H25 - Steiner’scher Satz [1P]

(1)

P2.1 Klassische Mechanik SS 16 Prof. Dr. J. Plefka/PD Dr. T.Klose Übungsblatt 9

Abgabe Mittwoch 22.06 vor der Vorlesung – Besprechung am 28.06

H24 - Yoyo [2P]

Eine Rolle (Masse M , Radius R, Trägheitsmoment I) mit horizontal ausgerichteter Achse steht unter dem Einfluß der Schwerkraft. Auf ihrem Umfang ist ein gewichtsloser, dünner Faden gewickelt, dessen freies Ende an einem vertikal bewegli- chen Punkt A befestigt ist. Wie muss der Punkt A gegenüber einem ortsfesten Punkt P bewegt werden (siehe Figur), damit die Rolle eine konstante Höhe im Raum beibehält?

H25 - Steiner’scher Satz [1P]

Der Trägheitstensor I

_ij

, wie er in der Vorlesung definiert wurde, bezieht sich auf ein körperfestes Koordinatensystem, das im Schwerpunkt seinen Ursprung O hat. Zeigen Sie, dass für einen alternativen Trägheitstensor I

_ij⁰

dessen Bezugssystem um einen Vektor ~a relativ zu O parallel verschoben ist der Steiner’sche Satz

I

_ij⁰

= I

_ij

+ M (a

²_l

δ

_ij

− a

_i

a

_j

)

gilt. Nutzen Sie diese Aussage, um geschickt den Trägheitstensor eines Würfels der Kantenlänge a (vergleiche Aufgabe H23) bezüglich einer seiner Ecken zu bestimmen.

H26 - Schwerer symmetrischer Kreisel [2P]

Ein symmetrischer Kreisel (Masse µ, Haupt- achsen x

₁

,x

₂

,x

₃

, I

₁

= I

₂

) stehe unter dem Einfluß der Schwerkraft G ~ = −µg ~ e

Z

und werde an seinem tiefsten Punkt O der Figu- renachse x

₃

festgehalten. Der Schwerpunkt S liegt in der Entfernung l von O entlang x

3

.

1

(2)

a) Zeigen Sie, dass mithilfe der Euler’schen Winkel und unter Zuhilfenahme des Steiner’schen Satzes aus H25 die Lagrangefunktion des Kreisels im Schwerefeld wie folgt lautet

L = I

₁

+ µ l

²

2 ( ˙ θ

²

+ ˙ ϕ

²

sin

²

θ) + I

₃

2 ( ˙ ψ + ˙ ϕ cos θ)

²

− µ g l cos θ .

b) Zeigen Sie, dass die Komponenten des Drehimpulses in x

3

und in Z Richtung, sowie die Energie erhalten sind.

c) Leiten Sie hieraus eine Lösung der Bewegungsgleichung in Form eines Integrals her, das t = t(E,M

3

,M

z

H25 - Steiner’scher Satz [1P]

P2.1 Klassische Mechanik SS 16 Prof. Dr. J. Plefka/PD Dr. T.Klose Übungsblatt 9

Abgabe Mittwoch 22.06 vor der Vorlesung – Besprechung am 28.06

H24 - Yoyo [2P]

H25 - Steiner’scher Satz [1P]

Der Trägheitstensor I

, wie er in der Vorlesung definiert wurde, bezieht sich auf ein körperfestes Koordinatensystem, das im Schwerpunkt seinen Ursprung O hat. Zeigen Sie, dass für einen alternativen Trägheitstensor I

dessen Bezugssystem um einen Vektor ~a relativ zu O parallel verschoben ist der Steiner’sche Satz

I

= I

+ M (a

δ

− a

a

)

gilt. Nutzen Sie diese Aussage, um geschickt den Trägheitstensor eines Würfels der Kantenlänge a (vergleiche Aufgabe H23) bezüglich einer seiner Ecken zu bestimmen.

H26 - Schwerer symmetrischer Kreisel [2P]

Ein symmetrischer Kreisel (Masse µ, Haupt- achsen x

,x

,x

, I

= I

) stehe unter dem Einfluß der Schwerkraft G ~ = −µg ~ e

und werde an seinem tiefsten Punkt O der Figu- renachse x

festgehalten. Der Schwerpunkt S liegt in der Entfernung l von O entlang x

.

1

a) Zeigen Sie, dass mithilfe der Euler’schen Winkel und unter Zuhilfenahme des Steiner’schen Satzes aus H25 die Lagrangefunktion des Kreisels im Schwerefeld wie folgt lautet

L = I

+ µ l

2 ( ˙ θ

+ ˙ ϕ

sin

θ) + I

2 ( ˙ ψ + ˙ ϕ cos θ)

− µ g l cos θ .

b) Zeigen Sie, dass die Komponenten des Drehimpulses in x

und in Z Richtung, sowie die Energie erhalten sind.

c) Leiten Sie hieraus eine Lösung der Bewegungsgleichung in Form eines Integrals her, das t = t(E,M

,M

) liefert. Das Integral müssen Sie nicht ausführen.

d) Können Sie einen Bewegungsbereich für den Winkel θ anhand dieses Ergebnisses angegeben?

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