= , ,..., = GrundlagenderTheoretischenInformatik/EinführungindieTheoretischeInformatikI TeilI WichtigeBeweismethoden Dank

(1)

Vorlesung

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Bernhard Beckert

Institut für Informatik

Sommersemester 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 1 / 42

Dank

Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von

Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal)

Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank.

– Bernhard Beckert, April 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 2 / 42

Teil I

1 Organisatorisches

2 Motivation, Inhalt der Vorlesung

3 Kurzer Überblick: Logik

4 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte

5 Kurzer Überblick: Beweismethoden und Mathematische Konzepte

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Beweismethoden und Mathematische Konzepte SS 2007 36 / 42

Wichtige Beweismethoden

Deduktiver Beweis

Aneinanderkettung von Argumenten/Aussagen

A=A₁,A₂, . . . ,A_n=B

ZwischenaussagenA_i müssen schlüssig aus dem Vorhergehenden folgen

Verwendet werden dürfen nur – Annahmen ausA

– mathematische Grundgesetze – bereits bewiesene Aussagen – logische Schlussfolgerungen

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Wichtige Beweismethoden

Beispiel 5.1 (Deduktiver Beweis)

Zu beweisen:

Wenn x die Summe der Quadrate von vier positiven ganzen Zahlen ist, dann gilt2^x

≥

x²

Beweis in schematischer Darstellung:

Aussage Begründung

1. x =a²+b²+c²+d² Gegeben 2. a

≥

1,b

≥

1,c

≥

1,d

≥

1 Gegeben

3. a²

≥

1,b²

≥

1,c²

≥

1,d²

≥

1 (2) und Gesetze der Arithmetik 4. x

≥

4 (1), (3) und Gesetze der Arithmetik 5. 2^x

≥

x² (4) und Satz aus der Analysis

Wichtige Beweismethoden

Beweis durch Kontraposition

Beweise, dassnichtAaus der AnnahmenichtBfolgt:

¬

B

⇒ ¬

A logisch äquivalent zu A

⇒

B

Widerspruchsbeweis

Beweise, dass ausAund nichtBein Widerspruch folgt:

(A

∧ ¬

B)

⇔

false logisch äquivalent zu A

⇒

B

Akann „leer“ sein

Widerspruch zu

∀

-Aussage gelingt durch Gegenbeispiel

Wichtige Beweismethoden

Induktionsbeweise Standardinduktion:

GiltA(0)und

folgtA(i+1)ausA(i), dann giltA(n)für allen

∈

N Vollständige Induktion:

GiltA(0)und

folgtA(i+1)ausA(0)

∧

. . .

∧

A(i), dann giltA(n)für allem

∈

N

Strukturelle Induktion (auf Datentypen wie Listen, Bäumen, Wörtern:

GiltAfür das Basiselement und

folgt die Gültigkeit vonAfür ein beliebiges Element aus der Gültigkeit vonAfür seine Unterelemente,

dann giltAfür alle Elemente.

Mathematische Konzepte

Grundkonzepte (z.B. aus DAS) ElementareMengentheorie –

{

x

|

P(x)}

–

∪

,

∩

,

\

Bezug zwischen Mengen, Relationen und Funktionen(wichtig!) Elementare Gesetze der Algebra

Strukturen wie Listen, (endliche) Folgen, Graphen, Bäume Wörter (Strings)

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Mathematische Konzepte

Funktionen

Funktionf :S→S⁰: Abbildung zwischen den GrundmengenSundS⁰, nicht unbedingt auf allen Elementen vonSdefiniert DefinitionsbereichD

WertebereichW

f eine totale Funktion: f für alle Elemente des WertebereichsWdefiniert

∀

x

∈

D

∃

y

∈

W(x,y)

∈

f Injektiv, surjektiv, bijektiv