Sommersemester2007 BernhardBeckert GrundlagenderTheoretischenInformatik/EinführungindieTheoretischeInformatikI Vorlesung

Vorlesung

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Bernhard Beckert

Institut für Informatik

Sommersemester 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 1 / 223

Dank

Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen von

Katrin Erk (gehalten an der Universität Koblenz-Landau) Jürgen Dix (gehalten an der TU Clausthal)

Ihnen beiden gilt mein herzlicher Dank.

– Bernhard Beckert, April 2007

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 2 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beispiel 15.2

Folgende Sprachen sind nicht regulär:

1

L

:= { a

ba

| i ∈ N

}

2

L

:= { a

| p ist Primzahl }

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 200 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beispiel 15.2

Folgende Sprachen sind nicht regulär:

1

L

:= { a ⁱ ba ⁱ | i ∈ N

}

2

L

:= { a

| p ist Primzahl }

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 200 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ⁱ ba ⁱ | i ∈ N

} Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich das Wort a

ba

∈ L

aufpumpen lassen (da | a

ba

| ≥ n).

Sei a

ba

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 201 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ⁱ ba ⁱ | i ∈ N

} Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich das Wort a

ba

∈ L

aufpumpen lassen (da | a

ba

| ≥ n).

Sei a

ba

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 201 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ⁱ ba ⁱ | i ∈ N

} Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich das Wort a

ba

∈ L

aufpumpen lassen (da | a

ba

| ≥ n).

Sei a

ba

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 201 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ⁱ ba ⁱ | i ∈ N

} Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich das Wort a

ba

∈ L

aufpumpen lassen (da | a

ba

| ≥ n).

Sei a

ba

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 201 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ⁱ ba ⁱ | i ∈ N

} Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich das Wort a ⁿ ba ⁿ ∈ L

aufpumpen lassen (da | a ⁿ ba ⁿ | ≥ n).

Sei a

ba

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 201 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ⁱ ba ⁱ | i ∈ N

} Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich das Wort a ⁿ ba ⁿ ∈ L

aufpumpen lassen (da | a ⁿ ba ⁿ | ≥ n).

Sei a ⁿ ba ⁿ = uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 201 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

1. Fall: u = a ^k , v = a ^j , w = a ⁱ ba ⁿ mit i , k ≥ 0, j > 0 und k + j + i = n.

Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a

a

a

ba

= a

⁺

⁺

ba

= a

⁺

ba

6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

2. Fall: u = a

ba

, v = a

, w = a

Widerspruch zum Lemma! (analog zu Fall 1)

3. Fall: u = a

, v = a

ba

, w = a

mit k + j = i + l = n und i , j , k , l ≥ 0 Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a

a

ba

a

ba

a

= a

⁺

ba

⁺

ba

⁺

6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 202 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

1. Fall: u = a ^k , v = a ^j , w = a ⁱ ba ⁿ mit i , k ≥ 0, j > 0 und k + j + i = n.

Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a

a ⁱ ba ⁿ = a ^{k +}

^{+ i} ba ⁿ = a ^{n + j} ba ⁿ 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

2. Fall: u = a

ba

, v = a

, w = a

Widerspruch zum Lemma! (analog zu Fall 1)

3. Fall: u = a

, v = a

ba

, w = a

mit k + j = i + l = n und i , j , k , l ≥ 0 Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a

a

ba

a

ba

a

= a

⁺

ba

⁺

ba

⁺

6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 202 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

1. Fall: u = a ^k , v = a ^j , w = a ⁱ ba ⁿ mit i , k ≥ 0, j > 0 und k + j + i = n.

Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a

a ⁱ ba ⁿ = a ^{k +}

^{+ i} ba ⁿ = a ^{n + j} ba ⁿ 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

2. Fall: u = a

ba

, v = a

, w = a

Widerspruch zum Lemma! (analog zu Fall 1)

3. Fall: u = a

, v = a

ba

, w = a

mit k + j = i + l = n und i , j , k , l ≥ 0 Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a

a

ba

a

ba

a

= a

⁺

ba

⁺

ba

⁺

6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 202 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

1. Fall: u = a ^k , v = a ^j , w = a ⁱ ba ⁿ mit i , k ≥ 0, j > 0 und k + j + i = n.

Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a

a ⁱ ba ⁿ = a ^{k +}

^{+ i} ba ⁿ = a ^{n + j} ba ⁿ 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

2. Fall: u = a ⁿ ba ⁱ , v = a ^j , w = a ^k

Widerspruch zum Lemma! (analog zu Fall 1)

3. Fall: u = a

, v = a

ba

, w = a

mit k + j = i + l = n und i , j , k , l ≥ 0 Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a

a

ba

a

ba

a

= a

⁺

ba

⁺

ba

⁺

6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 202 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

1. Fall: u = a ^k , v = a ^j , w = a ⁱ ba ⁿ mit i , k ≥ 0, j > 0 und k + j + i = n.

Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a

a ⁱ ba ⁿ = a ^{k +}

^{+ i} ba ⁿ = a ^{n + j} ba ⁿ 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

2. Fall: u = a ⁿ ba ⁱ , v = a ^j , w = a ^k

Widerspruch zum Lemma! (analog zu Fall 1)

3. Fall: u = a

, v = a

ba

, w = a

mit k + j = i + l = n und i , j , k , l ≥ 0 Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a

a

ba

a

ba

a

= a

⁺

ba

⁺

ba

⁺

6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 202 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

1. Fall: u = a ^k , v = a ^j , w = a ⁱ ba ⁿ mit i , k ≥ 0, j > 0 und k + j + i = n.

Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a

a ⁱ ba ⁿ = a ^{k +}

^{+ i} ba ⁿ = a ^{n + j} ba ⁿ 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

2. Fall: u = a ⁿ ba ⁱ , v = a ^j , w = a ^k

Widerspruch zum Lemma! (analog zu Fall 1)

3. Fall: u = a ^k , v = a ^j ba ⁱ , w = a ^l mit k + j = i + l = n und i , j , k , l ≥ 0 Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a

a

ba

a

ba

a

= a

⁺

ba

⁺

ba

⁺

6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 202 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

1. Fall: u = a ^k , v = a ^j , w = a ⁱ ba ⁿ mit i , k ≥ 0, j > 0 und k + j + i = n.

Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a

a ⁱ ba ⁿ = a ^{k +}

^{+ i} ba ⁿ = a ^{n + j} ba ⁿ 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

2. Fall: u = a ⁿ ba ⁱ , v = a ^j , w = a ^k

Widerspruch zum Lemma! (analog zu Fall 1)

3. Fall: u = a ^k , v = a ^j ba ⁱ , w = a ^l mit k + j = i + l = n und i , j , k , l ≥ 0 Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a ^j ba ⁱ a ^j ba ⁱ a ^l = a ^{k + j} ba ^{i + j} ba ^{i + l} 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 202 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

1. Fall: u = a ^k , v = a ^j , w = a ⁱ ba ⁿ mit i , k ≥ 0, j > 0 und k + j + i = n.

Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a

a ⁱ ba ⁿ = a ^{k +}

^{+ i} ba ⁿ = a ^{n + j} ba ⁿ 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

2. Fall: u = a ⁿ ba ⁱ , v = a ^j , w = a ^k

Widerspruch zum Lemma! (analog zu Fall 1)

3. Fall: u = a ^k , v = a ^j ba ⁱ , w = a ^l mit k + j = i + l = n und i , j , k , l ≥ 0 Einmal aufpumpen (m = 2) ergibt:

uv

w = a ^k a ^j ba ⁱ a ^j ba ⁱ a ^l = a ^{k + j} ba ^{i + j} ba ^{i + l} 6∈ L

Widerspruch zum Lemma!

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 202 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

Also: Annahme falsch.

Also: L

nicht regulär.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 203 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.)

Also: Annahme falsch.

Also: L

nicht regulär.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 203 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ^p | p ist Primzahl } Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich jedes Wort a

∈ L

mit p ≥ n aufpumpen lassen.

Sei a

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 204 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ^p | p ist Primzahl } Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich jedes Wort a

∈ L

mit p ≥ n aufpumpen lassen.

Sei a

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 204 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ^p | p ist Primzahl } Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich jedes Wort a

∈ L

mit p ≥ n aufpumpen lassen.

Sei a

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 204 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ^p | p ist Primzahl } Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich jedes Wort a

∈ L

mit p ≥ n aufpumpen lassen.

Sei a

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 204 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ^p | p ist Primzahl } Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich jedes Wort a ^p ∈ L

mit p ≥ n aufpumpen lassen.

Sei a

= uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 204 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

Zu

L

:= { a ^p | p ist Primzahl } Annahme: L

ist regulär.

Dann gilt für L

das Pumping-Lemma.

Sei n die Zahl aus dem Pumping-Lemma.

Dann muss sich jedes Wort a ^p ∈ L

mit p ≥ n aufpumpen lassen.

Sei a ^p = uvw eine passende Zerlegung laut Lemma.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 204 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Sei

a ^p = uvw = a ⁱ a ^j a ^k also

i + j + k = p ≥ n und 0 < j < n

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 205 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 1: i + k > 1.

Pumpe ( i + k ) mal:

uv

⁺

w = a

a

⁽

⁺

⁾ a

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( i + k ) + k prim Aber Widerspruch:

i + j ( i + k ) + k = i + ij + jk + k

= i ( 1 + j ) + ( j + 1 ) k

= i ( 1 + j ) + k ( 1 + j )

= ( i + k )( 1 + j )

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 206 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 1: i + k > 1.

Pumpe ( i + k ) mal:

uv ^{i + k} w = a ⁱ a ^{j ( i + k )} a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( i + k ) + k prim Aber Widerspruch:

i + j ( i + k ) + k = i + ij + jk + k

= i ( 1 + j ) + ( j + 1 ) k

= i ( 1 + j ) + k ( 1 + j )

= ( i + k )( 1 + j )

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 206 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 1: i + k > 1.

Pumpe ( i + k ) mal:

uv ^{i + k} w = a ⁱ a ^{j ( i + k )} a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( i + k ) + k prim Aber Widerspruch:

i + j ( i + k ) + k = i + ij + jk + k

= i ( 1 + j ) + ( j + 1 ) k

= i ( 1 + j ) + k ( 1 + j )

= ( i + k )( 1 + j )

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 206 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 1: i + k > 1.

Pumpe ( i + k ) mal:

uv ^{i + k} w = a ⁱ a ^{j ( i + k )} a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( i + k ) + k prim Aber Widerspruch:

i + j ( i + k ) + k = i + ij + jk + k

= i ( 1 + j ) + ( j + 1 ) k

= i ( 1 + j ) + k ( 1 + j )

= ( i + k )( 1 + j )

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 206 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 1: i + k > 1.

Pumpe ( i + k ) mal:

uv ^{i + k} w = a ⁱ a ^{j ( i + k )} a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( i + k ) + k prim Aber Widerspruch:

i + j ( i + k ) + k = i + ij + jk + k

= i ( 1 + j ) + ( j + 1 ) k

= i ( 1 + j ) + k ( 1 + j )

= ( i + k )( 1 + j )

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 206 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 2: i + k = 1.

Pumpe ( j + 2 ) mal:

uv

⁺

w = a

a

⁽

⁺

⁾ a

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( j + 2 ) + k prim Aber Widerspruch!:

i + j ( j + 2 ) + k = 1 + j ( j + 2 )

= 1 + 2j + j

= ( 1 + j )

Also: Annahme falsch. L

nicht regulär.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 207 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 2: i + k = 1.

Pumpe ( j + 2 ) mal:

uv ^{j +}

w = a ⁱ a ^{j ( j +}

⁾ a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( j + 2 ) + k prim Aber Widerspruch!:

i + j ( j + 2 ) + k = 1 + j ( j + 2 )

= 1 + 2j + j

= ( 1 + j )

Also: Annahme falsch. L

nicht regulär.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 207 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 2: i + k = 1.

Pumpe ( j + 2 ) mal:

uv ^{j +}

w = a ⁱ a ^{j ( j +}

⁾ a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( j + 2 ) + k prim Aber Widerspruch!:

i + j ( j + 2 ) + k = 1 + j ( j + 2 )

= 1 + 2j + j

= ( 1 + j )

Also: Annahme falsch. L

nicht regulär.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 207 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 2: i + k = 1.

Pumpe ( j + 2 ) mal:

uv ^{j +}

w = a ⁱ a ^{j ( j +}

⁾ a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( j + 2 ) + k prim Aber Widerspruch!:

i + j ( j + 2 ) + k = 1 + j ( j + 2 )

= 1 + 2j + j

= ( 1 + j )

Also: Annahme falsch. L

nicht regulär.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 207 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 2: i + k = 1.

Pumpe ( j + 2 ) mal:

uv ^{j +}

w = a ⁱ a ^{j ( j +}

⁾ a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( j + 2 ) + k prim Aber Widerspruch!:

i + j ( j + 2 ) + k = 1 + j ( j + 2 )

= 1 + 2j + j

= ( 1 + j )

Also: Annahme falsch. L

nicht regulär.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 207 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der Umkehrung

Beweis der Nichtregularität von L

(Forts.) Fall 2: i + k = 1.

Pumpe ( j + 2 ) mal:

uv ^{j +}

w = a ⁱ a ^{j ( j +}

⁾ a ^k

Nach Pumping-Lemma liegt dieses Wort in L

, d. h.

i + j ( j + 2 ) + k prim Aber Widerspruch!:

i + j ( j + 2 ) + k = 1 + j ( j + 2 )

= 1 + 2j + j

= ( 1 + j )

Also: Annahme falsch. L

nicht regulär.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 207 / 223

Pumping-Lemma: Stärkere Variante

Theorem 15.3 (Pumping-Lemma für L

-Sprachen, stärkere Variante) Sei L ∈ RAT.

Dann existiert ein n ∈ N ^{, so dass:}

Für alle

x ∈ L mit | x | ≥ n existiert eine Zerlegung

x = uv w u , v , w ∈ Σ ^∗ mit

| v | ≥ 1

| uv | < n (statt | v | < n) uv ^m w ∈ L für alle m ∈ N

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 208 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der stärkeren Variante

Beispiel 15.4 (Palindrome)

Die Sprache der Palindrome L = { ww ⁻

| w ∈ { a , b } ^∗ } ist nicht regulär

Beweis gelingt nicht mit der schwächeren Variante des PL (die schwächere Version gilt für die Sprache)

Beweis gelingt mit der stärkeren Varianten des PL

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 209 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der stärkeren Variante

Beispiel 15.4 (Palindrome)

Die Sprache der Palindrome L = { ww ⁻

| w ∈ { a , b } ^∗ } ist nicht regulär

Beweis gelingt nicht mit der schwächeren Variante des PL (die schwächere Version gilt für die Sprache)

Beweis gelingt mit der stärkeren Varianten des PL

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 209 / 223

Pumping-Lemma: Anwendung der stärkeren Variante

Beispiel 15.4 (Palindrome)

Die Sprache der Palindrome L = { ww ⁻

| w ∈ { a , b } ^∗ } ist nicht regulär

Beweis gelingt nicht mit der schwächeren Variante des PL (die schwächere Version gilt für die Sprache)

Beweis gelingt mit der stärkeren Varianten des PL

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 209 / 223

Teil III

1

Determinierte endliche Automaten (DEAs)

2

Indeterminierte endliche Automaten (NDEAs)

3

Automaten mit epsilon-Kanten

4

Endliche Automaten akzeptieren genau die Typ-3-Sprachen

5

Pumping-Lemma

6

Abschlusseigenschaften und Wortprobleme

7

Rational = Reguläre Ausdrücke

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: SS 2007 210 / 223

Teil III

1

Determinierte endliche Automaten (DEAs)

2

Indeterminierte endliche Automaten (NDEAs)

3

Automaten mit epsilon-Kanten

4

Endliche Automaten akzeptieren genau die Typ-3-Sprachen

5

Pumping-Lemma

6

Abschlusseigenschaften und Wortprobleme

7

Rational = Reguläre Ausdrücke

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften und Wortprobleme SS 2007 211 / 223

Abschlusseigenschaften

Lemma 16.1

Seien zwei reguläre Sprachen L , L ⁰ gegeben.

Dann kann folgende endlichen Automaten konstruieren:

A ¬ akzeptiert L = Σ ^∗ \ L A ∪ akzeptiert L ∪ L ⁰ A ◦ akzeptiert L ◦ L ⁰ A ∗ akzeptiert L ^∗ A ∩ akzeptiert L ∩ L ⁰

Beweis.

An Tafel.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften und Wortprobleme SS 2007 212 / 223

Abschlusseigenschaften

Lemma 16.1

Seien zwei reguläre Sprachen L , L ⁰ gegeben.

Dann kann folgende endlichen Automaten konstruieren:

A ¬ akzeptiert L = Σ ^∗ \ L A ∪ akzeptiert L ∪ L ⁰ A ◦ akzeptiert L ◦ L ⁰ A ∗ akzeptiert L ^∗ A ∩ akzeptiert L ∩ L ⁰

Beweis.

An Tafel.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften und Wortprobleme SS 2007 212 / 223

Abschlusseigenschaften

Lemma 16.1

Seien zwei reguläre Sprachen L , L ⁰ gegeben.

Dann kann folgende endlichen Automaten konstruieren:

A ¬ akzeptiert L = Σ ^∗ \ L A ∪ akzeptiert L ∪ L ⁰ A ◦ akzeptiert L ◦ L ⁰ A ∗ akzeptiert L ^∗ A ∩ akzeptiert L ∩ L ⁰

Beweis.

An Tafel.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften und Wortprobleme SS 2007 212 / 223

Abschlusseigenschaften

Lemma 16.1

Seien zwei reguläre Sprachen L , L ⁰ gegeben.

Dann kann folgende endlichen Automaten konstruieren:

A ¬ akzeptiert L = Σ ^∗ \ L A ∪ akzeptiert L ∪ L ⁰ A ◦ akzeptiert L ◦ L ⁰ A ∗ akzeptiert L ^∗ A ∩ akzeptiert L ∩ L ⁰

Beweis.

An Tafel.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften und Wortprobleme SS 2007 212 / 223

Abschlusseigenschaften

Lemma 16.1

Seien zwei reguläre Sprachen L , L ⁰ gegeben.

Dann kann folgende endlichen Automaten konstruieren:

A ¬ akzeptiert L = Σ ^∗ \ L A ∪ akzeptiert L ∪ L ⁰ A ◦ akzeptiert L ◦ L ⁰ A ∗ akzeptiert L ^∗ A ∩ akzeptiert L ∩ L ⁰

Beweis.

An Tafel.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften und Wortprobleme SS 2007 212 / 223

Abschlusseigenschaften

Lemma 16.1

Seien zwei reguläre Sprachen L , L ⁰ gegeben.

Dann kann folgende endlichen Automaten konstruieren:

A ¬ akzeptiert L = Σ ^∗ \ L A ∪ akzeptiert L ∪ L ⁰ A ◦ akzeptiert L ◦ L ⁰ A ∗ akzeptiert L ^∗ A ∩ akzeptiert L ∩ L ⁰

Beweis.

An Tafel.

B. Beckert – Grundlagen d. Theoretischen Informatik: Abschlusseigenschaften und Wortprobleme SS 2007 212 / 223

Abschlusseigenschaften

Lemma 16.1

Seien zwei reguläre Sprachen L , L ⁰ gegeben.

Dann kann folgende endlichen Automaten konstruieren:

A ¬ akzeptiert L = Σ ^∗ \ L A ∪ akzeptiert L ∪ L ⁰ A ◦ akzeptiert L ◦ L ⁰ A ∗ akzeptiert L ^∗ A ∩ akzeptiert L ∩ L ⁰

Beweis.

An Tafel.

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