Aufgabe3:MonoidaleKategorien Aufgabe2:Monaden Aufgabe1:Lektüre Hausaufgabenblatt9–WS19 KategorientheoriefürProgrammierer

Mathematisch-

Naturwissenschaftliche Fakultät

Programmiersprachen Prof. Klaus Ostermann

Leitung des Seminars David Binder Ingo Skupin

Kategorientheorie für Programmierer

Hausaufgabenblatt 9 – WS19

Aufgabe 1: Lektüre

Für die kommende Woche lesen Sie bitte Kapitel 22.

Aufgabe 2: Monaden

Im Abschnitt 22.3 sind die folgenden kommutativen Diagramme für die Monadengesetze gegeben:

T³ T²

T² T

T µ

µT µ

µ

T T² T

T

T η

id µ

η_T

id

1. Übersetzen Sie die Diagramme in Gleichungen zwischen Haskell Funktionen, wobei Sie fürT die Listen Monade einsetzen.

2. Denken Sie sich einen Beispielwert für die linke obere Ecke im linken Diagramm aus, und vollziehen Sie nach, dass die Gleichung erfüllt wird.

3. Beweisen Sie die Monadengesetze für Listen durchequational reasoning.

Hinweis:Verwenden Sie eine geeignete (rekursive) Definition der entsprechenden Haskell Funktionen.

Aufgabe 3: Monoidale Kategorien

Im Abschnitt 22.1 werden monoidale Kategorien definiert. Zeigen Sie, dassHaskzusammen mitEithereine monoidale Kategorie bildet. Geben sie dazu die folgenden Dinge an:

1. Das neutrale Objekti

2. Die Bifunktor-Instanz vonEither(d.h. die Funktionbimap) 3. die natürlichen Transformationenα_a,b,c,λ_aundρ_a

Aufgabe 4: Monaden – ein Beispiel

Die Kategorie der punktierten Haskell-Typen, Hask_∗ besitzt als Objekte Paare (a,t) von Haskell-Typen a und Termen tvom Typ a. Die Morphismen zwischen (a,t_a) und(b,t_b)sind Haskellfunktionenf: a→bmit f(t_a) =t_b.

Betrachten Sie folgende Adjunktion von Funktoren zwischenHaskundHask∗:

Hask Hask_∗

L

R

`

Wobei die Funktoren durch

La= (Either()a, Left()) R(a,t) =a

Lf=λx→case x of Rf=f

Left()→Left() Right y→Right(f y) Gegeben sind.

Leiten Sie die Monadeninstanz fürR◦Laus der Adjunktion her. Welcher Monade entspricht dies?

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