Modelle für Koordinationsmechanismen in der dezentralen betrieblichen Planung

Modelle für Koordinationsmechanismen in der dezentralen betrieblichen Planung

Claudia Schmidt

Justus-Liebig-Universität Gieÿen BWL-Wirtschaftsinformatik

1 Einleitung

Mit der Identikation von relevanten Attributen für betriebliche Planungs- probleme (Anzahl der Aufträge, Zerlegbarkeit und Arten der Zerlegbarkeit) können für sinnvolle Attributkombinationen Koordinationsmechanismen be- stimmt werden, die in Hinblick auf den Einsatz in einem Elektronischen Markt geeignet sind (vgl. [Gomber et al., 1997]), d. h.

die Mechanismen stellen eine eziente Allokation von Aufträgen auf ei- genverantwortliche Organisationseinheiten sicher,

schlieÿen strategisches Verhalten ex ante aus, d. h. die Organisationsein- heiten geben ihre wahren individuellen Bewertungen (dispositionsspezi- schen Deckungsbeiträge), unabhängig vom Marktverhalten der anderen Organisationseinheiten an.

Die Mechanismen können auch negative Bewertungen handhaben und

weisen akzeptable Kommunikationskosten auf.

Die folgende Tabelle 1 enthält die neun Klassen von Planungsproblemen, die sich aus relevanten Attributkombinationen ergeben, mit den jeweils geeig- neten Koordinationsmechanismen.

Im folgenden Abschnitt werden für die verschiedenen Koordinationsmecha- nismen Modelle formuliert. Über eine Zuordnung der Modelle zu Problemklas- sen der Optimierung können abschlieÿend geeignete Lösungsverfahren für ihre Implementation identiziert werden.

1

Zerlegbarkeit

nicht zerlegbar zerlegbar

Zerlegung Zerlegung

bekannt unbekannt

identische unterschiedliche

Teile Teile

2.1 2.4 2.5 2.8

einAuftrag

Vickrey Auktion Matrix Matrix Mehrstuge

Auktion Auktion Erweiterte Vickrey Auktion

identische unterschiedliche identische unterschiedliche

AnzahlAufträge

Aufträge Aufträge Teile Teile

2.2 2.3 2.6 2.7 2.9

Matrix Matrix Matrix Matrix Mehrstuge

Auktion Auktion Auktion Auktion Erweiterte

mehrereAufträge

Vickrey Auktion Tabelle 1: Klassen von Planungsproblemen und geeignete Koordinationsme- chanismen

2 Mechanismen für verschiedene Problemklas- sen der Produktionsplanung

2.1 Mechanismus für einen, nicht zerlegbaren Auftrag

DieVickrey Auktion[Vickrey, 1961] ist als ein geeigneter Koordinationsme- chanismus für die Zuordnung eines einzelnen nicht zerlegbaren Auftrags durch MAS identiziert worden [Weinhardt und Gomber, 1996]. Den Zuschlag erhält der Bieter mit dem höchsten Gebot zu einem Preis in Höhe des zweithöchsten Gebots.

Mit den Parameter- und Variablenbezeichnungen i= 1;:::;B Index für Bieter

dbi i= 1;:::;B Bewertung des Auftrag durch Bieteri pi i= 1;:::;B Preis des Auftrags für Bieter i

erhält der Bieter b mitdbb = maxi=1;:::;B^fdbi^gden Zuschlag zu einem Preis von pb = maxⁱ⁼¹_i^;:::;B

6=b ^fdbi^g:

Der Spezialfall mehrerer identischer höchster Gebote, für den zur Ermitt- lung des Zuschlags eine Prioritätsregel (wie z. B. Zuschlag für den Bieter, der als erstes sein Gebot abgegeben hat, oder zufällige Auswahl des Bieters, der den Zuschlag erhält) herangezogen werden muÿ, wird im folgenden nicht weiter

2

betrachtet.

2.2 Mechanismus für mehrere, nicht zerlegbare, identi- sche Aufträge

SollenNidentische Aufträge simultan zugeordnet werden, berechnen die Bieter ihre individuellen Deckungsbeiträge für Pakete bestehend aus 1 bisN Aufträ- gen. Die Bieter übermitteln ihre Gebote dem Auktionator, der diese in einer Matrix notiert, in deren Spalten die verschiedenen Paketgröÿen und in deren Zeilen die Bieter eingetragen sind.

Mit den Parameter- und Variablenbezeichnungen

i= 1;:::;B Index für Bieter

j = 1;:::;N Index für Pakete von Aufträgen

dbij i= 1;:::;B j = 1;:::;N Bewertung eines Pakets mit j Aufträgen durch Bieter i

xij i= 1;:::;B j = 1;:::;N Binärvariable der Zuordnung mit xij =

8

<

:

1; wenn BieteriZuschlag für Paketgröÿej erhält 0; sonst

ergibt sich folgende Modellformulierung für das Zuordnungsproblem:

maximiere ^XB

i=1 N

X

j=1dbijxij

unter Beachtung von

N

X

j=1xij 1 i= 1;:::;B (¹)

B

X

i=1 N

X

j=1xijj N (²)

xij ^2f0;1^g i= 1;:::;B; j = 1;:::;N

Über die Zielfunktion wird eine eziente Allokation ermittelt, d. h. eine Zuordnung bestimmt, die die Summe der Deckungsbeiträge maximiert. Dabei ist zu berücksichtigen, daÿ maximal eine Zuordnung in jeder Zeile erfolgen darf jeder Bieter erhält maximal ein Auftragspaket (siehe Nebenbedingung

(1)

) und daÿ sich die Summe der mit der jeweiligen Paketgröÿe multiplizierten Zuordnungen höchstens zuN der Gesamtzahl der Aufträge addieren darf (siehe Nebenbedingung

(2)

). Die Nebenbedingung

(2)

^lautetPBi=1^PNj=1xijj = N, wenn z. B. wegen vertraglicher Bindungen sichergestellt werden muÿ, daÿ alle Aufträge zugeordnet werden.

Tabelle 2 stellt ein Beispiel für die Zuordnung von vier identischen Auf- trägen auf fünf Bieter dar, wobei die grau unterlegten Zellen die optimale

3

Zuordnung zeigen. Die Summe der Deckungsbeiträge in der optimalen Zuord- nung beträgt 185: Bieter A und B erhalten jeweils einen Auftrag und Bieter C erhält ein Paket von zwei Aufträgen.

Anzahl Aufträge

1 2 3 4

A

^{55 70 80 110}

B

^{30 80 -10} nicht möglich

C

25 100 nicht möglich nicht möglich

D

^{-10 30 40 70}

Bieter E

20 45 60 80

Tabelle 2: Matrix für die Allokation identischer Aufträge

Die Lösung des Zuordnungsproblems entspricht genau dann einer ezienten Allokation, wenn die Bieter ihre wahren Bewertungen der Aufträge als Gebote abgeben. Für eine Preissetzung nach der Generalized Vickrey Aucti- on[Varian, 1995] wurde gezeigt [Gomber et al., 1998], daÿ es eine dominante Strategie der Bieter ist, ihre wahren Bewertungen zu bieten. In der Gene- ralized Vickrey Auction entspricht der Gewinn eines Bieters b der Höhe seines Beitrags zu einer ezienten Allokation, d. h. der Dierenz zwischen der Summe der Deckungsbeiträge in einer ezienten Allokation mit Teilnah- me von b und der Summe der Deckungsbeiträge in einer ezienten Allokation ohne Teilnahme von b. Sind x^:_ij^b bzw. x_bij (i = 1;:::;B; j = 1;:::;N) die optimalen Lösungen der Zuordnungsprobleme ohne bzw. mit Teilnahme von Bieterb, so beträgt sein Gewinn

gb =^XB

i=1 N

X

j=1dbijx_bij^;XB

i⁼¹ i⁶⁼b

N

X

j=1dbijx^:_ij^b:

Der Preis pb, den Bieter b zu zahlen hat, ergibt sich folglich als Dierenz zwischen dem Deckungsbeitrag von b in der ezienten Allokation x_bij und sei- nem Gewinn:

pb = ^XN

j=1dbbjx_bbj^;gb

= ^XN

j=1dbbjx_bbj^;(^XB

i=1 N

X

j=1dbijx_bij^;XB

ii⁼¹⁶⁼b N

X

j=1dbijx^:ij^b)

= ^XB

i⁼¹ i⁶⁼b

N

X

j=1dbij(x^:_ij^b;x_bij) 4

pb entspricht demnach der Dierenz zwischen der Summe der Deckungsbei- träge in einer ezienten Allokation, an der Bieter b nicht teilnimmt, und der Summe der Deckungsbeiträge aller anderen Bieter in einer ezienten Alloka- tion, an der Bieter b teilnimmt.

Für obiges Beispiel mit einer ezienten Allokation von 185 ergibt sich der Preis von Bieter C, indem die Summe der Deckungsbeiträge aller anderen Bieter in der ezienten Allokation (hier: 55(A) + 30(B) = 85) von der Summe der Deckungsbeiträge einer ezienten Allokation ohne Teilnahme von Bieter C (siehe Tabelle 3) abgezogen wird. Dementsprechend zahlt Bieter C einen Preis von pC = (55 + 80 + 20)^;(55 + 30) = 155^;85 = 70 für zwei Aufträge.

Bieter A bzw. B zahlen pA= 180^;130 = 50 bzw. pB = 175^;155 = 20.

Anzahl Aufträge

1 2 3 4

A

^{55 70 80 110}

B

30 80 -10 nicht möglich

D

^{-10 30 40 70}

Bieter E

20 45 60 80

Tabelle 3: Optimale Zuordnung ohne Bieter C

Als Alternative zur Preissetzung durch dieGeneralized Vickrey Auc- tion, für die bis zu max^fB;N^g+1 Zuordnungsprobleme zu lösen sind, wurde das Pricing Per Column eingeführt [Gomber et al., 1997], das die Anzahl der zu lösenden Zuordnungsprobleme auf 1 reduziert. Die Preissetzung nach dem Pricing Per Column basiert auf dem Vickrey-Prinzip: ein Bieter b, der den Zuschlag für eine bestimmte Anzahl von Aufträgen (Paketgröÿe) j⁰ erhält, zahlt als Preispb das nächstniedrigere Gebot, das für diese Paketgröÿe abgegeben wurde:

pb = max_i=1;:::;B dbij⁰<dbbj⁰

fdbij^0g

Erhalten mehrere Bieter den Zuschlag für Pakete derselben Gröÿe, wird ei- ne Mehrfachauktion angewendet. Diesen Koordinationsmechanismus für die Vergabe von m identischen Objekten beschreibt Vickrey [Vickrey, 1961]: Die m Objekte werden an die m höchsten Bieter zum Preis des (m+ 1)höchsten Gebots verkauft. Erhalten für eine bestimmte Anzahl von Aufträgen j⁰ die Bieterb1;:::;bm den Zuschlag, ergibt sich der Preis als:

pb¹ =:::=pbm = _i=1max;:::;B

dbij⁰<min^fdbb¹j⁰;:::;dbbmj^0g

fdbij^0g

In dem Beispiel der Tabelle 2 zahlt C demnach pC = 80 für zwei Aufträge und A und B zahlen jeweils pA =pB = 25 für einen Auftrag.

5

2.3 Mechanismus für mehrere, nicht zerlegbare, unter- schiedliche Aufträge

Betrachtet werden mehrere, nicht zerlegbare Aufträge, wobei im Unter- schied zu 2.2 die N Aufträge nicht identisch sind. Damit erhöhen sich die an die Bieter zu übermittelnden Informationen. Die Bieter berechnen die Be- wertung für jede der 2^{N ;}1 möglichen Kombinationen von Aufträgen. Um eine eziente Allokation zu ermitteln, stellt der Auktionator eine Matrix mit den 2^{N ;}1 Kombinationen in den Spalten und den Bietern in den Zeilen auf.

Bei der Ermittlung einer ezienten Allokation (d. h. einer Zuordnung, die die Summe der Deckungsbeiträge maximiert) muÿ berücksichtigt werden, daÿ jeder Bieter maximal für eine Auftragskombination den Zuschlag erhält, d. h.

daÿ in jeder Zeile maximal eine Zuordnung erfolgt, und daÿ jeder Auftrag höchstens einmal zugeordnet wird, d. h. daÿ Kombinationen von Aufträgen (Spalten), die irgendeinen Auftrag gemeinsam haben, nicht zusammen ausge- wählt werden.

Für die Modellierung des zugrunde liegenden Zuordnungsproblems ist dem- nach zunächst ein Zusammenhang zwischen Spalten und zugehörigen Kombi- nationen von Aufträgen abzubilden. Im folgenden erweist es sich als günstig, diese Zuordnung so vorzunehmen, wie sie in Tabelle 4 für ein Beispiel mit vier unterschiedlichen Aufträgen dargestellt ist.

Spalte j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Aufträge 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4 Bieter ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Tabelle 4: Schreibweise für die Zuordnung von Spalten zu Kombinationen von Aufträgen

Tabelle 5 verdeutlicht, daÿ unter Verwendung dieser Schreibweise jeder Auftrag k (k = 1;:::;N) als ein Bit einer Dualzahl aufgefaÿt werden kann und daÿ die Kombination von Aufträgen k, die zu einer Spalte j (j = 1;:::;2^{N ;}1) gehört, den Einsen an derk-ten Stelle einer Binärkodierung von j entsprechen.

Die Spalten, in denen ein Auftragk vorhanden ist, lassen sich explizit dar- stellen:

6

Spalte j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

k = 1 2^k;1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

k = 2 2^k;1 = 2 1 1 1 1 1 1 1 1

k = 3 2^k;1 = 4 1 1 1 1 1 1 1 1

k = 4 2^k;1 = 8 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabelle 5: Erläuterung der Zuordnung von Aufträgen zu Spalten

k = 1 :

(1^;3^;5^;7^;9^;11^;13^;15)

=(1+20^;0^;1+21^;0^;1+22^;0^;1+23^;0^;1+24^;0^;1+25^;0^;1+26^;0^;1+27^;0)

=f1+2(^t;1)^;(^t;1) mod 1^jt= 1^;:::;2^N;1g

k = 2 :

(2^;3^;6^;7^;10^;11^;14^;15)

=(2+20^;0^;2+21^;2^;2+22^;0^;2+23^;1^;2+24^;0^;2+25^;1^;2+26^;0^;2+27^;1)

=f2+2(^t;1)^;(^t;1) mod 2^jt= 1^;:::;2^N;1g

k = 3 :

(4^;5^;6^;7^;12^;13^;14^;15)

=(4+20^;0^;4+21^;1^;4+22^;2^;4+23^;3^;4+24^;0^;4+25^;1^;4+26^;2^;4+27^;3)

=f4+2(^t;1)^;(^t;1) mod 4^jt= 1^;:::;2^N;1g

k = 4 :

(8^;9^;10^;11^;12^;13^;14^;15)

=(8+20^;0^;8+21^;1^;8+22^;2^;8+23^;3^;8+24^;4^;8+25^;5^;8+26^;6^;8+27^;7)

=f8+2(^t;1)^;(^t;1) mod 8^jt= 1^;:::;2^N;1g

Allgemein gilt also:

Auftragk(k= 1;:::;N) ist enthalten in den Spalten der Menge

ff(t;k) := 2^k;1+ 2(t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1jt= 1;:::;2^N;1g:

(Der Beweis durch vollständige Induktion ndet sich im Anhang A.1.) Mit den Parameter- und Variablenbezeichnungen

7

i= 1;:::;B Index für Bieter

k = 1;:::;N Index für Aufträge

j = 1;:::;2^{N ;}1 Index für Spalten

t= 1;:::;2^N;1 Index für Spalteneinträge

dbij i= 1;:::;B j = 1;:::;2^{N ;}1 Bewertung der Aufträge in Spalte j durch Bieter i

xij i= 1;:::;B j = 1;:::;2^{N ;}1 Binärvariable der Zuordnung mit xij =

8

<

:

1; wenn BieteriZuschlag für Aufträge in Spaltejerhält 0; sonst

ergibt sich folgende Modellformulierung für das Zuordnungsproblem:

maximiere ^XB

i=1 2X^N;1

j=1 dbijxij

unter Beachtung von

2X^N;1

j=1 xij 1 i= 1;:::;B (¹)

B

X

i=1 2X^N;1

t=1 xi 2^k;1+2(t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1 1 k = 1;:::;N (²) xij ^2f0;1^g i= 1;:::;B; j = 1;:::;2^{N ;}1

Über die Zielfunktion wird wiederum eine Zuordnung bestimmt, die die Summe der Deckungsbeiträge maximiert. Für dieses Zuordnungsproblem muÿ berücksichtigt werden, daÿ maximal eine Zuordnung in jeder Zeile erfolgt jeder Bieter erhält für höchstens eine Auftragskombination den Zuschlag (siehe Nebenbedingung

(1)

) und daÿ Kombinationen von Aufträgen (Spalten) j, die irgendeinen Auftrag k gemeinsam haben, nicht zusammen ausgewählt werden (siehe Nebenbedingung

(2)

). Die Formulierung der Bedingung

(2)

als Gleichheits-Nebenbedingung sichert (analog zu 2.2) die Zuordnung aller Aufträge.

Tabelle 6 stellt ein Beispiel für die Zuordnung von drei unterschiedlichen Aufträgen auf vier Bieter dar, wobei die grau unterlegten Zellen die optimale Zuordnung zeigen. Die Summe der Deckungsbeiträge in der optimalen Zuord- nung beträgt 150: Bieter B erhält Auftragskombination {1,3} und Bieter C Auftrag {2}.

Eine Preisfestsetzung nach der Generalized Vickrey Auction erfolgt analog 2.2. Der Preis pb, den ein Bieter b für eine bestimmte Kombination von Aufträgen zu zahlen hat, ergibt sich als Dierenz zwischen der Summe der Deckungsbeiträge in einer ezienten Allokation, an der er nicht teilnimmt, und der Summe der Deckungsbeiträge aller anderen Bieter in einer ezienten Allokation, an der er teilnimmt. Sind x^:_ij^b bzw. x_bij i = 1;:::;B; j = 1;:::;N

8

Auftragskombination

{1} {2} {1,2} {3} {1,3} {2,3} {1,2,3}

A

10 30 65 40 -20 10 -60

B

^{5 -10 -30 30 80 40 80}

C

-10 70 40 60 45 -20 10

Bieter D

^{5 40 40 35 -30 60 50}

Tabelle 6: Matrix für die Allokation von Auftragskombinationen die optimalen Lösungen des obigen Zuordnungsproblems ohne bzw. mit Bieter b, so ergibt sich sein Preis als:

pb =^XB

i⁼¹ i⁶⁼b

2X^N;1

j=1 dbij(x^:_ij^b;x_bij)

Im Beispiel zahlt CpC = 120^;80 = 40 für Auftrag {2} und BpB = 125^;70 = 55 für die Auftragskombination {1,3}.

Die Preissetzung nach demPricing Per Column ergibt sich wie in 2.2, wobei jedoch keine Mehrfachauktionen auftreten können. Erhält ein Bieter b den Zuschlag für eine Auftragskombinationj⁰, beträgt sein Preis:

pb = max_i=1;:::;B dbij⁰<dbbj⁰

fdbij^0g

Im Beispiel zahlt C pC = 40 für Auftrag {2} und B pB = 45 für die Auftrags- kombination {1,3}.

In Abschnitt 2.2 und 2.3 werden zwei Varianten von Koordinationsmecha- nismen für die Allokation identischer bzw. unterschiedlicher Aufträge darge- stellt. Obwohl beiden Mechanismen unterschiedliche Zuordnungsprobleme zu Grunde liegen und mit derGeneralized Vickrey Auctionund demPri- cing Per Column unterschiedliche Mechanismen der Preissetzung denkbar sind, nutzen beide das Vickrey-Prinzip und ermitteln die Zuordnung über ei- ne Matrix. Daher werden derartige Mechanismen im folgenden als Matrix Auktion bezeichnet.

2.4 Mechanismus für einen, zerlegbaren Auftrag mit ge- gebener Zerlegung in identische Teile

Identische Zerlegungen eines Auftrags können wie identische Aufträge, die nicht zerlegbar sind, gehandhabt werden. Daher wird diese Problemklasse wie das Zuordnungsproblem in 2.2 modelliert. Die Nebenbedingung

(2)

wird in der Regel^P_Bi=1^P_Nj=1xij =N lauten, da Teilaufträge nicht abgelehnt werden können.

9

2.5 Mechanismus für einen, zerlegbaren Auftrag mit ge- gebener Zerlegung in unterschiedliche Teile

Diese Problemklasse weist im Hinblick auf den erforderlichen Koordinations- mechanismus dieselben Anforderungen auf, wie ein Allokationsproblem mit mehreren, nicht identischen Aufträgen. Also kann für die Allokation nicht identischer Aufträge die Modellierung aus 2.3 herangezogen werden. Auch hier wird Nebenbedingung

(2)

zumeist als Gleichheits-Nebenbedingung formuliert sein (siehe auch 2.4).

2.6 Mechanismus für mehrere, zerlegbare Aufträge mit gegebener Zerlegung in identische Teile

Wird das Zuordnungsproblem aus 2.2 von einem Auftrag auf mehrere Aufträ- ge, die in identische Teile zerlegt werden, erweitert, beeinuÿt dies nicht den Koordinationsmechanismus als solchen, sondern führt zu einer Erhöhung der Anzahl zuzuordnender Elemente. Wird Auftrag j (j = 1;:::;N) in tj Teilauf- träge zerlegt, beträgt die Anzahl identischer Teilaufträge, d. h. die Anzahl der Spalten in der Zuordnungsmatrix,^P_Nj=1tj.

2.7 Mechanismus für mehrere, zerlegbare Aufträge mit gegebener Zerlegung in unterschiedliche Teile

Betrachtet manN Aufträge mit einer gegebenen Zerlegung eines Auftragsj in tj unterschiedliche Teile kann das Zuordnungsproblem analog zu 2.3 formuliert werden. Es erhöht sich die Anzahl der Teilaufträge und damit die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten (Spalten in der Zuordnungsmatrix) auf 2^PNj=1tj;1 .

2.8 Mechanismus für einen, zerlegbaren Auftrag mit un- bekannter Zerlegung

Ist ein Auftrag zerlegbar, so kann der Auftrag durch mehrere kooperierende Bieter (Koalitionen) durchgeführt werden. Während bei einer gegebenen Zer- legung die zuzuordnenden Teilaufträge ex ante bekannt sind, muÿ bei einer unbekannten Zerlegung eine günstige Zerlegung durch bi- oder multilaterale Verhandlungen zwischen Bietern ermittelt werden. Mit der Mehrstufigen Erweiterten Vickrey Auktion [Gomber et al., 1996] wurde ein Mecha- nismus identiziert, der den genannten Anforderungen an Koordinationsme- chanismen genügt:

I. In einem mehrstugen Bietprozeÿ werden in einer Stufe i ausschlieÿlich Koalitionen der Gröÿe i aufgefordert, Gebote abzugeben, d. h. die An- zahl der Stufen entspricht der Anzahl der teilnehmenden Bieter.

10

II. Der Auktionator speichert in jeder Runde die Gebote mit den zugehöri- gen Koalitionen. Eine Rückmeldung erfolgt nicht in den einzelnen Run- den, sondern nur am Ende der letzten Runde.

III. Den Zuschlag erhält die Koalition mit dem höchsten Gebot aller Runden zum Preis des zweithöchsten Gebots aller Runden. Dabei bleiben Ge- bote unberücksichtigt, die von den Teilnehmern der Koalition, die den Zuschlag erhält, in vorhergehenden Runden abgegeben wurden.

IV. Der Auktionator ermittelt einen Referenzgewinn, wenn eine Teilmenge der Koalition mit dem höchsten Gebot bei alleiniger Gebotsabgabe den Zuschlag erhalten hätte, d. h. der Referenzgewinn entspricht einem Mindestgewinn, den eine Koalition bei alleiniger Gebotsabgabe erzielen würde.

Abstrahiert man von einer Modellierung der Verhandlungen zur Ermitt- lung der Koalitionspartner und einer gemeinsamen Bewertung des Auftrags, ergibt sich aus Sicht des Auktionators das folgende Zuordnungsproblem, um Zuschlag, Preis und Referenzgewinne zu ermitteln.

Es gelten folgende Parameter- und Variablenbezeichnungen:

i= 1;:::;B Index für Bieter j = 1;:::;2^B;1 Index für Koalitionen

dbj j = 1;:::;2^B;1 Bewertung des Auftrags durch Koalitionj

Den Zuschlag erhält die Koalitionbmit dem höchsten Gebot aller Runden, d. h. mit

dbb = max_j=1;:::;2B

;1^fdbj^g:

Abbildung 1 zeigt ein Beispiel mit vier Bietern, d. h. es wird in vier Stufen geboten.

In Stufe 1 geben alle vier Bieter alleine Gebote ab (Bieter 1 bietet db^f1^g = 4:000, 2 bietet db^f2^g = 6:000 und 3 bzw. 4 bieten db^f3^g = 6:500 bzw. db^f4^g = 5:000). In Stufe 2 gibt nur die Zweier-Koalition {1,2} ein Gebot in Höhe von db^f1;2^g = 7:000 ab. Die Koalition {1,2,3} ist mit db^f1;2;3^g = 8:000 alleiniger Bieter der Stufe 3 und in der letzten Stufe 4 gehen keine Gebote ein. Nach der letzten Runde erfolgt eine Rückmeldung bzgl. des Zuschlages und Preises. Die Koalition {1,2,3} erhält als höchster Bieter mit einem Deckungsbeitrag von 8.000 den Zuschlag.

Bei der Ermittlung des Preises bleiben Gebote, die die Koalitionsteilneh- mer von b in früheren Runden abgegeben haben, unberücksichtigt. (Durch die Zahlung von Referenzgewinnen ist es ökonomisch nicht rational, Gebote aus vorherigen Runden aufrechtzuerhalten (siehe auch [Gomber et al., 1996]).)

11

1 2 3 4 ^{5 . 0 0 0}

8 . 0 0 0 7 . 0 0 0

6 . 5 0 0 4 . 0 0 0

6 . 0 0 0

Abbildung 1: Beispiel für die Mehrstufige Erweiterte Vickrey Auk- tionmit vier Bietern

Für die Preissetzung wird zunächst der Zusammenhang zwischen einer Koali- tionj(j = 1;:::;2^B;1) und zugehörigen Bieterni(i= 1;:::;B) abgebildet. Dies geschieht analog zu 2.3: Dort wurde der Zusammenhang zwischen einer Spalte j und einer zugehörigen Kombination von Teilaufträgen abgebildet. Die Bieter i in einer Koalition j entsprechen den Einsen an der i-ten Stelle einer Binär- kodierung von j. Für ein Beispiel mit vier Bietern erhält man die in Tabelle 7 dargestellte Beziehung.

Koalition 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

i= 1 2^i;1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

i= 2 2^i;1 = 2 1 1 1 1 1 1 1 1

i= 3 2^i;1 = 4 1 1 1 1 1 1 1 1

i= 4 2^i;1 = 8 1 1 1 1 1 1 1 1

Tabelle 7: Zuordnung von Bietern zu Koalitionen

Allgemein gilt also:

In einer Koalitionj (j = 1;:::;2^B;1) sind die Bieter aus der Menge

Ij :=^f(j mod 2ⁱ) div 2^i;1 = 1^ji ^{2 f}1;:::;B^gg enthalten (siehe auch Anhang A.2).

Bei der Bestimmung des Preises von b werden nur Gebote betrachtet, die von Koalitionen abgegeben werden, in denen kein Mitglied der Menge Ib ent- halten ist.

Die Spalten bzw. Koalitionen j, in denen ein Teilnehmer i aus Ib

nicht

enthalten ist, lassen sich explizit darstellen:

12

i= 1 :

(2;4;6;8;10;12;14)

= (2^;0;4^;0;6^;0;8^;0;10^;0;12^;0;14^;0)

= ^f2t^;t mod 1^jt= 1;:::;2^N;1;1^g i= 2 :

(1;4;5;8;9;12;13)

= (2^;1;4^;0;6^;1;8^;0;10^;1;12^;0;14^;1)

= ^f2t^;t mod 2^jt= 1;:::;2^N;1;1^g i= 3 :

(1;2;3;8;9;10;11)

= (2^;1;4^;2;6^;3;8^;0;10^;1;12^;2;14^;3)

= ^f2t^;t mod 4^jt= 1;:::;2^N;1;1^g i= 4 :

(1;2;3;4;5;6;7)

= (2^;1;4^;2;6^;3;8^;4;10^;5;12^;6;14^;7)

= ^f2t^;t mod 8^jt= 1;:::;2^N;1;1^g Allgemein gilt also:

Bieteri (i= 1;:::;B) ist

nicht

enthalten in den Spalten der Menge Ji :=^f2t^;tmod 2^i;1jt= 1;:::;2^B;1;1^g:

(Der Beweis durch vollständige Induktion verläuft analog zu dem in Anhang A.1.)

Betrachtet man die Schnittmenge der Ji für alle Koalitionsmitgliederi der Koalition b (d. h. für alle i ² Ib), erhält man alle Spalten j, in denen kein Mitglied der Koalition b enthalten ist. Der Preis pb, den die Koalition b zu zahlen hat, entspricht also gerade dem gröÿten Deckungsbeitrag einer Koalition in dieser Schnittmenge:

pb = max

j²_i^T2IbJi

fdbj^g

Die Matrix, die sich im obigen Beispiel für den Auktionator ergibt, ist in Tabelle 8 dargestellt. MitIb =^f1;2;3^g erhält man

T

i²IbJi =J1^\J2^\J3

= ^f2;4;6;8;10;12;14^g\f1;4;5;8;9;12;13^g\f1;2;3;8;9;10;11^g= 8 und damit ergibt sich für die Koalition {1,2,3} in Spalte 7 ein Preis von p7 = (p^f1;2;3^g =)maxj^2f8^gfdbj^g = db8 = 5:000, d. h. in Höhe des Gebots von Bieter {4} in Spalte 8.

13

Spalte j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Koalition 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3 3 3

4 4 4 4 4 4 4 4

Gebote 4 6 7 6.5 8 5

(in Tausend)

Tabelle 8: Matrix des Auktionators mit Koalitionen und abgegebenen Geboten Ein zwingender Anreiz zur Koalitionsbildung wird über Referenzgewinne rj(j = 1;:::;2^B;1) gesetzt. In Analogie zur Idee derGeneralized Vickrey Auction ist sicherzustellen, daÿ der (Referenz-)Gewinn einer Koalition der Höhe ihres Beitrags zur ezienten Allokation entspricht.

Hat eine echte Teilmenge b⁰ von b das höchste Gebot einer Runde abge- geben, ergibt sich ihr Referenzgewinn rb⁰ demnach aus der Dierenz zwischen dem Gebot von b⁰ und dem höchsten Gebot der Runde ohne Teilnahme der Koalitionb⁰.

Im folgenden wird dargestellt, wie dieses höchste Gebot ermittelt werden kann:

Relevante Gebote der Runde sind Gebote von Koalitionen mit einer Gröÿe

jb^0j, wobei Gebote, die von echten Teilmengen der Koalition b⁰ abgegeben werden, wiederum unberücksichtigt bleiben.

Gesucht werden also zunächst Spalten j (j = 1;:::;2^{B ;}1) mit einer be- stimmten Anzahl u(u = 1;:::;B) von Koalitionsteilnehmern. Für vier Bieter erhält man (siehe auch Tabelle 7):

u= 1 :

(1;2;4;8)

= (2⁰;2¹;2²;2³)

= ^f2^i1;1ji1 = 1;:::;B^g u= 2 :

(3;5;6;9;10;12)

= (2¹+ 2⁰;2²+ 2⁰;2²+ 2¹;2³+ 2⁰;2³+ 2¹;2³+ 2²)

= ^f2^i1;1+ 2^i2;1ji1 = 1;:::;B; i2 = 1;:::;i1^;1^g u= 3 :

(7;11;13;14)

= (2²+ 2¹+ 2⁰;2³+ 2¹+ 2⁰;2³+ 2²+ 2⁰;2³+ 2²+ 2¹)

= ^f2^i1;1+ 2^i2;1+ 2^i3;1ji1 = 1;:::;B; i2 = 1;:::;i1^;1; i3 = 1;:::;i2^;1^g 14

u= 4 :

= (2(15)³+ 2²+ 2¹+ 2⁰)

= ^f2^i1;1+ 2^i2;1+ 2^i3;1+ 2^i4;1j

i1 = 1;:::;B; i2 = 1;:::;i1^;1; i3 = 1;:::;i2^;1; i4 = 1;:::;i3^;1^g Allgemein gilt also:

Koalitionen der Gröÿeu(u= 1;:::;B) sind enthalten in den Spalten der Menge Ku :=^fP_um=12^im;1jim ^2f1;:::;B^g; im < im+1^g:

(Der Beweis durch vollständige Induktion ndet sich im Anhang A.3.) Die relevanten Gebote der Runde lassen sich darstellen als

Gebote von Koalitionen der Gröÿeu^jb^0j, d. h. es werden nur Spalten j aus ^[u^jb^0jKu betrachtet,

und

Gebote, die nicht von einer Teilmenge der Koalitionb⁰abgegeben wurden, d. h. es werden nur Spaltenj aus ^\i²I_b⁰Ji betrachtet.

Der Referenzgewinn der Koalition b⁰ als Dierenz zwischen dbb⁰ (dem Gebot von b⁰) und dem nächsthöchsten Gebot der Runde wird ermittelt als:

rb⁰ =dbb^{0 ;}_j max

2

u^j[b^0jKu ^T i^2\Ib⁰Ji^fdbj^g

Liegt wiederum das höchste, von einer echten Teilmenge b⁰⁰ von b⁰ abge- gebene Gebot über dem Preis pb, so vermindert sich der Referenzgewinn rb⁰

der Koalitionb⁰ um den Referenzgewinn rb⁰⁰. Betrachtet werden also Teilneh- mer der KoalitionIb⁰. Dieses Vorgehen zur Bestimmung von Referenzgewinnen wird iterativ bis zu Teilmengen der Gröÿe eins fortgesetzt.

Für das obige Beispiel ergibt sich, daÿ die Koalition {1,2} einen Referenz- gewinn von r3 = (r^f1;2^g =)500 erhält, da diese in Runde 2 mit db3 = 7:000 das höchste Gebot abgegeben hat und den Zuschlag zum Preis von p3 = 6:500 erhalten hätte. Weitere Referenzgewinne entstehen nicht.

2.9 Mechanismus für mehrere, zerlegbare Aufträge mit unbekannter Zerlegung

Die Ausweitung des in 2.8 beschriebenen Planungsproblems von einem auf mehrere Aufträge mit einer unbekannten Zerlegung hat keinen Einuÿ auf die Auswahl des Koordinationsmechanismus. Da eine eziente Allokation nur auf

15

der Basis bi- oder multilateraler Verhandlungen zwischen den Bietern bezüg- lich aller vorstellbaren Teilaufträge sichergestellt werden kann, ist eineMehr- stufige Erweiterte Vickrey Auktion für die Gesamtheit der Aufträge durchzuführen.

3 Fazit

Mit der Modellierung der verschiedenen Koordinationsmechanismen ist jetzt eine Zuordnung zu Problemklassen der Optimierung und die Identikation geeigneter Lösungsverfahren möglich. Für die Problemklasse 2.1 ist das Ma- ximum einer Menge von Daten ohne Nebenbedingungen zu bestimmen. Die Modellierung der Klassen 2.2 2.7 führt zu Problemen der binären Optimie- rung, die z. B. über ein Branch&Bound-Verfahren lösbar sind. Eine Relaxation entsteht durch Weglassen der Binärbedingung. Das Branching kann durch eine Verzweigungsregel vorgenommen werden, die in jeder Stufe eine der Binärva- riablen xij xiert. Ein Bounding ist durch die Lösung der Linearen Optimie- rungsprobleme möglich, die durch Branching und Relaxation entstehen. Die Klassen 2.8 und 2.9 führen wie 2.1 zu Problemen, in denen ein Maximum aus einer Menge von Daten ermittelt wird. Die Schwierigkeit liegt hier in der in 2.8 vorgestellten Modellierung der jeweils relevanten Teilmengen zur Bestimmung von Zuschlag, Preis bzw. Referenzgewinnen.

Ausgangspunkt dieses Papers sind früheren Arbeiten (vgl. hierzu z. B.

[Gomber et al., 1997] ), die betriebliche Planungsprobleme klassizieren und adäquate Koordinationsmechanismen im Hinblick auf den Einsatz in einem elektronischen Markt identizieren. Der Fokus der Arbeit liegt auf der Model- lierung dieser Koordinationsmechanismen. Die konkreten Modelle können Pro- blemklassen der Optimierung zugeordnet werden, für die geeignete Lösungsver- fahren bekannt sind. Damit sind grundlegende Fragen für die Implementation der Koordinationsmechanismen geklärt.

16

A Ergänzungen

A.1 Vollständige Induktion für die Zuordnung von Auf- trägen zu Spalten

Induktionsbehauptung:

Für k Aufträge k = 1;:::;N gilt, daÿ sie enthalten sind in den Spalten der Menge ^ff(t;k) := 2^k;1+ 2(t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1jt= 1;:::;2^N;1g.

Induktionsverankerung:

Für einen Auftrag gilt mit k = N = 1 ^! t = 1, daÿ er in der Spalte f(1;1) = 2^1;1+ 2(1^;1)^;(1^;1) mod 2^1;1 = 1 enthalten ist.

Induktionsschritt:

Für k= 1;:::;N Aufträge gelte, daÿ sie in den Spalten

f(t;k) = 2^k;1+ 2(t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1; t= 1;:::;2^N;1 enthalten sind (Induktionsvoraussetzung).

)

Für k= 1;:::;N + 1 Aufträge gilt, daÿ sie in den Spalten

f(t;k) = 2^k;1+ 2(t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1; t= 1;:::;2^N enthalten sind.

Beweis:

Man erhält eine Matrix mit N + 1 Zeilen und 2^N+1;1 Spalten (siehe auch Abbildung 2).

k = 1;:::;N; t= 1;:::;2^N;1 :

Die Einträge in den Zeilenk = 1;:::;N und den Spalten j = 1;:::;2^N;1 (siehe auch Block (I) in Abbildung 2) bleiben vom Induktionsschritt un- berührt: Für k = 1;:::;N Aufträge gilt nach der Induktionsvorausset- zung, daÿ sie in den Spaltenf(t;k) = 2^k;1+2(t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1(t= 1;:::;2^N;1) enthalten sind und diese Spalten bleiben für gröÿeret unver- ändert, da f(t;k) streng monoton steigend int ist (siehe Lemma 1).

17

1N

N + 1

1 . . . ^{2 N} - 1 2 ^N 2 ^N + 1 . . . . ^{2 N + 1 - 1}

1 1 . . . ¹

. . . . .

( I ) ( I I )

( I I I )

Abbildung 2: Aufbau der Matrix mit Aufträgen in den Zeilen und Auftrags- kombinationen in den Spalten

k = 1;:::;N; t= 2^N;1+t⁰; t⁰ = 1;:::;2^N;1 :

f(t;k) = 2^k;1+ 2^N + 2(t^{0 ;}1)^;(2^N;1+ (t^0;1)) mod 2^k;1

| {z }

(t^0;1) mod 2^k;1

= 2^N + 2^k;1+ 2(t^{0 ;}1)^;(t^{0 ;}1) mod 2^k;1

= 2^N +f(t⁰;k)

Die Einträge in den Zeilenk = 1;:::;N und den Spalten j = 2^N+1;:::;2^N+1;1 entsprechen einer Kopie der Einträge in den Zeilenk = 1;:::;N und den Spaltenj = 1;:::;2^{N ;}1 (siehe auch Block (II) in Abbildung 2).

k =N + 1; t= 1;:::;2^N :

f(t;N + 1) = 2^N + 2(t^;1)^;(t^;1) mod 2^N

= 2^N + 2(t^;1)^;(t^;1)

= 2^N + (t^;1)

In Zeilek =N+1 stehen Einträge in den Spalten j = 2^N;:::;2^N+1(siehe auch Block (III) in Abbildung 2). qed.

Lemma 1:

f(t;k) ist streng monoton steigend in t für gegebenes k (k = 1;:::;N).

Beweis:

f(t;k) = 2^k;1+ 2(t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1

= 2^|k{z;1}

(1:) +(t^;1)

| {z }

(2:)

+(t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1

| {z }

(3:)

Wegen

1. 2^k;1 konstant für gegebenes k, 18

2. (t^;1) streng monoton steigend in t und

3. (t^;1)^;(t^;1) mod 2^k;1 = (t^;1) div 2^k;1, ganzzahliges Ergebnis der Division von (t^;1) durch die Konstante 2^k;1, monoton steigend in t istf(t;k) streng monoton steigend int für gegebenes k(k = 1;:::;N).

19

A.2 Zuordnung von Bietern zu Koalitionen

Behauptung:

In einer Koalition j (j = 1;:::;2^{B ;}1) sind die Bieter aus der Menge Ij :=

f(j mod 2ⁱ) div 2^i;1 = 1^ji^2f1;:::;B^gg enthalten.

Beweis:

Die Binärkodierung von j (j = 1;:::;2^{B ;}1) sei (siehe auch Spalten 13 in Tabelle 9):

B

X

i=1ai2^i;1 =j

Um den Nennwertakan einer Stellekder Binärkodierung zu ermitteln, werden zunächst durch (j mod 2^k) alle Bits an den Stelleni > k abgeschnitten die Stellen i = 1;:::;k bilden gerade den ganzzahligen Rest der Division von j durch 2^k (siehe auch Spalte 4 in Tabelle 9) und anschlieÿend durch (j mod 2^k) div 2^k;1 alle Bits an den Stellen i < k abgeschnitten die Stellen i = 1;:::;k^;1 bilden den ganzzahligen Rest der Division vonj durch 2^k;1 und das ganzzahlige Ergebnis der Division steht an der Stellek (siehe auch Spalte 5 in Tabelle 9).

Stelle i Stellenwert Nennwerte ai j mod 2^k (j mod 2^k)div2^k;1

i= 1 2⁰ a1 a1

... ... ... ... ...

i=k^;1 2^k;2 ak^;1 ak^;1

i=k 2^k;1 ak ak ak

i=k+ 1 2^k ak+1

... ... ... ... ...

i=B 2^B;1 aB

Tabelle 9: Prüfen des Nennwerts der Stelle k einer Binärkodierung von j Für eine Koalitionj(j = 1;:::;2^B;1) gibt der Ausdruck (j mod 2ⁱ)div2^i;1(i= 1;:::;B;) also den Nennwert deri-ten Stelle einer Binärkodierung vonj wieder.

Folglich sind in der Menge Ij :=^f(j mod 2ⁱ) div 2^i;1 = 1^ji^2f1;:::;B^gg alle Stelleni (i^2f1;:::;B^g) enthalten, deren Nennwert ai = 1 ist und damit sind inIj alle Bieter der Koalition j enthalten.

20

A.3 Vollständige Induktion für die Zuordnung von Ko- alitionen einer bestimmten Gröÿe zu Spalten

Induktionsbehauptung:

Koalitionen der Gröÿe u (u= 1;:::;B) sind in den Spalten der Menge Ku :=^fXu

m=12^im;1jim ^2f1;:::;B^g; im < im+1^g

enthalten.

Induktionsverankerung:

Aus der Binärkodierung einer Koalition j (j = 1;:::;2^B;1) ergibt sich, daÿ Koalitionen der Gröÿe 1 in den Spalten der Menge

K1 :=^f2^i;1ji^2f1;:::;B^gg enthalten sind.

Induktionsschritt:

Koalitionen der Gröÿe u^;1 sind in den Spalten der Menge Ku^;1 :=^fuX;1

m=12^im;1jim ^2f1;:::;B^g; im < im+1^g

enthalten (Induktionsvoraussetzung).

)Koalitionen der Gröÿe u sind in den Spalten der Menge Ku :=^fXu

m=12^im;1jim ^2f1;:::;B^g; im < im+1^g

enthalten.

Beweis:

Für B Bieter erhält man eine Matrix mit B Zeilen und 2^{B ;}1 Koalitionen in den Spalten. Der Aufbau der Matrix entspricht der aus Abbildung 2 in Abschnitt A.1.

Koalitionen der Gröÿe u sind darstellbar als 21

die Menge der Koalitionen der Gröÿeu aus Block (i) in Abbildung 3, da ZeileB in den Spalten 1 bis 2^B;1 keine Einträge hat (d. h. BieterB ist in diesen Koalitionen nicht enthalten), und

die Menge der Koalitionen der Gröÿe u^;1 aus Block (ii) in Abbildung 3, da Zeile B in jeder Spalte 2^B;1 bis 2^B;1 Einträge hat (d. h. Bieter B ist in jeder dieser Koalitionen enthalten).

1

B - 1

B 1

. . .

^{2 B - 1} - 1 2 ^{B - 1} 2 ^{B - 1} + 1

. . . .

^{2 B - 1}

1 1

. . .

¹

. . . . .

( i ) ( i i )

Abbildung 3: Aufbau der Matrix mit Bietern in den Zeilen und Koalitionen in den Spalten

Es gelte die folgende Notation:

Ku(2^t;v) ist die Menge aller Spalten mit Koalitionen der Gröÿeu, die ab Spal- te 2^t für die Bieter 1 bis v in 2^v;1 Spalten auftreten.

Demnach lassen sich Koalitionen der Gröÿe u darstellen als:

Ku =Ku(2⁰;B) = Ku(2⁰;B^;1) +Ku^;1(2^B;1;B^;1)

Setzt man dieses Vorgehen iterativ fort erhält man (siehe auch Abbildung 4):

Ku(2⁰;B) = Ku(2⁰;B ^;1)

| {z }

+Ku^;1(2^B;1;B^;1)

= Ku(2⁰;B^;2) +Ku^;1(2^B;2;B^;2) +Ku^;1(2^B;1;B^;1)

=... Ku(2⁰;u) +Ku^;1(2^u;u) +:::+Ku^;1(2^B;1;B^;1)

= Ku(2⁰;u) +^PB_j=u^;1Ku^;1(2^j;j)

In diesem Ausdruck entspricht der erste Term Ku(2⁰;u) laut Denition der Menge der Spalten, die Koalitionen der Gröÿeu enthalten, wobei die Bieter 1 bisu in den Spalten 1 bis 2^u;1 betrachtet werden. Über die Binärkodierung der Spalte 2^u;1 = 2⁰+2¹+:::+2^u;1 ergibt sich, daÿ die Spalte 2^u;1 einziges Element der Menge ist, d. h. daÿ gilt:

22