W. Werner und T. Timmermann SS 13
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker II Blatt 6
Abgabe bis Freitag, 31. Mai, 12 Uhr
Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung
Aufgabe 1. (a) Schreiben Sie den Shift
1 2 · · · n−1 n
2 3 · · · n 1
∈Sn als Produkt von Transpositionen und bestimmen Sie sein Signum.
(b) Berechnen Sie die Determinanten der Matrizen
1 2 3 4
,
1 t 1 t2 1 t t t 1
,
1 2 0 4 2 3 1 4 3 1 1 2 2 5 1 1
,
0 · · · 0 1
1 . .. 0
0 . .. ... ... ... . .. ... ... ...
0 · · · 0 1 0
,
wobei die letzte eine n×n-Matrix sein soll.
Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung (bitte R¨uckseite beachten!)
Aufgabe 2. (a) Seien m, n∈N und
C(m, n) =
1 m1 m
2
· · · mn 1 m+11 m+1
2
· · · m+1n ... ... ... ... 1 m+n1 m+n
2
· · · m+nn
,
wobei xy
= (x−y)!y!x! . Zeigen Sie per Induktion, dass detC(m, n) = 1.
(Hinweis: Verwenden Sie die Gleichung mk
+ k+1m
= m+1k+1 .) (b) (Vandermonde-Determinante) Seien x1, . . . , xn ∈Cund
B(n) =
1 1 · · · 1
x1 x2 · · · xn ... ... ... xn−11 xn−12 · · · xn−1n
.
Zeigen Sie per Induktion, dass detB(n) = Q
1≤i<j≤n(xj −xi).
(Hinweis: Verwenden Sie ¨ahnliche Zeilenumformungen wie bei (a)).
1
Aufgabe 3. Seien m, n∈N, A∈Mm(C),B ∈Mmn(C), C∈Mn(C) und
D= (dij)i.j =
A B 0 C
.
(a) Zeigen Sie, dass det(D) = det(A) det(C).
(Hinweis: Sie k¨onnen die definierende Formel f¨ur die Determinante verwenden oder mit Hilfe des Gauß-Algorithmus argumentieren.) (b) Schlussfolgern Sie aus (a), dass Dgenau dann invertierbar ist, wennA
und C invertierbar sind.
Aufgabe 4. Das Kreuzprodukt v ×w zweier Vektoren v = (v1, v2, v3) und w= (w1, w2, w3) im R3 ist der Vektor
v ×w=
v2w3−v3w2 v3w1−v1w3
v1w2−v2w1
.
(a) Pr¨ufen Sie, ob die Abbildung (v, w)7→v×wlinear/multi-linear/alter- nierend/eine alternierende Multilinearform ist.
(b) Zeigen Sie, dass hv, v×wi= 0 =hw, v×wi, wobei hx, yi=P3
i=1xiyi. (c) Zeigen Sie, dass kv×wk2 =kvk2kwk2− hv, wi2.
2
