3. ¨Ubung Algebra I

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN

Dozent: Prof. Dr. F. Heß WM: G. M¨ohlmann

www.math.tu-berlin.de/˜hess/algebra1-ss2009

3. ¨ Ubung Algebra I

1. Aufgabe

Sei {1} −→ G₁ −→ G₂ −→ . . . −→ G_n −→ {1} eine endliche exakte Sequenz von endlichen Gruppen. Beweist oder widerlegt die folgende Behauptung.

n

Y

i=1

(#G_i)⁽⁻¹⁾ⁱ = 1

(5 Punkte)

2. Aufgabe

SeienGundG⁰ Gruppen undφ:G−→G⁰ ein Epimorphismus mitkerφ=N. Ferner sei L:={H|H ≤GmitN ⊆H} und L⁰ :={H⁰ |H⁰≤G⁰}.

(a) Zeigt, dass die Abbildung

f :L−→L⁰, H 7−→φ(H) die Abbildung

g:L⁰ −→L, H⁰ 7−→φ⁻¹(H⁰)

als Umkehrabbildung besitzt, wobeiφ⁻¹(H⁰) ={g∈G|φ(g)∈H⁰}ist.

(b) Seien die Bezeichnungen so wie in (a). Zeigt, dassV EG⇐⇒φ(V)EG⁰gilt.

(c) Sei nunG=hgi,G⁰ =hg⁰imitg∈Gundg⁰ ∈G⁰. Ferner seiord(g) = 12,ord(g⁰) = 6und der Gruppenhomomorphismus

φ:G−→G⁰, gⁱ 7−→g⁰ⁱ

gegeben. Wie sehen die MengenLundL⁰aus?

(5 Punkte)

1

3. Aufgabe

SeiQdie Gruppe der rationalen Zahlen mit der Addition undZdie Untergruppe der ganzen Zahlen.

Zeigt die folgenden Behauptungen.

(a) Jedes Element inQ/Zbesitzt endliche Ordnung.

(b) F¨ur jedesn∈Nist

φn:Q/Z−→Q/Z, x+Z7→nx+Z ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

(c) Es giltkerφn∼=Z/nZ.

(5 Punkte)

4. Aufgabe

SeiGeine endliche Gruppe und seienSundT nichtleere Teilmengen vonG. Zeigt dasG=ST oder

#G≥#S+ #T gilt.

(5 Punkte)

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