Esimese j¨argu kvantkromod¨ unaamilised kiirgusparandid polariseeritud W

TARTU ¨ULIKOOL

Loodus- ja tehnoloogiateaduskond F¨u¨usika Instituut

Priit Tuvike

Esimese j¨argu kvantkromod¨ unaamilised kiirgusparandid polariseeritud W

-bosoni hadronlagunemisel

Magistrit¨o¨o f¨u¨usikas Eriala: teoreetiline f¨u¨usika

Juhendaja: T ¨U FI vanemteadur PhD Stefan Groote

Tartu 2010

Sisukord

1 Sissejuhatus 4

2 Kahe osakese protsess:

Borni diagramm ja silmusdiagramm. 6

2.1 Kahe osakese kinemaatika ja faasiruum . . . 6

2.2 Borni diagrammi maatrikselementide arvutamine . . . 8

2.3 Borni taseme tulemused . . . 9

2.4 Verteksparand . . . 11

2.5 Verteksparandi arvutamine Feynmani parameetritega . . . 14

2.6 Verteksparandi p˜ohiintegraal . . . 15

2.7 Verteksfunktsioon . . . 17

2.8 Kujutegurid ja renormeerimine . . . 29

2.9 Esimese j¨argu silmuseliste parandite tulemused . . . 31

3 Puudiagrammid 34 3.1 Kolme osakese protsess . . . 34

3.2 Sobivad parameetrid . . . 36

3.3 Kolme osakese protsessi kinemaatika paigals¨usteemis . . . 36

3.4 Kolme osakese faasiruum . . . 37

3.5 Faasiruumi piirid . . . 38

3.6 Nurgas˜oltuvused kolme osakese faasiruumis . . . 39

3.7 Kvarks¨usteemist polarisatsioonis¨usteemi . . . 40

3.8 Integreerimine . . . 42

3.9 Integreerimisp˜ohim˜otted . . . 43

3.10 IR-hajuvate integraalide konvergentsed osad . . . 44

3.11 Logaritmilised singulaarpanused . . . 45

3.12 Teised logaritmilised panused . . . 48

3.13 Mittelogaritmilised singulaarpanused . . . 50

3.14 Teised mittelogaritmilised panused . . . 50

3.15 Puudiagrammide tulemuste kokkuv˜ote . . . 52

4 Silmuselised panused ja t¨aistulemus 55 4.1 Infrapunaste hajumiste taandumine . . . 55 4.2 T¨aistulemus . . . 59 4.3 V¨aikeste masside piirjuht . . . 60 4.4 Tulemus l¨avel √

µ₁+√

µ₂ = 1 . . . 64

5 Joonised 66

5.1 Polarisatsiooni tulemuste energias˜oltuvused . . . 67 5.2 Parandite energias˜oltuvus . . . 70 5.3 Polarisatsiooni tulemuste nurgas˜oltuvused . . . 71

6 Kokkuv˜ote 75

7 Summary 76

8 Kirjandus 77

A Arvutatud I-integraalid 79

B Arvutatud S-integraalid 80

C Arvutatud J-integraalid 81

D Arvutatud T-integraalid 82

1 Sissejuhatus

Uue f¨u¨usika n¨ahtuste leidmine vajab Standardmudeli t¨apseid teoreetilisi arvutusi. Seda saab saavutada ainult siis, kui arvutusmudelitesse lisatakse k˜orgema j¨argu kiirgusparandeid. K˜orge- ma j¨argu liikmed ilmuvad kui reaalsed parandid, sidudes endas footonite ja gluuonite kiirgust kui virtuaalseid osakesi, mis esinevad Feynmani diagrammides suletud silmuste n¨aol. T¨apseid m˜o˜otmisi, mis on tundlikud kiirgusparandite suhtes, v˜oib vaadelda, kui elektron˜orga teooria testimist silmuselise parandi tasemel. Veelgi enam, kvantv¨aljateooria (KVT) peab p¨usima en- nustatavana ka siis, kui k˜orgema j¨argu liikmeid lisatakse (nt peenstruktuurikonstant α). Samas kui avastatakse anomaalia, siis v˜oib see t¨ahendada mainitud uue f¨u¨usika ilminguid (nt su- pers¨ummeetria v˜oi mitme Higgs-bosoni mudelid).

Uut osakestekiirendit Large Hadron Collider-it (LHC) CERNis (masskeskme energiaga 14 TeV) v˜oib vaadelda kui suurt top-kvargi tehast ja seet˜ottu v˜oimaldab see tulevikus rohkes- ti t¨apsustavaid m˜o˜otmisi top-kvargi f¨u¨usikas - nii tekke- kui ka lagunemisprotsessides. Top- kvargid lagunevad rohkem kui 99.9%-lise t˜oen¨aosusega protsessi t → b +W⁺ [1,2,3] koha- selt, kus W-bosoni polarisatsioon antud lagunemises on jaotunud u. 70% pikisuunaliseks ja u 30% p˜oiki(miinus)suunaliseks. Seda saab v˜orrelda Drell-Yan protsessis W-bosoni tekitamisega, kusW on 100% p˜oikisuunaliselt polariseeritud. Seega pakub top-kvargi lagunemisel saadav W unikaalse v˜oimaluse testida pikisuunaliselt polariseeritudW-bosoni lagunemist, mis omakorda v˜oimaldab uurida elektron˜orga s¨ummeetria rikkumise mehhanismi. W-bosoni polarisatsiooni saab kasutada ka selleks, et tema tekkimisel paarsust rikkuvaid interaktsioone anal¨u¨usida. W- boson on ennastanal¨u¨usiv, mis t¨ahendab seda, et saame m˜o˜ota W-bosoni polarisatsiooni, m˜o˜otes tema lagunemisproduktide nurkjaotust.

Et hinnata kiirgusparandite m˜ojuW-bosoni tekkimisel protsessis t→b+W⁺ on arvutatud

¨uhesilmuselised kvantkromod¨unaamilised (KKD) ja elektron˜orgad parandid protsessile t → b +W⁺(↑) (ka protsessile b → c+ W⁺(↑))[4,5,6,7,8]. Samuti on arvutatud ¨uhesilmuselised elektron˜orgad parandid mittepolariseeritud W leptonlagunemisele W⁺ →l⁺+ν_l [9]. Massitud (st. k˜orge energia korral) ¨uhesilmuselised KKD parandid hadronlagunemiseleW⁺→Q+ ¯q(kus Qon up-t¨u¨upi kvark ja ¯q on down-t¨u¨upi antikvark) saab arvutada [9] j¨argmise juhtiva j¨arguni (NLO) tulemuste kaudu [10,11,12,13]. Kuid siiski ei ole senini arvutatud protsessi nii, et arvesse oleks v˜oetud erinevaid massiparameetreid.

K¨aesoleva magistrit¨o¨o eesm¨ark on anal¨u¨utiliselt esitada esimese j¨argu kvantkromod¨unaami-

lised kiirgusparandid polariseeritudW⁺-bosoni hadronlagunemisel nii, et arvesse on v˜oetud ka lagunemisproduktide massiparameetrid. Selleks lahendame esmalt protsessi, kus polariseeritud W⁺-boson laguneb kaheks kvargiks, seej¨arel lahendame verteksparandi protsessi ning l˜opetu- seks uurime protsessi, kus peale kahe kvargi kiirgub ka pehme gluuon (nnbremsstrahlung).

T¨o¨o esimene osa kujutab sissejuhatust teemasse. Seal anname ¨ulevaate uuritava teema oluli- susest. Samas tutvustame ka kasutatavat matemaatilist aparatuuri. T¨o¨o teises osas lahendame anal¨u¨utiliselt polariseeritud W⁺-bosoni lagunemise kaheks kvargiks ja leiame verteksparandid.

Verteksparandite peat¨ukis lahendame kujutegurite renormeerimise juures ka ultravioletthaju- miste probleemi. Kolmandas peat¨ukis uurime protsessi, kus polariseeritud W⁺-bosoni lagune- misel peale kvargi ja antikvargi kiirgub ka pehme gluuon. Neljandas peat¨ukis lahendame infra- punaste hajuvuste probleemi ja esitame uuritava protsessi t¨aistulemused, mis on t¨o¨o p˜ohitule- musteks. Lisaks esitame t¨aistulemuste piirjuhud v¨aikeste masside ja l¨ave piirkonnas. Viiendas osas esitame tulemused graafiliselt ning v˜ordleme neid piirjuhtude vastustega. Magistrit¨o¨o l˜ope- tavad kokkuv˜ote, kasutatud kirjanduse loetelu ning lisad A, B, C ja D.

Antud t¨o¨os kasutame ¨uldjuhul sama t¨ahistust nagu Peskin ja Schroeder [14], lisaks eel- mainitule on uurimuses l¨abivalt veel kasutatud raamatuid [15,16,17]. ¨Uhikud on valitud nii, et

¯

h=c= 1. Diraci v˜orrandis ja adjungeeritud v˜orrandis

(p/−m)ψ(p, s) = 0, ψ(p, s)(p/¯ −m) = 0, ψ(p, s) =¯ ψ^†(p, s)γ⁰ (1) (kus on kasutatud t¨ahistustp/=p_µγ^µ) esinevad Diraci maatriksidγ^µ, mis on neljadimensionaal- sed algebralised elemendid, mille jaoks kehtivad erinevad esitused. Nende hulgas on osakeste–

antiosakeste esitus ja spiraalesitus. Antud t¨o¨os kasutame osakeste–antiosakeste esitust γ⁰ =



1l₂ 0 0 −1l₂



, γⁱ =



 0 σ_i

−σ_i 0



, (2)

kus 1l₂ on kahedimensionaalne ¨uhikmaatriks ja σ_i (i = 1,2,3) on kahedimensionaalsed Pauli maatriksid

σ₁ =



0 1 1 0



, σ₂ =



0 −i i 0



, σ₃ =



1 0 0 −1



. (3)

Algebra on defineeritud kui

{γ^µ, γ^ν}:=γ^µγ^ν +γ^νγ^µ = 2g^µν. (4) Veel esinevad elemendid

σ^µν = i

2[γ^µ, γ^ν] := i

2(γ^µγ^ν −γ^νγ^µ), γ⁵ =iγ⁰γ¹γ²γ³ =γ₅. (5)

γ₅ jaoks kehtib lisareegel

{γ5, γ^µ}=γ5γ^µ+γ^µγ5 = 0. (6) Diraci maatriksite ja maatriksi γ₅ j¨alg on null, tr(γ^µ) = tr(γ₅) = 0, neljadimensionaalse ¨uhik- maatriksi j¨alg on tr(1l) = 4. Lisaks on veel reeglid

tr(γ^µγ^ν) = 4g^µν, tr(γ₅γ^µγ^ν) = 0,

tr(γ^µγ^νγ^ργ^σ) = 4 (g^µνg^ρσ−g^µρg^νσ +g^µσg^νρ), tr(γ₅γ^µγ^νγ^ργ^σ) = −4iε^µνρσ, tr(γ^µ1· · ·γ^µn) = 0, tr(γ₅γ^µ1· · ·γ^µn) = 0, kuin on paaritu

tr(γ^µ1· · ·γ^µn) = 4⁽g^µ1µ2tr(γ^µ3· · ·γ^µn)−g^µ1µ3tr(γ^µ2γ^µ4· · ·γ^µn) +

+g^µ1µ4tr(γ^µ2γ^µ3γ^µ5· · ·γ^µn)∓. . .+g^µ1µntr(γ^µ2· · ·γ^µn−1)⁾. (7)

2 Kahe osakese protsess:

Borni diagramm ja silmusdiagramm.

Fermi kuldreegli j¨argi saab W⁺-bosoni lagunemis¨a¨ara kirja panna kui Γ_i(W⁺ →X_i) = 1

2m_W

∫

dP S_i|M|², (8)

kus i = 2,3 kirjeldab tekkivate osakeste arvu, X =Q+ ¯q puhul i = 2, X =Q+ ¯q+G puhul i= 3. Me alustame selles peat¨ukis kaheosakeselise (pea)protsessiga, kolmeosakeseliste protsessi k¨asitleme peat¨ukis 3. dP S_i m¨argib faasiruumi osa ning M on nn Feynmani amplituud, mis kirjeldab lagunemisprotsessi.

2.1 Kahe osakese kinemaatika ja faasiruum

T¨ahistame q-ga W⁺-bosoni impulsi, p₁-ga kvargi Q impulsi ja p₂-ga antikvargi ¯q impulsi. m_W t¨ahistab algosakese ehkW-bosoni massi. Arvutame kahe osakese kinemaatika paigals¨usteemis.

Nelivektorites p₁ = (E₁;⃗p₁) ja p₂ = (E₂;⃗p₂) on meil neli tundmatut suurust, aga samuti ka neli j¨argnevat seosev˜orrandit

E₁² =⃗p²₁+m²₁, E₂² =⃗p²₂+m²₂, E₁+E₂ =

√

q², ⃗p₁+⃗p₂ =⃗0. (9)

Saame

⃗

p²₁+m²₁ =⃗p²₂+m²₂ =E₂² = (

√

q²−E1)² =q²+E₁²−2E1

√

q² =q²+m²₁+⃗p²₁ −2E1

√

q² (10) ehk

2E1

√

q² =q²+m²₁−m²₂ = (1 +µ1−µ2)q² ⇔ E1 = 1

2(1 +µ1−µ2)

√

q² (11) ja vastavaltE₂ =√

q²−E₁ = ¹₂(1−µ₁+µ₂)√

q² ning

⃗

p²₁ =E₁²−m²₁ = 1

4(1 +µ₁−µ₂)²q²−µ₁q² = 1

4λ(1, µ₁, µ₂)q², (12) kus

λ(x, y, z) := x²+y²+z²−2xy−2xz−2yz (13) on K¨all´eni funktsioon. Kui valime z-telje kvargi liikumise suunas, on meil

p₁ = 1 2

(

1 +µ₁−µ₂; 0,0,

√

λ(1, µ₁, µ₂)

)

, p₂ = 1

2

(

1−µ₁+µ₂; 0,0,−^√λ(1, µ₁, µ₂)

)

. (14)

Kahe osakese faasiruum on n¨u¨ud esitatav valemiga dP S₂ = (2π)⁴δ⁽⁴⁾(p₁+p₂−q)

∏2 i=1

d⁴p_i

(2π)⁴(2π)δ(p²_i −m²_i)θ(p⁰_i) =

= d⁴p₁

(2π)⁴(2π)δ(p²₁−m²₁)θ(E₁)δ⁽(q−p₁)²−m²₂⁾θ(q⁰−E₁), (15) milles asenduse p₂ = q −p₁ tegemiseks on kasutatud neljadimensionaalset deltafunktsiooni.

Kasutades v˜ordust d⁴p

(2π)⁴(2π)δ(p²−m²)θ(E) = d³p

(2π)³2E, E =

√

⃗

p²+m², (16) saame

dP S₂ = d³p₁

(2π)³2E₁δ⁽(q−p₁)²−m²₂⁾θ(q⁰−E₁)

E1=√

⃗

p²₁+m²₁. (17) Samas on teada, et

(q−p₁)²−m²₂ =q²−2E₁

√

q²+m²₁−m²₂ =−2

√

q²

(

E₁− 1 2√

q²(q² +m²₁−m²₂)

)

(18) ja sellega saame leida

δ⁽(q−p₁)²−m²₂⁾= 1 2√

q²δ

(

E₁− 1 2√

q²(q²+m²₁ −m²₂)

)

. (19)

L˜opuks v˜oime kolmedimensionaalse integraalim˜o˜odu esitada polaarkoordinaatides ning ¨ara ka- sutadaE₁² =⃗p²₁+m²₁ ⇒ 2E1dE1 = 2|⃗p1|d|⃗p1|,

d³p₁ =|⃗p₁|²d|p⃗₁|dφd(cosθ) = E₁

√

E₁²−m²₁dE₁dφd(cosθ). (20) Kordaja E₁ taandub. Deltafunktsiooni ¨ara kasutades kaotame integreerimise ¨ule E₁. Kuna ei ole oodata, et tulemused s˜oltuksid asimuutnurgast φ-st, siis ¨ule selle integreerimine annab

∫ dφ= 2π. Kokkuv˜otteks saame kirjutada, et

dP S₂ = 1 (2π)²2√

q²δ

(

E₁− 1 2√

q²(q²+m²₁−m²₂)

) E₁ 2E₁

√

E₁² −m²₁dE₁dφd(cosθ) =

= 2π

4(2π)²√ q²

√ 1

4q² (q²+m²₁−m²₂)²−m²₁ d(cosθ) =

= 1

16πq²

√

λ(q², m²₁, m²₂) d(cosθ). (21)

2.2 Borni diagrammi maatrikselementide arvutamine

Vaatleme jooniselt 1 nn Borni taseme Feynmani diagrammi. Feynmani reeglite j¨argi vastab

W

Q q

Joonis 1: Borni taseme Feynmani diagramm protsessis W⁺(↑)→Q+ ¯q sellele diagrammile avaldis

M= ¯u(p₁, s₁)

(

−ig_W

√2V_iIγ^α1l−γ₅ 2

)

v(p₂, s₂)ε_α(q, λ), (22) kus u(p₁, s₁) on kvargiQ spiinor, v(p₂, s₂) antikvargi ¯q spiinor ja ε_α(q, λ) on W⁺ bosoni laine- funktsioon. Nende vahel asub verteksfunktsioon

−ig_W

√2V_iIγ^α1l−γ₅

2 , (23)

kus g_W on elektron˜ork laeng, V_iI on Kobayashi–Maskawa segumaatriksi element, ja γ^α ja γ₅ on tuntud Diraci maatriksid. Et arvutada maatriksi absoluutv¨a¨artuse ruutu, l¨aheb meil vaja

ka suurust M^∗. Diraci maatrikside algebrat meeles pidades ning seda, et ¯u(p, s) = u^†(p, s)γ⁰, saame

M^∗ = ¯v(p₂, s₂)

(

+ig_W

√2V_iI^∗γ^α1l−γ₅ 2

)

u(p₁, s₁)ε^∗_α(q, λ). (24) L˜opuks tuleb veel summeerida ¨ule mittevaadeldavate l˜opposakeste spinnolekute. Selle jaoks kasutame v˜orrandeid

∑

s

u(p, s)¯u(p, s) = (p/+m), ^∑

s

v(p, s)¯v(p, s) = (p/−m). (25) Tulemuseks saame

|M|² = ^∑

s1,s2

M^∗M= g_W²

8 |V_iI|²tr⁽(p/₂−m₂)γ^α(1l−γ₅)(p/₁+m₁)γ^β(1l−γ₅)⁾ε^∗_α(q, λ)ε_β(q, λ).

(26) V˜orrandi (26) j¨aljeosaks saame

tr^µν₀ = Tr ((p/₁+m₁)γ^µ(1−γ₅)(p/₂−m₂)γ^ν(1−γ₅)) =

= 8 (p^µ₁p^ν₂ +p^µ₂p^ν₁−(p₁p₂)g^µν+iϵ^µνρσp_1ρp_2σ), (27) millest on n¨aha, et massid taanduvad v¨alja. V˜orrandis (25) oleme summeerinud ¨ule kvarkide spinnolekute, kuna neid protsessis ei vaadelda. Samas saame summeerida ka ¨ule W-bosoni polarisatsiooniolekute, kui neid ei vaadelda. Summeerimine annab

∑

λ

ε^∗_α(q, λ)ε_β(q, λ) =−g_αβ. (28) Sellega saame

tr_0g = −tr^αβ₀ g_αβ = 16(p₁p₂). (29)

2.3 Borni taseme tulemused

Nagu sissejuhatuses mainitud, on W-boson iseanal¨u¨usiv. See t¨ahendab, et W-bosoni polari- satsioon avaldub tema laguproduktide liikumissuundade anisotroopiana. Sellist anisotroopiat saab kirjeldada nurks˜oltuvusenaW-bosoni polarisatsiooni ja kvarkide liikumissuuna vahel. Sel- lep¨arast ei summeerita enam ¨uleW-bosoni polarisatsiooniλ, vaid anal¨u¨usitakse erinevaid pola- risatsiooni panuseid. Kinemaatiliselt l¨ahtume tausts¨usteemist, milles eelmise lagunemisprotsessi t→W +b top-kvark on paigal ja W-boson liigub z-telje suunas. Kui vahetame tausts¨usteemi

nii, et see liigub sama kiirusega kui W-boson z-telje suunas, siis on z-telg kui W-bosoni lii- kumissuund

”kinni k¨ulmutatud”, ilma et W-boson antud tausts¨usteemis ise liiguks. Selle uue z-telje suuna suhtes peame n¨u¨ud kvarkide liikumissuunda p¨o¨orama. Siiani olid

p₁ = 1 2

√

q²(1 +µ₁−µ₂; 0,0,√

λ), p₂ = 1 2

√

q²(1−µ₁+µ₂; 0,0,−√

λ). (30) Need v˜ordused kehtisid eeldusel, et kvark liigubz-telje positiivses suunas. Kui me aga kasutame nn ”kinni k¨ulmutatud” tausts¨usteemi, kus z-teljel on W⁺-bosoni endine liikumise suund, siis peame omakorda kvargi suunda nurgaθ v˜orra p¨o¨orama. Leppides kokku, et see p¨o¨ore toimub

¨umber positiivse y-telje, saame impulsid kirjutada kujul p₁ = 1

2

√

q²(1 +µ₁−µ₂;√

λsinθ,0,√

λcosθ), p₂ = 1

2

√

q²(1 +µ₁−µ₂;−√

λsinθ,0,−√

λcosθ). (31)

Kui v˜otame kvargid massituks, st. energiad on suured, siis j¨aljemaatriks on

tr^µν₀ = 8(p^µ₁p^ν₂+p^µ₂p^ν₁ −(p₁p₂)g^µν +iϵ^µνρσp_1ρp_2σ (32) ja

p₁ = 1 2

√

q²(1; sinθ,0,cosθ), p₂ = 1 2

√

q²(1;−sinθ,0,−cosθ). (33) Kasutades v˜ordust p₁p₂ =q²(1 + sin²θ+ cos²θ)/4 =q²/2, saame tulemuseks

(tr^µν₀ ) = 4q⁴











0 0 0 0

0 cos²θ isinθ −sinθcosθ

0 −icosθ 1 isinθ

0 −sinθcosθ −isinθ sin²θ











. (34)

Polarisatsiooni nelivektoritega¹

ε(0) = (1; 0,0,0), ε(±) = 1

√2(0;∓1,−i,0), ε(3) = (0; 0,0,1) (35) v˜orrandit (34) ahendades saame n¨u¨ud vastavad jaotused:

tr⁰⁰₀ = ε_α(0)tr^αβ₀ ε^∗_β(0) = 0,

tr⁺⁺₀ = ε_α(+)tr^αβ₀ ε^∗_β(+) = 2q²(−1,−i)



 cos²θ icosθ

−icosθ 1







−1 i



 = 2q²(1 + cosθ)²,

1Tihti kasutatakse puhastz-suuna vektoritλ= 0 ja esimene vektor j¨aetakse v¨alja. Antud t¨o¨os arvutame aga k˜oik (ka ajalised) polarisatsioonid.

tr⁻⁻₀ = εα(−)tr^αβ₀ ε^∗_β(−) = 2q²(1,−i)



 cos²θ icosθ

−icosθ 1







1 i



 = 2q²(1−cosθ)²,

tr³³₀ = ε_α(3)tr^αβ₀ ε^∗_β(3) = 4q²sin²θ. (36)

See vastab kirjanduses avaldatud tulemusele [5], et kui t → X_b +W⁺ lagunemisele j¨argneb polariseeritudW⁺-bosoni lagunemine massituteks osakesteks, siis relatiivne lagunemism¨a¨ar on

1 Γ

dΓ dcosθ = 3

8(1 + cos)²F++3

8(1−cosθ)²F−+3

4sin²θF3. (37) P¨o¨ordudes n¨u¨ud tagasi mittekaduvate masside juurde, saame j¨aljemaatriksi (tr^µν₀ )/4q² =

=











µ₁+µ₂−(µ₁−µ₂)² (µ₁−µ₂)√

λsinθ 0 (µ₁−µ₂)√ λcosθ (µ₁−µ₂)√

λsinθ 1−µ₁−µ₂−λsin²θ i√

λcosθ −λsinθcosθ

0 −i√

λcosθ 1−µ₁−µ₂ i√ λsinθ (µ₁−µ₂)√

λcosθ −λsinθcosθ −i√

λsinθ 1−µ₁−µ₂−λcos²θ











(38) ja vastavad projektsioonid

tr⁰⁰₀ = ε_α(0)tr^αβ₀ ε^∗_β(0) = 4q²⁽µ₁+µ₂−(µ₁−µ₂)²⁾, tr⁺⁺₀ = εα(+)tr^αβ₀ ε^∗_β(+) = 2q²

(−(µ1−µ2)²+ (1 +√

λcosθ)²

)

, tr⁻⁻₀ = ε_α(−)tr^αβ₀ ε^∗_β(−) = 2q²⁽−(µ₁−µ₂)²+ (1−√

λcosθ)²⁾,

tr³³₀ = ε_α(3)tr^αβ₀ ε^∗_β(3) = 4q²⁽µ₁+µ₂−(µ₁−µ₂)²+λsin²θ⁾. (39) Pannes t¨ahele, et tr⁺⁺₀ + tr⁻⁻₀ = tr¹¹₀ + tr²²₀ , saame n¨aidata, et

−tr⁰⁰₀ + tr⁺⁺₀ + tr⁻⁻₀ + tr³³₀ =

= −4q²⁽µ₁+µ₂−(µ₁−µ₂)²⁾+ 2q²⁽−(µ₁−µ₂)²+ (1 +√

λcosθ)²⁾+ + 2q²⁽−(µ₁−µ₂)²+ (1−√

λcosθ)²⁾+ 4q²⁽µ₁+µ₂−(µ₁−µ₂)²+λsin²θ⁾ =

= 4q²λsin²θ−4q²(µ₁−µ₂)²+ 4q²(1 +λcos²θ) = 8q²(1−µ₁−µ₂) = 16(p₁p₂), (40) mis on koosk˜olas valemiga (29).

2.4 Verteksparand

Kahe osakese protsessi t¨aistulemuseks on meil vaja arvutada ka verteksparand. Joonisest 2

W

Q q

G q = p

+ p

p

p

+ k

− p

− p

+ k k

Joonis 2: Verteksparandi Feynmani diagramm W⁺(↑)→Q+ ¯q protsessile

l¨ahtudes saame Feynmani reegleid kasutades antud protsessi maatrikselemendiks j¨argneva aval- dise

M^µ = ¯u(p₁, s₁)

∫ d^Dk

(2π)^D(−ig_sγ^αT_a) i

p/₁+k/−m₁ ×

×

(

−ig_W

√2V_iIγ^µ1−γ₅ 2

) i

−p/₂+/k−m₂(−ig_sγ^βT_b)−ig_αβδ_ab

k² v(p₂, s₂) =

= −g_Wg_s² 2√

2V_iIT_aT_au(p¯ ₁, s₁)

∫ d^Dk (2π)^D

γ^α(p/₁+/k+m₁)γ^µ(1−γ₅)(−p/₂+/k+m₂)γ_α

((p₁ +k)²−m²₁)((p₂ −k)²−m₂)k² v(p₂, s₂) =

=: −ig_W

√2V_iIu(p¯ ₁, s₁)∆Γ^µ_Lv(p₂, s₂). (41) Kui arvutaksime integraali neljadimensionaalses aegruumis, oleks integraal hajuv, mida ei ole v˜oimalik arvutada. Selleks, et integraali arvutada saaks, peame seda regulariseerima. Regu- lariseerimine t¨ahendab lihtsustatult seda, et muudame integraalis m˜onda parameetrit nii, et integraal saab l˜oplikuks. Endine hajuvus v¨aljendub siis selle muudatuse kaudu ja on sellep¨arast k¨asitletav. J¨argnevalt r¨a¨agime hajuvusest alati selle muudatuse m˜ottes. On olemas erinevad regulariseerimismeetodid. Puudiagrammide peat¨ukis kasutame n¨aiteks seda, et valime gluuoni massi mittekaduvaks, st massiregulariseerimist. Siin aga on see meetod sobimatu. Selle asemel kasutame dimensionaalset regulariseerimist. See t¨ahendab, et me asendame integraalis nelja- dimensionaalse integreerimise D-dimensionaalse integreerimisega, kus D = 4−2ε on neljast ainult natuke erinev. Nagu hiljem n¨aeme, v¨aljendub hajuvus siis panustega 1/ε.

Aga j¨atkame integraaliga. Kuna integraali lugeja seisab kahe spinori vahel, siis saame lihtsus- tamiseks kasutada Diraci v˜orrandeid

¯

u(p₁, s₁)(p/₁−m₁) = 0 = (p/₂+m₂)v(p₂, s₂). (42) Me saame

¯

u(p₁, s₁)γ^α(p/₁+m₁) = 2p^α₁u(p¯ ₁, s₁) + ¯u(p₁, s₁)(−p/₁+m₁)γ^α = 2p^α₁u(p¯ ₁, s₁),

(−p/₂+m₂)γ_αv(p₂, s₂) = −2p_2αv(p₂, s₂) +γ_α(p/₂+m₂)v(p₂, s₂) = −2p_2αv(p₂, s₂) (43) ja sellega lugeja Ljaoks

L = u(p¯ 1, s1)γ^α(p/1+/k+m1)γ^µ(1−γ5)(−p/2+/k+m2)γαv(p2, s2) =

= u(p¯ ₁, s₁)(γ^α/k+ 2p^α₁)γ^µ(1−γ₅)(/kγ_α−2p_2α)v(p₂, s₂) =

= u(p¯ ₁, s₁)γ^α/kγ^µ(1−γ₅)/kγ_αv(p₂, s₂)−2¯u(p₁, s₁)p/₂/kγ^µ(1−γ₅)v(p₂, s₂) +

+ 2¯u(p₁, s₁)γ^µ(1−γ₅)/kp/₁v(p₂, s₂)−4p₁p₂u(p¯ ₁, s₁)γ^µ(1−γ₅)v(p₂, s₂). (44) Vaatame v˜orrandi (44) panuseid eraldi (neist viimane liige j¨a¨ab samaks)

¯

uγ^αkγ/ ^µ(1−γ₅)/kγ_αv = 2k²uγ¯ ^µ(1−γ₅)v−uγ¯ ^α/kγ^µ(1−γ₅)γ_α/kv =

= 2k²uγ¯ ^µ(1−γ₅)v−uγ¯ ^α/kγ^µγ_α(1 +γ₅)/kv =

= 2k²uγ¯ ^µ(1−γ₅)v−2¯uγ^µ/k(1 +γ₅)/kv+ ¯uγ^α/kγ_αγ^µ(1 +γ₅)/kv =

= 2k²uγ¯ ^µ(1−γ₅)v−2k²uγ¯ ^µ(1−γ₅)v+ (2−D)¯u/kγ^µ/k(1−γ₅)v =

= (D−2)(k²g^µν−2k^µk^ν)¯uγ_ν(1−γ₅)v (45) ning

−2¯up/2/kγ^µ(1−γ5)v = −4(p2k)¯uγ^µ(1−γ5)v + 2¯u/kp/2γ^µ(1−γ5)v =

= −4(p₂k)¯uγ^µ(1−γ₅)v + 4p^µ₂u/¯k(1−γ₅)v−2¯u/kγ^µp/₂(1−γ₅)v =

= −4(p₂k)¯uγ^µ(1−γ₅)v + 4p^µ₂u/¯k(1−γ₅)v−2¯u/kγ^µ(1 +γ₅)p/₂v =

= −4(p₂k)¯uγ^µ(1−γ₅)v + 4p^µ₂u/¯k(1−γ₅)v+ 2m₂u/¯k(1−γ₅)γ^µv (46) ja

2¯uγ^µ(1−γ₅)/kp/₁v = 4(p₁k)¯uγ^µ(1−γ₅)v−2¯uγ^µ(1−γ₅)p/₁/kv =

= 4(p₁k)¯uγ^µ(1−γ₅)v−2¯uγ^µp/₁(1 +γ₅)/kv =

= 4(p₁k)¯uγ^µ(1−γ₅)v−4p^µ₁u(1¯ −γ₅)/kv+ 2¯up/₁γ^µ(1 +γ₅)/kv =

= 4(p₁k)¯uγ^µ(1−γ₅)v−4p^µ₁u/¯k(1−γ₅)v+ 2m₁uγ¯ ^µk(1/ −γ₅)v, (47)

Arvesse v˜ottes eelnevaid lihtsustusi saame, et L =

(

(D−2)(k²g^µν−2k^µk^ν) + 4((p1−p2)k−p1p2)g^µν−4(p1−p2)^µk^ν

)×

×u(p¯ ₁, s₁)γ_ν(1−γ₅)v(p₂, s₂) +

+ 2m₁k^νu(p¯ ₁, s₁)γ^µγ_ν(1−γ₅)v(p₂, s₂) + 2m₂k^νu(p¯ ₁, s₁)γ_ν(1−γ₅)γ^µv(p₂, s₂). (48)

2.5 Verteksparandi arvutamine Feynmani parameetritega

Verteksparandi integraali arvutame kasutades Feynmani parameetreid. Kehtib valem 1

A^α₁¹· · ·A^α_m^m = Γ(α₁+. . .+α_m) Γ(α₁)· · ·Γ(α_m)

∫ ₁

0

x^α₁¹⁻¹dx₁· · ·x^α_m^m−1dx_m

(x₁A₁+. . .+x_mA_m)^α1+...+αmδ(x₁+. . .+x_m−1), (49) kus Γ(z) on Euleri gammafunktsioon ehk faktoriaali ¨uldistus omadusega

Γ(z) =

∫ _∞

0

t^z−1e^−tdt, Γ(z+ 1) = Γ(z), Γ(1) = 1. (50) Meil l¨aheb vaja kolme parameetrit, mis on seotud v˜orrandi x₁+x₂+x₃ = 1 kaudu. V˜orrandis saab x₃ asendada avaldisega 1−x₁ −x₂, ja rajad on 0 ≤ x₁ ≤ 1 ja 0 ≤ x₂ ≤ 1−x₁. Ilma lugejata on meil

1

((p1+k)²−m²₁)((p2−k)²−m²₂)k² =

= Γ(3) Γ(1)³

∫ ₁

0

dx1

∫ _1−x1

0

dx2

1

(k²+ 2x₁p₁k+x₁(p²₁−m²₁)−2x₂p₂k+x₂(p²₂−m²₂))³. (51) Kuna tegu on ainult esimese j¨argu protsessiga, saame oletada, et m˜olemad tekkivad osakesed on massi pinnal, stp²₁ =m²₁ ja p²₂ =m²₂. See lihtsustab arvutamist. J¨atkame n¨u¨ud nimetajaga

N = (k²+ 2x₁p₁k−2x₂p₂k)³ =⁽(k+x₁p₁−x₂p₂)²−(x₁p₁−x₂p₂)²⁾³. (52) L˜opuks saame ¨ulekintegreerimisel teha asendusek→k−x₁p₁+x₂p₂, sest integreerimisrajad on siin±∞. Sellega lihtsustub nimetajaN = (k²−(x₁p₁−x₂p₂)²)³, aga lugeja l¨aheb keerulisemaks.

Lugeja r¨uhmitame erinevate k astmete j¨argi. Lugeja L₀ = 1 jaoks ei muutu midagi. Lugeja L^µ₁ = k^µ on asendatud L^µ₁ = k^µ−xp^µ₁ +x₂p^µ₂ ja lugeja L^µν₂ = k^µk^ν avaldisega L^µν₂ = (k^µ − x₁p^µ₁+x₂p^µ₂)(k^ν−x₁p^ν₁+x₂p^ν₂). L˜opuks kaovad k˜oik lineaarsedk-s˜oltuvused, sest integraal onk suhtes s¨ummeetriline. k^µk^ν ei kao ainult siis, kui µ=ν. Sellega on vastav integraal meetrikaga

g^µν proportsionaalne, ja saame kontraktsiooni teel skalaarse panuse arvutada. Seega tuleb n¨u¨ud arvutada kolm j¨argnevat integraali

I₀ = −i

∫ d^Dk (2π)^D

1

(k²+ 2p₁k)(k²−2p₂k)k² =

= −iΓ(3)

∫ ₁

0

dx1

∫ _1−x1

0

dx2

∫ d^Dk (2π)^D

1

(k²−(x₁p₁−x₂p₂)²)³, I₁^µ = −i

∫ d^Dk (2π)^D

k^µ

(k²+ 2p1k)(k²−2p2k)k² =

= −iΓ(3)

∫ ₁

0

dx₁

∫ _1−x1

0

dx₂

∫ d^Dk (2π)^D

−(x1p1−x2p2)^µ (k²−(x₁p₁−x₂p₂)²)³, I₂^µν = −i

∫ d^Dk (2π)^D

k^µk^ν

(k²+ 2p₁k)(k²−2p₂k)k² =

= −iΓ(3)

∫ ₁

0

dx₁

∫ _1−x1

0

dx₂

∫ d^Dk (2π)^D

(k−x₁p₁+x₂p₂)^µ(k−x₁p₁+x₂p₂)^ν (k²−(x₁p₁−x₂p₂)²)³ =

= −i

4g^µνΓ(3)

∫ ₁

0

dx1

∫ _1−x1

0

dx2

∫ d^Dk (2π)^D

1

(k²−(x₁p₁−x₂p₂)²)² +

−iΓ(3)

∫ ₁

0

dx₁

∫ _1−x1

0

dx₂

∫ d^Dk (2π)^D

(x₁p₁−x₂p₂)^µ(x₁p₁−x₂p₂)^ν

(k²−(x₁p₁−x₂p₂)²)³ . (53)

2.6 Verteksparandi p˜ ohiintegraal

Tuleb v¨alja, et ¨ule k integreerimiseks on vaja arvutada p˜ohiintegraal

I_α(D) =

∫ d^Dk (2π)^D

1

(−k²+m²+iϵ)^α. (54) Arvutamiseks eraldame esiteks aja ja (D − 1)- dimensionaalse ruumi integreerimise. Lisaks kasutame asjaolu, et integrandi poolused Feynmani propagaato- ri jaoks ei ole reaalteljel, vaid natuke imaginaarsuunas nihutatud. Nimetaja nullkohad k0 suhtes on

k₀ =±^(√⃗k²+m² −iϵ

)

=±(E−iϵ). (55)

Kui me asendame integreerimistee [−∞,+∞] komplekstasandis oleva tee [i∞,−i∞] kaudu ja ¨uhendame m˜olemad teed veerandkaarte kaudu, siis ei sisalda suletud tee enam pooluseid.

Kaared v˜oib ¨ara kaotada, sest integrand kaob, kuik₀² on piisavalt suur, nii et asendame Cauchy teoreemi j¨argi ¨uhe integraalitee teisega. L˜opuks kasutame ik₀ asemel uut suurust k₀ ja oleme