Definitionen und Anwendung

(1)

Zeitreihenanalyse

H.P. Nachtnebel

Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau

Definitionen und Anwendung

¾

Definition Zeitreihe

• zeitliche Abfolge von Messwerten, deren Auftreten statistischen Gesetzmäßigkeiten unterliegt

¾

Anwendung: Zeitreihenanalyse und -synthese

• Für die Dimensionierung, die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Systemen und die Vorhersage werden ZR.A. und Simulationen angewandt

¾

Art der Messwerte

• Kontinuierlich

z Schreiber

• Diskret

z Terminwerte

z Mittelwerte einer Zeitsp

) (t X

) (_i

i t X

(2)

Zeitreihenanalyse und Anwendung Seite 3

Darstellung: Ganglinien

kontinuierlich

diskret

Methodik

¾

Zeitreihenanalyse

z Zerlegung in wesentliche Anteile und quantitative Beschreibung

z Trend …

z Beispiel: Rückläufige Abflüsse südlich des Alpenhauptkamms

z Periode ...

z Beispiel: in Ö die Frühjahrshochwässer

z Stochastischer Anteil … )

(t X_T

) (t X_P

) (t X_R

) ( )

( )

( t X t X T X t

X =

_T

+

_P

+

_R

(3)

Methodik

¾

Zweck der Zeitreihenanalyse

z Ermittlung der einzelnen Anteile

z Parametrisierung des Informationsgehaltes in einer Zeitreihe

¾

Simulation (Generierung)

• Dann können Reihen generiert werden, die den gleichen Informationsgehalt (gleiche Auftrittswahrscheinlichkeit) wie beobachtete Reihe haben

Homogenität / Stationärität

¾

Homogenität

• Unterteilung einer Reihe in Teilreihen

• Bestimmen der Parameter

z Mittelwert

z Varianz

z Schiefe

• Parameter der Teilreihen weichen nicht signifikant

voneinander ab Îdieselbe Grundgesamtheit ÎHomogen

¾

Stationärität

• Mittelwerte von Teilabschnitten weichen nicht signifikant voneinander ab ÎStationärität 1. Ordnung

• Mittelwerte und Kovarianz von Teilabschnitten weichen nicht signifikant voneinander ab ÎStationärität 2. Ordnung

(4)

Beispiel für Trendanalyse:

Extreme Niederschlagsereignisse in Wien

Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1961 - 2001

2

0 1

0 4

1

0 1 1

2 3

1 3

1 2

0 2

0 1

2

0 0 2

1 1 2

1

0 2

0 4

3

0 2 2 2

5

4

2 2

0 0

1 2 3 4 5 6

1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001

Jahr

Tage

(Rudel, ZAMG 2002)

Ja !!!!

Beispiel für Trendanalyse:

Extreme Niederschlagsereignisse in Wien

Zahl der Tage mit mehr als 30 mm Niederschlag in Wien Reihe 1903 - 2001

3

2

1 2

3

1 2

3

1 5

1 3

44

0 0 2 2

3 3

0 2

4

2

1

0 2

4

2

1 1 2

1 3 3

4

22 5

2 2 3

0 11

00 44

0 2 2 2

1 1 3

5

0 2

0 1

0 4

1

0 1 1

2 3

1 3

1 2

0 2

0 1

2

0 0 2

1 1 2

1

0 2

0 4

3

0 22 2

5

4

2 2

0 0

1 2 3 4 5 6

1903 1905 1907 1909 1911 1913 1915 1917 1919 1921 1923 1925 1927 1929 1931 1933 1935 1937 1939 1941 1943 1945 1947 1949 1951 1953 1955 1957 1959 1961 1963 1965 1967 1969 1971 1973 1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001

Jahr

Tage

(Rudel, ZAMG 2002)

Nein !!!!

(5)

Trends in Niederschlag und Abfluss

Moser et al., 2003

Annual precipitation

Abfluss

Schätzung Trendanteil X

_T

(t) 1

¾

Annahme

• Linearer Trend

z Schätzung von A und B durch Regressionsrechnung

) (t X_T

t B A t

X

_T

( ) = + *

(6)

Trendanteil X

_T

(t) 2

¾

Annahme

• Nichtlineares Verhalten

Beispiel: Nachfragefunktion – zuerst stark ansteigend mit anschließender Sättigung

• Sprungstellen

X(t)

t

x

I

x

_II

*

2

* )

( t A B t C t

X

_T

= + +

xI

x

II T

T

Trends in der Streuung

(7)

Trendeliminierung

¾

X‘(t) = X(t)-X

_T

(t) = X

_P

(t)+X

_R

(t)

¾

Oder nicht parametrisch durch numerisches Differenzieren

¾

X‘(t) = (X(t+1)-X(t))/1 bei linearem Trend

Periodische Komponente

¾

Hintergrund der Periodizität

• Meist klimatische Faktoren

z Tagesschwankungen von Abflussmengen

z jährliche Schwankungen durch saisonale Klimabedingungen

Îzuvor wichtig ist Elimination des Trendanteils

¾

Bestimmung des Periodenanteils

• bei bekannter Periodenlänge

z Fourieranalyse

z Mittelungsmethode

• bei unbekannten Periodenlänge

z Autokorrelation

(8)

Fourieranalyse

¾ Approximation einer beliebigen Funktion durch eine Überlagerung von Sinus- und Cosinus-Funktionen

z Amplitude bzw. A_j

z Frequenz

z Phasenwinkel

z X_tMesswerte T f_j =1/

(

j

)

j

P A A j t

t

X = +Σ sin ω +ϕ

) 2

( ⁰

ϕj

( ) ( )

( )

) sin cos

(

*

* 2 sin

*

* 2 cos )

(

t j D t j C

t f D

t f C

t X

j j

P

ω ω

π π

+

= +

=

∑ ∑

Cj, Dj

T ω=²π

t j n x

C

t t

j 2 cos ω

0

∑

=

⋅

=

∑

=

⋅

=

0

2 sin

t t

j x j t

D n ω

Autokorrelation

¾

Definition

• Vergleich der Reihe mit sich selbst

• Feststellen von Zusammenhängen innerhalb der Reihe

¾

Anwendung

z Feststellung eines periodischen Verhaltens

z zB Jahresgang

(9)

Berechnung der Autokorrelation

¾

Analog zu Kapitel 3 Korrelation und Regression

Autokorrelationskoeffizient / Periodogramm

¾ Autokorrelationskoeffizient:

z Korrelationskoeffizient als Funktion der Verschiebung τ

z Kann auch direkt aus den Fourierkomponenten berechnet werden

¾ Periodogramm

z Ablesen der Amplituden- quadrate bei den Frequenzen

z Strichlierte Linie = Signifikanz- niveau

F²/2=

f f₁ f2 f3 f4 f₅ f6 f_j

( ) ( )

( )

∑

⁺

= C f t D f t

t

X_P() _jcos2π* _j* _jsin 2π* _j*

( ) ( )

( )

∑

=

+ +

=

1

2 2 1

2 2

*

* 2 cos

j

j j i

j j

j

D C

f D

C r

τ π

τ

(C_j²+D²_j)/2

(10)

• … Random = zufällige Größe

¾

Ursache

• zumeist durch kurzfristige, zufällige Witterungserscheinungen

¾

Überlegung

• Zeitreihenwert ist vom vorhergehenden Wert abhängig

• plus einer zufälligen Schwankung

• r1 … Autokorrelationskoeffizient

• … Zufallsanteil

Stochastischer Anteil

) ( )

( )

''

(

t X t X t X t X t

X = −

_T

−

_P

=

_R

) (t X

_R

) ( ) 1 (

* )

( t r

₁

X t t

X

_R

=

_R

− + ε

)

ε

(t

Zeitreihensynthese

¾

Anwendung auf Zeitreihensynthese

• Bei gegebenen Parametern kann eine Zeitreihe generiert werden

• Parameter

z Trendanteil A,B

z Jahresgang C,D

z Stochastischer Anteil r₁, σ_ε

• Die generierte Zeitreihe hat die gleiche statistische Wahrscheinlichkeit wie die beobachtete Reihe, aber eine andere zeitliche Abfolge

• Trockenjahre / Nassjahre

• Man kann damit Wasserwirtschaftssysteme testen

z Versorgungsanlagen

z Speicher

z Hochwasserrückhaltebecken …

(11)

Beispiel Simulation Zeitreihe

Anwendung der Synthese

¾

Simulation für Bemessungszwecke

¾

Simulation zur Prüfung der Funktionsweise von Bauwerken

¾

Simulation liefert keine neue Information, aber generiert Reihen, die gleich wahrscheinlich sind wie beobachtete Reihe

¾

Es können daher Nassjahre, Trockenjahre,

Extremereignisse etc. in der Simulation auftreten

(12)

Zusammenfassung Zeitreihenanalyse

¾

Definitionen

• Zeitreihe und ihre Anwendung in der Hydrologie

• Art der Messwerte

• Grafische Darstellung der Zeitreihe = Ganglinie

¾

Zeitreihenanalyse

z

Wesentliche Anteile

• Trend

• Periode

z Fourieranalyse

z Autokorrelation - Periodogramm

• Stochastischer Anteil

¾

Zeitreihensynthese

• Beispiel

¾ Linear

¾ Nichtlinear

¾ Sprungstellen