 oder K2 bestimmt. Gegeben seien die

Verteilungen von K1 und K2: F

1 ( t) und die z

1-verteilungen ^{F (}2 ) (t)

1 und F f ) ( t ) . Für i, j E { 1 , 2} , i =!= j , ist also

F. ( t)

l die Lebensdauerverteilung von intakt ist, und

die Lebensdauerverteilung von K. ,

l

K. ' _l

F2 (t)

solange

falls ab dem Zeitpunkt t

=

⁰ als defekt angenommen wird.

z -0 sowie

K. J

K. J

Bezeichnet man nach (2.1 .1) mit G 1,G

2 die modifizierten Lebensdauerverteilungen von K

1,K

2 , so folgt für die Verteilung der Lebensdauer des 1-von-2 Systems:

t t

F 1 v

2 ( t)

= J

^f ₁ ^{(T ) [ G} ₂ ( t; , ) -G

2 ^{(T ; -r ) ]} d, +

J

^f ₂ ^{(T ) [ G} ₁ ^{( t; , ) -G1} (T ; , ) ] d,

0 0

t

=

j

^f ₁ ^{(,) [1-F}₂ (,) ]Ff) (t-,)d, 0

t

+

J

f2(T) [1-F1 (,) ]F~2

) (t-,)d, 0

(2.2.1)

Die erste Gleichung in (2.2.1) ist sofort einsichtig, wenn man bedenkt, daß f

1 (,) 6, ^!!el Pr{,< L

1 :,; , +in} die Wahrscheinlichkeit dafür ist, daß die Lebensdauer L

1 der Komponente K

1 zwischen -r und -r + l -r endet. Die Differenz ( G

2 ( t; T) - G

2 (,;,) J gibt die Wahrscheinlich- keit an, daß das System S zwischen dem Zeitpunkt , des Zustandswechsels und dem Zeitpunkt t unter der Be- dingung L ₁

=

^T ausfällt, d.h. gleich

[GAED 77]. Die Verteilungsfunktion F

1^v2(t) läßt sich auch in der Form

t

F 1^v2 (t) = [ (F 2 (t)-F 1F2(t) +

J

f 1F 2 (,)d,)

*

fi1

)] (t)

0 t + [ (F

1 (t)-F 1F

2(t) +

j

^f₂^F₁ ^(,)d,)

^*

^{f~2)] (t)}

0

(2.2.2)

darstellen. (Beweis durch partielle Integration von (2.2.1) .) Die Klammerausdrücke geben darin gerade die Wahrscheinlichkeiten an, daß nur die Komponente K

1 bzw.

K2 defekt ist.

Für die Dichte der Lebensdauerverteilung ergibt sich:

f 1V2 (t) = (f 1 (1-F 2) *ff)+ f 2 (1-F 1) *f~2

)) (t) (2.2.3) Der interessante Spezialfall gleicher Komponenten K

1 und K

2 liefert mit F(t) =F

1 (t) =F

2(t), f(t) = f

1 (t) = f

2(t), F'(t) :=F~2

)(t)=Fi1)(t)

und mit f' als Dichte von F':

F1V2(t) = (2f(1-F) *F')(t).

f1V2(t) = (2f(1-F) *f')(t).

(2.2.4)

Für den Erwartungswert E der Lebensdauer berechnet man im Falle zweier beliebiger Komponenten mit F

1v

2 (t) aus (2.2.1):

CO

E=

f

^(1-f₁ ^(1-F₂) *·Ff) - f

2 (1-F

1) *F

1(2))(t)dt.

0

BeisEiel 2 . 2 • 6 : Es seien F

1 ( t) = 1 -.\t F ( 2 ) ( t) = 1 -.\'t

- e - e

1 F2 (t)=1 -µt

F( 1 ) (t) = 1 -µ't

- e ' ₂ - e

.

a) Für .\ ^{1 =l=} µ + .\

*

µ' folgt:

(2.2.5)

[ .\ µ

J

-(.\+µ)t .\ -µ't F1v?(t)=1- 1 - - . . . , . . - - ~ - = - e - - - . . , . . e

- .\+µ-µ ¹ .\+µ-.\ ¹ .\+µ-µ ¹

µ e , -.\'t .\+µ-.\ ¹

Der Erwartungswert E ist:

E

=

_1_ 1 1 +

~

+

J::__J

.\+µ

t

^{µ' .\'}

b) Für .\' = 2 .\ , µ ' = 2 µ , .\ ^=l= µ folgt: . .\ -2µt µ -2.\t

F1v₂ (t)

=

1 - - - e _>-.-µ - - - e _µ->-.

E = _>-._ • _1_ + ^{_µ_ •} _1_ = µ + >-.

>-.-µ 2µ µ->-. 2>-. 2µ.\

c) Für >-.'=2>-., µ'=2µ, µ=>-. folgt:

F1v

2(t) = 1 - e -2>--t(1 + 2>-.t)

Für statistisch unabhängige Komponenten gilt bekanntlich:

F~ v2 (t) = 1 - e- 2 .\t (2ei\.t_1).

Der Einfluß der Faktoren (1 + 2>-.t) und (2e>-.t - 1) unter- scheidet sich besonders für sehr große Zeiten t .

l- tr w

3 (0 1- (H Z!Jl

<J:3 i1. A

zz

<I i:I 1 ,9 ,8 ,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 , 1

_I /

/ /

_,. ^{I ;} .,,·

_,,,·

0 0 .1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 1

ANFANGSWERT 0 ENDWERT 4

Bild 2.2.7: Lebensdauerverteilungen für >..=1

Der Erwartungswert im Falle statistischer Unabhängigkeit ist Unter unseren Annahmen folgt für den Er- wartungswert:

E = _l

=

~Eu

>.. 3 •

d ) Für ^>.. = ^{µ ,} A ' = ^{µ ' , >.. '} =i= 2 ^>.. folgt : A¹ -2>..t 2>.. ->..'t F1v2(t)=1+2>..->..' e -2>..->..'e

Für x :

= T

^A' ergibt sich der Erwartungswert zu

>..' 1 4-x2

u 4-x2 2>.. (2>..->..')

=TI·

x (2-x)

=

E 3 •x (2-x) Die folgende Tabelle gibt einige Werte der Funktion

4-x2

h ( x)

=

3 x ( x-2 ) an .

Tabelle 2.2.8:

X o. 5 0.8 1 1.2 1.5 1.8 2 2.2 2.5 2.8 I

h 1.67 1.17 1 0.89 0. 78 o. 7 0.67 0.63 0.6 0.57 0.56

r[%] 40 14.3 0 12.4 28.8 42.2 so

Die letzte Zeile gibt den relativen Fehler in Abhängig- keit von x = -^71.'

71. an, den man macht, wenn man statistische Unabhängigkeit bei gleichen Komponenten unterstellt.

Schon für eine durch die Lastübernahme verursachte Erhöhung

( 71., 1

der Fehlerrate um 20% /d .h. x

= T =

1,

2)

ergibt sich z.B.

ein relativer Fehler r

=

12, 4% .

2.3 i-von-2 Systeme unter verschiedenen Bedingungen In diesem Abschnitt betrachten wir verschiedene Spezial- fälle eines Systems S aus zwei Komponenten K

1 ,K 2 . i) Es seien die z

0-verteilungen F

1 (t), F

2(t) gegeben.

Für die z

1-verteilungen F~2

) (t), F~1

) (t) gelte:

F( 2 ) (t) =F( 1 ) (t)

1 2

, t

=

⁰

, t

>

^{0 (2.3.1)}

Dieser Fall liegt dann vor, wenn durch den Ausfall der Komponente K. die Lebensdauer der Komponente K.

l J un-

mittelbar beendet wird (i :f: j , i , j E {1,2}).

Schock ohne Verzögerung")

( "tötlicher

Hier gilt mit ( 2. 1 . 1) für i = 1 , 2:

= {F i1·

^(t)

Gi (t; -r)

, t

>

^{T und}

t t

=

j

^f ₁ ^{(,) (1-F}₂ ^{(,) )d, +}

^J

^f₂ ^{(T) (1-F}₁ ^{(,) )d,}

0 0

t

(

(2.3.2)

- j

^f ₂^(,)F₁ ^(,)d,

0 t

=F1 (t) -F 1F

2(t) +

J

f

2(T)F

1 (,)d, +F 2(t)

0

D.h. unter den oben genannten Voraussetzungen bildet das 2-von-2 System mit statistisch unabhängigen Komponenten

(F~v2 (t)) einen Spezialfall des 1-von-2 Systems mit sta- tistisch abhängigen Komponenten.

ii) Leider ist es i.a. nicht möglich, den Fall des 1-von-2 Systems aus statistisch unabhängigen Komponenten durch eine einzige

darzustellen.

z1-verteilung der Komponente K.

l

Führt man jedoch die vom Parameter , abhängige Schar der z1-verteilungen

F~2

) (t;,) und Ff) (t;,) durch die folgende Vorschrift ein:

f

F. (t+,) -F. (,)

l l

:=

~

^{1 -Fi(,)}

l

¹

F.(T) =!=1

l

F.(,)=1

l

für i, j E { 1 , 2} , i =!= j , analog zu ( 2. 1 . 1 ) :

so gilt

ri

^{{t) , t ~ T}

Gi (t;,)

=

+ (1-F. (,) )F~j) (t-,.,)

F. ( ^T) , t

>

^T

l l l l

=

^{F. (t) für alle t E :IR •}

l

Das heißt aber gerade, daß der Ausfall der einen

(2.3.3)

(2.3.4)

Kornpo- nente sich nicht auf die Lebensdauerverteilung der an- deren auswirkt, die Komponenten sind also statistisch un- abhängig. Für die Lebensdauerverteilung folgt:

t t

( (

= j

f

1 (T) [ G

2 ( t ; , ) -G

2 (T ; , ) ] d, +

j

^f ₂ ^{(,) [ G} ₁ ( t ; , )

0 0

t t

=

f

^f₁ ^{(,) [F}₂ ^(t}-F₂ ^{(,) ]d, +}

f

^f₂ ^{(,) [F}₁ ^(t)-F₁ ^{(T) ]d,}

0 0

t - r f

1 (,)F

2 (,)d-c + F

1 (t)F 2 (t)

)

0

t

(

- j f

2 (-c)F

1 (T)d,

}

0

Beispiel 2.3.6:

Für

- L t

F.(t)=1-e l l

F. ( t)

l

folgt:

F~j) ( t ; , )

=

l

l

\ -;\. (t+,)I, ( -;\.T1

/ 1 -e i 1 - / 1 -e l /

e -A. T

l

-;\.,\ -\.t'j

e l / 1 - e l -A.T

e l

=

F. (t)

l für alle t, , E JR •

, T

=

^Ü

, T =!= Ü

, T

=

^Ü

, T =!= Ü

(2.3.5)

Im Falle exponentialverteilter, statistisch unabhängiger Komponentenlebensdauern ist es also doch möglich, eine einzige z

1-verteilung zur Beschreibung der Systemlebens- dauer anzugeben, und diese stimmt mit der z

0-verteilung überein.

iii) Für die Komponente K

1 des 1-von-2 Systems S seien die z

0- bzw. z

1-verteilungen F

1(2) (t) = F

1 (t) gegeben.

Die Komponente K

2 besitze die verallgemeinerte z - 0

Lebensdauerverteilung ("nicht ausfallfähige Komponente"):

= {01

F 2 ( t)

, t E JR

mit der Dichte f

2 (t) = 0 für alle t E JR,

Verteilung Ff)=: G(t) . Dann folgt:

t

= (

f

1

*

G ) ( t )

= J'

f

1 ^{(T )} G ( t - , ) d , 0

sowie die z - 1

(2.3.7)

In diesem Fall liegt ein 1-von-2 System aus der Komponente mit der kalten Reserve K

2 vor. Die Eigenschaft der kalten Reserve zeigt sich in der Wahl der Funktion F

2(t), die ja gerade angibt, daß die Komponente K

2 im Zustand also bis zum Ausfall von K

1 , behält.

die Verfügbarkeit 1

iv) Bei Schneeweiß [SCHN81] wird das Beispiel eines 1-von-2 Systems aus gleichen Komponenten K.

l beschrieben, das durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet ist:

a) Sind beide Komponenten testens nach der Zeit

K. intakt, so fallen sie spä-

i

2T wegen Treibstoffmangels aus und damit auch das Gesamtsystem.

b) Fällt eine Komponente vorher aus, so übernimmt die überlebende deren Last. Dadurch verdoppelt sich jedoch

ihr Treibstoffverbrauch. Wegen Treibstoffmangels endet die Lebensdauer des Systems nun vor der Zeit 2T

Dabei wird vorausgesetzt, daß die intakte Komponente keinen Zugriff zum Treibstoffrest der defekten besitzt und sich die Lebensdauerverteilung der intakten Komponente nicht ändert, wenn man Ausfälle wegen Treibstoffmangels ausschließt.

Auch dieses Beispiel ist im Rahmen unserer Voraussetzun- gen herleitbar. Dies soll nun in allgemeinerer Form ge- schehen.

Es sei ein 1-von-2 System mit den Komponenten K

1 und K und ihren

2 z

0-Lebensdauerverteilungen F

1 (t) und

F2(t) gegeben. Jede Komponente sei in der Lage, nach dem Ausfall der anderen Komponente deren Last auf Kosten der eigenen Lebensdauer mit zu übernehmen. Die nach dem Aus- fall angenommenen z

1-Lebensdauerverteilungen seien F

~

^{2) ( t) und F}

i

^{1 ) ( t) .}

Bedingung (2.3.8):

Durch eine innere oder äußere, von den Komponenten unab- hängige Ursache sei die Lebensdauer des Systems

a) im Zustand zo auf die maximale Zeit T

b) im Zustand z, auf die maximale Zeit T' :=a(T--r)

mit 0

<

a

<

1 und T gleich der Dauer des Zustands zo

begrenzt.

Die modifizierten Lebensdauerverteilungen berechnen sich nach ( 2 . 1 . 1 ) zu: (i,jE {1,2}, i=l=j)

G. ( t ; , )

l

=

^{Fi (t) .

F. (,) + (1 - F. (T) )F~j) (t--r)

· l l l

, t ^{$ T} t

>

^T

Durch die Bedingungen (2.3.8) ergeben sich die Verteilun- gen der begrenzten Lebensdauern ( -r $ T , t $ T)

G.(t;-r)

l

/Fi(t)

=

~F. (-r)

1 l

t

¹

,0$t$-r

+ (1-F. (T) )F~j) (t--r) , T

<

t $ T + a(T--r)

l l

,-r+a(T--r) <t$T

Daraus folgt für die Lebensdauerve.rteilung des Systems:

F"" (t)

=

1 für alle t

>

T und

;;,

t

(2.3.9)

F s ( t) =

J [

^f ₁ ^{( -r)}

(G

₂ ( t ; -r)

-G

₂ ( -r ; -r) ) + f

2 (,)

(G

1 ( t ; -r)

-G

1 ( -r ; -r) ) ] d -r 0

2

= L

i , j=1 i=l=j

I

t t-aT

1=-ä

(

.

)

f. (-r) (1-F. (-r)IF.l (t--r)d-r

l J , J

t-aT

T-=-a

+

I

f.(T)(1-F.(-r))d-r

l J

0

=

lf1(1-F2) *F(1

) +f (1-F) *F(2

)1(t)

2 2 1 1 -

-L

2 i,j=1 i=!=j

t-aT 1 - a

(

j

0

(

.

⁾

f. (T) (1-F. (-r)IF.l (t--r)d-r

l \. J , J

2

=

Fs(t) -

L

i,j=1 i=l=j

t-aT

-r=-a

f

f. (,) (1-F.(T))F.l (t-,)dT ⁽

^.

⁾

l . J , J

0

+ Fu r)t-aTI f" 11 t < T 2 2 1 ) ur a e _ ,

V t - a J

wobei S' aus dem System S ohne Berücksichtigung der Bedingungen (2.3.8) entsteht und die Lebensdauer-

(2.3.1())

verteilung des 2-von-2-Systems aus statistisch unabhängi- gen Komponenten ist.

(Man beachte, daß für t

<

aT die Verteilungen den Wert 0 besitzen.)

Die Formel von Schneeweiß in [SCHN81] erhält man nun fol- gendermaßen als Spezialfall von (2.3.10):

Es seien T

=

2T, Die Lebensdauerverteilungen von K1 und K

2 seien gleich F(t) und statistisch unabhän- gig, so daß nach (2.3.3) und (2.3.4) für die modifizierte Verteilung G(t;,) gilt:

G(t;-r)=F(t) für alle t,,EJR.

Damit folgt aus (2.3.10):

t

> 2if

t

( r- -

2)

f(T) lG(t; c) - G(t; T) Jd, l 0

t ~

2if

r

^{1 t}

>

^2T

= l

₂

_{I _}

^t f(-r) (F(t)-F(t))d,+2 ^2(t-T)

I

f(T) (1-F(-r))d-r ,t$2T

2(t-T) 0 ,t$2T

r

^{, t}

^>

^2if

=

/_2F (t) [F (t)-F

(2

(t-T))] + 2F (2 (t-T)) t

-2

j

f(t)F(,)d-r , t $ 2T

0

( 1

1 , t

>

2T

=

l2F2

(t)-2F(t)F(2(t-T)}+2F[2(t-T))-F2

(t) ,t $ 2T

r

^{, t}

^>

^2T

=

lF2

(t)+2(1-F(t)JF(2(t-T)) , t $ 2T

2.4 Lebensdauerverteilung eines Systems aus zwei Komponenten bei Änderung der Systemstruktur Bei vielen realen Systemen ändert sich während der

Lebensdauer im Hinblick auf die Redundanz einzelner Kompo- nenten die Systemstruktur. Ein Beispiel dafür ist ein

Zweiprozessorsystem, bei dem die Prozessoren zeitweise zur Erhöhung des Durchsatzes verschiedene Aufgaben, zeitweise aber auch zur Erhöhung der Sicherheit und Redundanz

parallel die gleichen Aufgaben bearbeiten. Die System- struktur ändert sich also vom 1-von-2 System zum 2-von-2 System oder umgekehrt. Es handelt sich hierbei um eine Kombination von statischer und dynamischer Redundanz.

(Zu diesen beiden Begriffen vgl. [SHOR68], [AVIZ76], [ DALC79b] . )

Es sei also ein System aus den beiden Komponenten K 1 sowie ein fester oder vom Zufall abhängiger Zeitpunkt ¹ gegeben. Vereinfachend werde angenommmen, daß die Komponenten K

1 und K

2 statistisch unabhängiges Ausfallverhalten zeigen. Mit Hilfe der bisher hergeleite- ten Ergebnisse ist es leicht möglich, die Ergebnisse für den Fall statistischer Abhängigkeit zu verallgemeinern.

Es seien F

1 (t) und F

2(t) die Lebensdauerverteilungen von K

1 und K

2 . Daraus erhält man die bekannten Le- bensdauerverteilungen

Fu

1^V2^(t) :=F

1 (t)F

2^(t) für das 1-von-2 System und für das 2-von-2 System.

Das System arbeite bis zum Zeitpunkt , im

Fall 1: als 1-von-2 System, danach als 2-von-2 System Fall 2: als 2-von-2 System, danach als 1-von-2 System.

Für die Lebensdauerverteilung des Systems folgt dann:

Fall 1:

j

F~ v2 (t) ,t::;,

F S ( t)

=

1

^u _{+ ( 1} ^{u u}

1F1v2(-r) - F 1 v2 (T) JF2v2 (t - ,) , t > ^T

rl

^(t)F

2

^{(t) , t :S; T}

= r

^{l ( T) F}

^{2 (}

^T)

^{+ (}

^{1-F l ( T) F}

^{2 (}

^{T) )}

[F1 (t--r)+F

2 (t-,)-F

1 (t-":)F

2(t--r)] , t > t Fall 2:

, 1.1

)F2v2(t) ,t::;,

F S (t)

=

I U U U

i.F2v2 (T) + ( 1-F2v2 (T) )F1v2 (t--r) , t > T

tl

^(t)

+F 2

^{(t) -F}

1

(t) Fz (t) ,t::;,

=

(F1 (-r)+F

2(-r)-F

1 (-r)F

2(-r))+(1-F 1 (,) l-F2 (T)+F

1 (-r)F

2 (-r) )F

1 (t--r)F

2 (t-T) , t > ^T Beispiel 2.4.3:

Es seien -ut

F 2 ( t)

=

1 - e · und

mit den Erwartungswerten Dann gilt:

(2.4.1)

(2.4.2)

Fall 1:

- \ t -µ -(A+µ)t 1-e -e +e

( 1 _-e -:\T _-e -µT, -(A+µ) T), ( -AT+ -µT _{7e Te e -e} -(:\+µ)

T)

_.

(1-e-(;\,+µ) (t-,))

1 t ::s; T

1 t

>

^T

Für den von T abhängigen Erwartungswert gilt

= rll

+

l __

1 _) _ Jl e - :\ T _ ,\ e -µ T

A µ A+µ :\(A+µ) µ(:\+µ)

="Ru -Eu

\2_

-AT+~ -µT\

....,1v2 2v2[.\e µe J

Fall 2:

1 -(,\+µ)t -e

(1-e-(.\+µ)T)+e-(A+µ),[1-e-.\(t-,)-e-µ(t+,) + e-(.\+µ) (t-T)]

r1 - e-(A+µ)t

1

, t ::s; T

=

11-e-µTe-.\t_e-A'e-µt+e-(\+µ)t

mit dem Erwartungswert

E ( T)

=

_1_ ( 1 -e - ( \ +µ) T) + e- ( \ +µ) ' /11 + 1 1 ]

\+µ - - - - -

(\ µ A+Jl;

, t

>

^T

(2.4.4)

, t

>

^T

(2.4.5)

= 1

^{+ e - ( ,\ + µ) t}

f l

+

l - _2_)

,\+µ l,\ µ ,\+µJ

=

Eu +e-(,\+µ)t(Eu -Eu )

2v2 1v2 2v2

( vg 1. 2 • 1 • 7)

., :1.

/ ~ ,. ..

6) ,9

l'J

ID ,8

! /

in

/

IJ/

tl ' ,7

,6·

y

,5

!-Ir ,4

!

!d ^I

3 ,3

Ul 1-

C, Ir Z hl ,2 i3 ^{II. Cl}

zz ,17

IJ:W

0 1- _{1. 1 1 ,2 1,3 1}

14- ^! ,5 i,6 ! - ! ,8 ^a '1

0 _{' I} ! .,

ANFANGSWERT 0 ENDWERT 2

Bild 2.4.6: Fall 1 für ,\=3 und µ=4

• 7

~---

~ 1

...

1

, 9

i

/

,8

E:)~ ,7

/

,6 ,5 1-

ir ,4 w 3 _{l6 1-} ,3

()tl

z

!d ,2 i3 h.

_zz

Q ^,

•

^...

1111

0 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ¹ ,6 ,7 ,8 ,9 1

ANFANGSWERT ⁽⁾ ENDWERT 2

Bild 2.4.7: Fall 2 für \=3 und µ=4

2.5 Zustandsaufenthaltsdauer-Verteilungen des 1-von-2 Svstems Wir beschließen dieses Kapitel mit der Berechnung der Zu-

standsaufenthaltsdauer-Verteilungen des modifizierten 1- von-2 Systems aus den Komponenten K

1 und K

2 mit den z 0- Lebensdauerverteilungen

teilungen F( 2 ) (t)

1 und

F1^(t), F 2^(t) F f ) ( t ) .

und den z -Ver- 1

Der folgende Zustandsgraph gibt die vier möglichen ele- mentaren Betriebszustände

z

0, •••

,z

3 des (nicht repa- rierten) 1-von-2 Systems wieder:

z1: K

1 defekt, K

2 intakt

-

^K. Zustandsübergang durch Ausfall von

l

K. l

Bild 2.5.1: Zustandsgraph des 1-von-2 Systems Im Zustand z

0 arbeiten die Komponenten voraussetzungs- gemäß ohne gegenseitige Beeinflussung. Die Aufenthalts- wahrscheinlichkeit P(Z ;t) in z zum Zeitpunkt t

ergibt sich daher als das Produkt der Verfügbarkeiten (1-F. (t)) der Komponenten im Zeitpunkt t .

l

P(Z3;t) als Zustandswahrscheinlich im Zustand z

3 zum Zeitpunkt t berechnet sich nach ( 2. 2. 1) . Für i, j

=

1 , 2 i

*

j errechnet sich die zustandswahrscheinlichkei t

P(Z. ;t) als Differenz der Wahrscheinlichkeit

l

t

(

j

^{f i (T)}

l

^{1 -F j ( T) ) d, ,} daß zuerst K. ausfällt, und der

l

0

Wahrscheinlichkeit f. ( 1-F.) * F. ^{( i)} (t),

l J J daß zuerst K.

l

und danach K. ausfällt. Also gilt für die Zustandswahr-

J

scheinlichkeiten:

t

P(Z1;t)

= j

^f₁ ^{(,) (1-F}₂ ^{(,)d, - (f}₁ ^(1-F₂^{) *F~1) J (t)}

0

t

P(Z2;t)

= j

f2(T) (1-F1 {T))d, - lf2(1-F1) *F~2

)) (t)

0

P(Z3;t)

=

(f

1(1-F

2) *F~1 ) +f

2(1-F

1) *F~2

))(t)

(2.5.2)

Für die unbedingten Wahrscheinlichkeiten, daß die Lebens- dauer L.

l der Komponente K.

l vor dem Zeitpunkt t en- det, K. also zum Zeitpunkt t bereits ausgefallen ist,

l

folgt mit (2.1.1) und i , j E {1,2}, i * j : t

(

Pr{L.::;

t} = j

^{f. (T) [F. (,)}

l l J + l1-F. (T))F~i) (t--r) ]d,

J J

0 t

=)

( ^f. (-r)F. (-r)d, +

l J

(f.

(1-F.) *F~i)) (t)

l J J

0

t

=

F. (t)

-J(

f. (,) (1-F. (T)jd, + (f. (1-F.)*F~i)) (t)

l l J ^l J J

0

(2.5.3) Aus (2.5.2) und (2.5.3) folgt somit für die Wahrschein-

lichkeit, daß bis zum Zeitpunkt ausgefallen ist:

t nur die Komponente K.

l

P ( Z . , t) = F. ( t) - Pr { L. ~ t} , i = 1 , 2

l l l (2.5.4)

Man vergleiche das mit dem Ergebnis für statistisch un- abhängige Komponenten:

P(Zi1t)=Fi(t)-F

1(t)F2 ( t ) , i=1,2.

Aus (2.5.4) ergibt sich auch die Wahrscheinlichkeit p ( t) ' g

daß in t entweder K

1 oder K

2 defekt i s t , das Sy- stem S also in einem gestörten Zustand arbeftet, zu:

Pg(t) =P(Z 1 ;t) +P(Z 2 ;t)

wobei

=F1(t) +F

2(t) -F

1(t)F

2(t) -FS(t)

=F2v2(t) -F1v2(t) ' u Fu

2v

2 (t) :=F

1(t) +F

2 (t) -F

1(t)F 2 (t)

(2.5.5) die Lebens- dauerverteilung des 2-von-2 Systems aus statistisch un- abhängigen Komponenten bezeichnet, und F

1v

2(t) die Le- bensdauerverteilung des 1-von-2 Systems mit den modifi- zierten Verteilungsfunktionen nach (2.2.1).

Beispiel (2.5.6): Es seien wieder F 1 ( t) = 1 -:\t F( 2 )(t) = 1 -:\'t

-e ,

1 -e

F2(t)=1 -µt F( 1 ) (t) = 1 -µ't

- e , ₂ -e

.

Dann folgen für :\'=l=:\+µ=I=µ' gemäß (2.5.2):

P(Z1;t) ^i\ ( -µ't -(A+µ)t) ;i._

(F~v 2 (t)-F~¹⁾ (t))

= A+µ-µ' e -e = >._+µ-µ'

P(Z2;t) = ,,\+µ-,\ ^{1-l 1} (e - , , \ 1 t -e -(A+µ)t) = \+µ-;\. µ ¹ (Fu 2v 2 (t)-F(1 ²) (t)I ,

( ,,\

P(Z3;t)

=

^{1-l1 -} _{;i._+µ-µ 1}

(vgl. Beispiel 2.2.6a)), dabei ist F2v2(t) ^u

- \ 1 t µe

;\.+µ-;\. ¹

wieder die Lebensdauerverteilung des 2-von-2 Systems aus statistisch unabhängigen Komponenten.

Für die Wahrscheinlichkeiten nach (2.5.3) gilt:

p ~ L < t} = ^{1 -} -;i._ t - ;i._ ^{"L - ( ,,\} +µ) t - -µ 't]

1 _ e ,,\+ , e e

r· µ-µ

), , (1) u

=F₁ (t) - ;\.+µ-µ' LF 2 (t) -F1^V2 (t)]

p rL < t} = ₁ _ -µt _ µ [ -(;i._+µ)t _ -;i._•tJ, r 1 2 - e ;i._ +µ-;i._, e e

µ [ (2) u

=F 2 (t) - 7\+µ-;\.' F1 (t) -F₁v 2 (t)]

Nach (2.5.5) folgt schließlich:

,,\ -µ 1 t 1µ

=

e +---'---,-

;i._+µ-µ' A+µ-A'

-A't

e

Für A = 3, A' = 4. 5, µ = 2, µ' = 4 sind diese Verteilungen in den folgenden Bildern dargestellt

f- il'.

w 3

~9 f- 0 rr

z

^!JI

{3 II. Q

zz

{ lll

-- ---

,,.,, ,,.- ,,,.,,,

,,

,,

,8 ,✓-

,7 ,6 ,5

__ / P ( Z 3; t) P(Z0^{; t ) /} _/

;

!

,4

, 3 I

,,.t'-

,.1 i , ,

2 ,' : \ , ....

r .' ! \ '

:' .:<""'l,----.... ~ ... p ( z • t)

t/,' 1 , , 1'

, 1 /i / p ( Z ; t ) !""la-..,. __ ---.... _

! / 2 --...,_ ---

.. , ~---

^;::.--

0 0 , i ,2

ANFANGSWERT 0 ,4 ,5

ENDWERT ^,G 2 ^,7 ,8 ,9 ¹ i

Bild 2.5.7: ^P(Z. ;t)

l

für i

=

0, ..• , 3

1-[

lll 3 (0 f- (H'.

z

lil {3 h. Q

1W

zz

i

,9 ,8

/ ---·

,1 / / _ . , .

,,.,, .,,,.,,.,,.

,7 ,6 ,5

, 4

;1>--.... ,.,,

,3 t .. ,.

',

_·,

,2

I

^p

et;~,,,

, 1 g ... _

p ----

0 f 0 l i ¹ '> 1,3 ---. --- .,,

r • 1,4 ¹,5 1 6 1 7 1 -

r ,

ANFANGSWERT · -0 ENDWERT '

2.

^{'d 1::, i}

Bild 2.5.8: Pr{Lis;t}, i=1,2 ^{und P (} g ^t)

3. k-von-n Systeme

Die k-von-n Systeme bilden eine wichtige Klasse inner- halb der monotonen (kohärenten) Systeme. Sie werden häufig sowohl in der Praxis verwendet als auch in der Theorie

untersucht. Aufgrund ihrer regelmäßigen Struktur kann man sie relativ leicht analysieren und zur Analyse anderer Systeme heranziehen [HEID81]. Dies zeigt sich auch im Falle von Systemen, deren Komponentenausfälle+ktatistisch voneinander abhängig sind. Somit untersuchen wir im fol- genden Abschnitt zunächst k-von-n Systeme mit dieser Eigenschaft und übertragen diese Ergebnisse dann im Ab- schnitt 4.1 mit Hilfe der minimalen Trennungen auf die umfassendere Klasse der monotonen Systeme mit nicht not- wendig unabhängigen Komponenten.

+)

wie im Abschnitt 2 besprochen

3.1 Verteilungsfunktion der Systemlebensdauer Für jede Teilmenge I von JN

n ^{sei TI ( I)} die Menge aller Permutationen der Elemente von I. Mit TI

*

( I) bezeichnen wir alle Permutationen der Elemente von I U {0}, bei de- nen an der ersten Stelle die Null steht, also

*

TI (I) := {O} X TI (I) (Kartesisches Produkt) . Für I

=

{1, 2, 4}

ist beispielsweise

TI(I)

= {

(1,2,4), (1,4,2), (2,1,4), (2,4,1), (4,1,2), (4,2,1) }, TI* ( I )

= { (

0 , 1 , 2 , 4 ) , ( 0 , 1 , 4 , 2 ) , ( 0 , 2 , 1 , 4) , ••• , ( 0 , 4 , 2 , 1 ) } • Für jedes

iEJN7II

ICJN , jedes aETI

*

(I) und jedes n

sei a,e_ := (a 0,a

1, •.• ,ae_),cr(a1

) := {a 0,a

1, . . . ,a_e_}

und Mit mit

( l)

* (

^{C.) b ·} o 1 11

0 a :

=

JN - cr a , wo ei stets a

=

ge ten so .

n 0

.e.

F~ (t) bezeichnen wir die Verteilungsfunktion und J

f. al die Verteilungsdichte der Lebensdauer von K.

J J

im Zustand wenn dieser durch den Ausfall der Kornpo- nenten K a ' a , ... , K K

0 1 a,e_ in genau dieser Reihenfolge her- beigeführt wird. Dabei ist K _a

=

^K

0 o eine gedachte, je- doch nicht real existierende Komponente, die jedem System von vornherein in Gedanken hinzugefügt wird, und deren gedachter Ausfall zum Zeitpunkt t = 0 das System und jede real existierende Komponente K.,jEJN,

J n in den Anfangs- zustand

zo

versetzt. Wir erreichen mit dieser Hilfskon- struktion eine Abrundung unseres Formalismuses. Zur Ab- kürzung schreiben wir jedoch häufig für

Führen wir die Unverfügbarkeit (Lebensdauerverteilung) eines k-von-n Systems auf die Unverfügbarkeiten der k- von-(n-1) Systeme zurück, die aus den gleichen Komponen- ten wie das k-von-n System gebildet werden können, so er- halten wir die Gleichung

Fkvn(t)

n t

~ (

=

L

^J

a =1 0 1

Hierbei steht T

a1 K , a

1 E Nn ,

a1 und

0 1

TT

-'---,.- l ^r 1 - F a ( -r 1 ) Fk v ( -1 ) ( t - i: ) a ) d -r _

. 1 a n a₁ a₁

JEa(a)

für den Ausfallzeitpunkt von 1

(3.1.1).

F k v (n- 1 ) ( t - i: a ) für die Unverfügbar-a 1

keit des k-von-(n-1) Systems aus den Komponenten K a2 (d .h. a

2 ^=l= a

1 , a2 E Nn) , nach dem Ausfall von {und

1

K ) . Da man weiter

ao

F~v (n-1) (t)

= > ^J

faa (i:a) ¹

T[

(1-F~ (i: ¹ )) 2 __..___2_ J a2 , a2Ea(a1

) 0 2 · j Ea (a ) 2

F~v(n-2) (t-i:a2)di:a2 (3.1.2) schreiben kann, erhält man rekursiv unter Verwendung von N : = { I / I C N , IIl=m}

rn n

Fkvn(t)

n-k-1

)k

l=O

n

^{l .} ---,,---,--(1.-F ^a j ) ,e_

·~ ( i+1) J~cr a

ct'1-k

*

Fkvk (t)

(3.1.3)

=) ~

^{fa ,e_}

^IT:

^{(1-F~ ) l}

^*

^{H(t), (3.1.4)}