§ 5 Meromorphe Funktionen auf beliebigen Gebieten Wir wollen den Satz von Mittag-Leffler verallgemeinern, dazu ben¨otigen wir aber noch ein kleines Hilfsmittel. Sei

§ 5 Meromorphe Funktionen auf beliebigen Gebieten

Wir wollen den Satz von Mittag-Leffler verallgemeinern, dazu ben¨ otigen wir aber noch ein kleines Hilfsmittel.

Sei G ⊂ C ein Gebiet. Unter einer kompakten Aussch¨ opfung von G versteht man eine Folge (K

) von kompakten Teilmengen von G, so dass gilt:

1. F¨ ur alle n ist K

⊂ K

.

2. Die Vereinigung aller K

ergibt das Gebiet G.

Man ¨ uberlegt sich dann sofort, dass jede kompakte Teilmenge K ⊂ G in einer Menge K

enthalten ist. Die Existenz solcher Aussch¨ opfungen ist trivial, man setze z.B.

K

:= {z ∈ C : |z| ≤ n} ∩ {z ∈ G : dist(z, ∂G) ≥ 1/n}.

5.1 Lemma. Sei G ⊂ C ein Gebiet. Dann gibt es eine kompakte Aussch¨ opfungs- folge von G, die zus¨ atzlich

” Rungesch“ ist, d.h. f¨ ur die gilt: K b

= K

.

Beweis: Sei eine gew¨ ohnliche kompakte Aussch¨ opfungsfolge gegeben. Wir defi- nieren die gesuchte Folge (K

) induktiv :

1. K

:= K b

.

2. Seien K

, . . . , K

gew¨ ahlt. Weil K

kompakt ist, existiert ein λ

∈ N , so dass K

⊂

◦

K

.

Setze dann K

:= K b

.

Dann ist die Folge (K

) eine Rungesche Aussch¨ opfungsfolge.

5.2 Satz von Mittag-Leffler f¨ ur allgemeine Gebiete. Sei G ⊂ C ein Gebiet, P ⊂ G eine in G diskrete Menge, geschrieben als Folge (a

), mit zugeh¨ origen Hauptteilen

h

(z) =

mk

X

j=1

c

(z − a

)

.

Dann gibt es eine auf G meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung l¨ ost.

Beweis: Ohne Einschr¨ ankung sei P unendlich. Sei K

eine Rungesche kompak- te Aussch¨ opfungsfolge f¨ ur G. Zun¨ achst teilen wir die nat¨ urlichen Zahlen in eine Familie von Indexmengen auf:

I

:= {k ∈ N : a

∈ K

},

und I

:= {k ∈ N : a

∈ K

\ K

} f¨ ur n ≥ 2.

Jede Indexmenge I

ist endlich, weil die Folge (a

) diskret in G ist. Nun setzen wir f

(z) := X

k∈In

h

(z)

(und insbesondere f

:= 0, wenn I

leer ist). Dann ist f

jeweils eine rationale Funktion mit Polen h¨ ochstens in K

\ K

.

F¨ ur n ≥ 2 ist f

auf K

holomorph. Deshalb ist der Satz von Runge anwendbar;

er liefert die Existenz einer rationalen Funktion R

mit Polen in C \G, die folgender Absch¨ atzung gen¨ ugt:

|f

(z) − R

(z)| <

1 2

f¨ ur z ∈ K

. Setze dann

f(z) := f

(z) +

∞

X

n=2

(f

(z) − R

(z)) .

Die kompakte Konvergenz folgt sofort: Ist K ⊂ G kompakt, dann gibt es ein n, so dass K ⊂ K

gilt. Deshalb ist die Differenz f

− R

holomorph auf K f¨ ur ν > n.

Außerdem wird die Reihe P

ν>n

(f

− R

) majorisiert durch P

ν>n

(

)

. Also ist f eine auf G meromorphe Funktion mit gesuchter Hauptteilverteilung.

Bemerkung. Der Beweis f¨ ur C lieferte genaues Aussehen und genaue Absch¨ atzun- gen, sowie eine Konstruktion der meromorphen Funktion. Der allgemeine Beweis ist ein reiner Existenzbeweis.

Unser n¨ achstes Ziel wird es jetzt sein, den Produktsatz f¨ ur beliebige Gebiete zu beweisen.

5.3 Satz von Weierstraß (f¨ ur beliebige Gebiete). Sei G ⊂ C ein Gebiet.

Dann ist jede Nullstellenverteilung auf G l¨ osbar.

Beweis: Sei G 6= C , D ⊂ G diskret, unendlich, aber nicht diskret in C . Dass D in G diskret ist, ist notwendig zur L¨ osbarkeit der Nullstellenverteilung. Den endlichen sowie den in C diskreten Fall haben wir schon gel¨ ost.

(n

)

seien die Vielfachheiten, und D = {a

: ν ∈ N } sei als Folge geschrieben.

Wir k¨ onnen ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit annehmen, dass jede Vielfach- heit gleich 1 ist, indem wir in der Folge den Punkt entsprechend oft vorkommen lassen.

Wir unterscheiden jetzt zwei F¨ alle:

1. Es existiert ein R > 0, so dass die zwei folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind:

(a) D ⊂ D

(0), also D beschr¨ ankt,

(b) C \ D

(0) ⊂ G, d.h. G ist Umgebung von Unendlich.

2. G und D sind beliebig.

Zun¨ achst f¨ uhren wir den zweiten Fall auf den ersten zur¨ uck. Daf¨ ur w¨ ahlen wir ein a

∈ G und ein r > 0, so dass D

(a

) ⊂ G, aber D

(a

) ∩ D = ∅ ist.

Dann definieren wir F (z) := 1

z − a

und G

:= F (G \ {a

}). Mit R := 1/r ist f¨ ur G

der erste Fall erf¨ ullt, denn mit z ∈ D ist |z − a

| > r und deshalb |F (z)| =

|

0

| < R. Also ist D

:= F (D) ⊂ D

(0) beschr¨ ankt und nat¨ urlich diskret in G

. Ist z ∈ C \ D

(0), also |z| > R, so setze man w := a

+ 1/z. Dann ist |w − a

| < r, w 6= a

und F (w) = z, also w ∈ G \ {a

} und z ∈ G

.

Ist jetzt f eine L¨ osung f¨ ur D

auf G

mit der Zusatzbedingung

w→∞

lim f (w) = 1,

so ist f b := f ◦ F holomorph fortsetzbar nach a

und nimmt dort den Grenzwert von f in Unendlich an. Weil der aber 6= 0 ist, hat f b genau die gesuchten Nullstellen in D.

Wenden wir uns deshalb dem ersten Fall zu, ohne zu vergessen, dass wir dort noch f¨ ur die Zusatzbedingung sorgen werden m¨ ussen.

Sei R > 0 wie gefordert. Dann ist C \ G ⊂ D

, d.h. C \ G beschr¨ ankt. Außerdem ist C \ G nicht leer und abgeschlossen. Das bedeutet aber, dass C \ G kompakt ist.

Deshalb gibt es eine Folge b

in C \ G, so dass δ

:= dist(a

, C \ G) = |a

− b

| ist.

Da D in G diskret ist, streben die δ

f¨ ur ν → ∞ gegen Null.

Wir erinnern uns an die Funktionen

E

(z) := (1 − z) · exp z + z

2 + · · · + z

n

.

Ist |z| ≤ 1, so ist |1 − E

(z)| ≤ |z|

. Behauptung: Die Funktion

f(z) :=

∞

Y

ν=1

E

a

− b

z − b

konvergiert auf G kompakt, die Grenzfunktion ist holomorph und l¨ ost die gegebene Nullstellenverteilung.

Letzteres sehen wir sofort ein, denn falls das Produkt existiert, gilt f(z) = 0 genau dann, wenn z = a

f¨ ur ein ν ist, also z ∈ D.

Zeigen wir nun die kompakte Konvergenz. Dazu sei K ⊂ G kompakt. Dann gibt es

ein ν

, so dass |z − b

| > 2|a

− b

| = 2δ

f¨ ur alle ν ≥ ν

und alle z ∈ K gilt, denn

es ist |z − b

| ≥ dist(K, C \ G) > 0, die δ

aber streben gegen Null. Es folgt

a

− b

z − b

< 1

2 f¨ ur ν > ν

, z ∈ K.

Dann gilt nach unseren ¨ Uberlegungen ¨ uber E

:

|1 − E

( a

− b

z − b

)| ≤ ( 1 2 )

, und deshalb konvergiert die Reihe

∞

X

ν=1

1 − E

( a

− b

z − b

)

auf K absolut gleichm¨ aßig. Daraus folgt, dass f holomorph auf G ist.

Behauptung: lim

z→∞

f(z) = 1.

Zum Beweis : Da |a

− b

| als konvergente Folge beschr¨ ankt und |z − b

| ≥ dist(z, C \ G) ist, strebt der Bruch X

(z) := a

− b

z − b

unabh¨ angig von ν f¨ ur |z| → ∞ gegen Null und E

(X

(z)) aus Stetigkeitsgr¨ unden gegen 1. Deshalb ist der Loga- rithmus dort definiert, und es gilt:

f (z) =

∞

Y

ν=1

E

( a

− b

z − b

) = exp

∞

X

ν=1

log E

(X

(z))

!

| {z }

z.z.: dies strebt gegen 0

.

Wir benutzen jetzt wieder die fr¨ uher bewiesene Absch¨ atzung f¨ ur den Logarithmus:

Ist |u| klein genug, so gilt |log(1 + u)| ≤

|u|.

F¨ ur u setzen wir u

(z) := E

(X

(z)) − 1 ein. Zu jedem ε (mit 0 < ε < 1) gibt es ein R = R

> 0, so dass |X

(z)| < ε f¨ ur |z| > R und alle ν gilt. Dann ist

|1 − E

(X

(z))| ≤ |X

(z)|

< ε

. Wir w¨ ahlen ε so, dass u

(z)

” gen¨ ugend klein“ ist, also

|log(E

(X

(z)))| ≤ 3

2 |E

(X

(z)) − 1| ≤ 3

2 ε

f¨ ur |z| > R und alle ν.

Dann ist

∞

X

ν=1

|log E

(X

(z))| ≤ 3 2

∞

X

ν=1

ε

= 3

2 ε

· 1

1 − ε f¨ ur |z| > R.

Zu jedem δ > 0 kann man ein ε finden, so dass 3

2 ε

· 1

1 − ε < δ ist, und dazu ein R > 0, so dass dann

∞

X

ν=1

|log E

(X

(z))| ≤ δ f¨ ur |z| > R ist. Daraus folgt die

Zusatzbedingung. Nun ist alles gezeigt, da der zweite Fall vollst¨ andig auf den ersten zur¨ uckgef¨ uhrt werden konnte.

5.4 Folgerung. Sei G ⊂ C ein Gebiet, f ∈ M(G) eine meromorphe Funktion.

Dann gibt es holomorphe Funktionen g, h ∈ O(G), so dass f = g

h deren Quotient ist.

Beweis: Sei (h

)

die Hauptteilverteilung von f , (n

) die Folge der jeweiligen Polstellenordnung. Dann kann (n

)

auch als Nullstellenverteilung angesehen werden. Nach dem allgemeinen Weierstraßschen Produktsatz gibt es eine passende Funktion h ∈ O(G), die die Nullstellenverteilung l¨ ost. Dann ist die Funktion g :=

h · f holomorph, da alle Pole behoben sind. Das bedeutet aber f = g h .

Bemerkung. In algebraischer Sprechweise bedeutet die Folgerung: Der Quoti- entenk¨ orper von O(G) ist M(G).

Wir kehren noch einmal zum Mittag-Leffler-Problem zur¨ uck:

Sei G ⊂ C ein Gebiet, P ⊂ G eine in G diskrete Menge, geschrieben als Folge (a

)

, mit zugeh¨ origen Hauptteilen

h

(z) =

mk

X

j=1

c

(z − a

)

.

F¨ ur jedes k sei U

eine offene Umgebung von a

, die keinen anderen Punkt a

mit j 6= k enth¨ alt. Außerdem sei U

:= G \ P . Dann ist U = {U

: k ∈ N

} eine offene Uberdeckung von ¨ G. F¨ ur jedes k ist durch h

eine meromorphe Funktion auf U

gegeben (wenn man h

:= 0 setzt). Auf U

∩ U

ist f

:= h

− h

jeweils holomorph.

Definition. Sei G ⊂ C ein Gebiet und U = {U

: ι ∈ I} eine offene ¨ Uberde- ckung. Unter einem holomorphen Cozyklus zur ¨ Uberdeckung U versteht man ein System von Funktionen f

∈ O(U

∩ U

, so dass gilt:

1. f

= −f

, f¨ ur alle i, j.

2. f

+ f

= f

auf U

∩ U

∩ U

.

Offensichtlich liefert jede Mittag-Leffler-Verteilung einen holomorphen Cozyklus.

Definition. Ein holomorpher Cozyklus (f

) zur ¨ Uberdeckung U wird als Corand

bezeichnet, wenn es Funktionen g

∈ O(U

) gibt, so dass f

= g

− g

auf U

∩ U

ist.

5.5 Satz. Eine Mittag-Leffler-Verteilung auf G ist genau dann l¨ osbar, wenn der zugeh¨ orige Cozyklus ein Corand ist.

Beweis: Es ist f

= h

− h

, mit meromorphen Funktionen h

. Ist (f

) ein Corand, also f

= g

− g

mit holomorphen Funktionen g

, so ist

h

− g

= h

− g

auf U

∩ U

.

Durch h|

:= h

− g

wird eine meromorphe Funktion h auf G definiert, die die richtigen Hauptteile besitzt.

Ist umgekehrt eine meromorphe L¨ osung h gegeben, so ist f

:= h

− h auf U

holomorph und f

− f

= h

− h

= f

.

Bezeichnet man mit Z

(U , O) den Vektorraum der holomorphen Cozyklen und mit B

(U , O) den Unterraum der Cor¨ ander, so erh¨ alt man als Quotientenvektorraum die 1. Cohomologiegruppe von O zur ¨ Uberdeckung U :

H

(U , O) := Z

(U , O)/B

(U , O).

Es gilt:

Ist H

(U , O) = 0, so ist jede Mittag-Leffler-Verteilung zur ¨ Uberdeckung U l¨ osbar.

F¨ ur Gebiete in C liefert uns diese Aussage nichts Neues, aber sie l¨ asst sich leicht auf h¨ ohere Dimensionen verallgemeinern.

Beim Weierstraß-Problem kann man ¨ ahnlich vorgehen. Hier sind

” Nullstellen“

f

(z) = (z − a

)

gegeben (bzw. f

(z) ≡ 1, falls in U

keine Nullstelle liegt).

Auf U

= U

∩ U

ist g

:= f

/f

holomorph ohne Nullstellen. Diese Funktio- nen liefern einen multiplikativen Cozyklus, also Funktionen g

∈ O

(U

) mit den Eigenschaften

1. g

= g

.

2. g

· g

= g

auf U

= U

∩ U

∩ U

.

Ein Corand ist in diesem Fall ein System von Funktionen g

∈ O

(U

) mit g

g

= g

auf U

. Eine Weierstraß-Verteilung (f

) ist genau dann l¨ osbar, wenn der zugeh¨ orige Cozyklus g

= f

f

ein Corand ist. Dann wird durch f |

:= f

g

wird dann eine holomorphe Funktion mit den geforderten Nullstellen gegeben.

Ich verzichte hier auf die Definition der passenden Cohomologiegruppe.