Das heißt: SindΘ1undΘ2 allgemeinste Unifikatoren einer LiteralmengeM, dann gibt es eine Variablen-UmbenennungΘ˜ mitΘ2=Θ1Θ˜

Variablen-Umbenennungen

Ziel: Beschreibung der Wahlfreiheit f ¨ur allgemeinste Unifikatoren Gezeigt: Ein allgemeinster Unifikator kann gefunden werden.

Frage: Wie sehen die anderen aus?

Definition 1. EineVariablen-Umbenennungist eine Substitution der FormΘ = {x₁/y₁,. . .,x_n/y_n}, wobeiy₁,. . .,y_nVariablen sind.

Satz 1(Eindeutigkeit des allgemeinsten Unifikators). F ¨ur jede Literalmenge gibt es bis auf Variablen-Umbenennungen nur einen allgemeinsten Unifikator. Das heißt:

SindΘ₁undΘ₂ allgemeinste Unifikatoren einer LiteralmengeM, dann gibt es eine Variablen-UmbenennungΘ˜ mitΘ₂=Θ₁Θ˜.

Beweis. Es seienΘ₁undΘ₂allgemeinste Unifikatoren der LiteralmengeM.

• Nach der Definition allgemeinster Unifikatoren gibt es dann Substitutio- nen ˜Θ₁und ˜Θ₂mitΘ₁=Θ₂Θ˜₂undΘ₂=Θ₁Θ˜₁. Damit gilt also auch

Θ₁=Θ₂Θ˜₂=Θ₁Θ˜₁Θ˜₂ (∗)

• Es seiV₁=S

xVariableV(xΘ₁), also die Menge der Variablen, die im Bild vonΘ₁vorkommen. Gleichung (∗) impliziert, dassxΘ˜₁Θ˜₂ =xf ¨ur jedes x∈V₁. Insbesondere istxΘ˜₁eine Variable f ¨ur jedesx∈V₁.

• Wir definieren:

xΘ˜ =

xΘ˜₁ fallsx∈V₁

x sonst

Man beachte, dass dann ˜Θeine Variablen-Umbenennung ist. Außerdem stimmtT heta˜ mit ˜Θ₁auf allen Variablen inV₁ ¨uberein. Deshalb gilt:

Θ₁Θ˜ =Θ₁Θ˜₁=Θ₂.

Pr¨adikatenlogische Resolution

Ziel Verallgemeinerun aussagenlogischer Resolution auf Pr¨adikatenlogik.

Naiver Ansatz Aussagenlogische Resolution f ¨ur Herbrand-Expansion durchf ¨uhren.

Nachteil dabei Erfordert Raten der richtigen Grundsubstitution am Anfang.

Pr¨adikatenlogische Resolution arbeitet daher direkt mit Klauseln, die noch Variablen enthalten.

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Definition 2(Pr¨adikatenlogische Resolvente). Es seienK₁,K₂pr¨adikatenlogische Klauseln undΘ₁,Θ2Variablen-Umbenennungen, so dassK₁Θ₁undK₂Θ₂disjunkte Variablenmengen haben.

Falls es LiteraleL₁,. . .,Lm∈K₁Θ₁undL₁⁰,. . .,L_n⁰ ∈K₂Θ₂gibt, so dass {L₁,. . .,L_m,L₁⁰,. . .,L_n⁰}

unifizierbar ist mit allgemeinstem UnifikatorΘ, dann heißt

R:= (K₁Θ₁\ {L₁,. . .,L_m})∪(K₂Θ₂\ {L₁⁰,. . .,L_n⁰}) Θ

pr¨adikatenlogische Resolvente vonK₁undK₂. Beispiel:

{p(f(x)),¬q(z),p(z)} {¬p(x),r(g(x),a)}

{x/y}

{¬p(y),r(g(y),a)}

{z/f(x),y/f(x)}

{¬q(f(x)),r(g(f(x)),a)} In diesem Fall ist

K₁={p(f(x)),¬q(z),p(z)}, K₂={¬p(x),r(g(x),a)}, Θ₁={},

Θ₂={x/y},

Θ={z/f(x),y/f(x)},

R={¬q(f(x)),r(g(f(x)),a)}.

Definition 3(Herleitung). Es seienΣeine Menge von Klauseln undKeine Klausel.

Eine FolgeK₁,. . .,K_nvon Klauseln mitK_n ≡Kist eineHerleitung vonKausΣ, in ZeichenΣ`_ResK, falls f ¨ur16k6n:

(i) K_k∈Σoder

(ii) es gibti,j < k, so dassK_kpr¨adikatenlogische Resolvente vonK_iundK_jist.

Satz 2(Korrektheit und Widerlegungsvollst¨andigkeit, Robinson). Es seiA ≡

∀x₁· · · ∀x_nBgeschlossen und in Skolemform, wobeiBin KNF ist. Dann istAun- erf ¨ullbar genau dann, wennB`_Rest.

Bemerkungen zum Satz:

Korrektheit Ahnlich zum aussagenlogischen Fall¨

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Widerlegungsvollst¨andigkeit Zu einer HerleitungK₁⁰,. . .,K_n⁰ aus Klauseln von Formeln inE(A)mittels aussagenlogischer Resolution konstruiere Her- leitungK₁,. . .,Knmittels pr¨adikatenlogischer Resolution, so dassK_i⁰ei- ne Grundinstanz vonK_iist f ¨ur16i6n. Beweis in der ¨Ubung.

Die Konstruktion verwendet folgendes Lemma:

Lemma 1(Lifting-Lemma). Es seienK₁,K₂pr¨adikatenlogische Klauseln undK₁⁰, K₂⁰ Grundinstanzen vonK₁,K₂mit aussagenlogischer ResolventeR⁰. Dann gibt es eine pr¨adikatenlogische ResolventeRvonK₁,K₂, so dassR⁰Grundinstanz vonRist.

Als Bild:

K₁

K₂

K₁⁰ R

K₂⁰

R⁰

Hier steht wieder ein Pfeil f ¨ur eine Substitution und gerade Linen ohne Pfeil- spitze f ¨ur einen Resolutionsschritt.

Beweis. • Wir f ¨uhren den Beweis f ¨ur den Fall, dassK₁ undK₂ variablen- disjunkt sind. Der allgemeine Fall wird in der ¨Ubung besprochen.

• DaK_i⁰Grundinstanz vonK_iist, gibt es eine SubstitutionΘ_imitK_i⁰=K_iΘ_i f ¨uri=1,2.

• DaK₁undK₂variablendisjunkt sind, k ¨onnen wir die SubstitutionΘ = Θ₁∪Θ₂bilden, die sich auf den Variablen vonK₁so verh¨alt wieΘ₁und auf denen vonK₂so verh¨alt wieΘ₂.

• R⁰ist Resolvente vonK₁⁰ undK₂⁰, also gibt es ein LiteralLmitL∈K₁⁰ und L∈K₂⁰ undR⁰=K₁⁰\ {L} ∪ K₂⁰ \ {L}

• Es seienL₁,. . .,LmundL₁⁰,. . .,L_n⁰ die Literale, f ¨ur die {L₁,. . .,L_m}={M∈K₁|MΘ₁=L}, {L₁⁰,. . .,L_n⁰}={M∈K₂|MΘ₂=L}.

• Dann gilt

L_iΘ=L_iΘ₁=L f ¨ur16i6m, L_i⁰Θ=L_i⁰Θ₂=L f ¨ur16i6n.

Also istΘUnifikator von

{L₁,. . .,L_m,L₁⁰,. . .,L_n⁰}.

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Es seiΘ⁰ ein allgemeinster Unifikator dieser Menge. Dann gibt es eine Substitution ˜ΘmitΘ=Θ⁰Θ.˜

• Definiere

R= (K₁\ {L₁,. . .,Lm})∪(K₂\ {L₁⁰,. . .,L_n⁰}) Θ⁰. Dann istRResolvente vonK₁undK₂. Außerdem gilt:

RΘ˜ = (K₁\ {L₁,. . .,L_m})∪(K₂\ {L₁⁰,. . .,L_n⁰}) Θ⁰Θ˜

= (K₁\ {L₁,. . .,L_m})∪(K₂\ {L₁⁰,. . .,L_n⁰}) Θ

=K₁⁰\ {L} ∪ K₂⁰ \ {L}

=R⁰.

• Damit istR⁰Grundinstanz vonR.

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