Training quadratische Funktionen und ökonomischen Anwendungen (Monopol)

(1)

Training quadratische Funktionen und ökonomischen Anwendungen (Monopol)

(mit Differentialrechnung)

Übersicht dazu: hier

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Nr Aufgabe Lösung

1 Ein produzierendes Unternehmen geht von der folgenen Preisabsatzfunktion und der folgenden Kostenfunktion aus:

𝑝(𝑥) = −2 𝑥 + 24 𝐾(𝑥) = 6 𝑥 + 28

a) Stell die Gleichung der Erlösfunktion auf.

b) Bestimme die Sättigungmenge und den Prohibitivpreis.

c) Stell die Gleichung der Gewinnfunktion auf.

d) Berechne den Erlös, die Kosten und den Gewinn oder Verlust bei einer Ausbrin- gungsmenge von 10 ME.

e) Berechne, bei welcher Ausbringungsmenge ein Erlös von 70 GE erzielt wird.

f) Berechne die Gewinnzone (Bereich

derjenigen Ausbringungsmengen, bei denen kein Verlust entsteht).

g) Bestimme die erlösmaximale

Ausbringungsmenge und den maximalen Erlös.

h) Bestimme die gewinnmaximale

Ausbringungsmenge und den maximalen Gewinn.

i) Erstelle eine Skizze mit den Graphen von 𝐸, 𝐾 und 𝐺.

a) 𝐸(𝑥) = 𝑝(𝑥)



^x

= -2 x² + 24 x b) 𝑝(𝑥) = 0

-2 x + 24=0

⇔ 𝑥 =12

Die Sättigungsmenge liegt bei 12 ME.

Der Prohibitivpreis liegt bei 24 GE/ME.

3 Ein produzierendes Unternehmen geht von folgenden ökonomischen Funktionen aus:

K(x)=9·x³– 54·x² + 117·x + 594;

E(𝑥) = −5𝑥₂+ 21𝑥;

a) 𝑝(𝑥) = −5 𝑥 + 21 (Man teilt E(x) durch x).

b) Der maximale Preis liegt bei 𝑝(0) = 21 GE/ME.

(2)

a) Stell die Gleichung der Preisabsatzfunktion auf.

b) Nenne den Prohibitivpreis (maximalen Preis).

c) Berechne die maximale Ausbringungsmenge (Sättigungmenge)

.

c) 𝑝(𝑥) = 0 -5x + 21=0

⇔ 𝑥 =²¹

5 =4,2

Die Sättigungsmenge liegt bei 5,2 ME.

4 Gegeben sind die folg. ökonomischen Funktionen:

𝑝(𝑥) = −3 𝑥 + 27;

𝐾(𝑥) = 6 𝑥 + 30;

D ök=[ 0 ; 9 ].

a) Stell die Gleichung der Erlösfunktion auf.

b) Gib den Prohibitivpreis an.

c) Berechne die erlösmaximale Ausbringungsmenge und den maximalen Erlös.

d) Stellen Sie die Gleichung der Gewinnfunktion auf.

e) Berechnen Sie die Gewinnzone

f) Berechnen Sie die gewinnmaximale Ausbringungsmenge.

a) 𝐸(𝑥) = −3𝑥² + 27𝑥;

b) Der Prohibitivpreis liegt bei 𝑝(0) = 27 GE/ME.

c) ohne Differentialrechnung:

xEmax muss genau zwischen 0 und der Sättigungsmenge xS liegen:

𝑝(9) = 0 – außerdem war die

Sättigungsmenge schon indirekt durch 𝐷_ö𝑘 angegeben.

Daraus ergibt sich:

xEmax=⁹

2=4,5 [ME]

maximale Erlös:

E(4,5)= 60,75 [GE]

ALTERNATIV

mit Differentialrechnung:

E´(x)=-6 x + 27 E´´(x)=-6

notwendige Bedingung: E ´(x)=0 -6 x+27=0

⇔ 𝑥 = −²⁷

−6= 4,5

hinreichende Bedingung:

E ´(x)=0  E ´´(x) < 0 E ´´( 4,5 )=-6 <0

Die erlösmaximale Ausbringungsmenge liegt bei 4,5 ME.

d) G(x)=E(x)–K(x)

= -3 · x² + 21 · x – 30;

e) 𝐺(𝑥) = 0

-3·x² + 21·x – 30=0

 x² - 7·x+ 10=0

 x² - 7·x+ 12,25=-10 + 12,25

 (x - 3,5)²=2,25

 x - 3,5=1,5 ˅ x - 3,5=-1,5

 x=5 ˅ x=2

Gewinnzone: [ 2 ; 5 ]

f) ohne Differentialrechnung:

xGmax muss genau in der Mitte der Gewinnzone liegen:

xGmax

= ^{5 + 2}

2 = 3,5 [ME]

(3)

ALTERNATIV

mit Differentialrechnung:G ´(x)=-6 x + 21 𝐺´´(𝑥) = −6

notwendige Bedingung: G ´(x)=0 -6 x + 21=0

 x=-21/(-6)=3,5

𝐺´(𝑥) = 0  G ´´(x) < 0 G´´( 3,5 )=-6 <0

Die gewinnmaximale Ausbringungsmenge liegt bei 3,5 ME.

5 Mit welchem Ansatz kann man in einer

Monopolsituation die größtmögliche Absatzmenge ermitteln?

A) 𝐸(𝑥) = 0 Falsch

B) 𝐾(𝑥) = 0 Falsch

C) 𝐺(𝑥) = 0 Falsch

D) 𝐸(𝑥) = 𝐾(𝑥) Falsch

E) in G Null einsetzen (also G(0) rechnen) Falsch F) in K Null einsetzen (also K(0) rechnen) Falsch

G) 𝐺´(𝑥) = 0 Falsch

H) 𝑝(𝑥) = 0 Wahr

6 Welche Aussagen treffen auf den Cournot´schen Punkt zu?

A) Er spielt eine Rolle, wenn ein Monopol vorliegt. Wahr B) Er liegt auf dem Graph der Gewinnfunktion. Falsch C) Er liegt auf dem Graph der Preisabsatzfunktion. Wahr D) Seine x-Koordinate ist die gewinnmaximale

Ausbringungsmenge.

Wahr E) Seine x-Koordinate ist die erlösmaximale

Ausbringungsmenge.

Falsch F) Seine y-Koordinate ist die Kapazitätsgrenze. Falsch G) Seine y-Koordinate ist die Stückpreis, bei dem

kein Gewinn und kein Verlust erzielt wird.

Falsch H) Seine y-Koordinate ist die Stückpreis, bei dem der

max. Gewinn erzielt wird.

Wahr 7 Gegeben sind die folgenden ökonomischen

Funktionen:

𝑝 ( 𝑥 ) = −5,5 𝑥 + 99;

𝐾 ( 𝑥 ) = 22 𝑥 + 220.

a) Stell die Gleichungen der Erlös- und der Gewinnfunktion auf.

b) Berechne den ökonomischen Definitionsbereich (von Null bis zur Sättigungsmenge).

c) Bestimme Preis, Erlös, Kosten und Gewinn bei einer Ausbringungsmenge von 3 ME.

d) Berechne die Gewinnzone.

e) Berechne, bei welcher Ausbringungsmenge ein Verlust von 100 GE entsteht. Berechne auch den zugehörigen Preis.

a) E(x)=-5,5·x² + 99·x;

G(x)=E(x) – K(x)

= -5,5 · x² + 77 · x – 220;

b) 𝑝(𝑥) = 0

⇔ −5,5𝑥 + 99 = 0

⇔ 𝑥 = 18

Die Sättigungsmenge liegt bei 18 ME,

𝐷_ö𝑘 = [0; 18]

c) p(3)=…

E(3)=…

K(3)=…

G(3)=…

d) 𝐺(𝑥) = 0

-5,5 · x² + 77 · x – 220=0  :(-5,5)

⇔x² – 14 · x + 40=0  -44 + 7²

⇔x² – 14 · x + 49=9

⇔ (x–7) ²=9  



(4)

f) Berechne, bei welcher Ausbringungsmenge der maximale Gewinn erzielt wird.

g) Bei welchem Preis wird der maximale Gewinn erzielt?

⇔x–7=3



x – 7=-3  +7

⇔x=10



x=4 Gewinnzone: [ 4 ; 10 ] e) 𝐺(𝑥) = −100

Achtung: Verlust ist negativer Gewinn!

⇔-5,5 · x² + 77 · x – 220=-100

⇔-5,5 · x² + 77 · x =120

…

f) G´(x)=-11 x + 77 G´´(x)=-11

notwendige Bedingung: 𝐺´(𝑥) = 0 -11 x + 77=0

⇔x=7

𝐺´(𝑥) = 0  G ´´(x) < 0

G´´( 7 )=-11 < 0, also ist 7 eine lok.

Maximalstelle

Die gewinnmaximale Ausbringungs- menge liegt bei 7 ME.

g) x-Koordinate des Cournotschen Punktes:

𝑝(7) =…

8 Gegeben sind die folgenden ökonomischen Funktionen:

E(x)=-1,5 · x² + 25,5 · x;

K(x)=7,5 · x + 52,5;

G(x)=-1,5 · x² + 18 · x ; D ök=[ 0 ; 17 ].

a) Stell die Gleichung der Preisabsatzfunktion auf

b) Gib den maximalen Preis und die Sättigungsmenge an.

c) Berechne die gewinnmaximale Ausbringungsmenge.

d) Gib die Koordinaten des Cornot´schen Punktes an. Erläutere die Bedeutung seiner zweiten Koordinate.

a) p(x)=-1,5 x + 25,5 b) p(0)=25,5.

𝑝(𝑥) = 0

 𝑥 = −^25,2

−1,5= 17.

Der max. Preis liegt bei 25,5 GE/ME, die Sättigungsmenge bei 17 ME.

c) G´(x)=-3 x + 18 G´´(x)=-3

notwendige Bedingung: G ´(x)=0 -3 x + 18=0

 -3 y=-18

 𝑥 = 6

𝐺´(𝑥) = 0  G ´´(x) < 0

G ´´( 6 )=-3 < 0, also lok. Minimalstelle bei x=6 [...]

x Gmax=6 [ME]

d) p ( 6 )=-1,5



6 + 25,5=16,5 C ( 6  16,5 )

Die y-Koordinate gibt an, welcher Preis festgesetzt werden muss, um den Gewinn zu maximieren.

9 Gegeben sind die ökonomischen Funktionen E, K und G. Mit welchem Ansatz bearbeitet man folgende Frage:

"Es wurden 4,5 M.E. produziert. Wie hoch waren der Gewinn im entsprechenden Monat?"

A) Man setzt 0 in K ein: K ( 0 )=... Falsch B) Man setzt G gleich 0: E(x)=0  ... Falsch C) Man setzt E und K gleich: E(x)=K(x)  ... Falsch D) Man setzt 4,5 in E ein: E ( 4,5 )=... Falsch

(5)

E) Man setzt E gleich 4,5: E(x)=4,5 Falsch F) Man setzt 4,5 in G ein: G ( 4,5 )=... Wahr G) Man setzt G gleich 4,5: G(x)=4,5 Falsch H) Man setzt G gleich -4,5: G(x)=-4,5 Falsch 10 Gesucht ist die Gleichung einer Gewinnfunktion G

mit 𝐺(𝑥) = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐.

Welche Gleichung ergibt sich damit aus der Angabe, dass die Gewinnschwelle bei 3 ME liegt?

9 · a + 3 · b + c=0

Links zu ökonomischen Funktionen: hier