5.1.Nukleosynthese der leichten Elemente.

Nukleosynthese

im fr¨ uhen Universum

Ausbildungsseminar Astroteilchenphysik

Christian Goßler

Naturwissenschaftliche Fakult¨ at II - Physik Universit¨ at Regensburg

November 2008

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Primordiale Nukleosynthese 2

2.1 Theorie . . . 3

2.2 Praxis . . . 14

2.2.1 Helium-4 . . . 14

2.2.2 Deuterium . . . 15

2.2.3 Helium-3 . . . 16

2.2.4 Lithium . . . 17

3 Anzahl der Neutrino-Flavor 18 3.1 Kosmologie . . . 18

3.2 Teilchenphysik . . . 19

4 Zusammenfassung 23

Literaturverzeichnis 23

1 Einleitung

Das Standardmodell der Kosmologie beschreibt die Entstehung des Univer- sums im sogenannten Urknallmodell.

Es gibt im Wesentlichen drei Beobachtungen, welche das Urknallmodell st¨utzen:

• Rotverschiebung

• Kosmische Hintergrundstrahlung

• Primordiale H¨aufigkeit der Elemente

Als erstes wurde von Hubble die Rotverschiebung der Galaxien entdeckt.

Lemaˆıtre leitete daraus die Expansion des Raumes ab.

Gamow postulierte als Erster eine hypothetische, heiße Fr¨uhphase des Uni- versums. Er erkannte, dass im fr¨uhen Universum die Rahmenbedingungen f¨ur Kernreaktionen gegeben waren und versuchte zu kl¨aren, ob nicht alle heute existierenden Atomkerne im jungen Universum entstanden sein k¨onnten.

Es zeigte sich, dass in der primordialen Nukleosynthese haupts¨achlich Was- serstoff und Helium-4, und in Spuren Deuterium, Helium-3 und Lithium-7 erzeugt wurden. Alle schwereren Kerne entstanden erst viel sp¨ater in Sternen.

2 Primordiale Nukleosynthese

”Primordial“ wird vom lateinischen Wort f¨ur

”urspr¨unglich“ abgeleitet. Bei der primordialen Nukleosynthese handelt es sich also um die erste Phase der Kernentstehung im Universum.

Bevor wir uns mit den Details der primordialen Nukleosynthese befassen noch einige Worte zur Urknalltheorie:

Aus der Beobachtung, dass sich nahezu alle Objekte von uns wegbewegen, leiten wir ab, dass sich der Raum ausdehnt. Die Urknalltheorie besagt, dass dies seit dem Entstehen des Universums der Fall ist. Wenn wir in der Zeit zur¨uckgehen, kehrt sich also die Expansion des Raumes um. Den theoretisch berechneten Zeitpunkt, bei dem das Universum die Ausdehnung 0 innehat, nennen wirt = 0. Die moderne Physik traut sich prinzipiell eine Beschreibung

des Kosmos ab der sogenannten Planck-Zeit t = 10⁻⁴³s zu. ¨Uber Vorg¨ange, die vor dieser Zeit stattgefunden haben, kann die Naturwissenschaft noch keine gesicherten Aussagen machen.

Etwa 10⁻¹⁰snach dem Urknall jedoch liefert das Urknallmodell bereits exakte Vorhersagen ¨uber den Zustand des Universums. Diese Zeit entspricht einer Energie von k_BT = 100GeV bzw. einer Temperatur von T = 10¹⁵K. Dieser Energiebereich ist experimentell bereits in Teilchenbeschleunigern untersucht worden.

2.1 Theorie

Thermisches Gleichgewicht

Wir beginnen unsere Betrachtungen bei einer Zeit von etwa t= 10⁻²s nach dem Urknall. Zu dieser Zeit besteht das Universum aus Neutronen, Proto- nen, sowie Elektronen, Positronen, Neutrinos und Photonen, die sich alle im thermischen Gleichgewicht befinden. Das bedeutet, das im Mittel jedes dieser Teilchen die gleiche Energie besitzt.

Allgemein erfordert thermisches Gleichgewicht sehr h¨aufige Wechselwirkun- gen der Teilchen. Wenn dies gegeben ist, l¨asst sich das Universum als eine Abfolge von thermischen Gleichgewichtszust¨anden beschreiben.

Dabei ist es von entscheidender Bedeutung, dass die Reaktionsraten groß sind gegen die Expansionsrate des Universums H = ˙a/a.

Die Reaktionsrate Γ l¨asst sich schreiben als

Γ =nσv (1)

mit der Teilchendichte n, dem Wirkungsquerschnittσ und der mittleren Re- lativgeschwindigkeit v.

Als Bedingung f¨ur thermisches Gleichgewicht fordert man:

ΓH (2)

Sowohl Neutronen als auch Protonen sind aus drei Quarks aufgebaut. Solche Teilchen nennen wir Baryonen. Die baryonische Materie, von der in der Kos- mologie h¨aufig die Rede ist, wird also aus Neutronen und Protonen gebildet.

Neutronen und Protonen im thermodynamischen Gleichgewicht Wir betrachten das Verh¨altnis von Neutronenzahl zu Protonenzahl im ther- mischen Gleichgewicht. Beide Teilchen besitzen den Spin ^¯h₂, und gehorchen als Fermionen damit der Fermi-Dirac-Statistik.

Wir nennen die Teilchendichte der Neutronen n und die Teilchendichte der Protonen p.

Aus einer statistischen Betrachtung (siehe Anhang) ergibt sich:

n ∝ (mn)³² ·exp −mnc² k_BT

!

(3) p ∝ (m_p)³² ·exp −m_pc²

k_BT

!

(4) Daraus folgt:

n

p = m_n m_p

!³

2

·exp −(m_n−m_p)c² k_BT

!

= m_n m_p

!³

2

·exp − 4 k_BT

!

(5) mit 4= 1,29M eV (entspricht einer Massendifferenz zwischen Neutron und Proton von 1,29M eV /c²)

F¨ur die Einstellung des thermodynamischen Gleichgewichtes sorgen die fol- genden zwei Kernreaktionen:

p+e⁻ ⇒ n+ν_e (6)

n+e⁺ ⇒ p+ ¯ν_e (7)

Die erste der beiden Reaktionen kann nur stattfinden wenn die kinetische Energie der Teilchen gr¨oßer als 0,8M eV ist, da das Neutron eine um 0,8M eV /c² gr¨oßere Masse hat als Proton und Elektron zusammen. Die Masse des Neu- trinos ist bei dieser ¨Uberlegung vernachl¨assigbar klein.

Die kinetische Energie von 0,8M eV entspricht eine Temperatur des Uni- versums von T = ^{0,8M eV}_k

B ' 9· 10⁹K. Ist die Temperatur des Universums unter diese Schwelle gefallen, werden keine Neutronen mehr gebildet und das thermische Gleichgewicht zwischen Neutronen und Protonen zerbricht. Man spricht vom

”Ausfrieren“ des Teilchenzahlverh¨altnisses.

Wir berechnen nun mit Gleichung (5) das Teilchenzahlverh¨altnis zur Zeit des Ausfrierens:

n

p = 938,57 939,27

!³₂

·exp −1,29 0,8

!

' 1

5 (8)

Zerfall der Neutronen vs. Deuteronenproduktion

Nun beginnt ein Wettlauf zwischen zwei verschiedenen Vorg¨angen:

1. Freie Neutronen zerfallen nach der Reaktion

n ⇒ p+e⁻+ ¯ν_e (9)

Die Lebensdauer von freien Neutronen betr¨agt nach Labormessungen τ = (885,7±0,8)s.

2. Ein Neutron kann sich mit einem Proton zu einem Deuteron, dem Kern des schweren Wasserstoffs ²H (Deuterium) verbinden.

n+p ⇒ d+γ (10)

Das Deuteron ist stabil bei einer Bindungsenergie von4_d= 2,23M eV (1,12M eV pro Nukleon). Zum Zeitpunkt des Ausfrierens des Neutron- Proton-Verh¨altnisses bei k_BT = 0,8M eV werden die entstehenden Deuteronen sofort wieder von hochenergetischen Photonen zerst¨ort.

Beginn der Deuteronenproduktion

Es ist also ein weiteres Abk¨uhlen des Universums n¨otig, um die Anzahl der hochenergetischen Photonen zu verringern, so dass Neutronen in Deuteronen gebunden werden k¨onnen und nicht dem Zerfall preisgegeben sind. K¨uhlt das Universums nur sehr langsam ab, so sind nach einer guten Stunde alle Neu- tronen unwiederbringlich zerfallen und man erh¨alt ausschließlich Wasserstoff.

Berechnen wir also nun, bei welcher Temperatur sich ein Gleichgewicht zwi- schen der Bildung von Deuteronen und deren Spaltung durch hochenergeti- sche Photonen einstellt.

Unter der Annahme, dass ein Photon mitE >4_dausreicht, um das Deuteron zu zerst¨oren, ist das Gleichgewicht erreicht, wenn genau so viele Photonen mit einer Energie gr¨oßer oder gleich der Bindungsenergie des Deuterons vor- handen sind wie Elektronen und Neutronen.

Wir ben¨otigen nun also erstmals das Verh¨altnis der Baryonenzahl zur Pho- tonenzahl η.

Mit Hilfe des WMAP-Satelliten wurde dieses aus Messungen der kosmischen Hintergrundstrahlung bestimmt zuη= 6,1·10⁻¹⁰. Das heißt, auf ein Baryon kommen etwa 1,6 Milliarden Photonen.

Die Energie der Photonen wird von der Planck-Verteilung bestimmt. Dem- nach betr¨agt der Anteil der Photonen mit einer Energie gr¨oßer als der Bin- dungsenergie des Deuterons exp−_k^4d

BT

.

Wir m¨ussen also diejenige Temperatur berechnen, bei der ein Anteil von 6,1·10⁻¹⁰ der Photonen in der Lage ist, ein Deuteron zu spalten:

exp − 4_d k_BT

!

= 6,! 1·10⁻¹⁰ (11)

=⇒kBT =− 4d

ln(6,1·10⁻¹⁰) = 0,1M eV (12) Es ist also ganz entscheidend, wie lange es dauert, bis das Universum von k_BT = 0,8M eV (T '9·10⁹K) aufk_BT = 0,1M eV (T '10⁹K) abgek¨uhlt ist. Dazu m¨ussen wir uns nun Gedanken ¨uber die Expansionsrate des Uni- versums in der Zeit der primordialen Nukleosynthese machen.

Expansion im strahlungsdominierten Universum

Die Photonen des Strahlungsfeldes sind Bosonen (Spin ¯h) und gehorchen der Bose-Einstein-Statistik. Es ergibt sich sich f¨ur die Energiedichte:

_r ∝a⁻⁴ ∝T⁴ (13)

mit dem Skalenfaktor a. Daraus erh¨alt man:

T ∝a⁻¹ (14)

Die Dynamik der Expansion wird von der Friedmanngleichung beschrieben:

a˙ a

2

=H₀²

Ω_s a⁴ + Ω_m

a³ + Ω_k a² + Ω_Λ

(15) Die primordiale Nukleosynthese spielt sich zu einem sehr fr¨uhen Zeitpunkt ab, der Skalenfaktor a ist also sehr klein. Es dominiert daher der erste Term mit der Strahlungsdichte Ω_s. Die anderen Terme k¨onnen vernachl¨assigt wer- den. Man spricht in diesem Zusammenhang vom

”strahlungsdominierten“

Universum.

Wir erhalten also:

˙

a² =H₀²Ω_sa⁻² (16)

Diese Differentialgleichung l¨asst sich sehr einfach l¨osen:

a² = 2^qΩ_sH₀t (17)

Damit erh¨alt man:

a∝t¹² (18)

Aus den Gleichungen (14) und (18) folgt:

T1

T₂ =

t2

t₁

¹₂

(19) Dies gilt aufgrund unserer Annahme eines strahlungsdominierten Universums nur f¨ur die Anfangszeit des Universum.

Wir brauchen ein Wertepaar Temperatur-Zeit um die Formel anwenden zu k¨onnen:

Gleichung (14) l¨asst sich auch so schreiben:

a₀ a = T

T₀ (20)

Aus der Messung der kosmischen Hintergrundstrahlung wissen wir, dass das Universum im Moment eine Temperatur von T₀ = 2,728K bei einem Skalen- faktor von a₀ ≡1 hat.

Wir setzen nun a = a₀T₀

T in Gleichung (17) ein und erhalten:

a₀T₀ T

2

= 2H₀^qΩ_st (21)

Mit dem inversen Weltalter H₀ = (4,35·10¹⁷s)⁻¹ und der Energiedichte der Strahlung Ω_s = 4,9·10⁻⁵·h² (h = 0,71) ergibt sich z.B. f¨ur die Zeit t= 1s eine Temperatur von T '2·10¹⁰K bzw. k_BT '2M eV.

Wir erhalten also schließlich eine Formel, die Zeit und Temperatur im strah- lungsdominierten Universum in Beziehung setzt:

1s t

¹₂

= T

2·10¹⁰K = k_BT

2M eV (22)

Abbildung 1: Temperaturentwicklung aufgrund der Expansion des Raumes Zerfall der Neutronen

Nun k¨onnen wir also berechnen, wie sich sich das Verh¨altnis n/p zwischen k_BT = 0,8M eV und k_BT = 0,1M eV ver¨andert.

Zwischen diesen Temperaturen liegt nach Gleichung (22) eine Zeit von etwa 4t = 400s. In dieser Zeit zerf¨allt ein betr¨achtlicher Anteil der Neutronen.

Die Differentialgleichung, die den Neutronenzerfall beschreibt, lautet

˙

n =λn (23)

Daraus erh¨alt man

n(t) =n₀·e^λt (24)

Nach der HalbwertszeitT_1/2 sind statistisch die H¨alfte der Neutronen zerfal- len:

n(T_1/2) =n₀·e^λT1/2 = 1

2n₀ (25)

Daraus erh¨alt man:

λ=−ln 2

T_1/2 =−1

τ (26)

mit der Lebensdauerτ. Nun kann man das Verh¨altnis der Neutronenzahl zur Protonenzahl beim Beginn der Deuteronenbildung (k_BT = 0,1M eV) aus dem Verh¨altnis beim Ausfrieren (k_BT = 0,8M eV) berechnen:

n p

!

kBT=0,1M eV

= n

p

!

kBT=0,8M eV

·exp −4t τ

!

= (27)

= 1 5exp

−400s 885s

' 1

7 (28)

Abbildung 2: Kernreaktionen der primordialen Nukleosynthese Kernbildung

Jetzt, da also Deuteronen vorhanden sind, geschehen eine ganze Reihe von weiteren Reaktion, bei denen Deuteronen, Neutronen und Protonen verar- beitet werden.

Abbildung 2 (nach rechts: Neutronenzahl, nach oben: Protonenzahl) zeigt 12 m¨ogliche Prozesse. Professionelle Berechnungen ber¨ucksichtigen bis zu 40 Kernreaktionen.

Am Ende aller dieser Prozesse steht Helium-4. Dies hat mehrere Gr¨unde:

• Helium-4 hat mit 4⁴_He = 28M eV (7M eV pro Nukleon) die h¨ochste Bindungsenergie unter den leichten Elementen.

• Helium-4 kann nicht abgebaut werden, da es keine stabilen Kerne mit der Massenzahl 5 oder 8 gibt. (siehe Abbildung 3)

Man kann in erster N¨aherung also annehmen, dass alle Neutronen in Helium-4- Kerne eingebaut werden. Daraus erh¨alt man eine erste Absch¨atzung f¨ur den

Abbildung 3: Nuklidkarte, schwarz: stabile Kerne primordialen Massenanteil Y⁴_He von Helium-4:

Y⁴_He = n⁴_He·m⁴_He p·mp+n·mn

m4He'2mp+2mn

'

n 2

n+p ·4 = 2 1 + _n^p

n p'¹

'7 0,25 (29)

Wir erhalten also etwa 75 Massenprozent Wasserstoff und 25 Massenpro- zent Helium. Die anderen leichten Elemente entstehen nur in sehr geringen Mengen. Trotzdem spielen diese eine wichtige Rolle bei der experimentellen Uberpr¨¨ ufung der Vorhersagen, da z.B. Deuterium in Sternen nicht erbr¨utet wird.

Parameter der primordialen Nukleosynthese

Die theoretisch berechneten H¨aufigkeiten der leichten Elemente h¨angen von folgenden Parametern ab:

• Massendichte der baryonischen Materie Ω_b

• Verh¨altnis Baryonenzahl / Photonenzahl η

• Halbwertszeit T_1/2 von freien Neutronen

• Anzahl der Neutrino-Familien N_ν

Die Abh¨angigkeiten kommen wie folgt zustande:

• Je gr¨oßer die Baryonendichte im fr¨uhen Universum ist, desto h¨aufiger sind Zusammenst¨oße zwischen Neutronen und Protonen, was sich auf die Reaktionsraten auswirkt.

• Das Zahlenverh¨altnis von Photonen und Baryonen bestimmt, ab wel- cher Temperatur die Deuteronen nicht mehr zerst¨ort werden. Je mehr Photonen auf ein Baryon kommen, desto mehr besitzen die n¨otige Ener- gie, um ein Deuteron zu spalten.

• Die Halbwertszeit des Neutrons bestimmt, wie viele Neutronen zwi- schen dem Ausfrieren des Neutron-Proton-Verh¨altnisses und dem Be- ginn der Deuteronen-Produktion zerfallen.

• Die Anzahl der Neutrino-Flavor wirkt sich auf die Expansionsrate im strahlungsdominierten Universum aus. (mehr dazu in Kapitel 3) Die Messung der Zerfallszeiten von freien Neutronen im Labor stellt eine große Herausforderung dar.

Zur Erinnerung: Es gibt zwei gebr¨auchliche Arten, die Zerfallszeit anzugeben:

1. Halbwertszeit T_1/2: n(T_1/2) = 1 2n₀ 2. Lebensdauer τ: n(τ) = 1

en₀ Es gilt: T_1/2 =τ·ln 2.

Freie Neutronen werden sofort von Materie absorbiert. Sie m¨ussen daher mit Magnetfallen kontrolliert werden. Aktuell hat man sich auf den schon sehr genauen Wert τ = (885,7±0,8)s geeinigt.

Die aktuellsten Werte f¨ur die kosmischen Parameter η und Ωb liefern Mes- sungen der kosmischen Hintergrundstrahlung durch das satellitengest¨utzte Projekt WMAP.

Das Verh¨altnis der Photonendichte zur Baryonendichte betr¨agt danach η = 6,1· 10⁻⁹ und die Massendichte der baryonischen Materie wurde zu Ω_b = 0,024 bestimmt.

Genaue Vorhersagen der Berechnungen

Die Astrophysiker berechnen die primordialen H¨aufigkeiten mittels gekoppel- ter Ratengleichungen und variieren dabei die erw¨ahnten Parameter.

In Abbildung 4 ist die Abh¨angigkeit der H¨aufigkeiten von der Dichte der ba- ryonischen Materie Ω_b dargestellt. Der erste vertikale Balken (gelb-hellblau:

zwei verschiedene Ver¨offentlichungen) zeigt die Toleranzgrenzen der berech- neten Werte mit den gemessenen H¨aufigkeiten an.

Der zweite senkrechte Strich zeigt die kritische Dichte an, die ben¨otigt wird, um ein euklidisches Universum zu erhalten (k=0).

Die L¨ucke k¨onnte durch die dunkle Materie bzw. die dunkle Energie geschlos- sen werden.

Das Diagramm zeigt, dass der Massenanteil von He-4 nicht sehr empfindlich auf ¨Anderungen von Ω_b reagiert.

Die gr¨oßten Einschr¨ankungen an die Massendichte liefert die H¨aufigkeit von Deuterium.

Abbildung 4: Primordiale H¨aufigkeiten in Abh¨angigkeit von der Baryonen- dichte

Primordiale Nukleosynthese — In K¨urze

Der schematische Ablauf der primordialen Nukleosynthese l¨asst sich stark verk¨urzt in etwa so darstellen:

• Zuerst sind die Temperaturen so hoch, dass Neutronen und Protonen praktisch gleich h¨aufig vorkommen.

• Mit dem Sinken der Temperatur verschiebt sich das thermodynamische Gleichgewicht allm¨ahlich auf die Seite der Protonen.

• Bei einem Verh¨altnis ⁿ_p = ¹₅ friert das Verh¨altnis aus, es entstehen ab jetzt keine Neutronen mehr.

Die Neutronen zerfallen nun. Deuteronen k¨onnen noch nicht existieren, dazu ist es noch zu heiß.

• Schließlich k¨onnen Deuteronen gebildet werden (jetzt ist ⁿ_p = ¹₇), oh- ne sofort von Photonen gespalten zu werden. Die Deuteronen werden uber eine Reihe von Kernreaktion haupts¨¨ achlich in das stabile Helium-4 weiterverarbeitet. Den zeitlichen Verlauf zeigt Abbildung 5.

Abbildung 5: Zeitlicher Verlauf der primordialen Nukleosynthese

2.2 Praxis

Wir haben ausf¨uhrlich behandelt, zu welchen Vorhersagen das Urknallmodell f¨ur die primordialen H¨aufigkeiten der Elemente kommt. Der h¨ochste Richter einer Theorie ist jedoch das Experiment. Betrachten wir nun, mit welchen Methoden die Astrophysiker versuchen, die primordialen H¨aufigkeiten der Elemente zu bestimmen.

Das prinzipielle Problem besteht darin, dass das Universum seit seinen An- fangszeiten eine chemische Evolution durchlaufen hat. In Sternen wurden Wasserstoff und Helium-4 zu schwereren Kernen bis hin zum Eisen (Massen- zahl 56) fusioniert. Alle noch schwereren Kerne wurden in Sternexplosionen, den sogenannten Supernovae gebildet. Die Nukleosynthese in Sternen ist zwar relativ ineffizient - nur 1-2% der Neutronen und Protonen sind nicht in Was- serstoff oder Helium gebunden - trotzdem werden genaue Messungen durch die chemische Entwicklung erschwert.

Man sucht also f¨ur die Messungen der primordialen H¨aufigkeit in Abh¨angig- keit vom jeweiligen Element Objekte, von denen man glaubt, dass in ihnen noch die primordialen Zusammensetzung erhalten ist, oder bei denen zumin- dest eine Extrapolation auf den Urzustand m¨oglich scheint.

Wir beginnen mit Helium-4, da dieses das h¨aufigste primordiale Element nach Wasserstoff ist, und auch historisch als erstes untersucht wurde. Da- nach behandeln wir die sehr viel selteneren Stoffe Deuterium, Helium-3 und Lithium.

2.2.1 Helium-4

Helium-4 wird in Sternen sowohl zu schwereren Kernen fusioniert als auch aus Wasserstoff gebildet. Insgesamt wird dadurch der Helium-4-Anteil im Laufe der Zeit leicht erh¨oht.

Die H¨aufigkeit von Helium-4 wird aus den Emissionsspektren von sogenann- ten H II-Gebieten bestimmt. Hinter diesem Begriff verbergen sich Wolken aus ionisiertem Wasserstoff. Etwa 20-50% der interstellaren Materie befindet sich in H II-Gebieten.

Der Metallgehalt steigt mit anhaltender Sternaktivit¨at allm¨ahlich an. Man erkennt tats¨achlich einen Zusammenhang zwischen Metallizit¨at und Helium- Anteil. (Abbildung 6)

Abbildung 6: Helium-4 in Abh¨angigkeit vom Sauerstoffgehalt Man tr¨agt [He/H] gegen z.B. [O/H] auf, und f¨uhrt eine lineare Interpolation gegen den Wert [O/H]=0 durch.¹ Aus dem Achsenabschnitt erh¨alt man so den auf den primordialen Zustand zur¨uckgerechneten Wert von [He/H].

Man erh¨alt einen primordialen Massenanteil von Helium-4 von

Y_p = 0,238±0,002±0,005 (30) wobei die erste Fehlerangabe den statistischen und die zweite den systema- tischen Fehler darstellt.

2.2.2 Deuterium

Deuterium ist um vier Gr¨oßenordnungen seltener als Helium-4. Nach langen Uberlegungen wurde erkannt, dass es in Sternen nicht gebildet, sondern nur¨ abgebaut wird. Man ist also darauf angewiesen, m¨oglichst weit in die Vergan- genheit des Universums zu blicken, als die H¨aufigkeit von Deuterium noch n¨aher beim primordialen Wert lag.

1In der Kosmologie werden alle Elemente jenseits von Helium als Metalle bezeichnet.

Das Mittel der Wahl ist die Absorptionsspektroskopie einer Wasserstoff- wolke gegen das Licht eines hochrotverschobenen Quasars. Quasare sind weit entfernte aktive Galaxien, die im sichtbaren Bereich des Lichtes na- hezu sternf¨ormig erscheinen. Die ausgep¨agteste Absorptionslinie bei solchen Messungen ist die Lyman-α-Linie des Wasserstoffs.

Die entsprechende Linie des Isotops Deuterium ist abh¨angig von der Rotver- schiebung nur leicht gegen die Ly-α-Linie verschoben.

Die neuesten Messungen ergeben ein Verh¨altnis von Deuterium zu Wasser- stoff von

[D/H] = (2,7±0,3)·10⁻⁵ (31)

2.2.3 Helium-3

Noch schwieriger ist das Auffinden von Helium-3, was zum Teil auch an der großen ¨Ahnlichkeit zum sehr viel h¨aufigeren Isotop Helium-4 liegt. Man hat Helium-3 bisher nur im Sonnensytem sowie in H II-Wolken in unserer Galaxie beobachten k¨onnen.

Es ist nicht v¨ollig gekl¨art, welche Entwicklung die H¨aufigkeit von Helium-3 aufgrund der stellaren Nukleosynthese erfahren hat. Die H¨aufigkeit von He- lium-3 h¨angt zumindest kaum vom Abstand vom Zentrum der Milchstraße ab, in dem eine h¨ohere Sternaktivit¨at vorherrscht als in den Randgebieten.

Die relative H¨aufigkeit von Helium-3 liegt in der gleichen Gr¨oßenordnung wie bei Deuterium und wird bestimmt zu

[³He/H] = (1,1±0,2)·10⁻⁵ (32)

Abbildung 7: H¨aufigkeit von Helium-3 in der Milchstraße

2.2.4 Lithium

Die H¨aufigkeit des primordialen Lithium-7 wird durch die Vermessung des Spektrums von metallarmen, heißen Sternen der Population II in der Milch- straße bestimmt. Sterne der Population II zeichnen sich durch ihr hohes Alter aus. Man findet sie meist im Halo von Galaxien oder in deren Zentrum.

Abbildung 8: Lithium-7 in Abh¨angigkeit vom Eisengehalt

Das interessante an den Messungen der Lithium-H¨aufigkeit ist, dass die H¨aufigkeit des nicht in der primordialen Nukleosynthese entstandenen Lithium- 6 mit der Metallizit¨at steigt, andererseits aber die H¨aufigkeit des primordialen Lithium-7 in weiten Bereichen nicht von der Metallizit¨at des Sterns abh¨angt.

(Abbildung 8, links)

Lediglich bei einem sehr hohen Eisengehalt erh¨alt man eine Erh¨ohung des Lithium-7-Anteils (Abbildung 8, rechts), was man auf die Entstehung von Lithium-7 in der interstellaren Nukleosynthese zur¨uckf¨uhrt. Dabei werden schwerere Kerne von hochenergetischer Strahlung aufgespalten.

Man erwartet also f¨ur Lithium-7 eigentlich eine gute ¨Ubereinstimmung mit den theoretischen Werten. Allerdings findet sich hier die gr¨oßte Abweichung zwischen Theorie und Experiment. Es ist aber bereits bemerkenswert, dass die Gr¨oßenordnung von [Li/H]∝10⁻¹⁰ubereinstimmt, da es sich bei Lithium-¨ 7 um das mit einem Abstand von 10⁵ um das seltenste primordiale Element handelt.

Abbildung 9: Abweichung zwischen dem von WMAP bestimmten Baryon-

3 Anzahl der Neutrino-Flavor

Sowohl das Standardmodell der Kosmologie als auch das Standardmodell der Teilchenphysik grenzen die Anzahl der verschiedenen Neutrino-Flavor durch ganz verschiedene Vorgehensweisen und ¨Uberlegungen ein.

Hier ber¨uhren sich also die Physik der gr¨oßten Dimensionen und die Physik der kleinsten Dimensionen.

Interessanterweise entsteht aus dieser Verbindung kein Widerspruch, viel- mehr befruchten sich die beiden Disziplinen gegenseitig.

3.1 Kosmologie

Die primordiale Nukleosynthese ist entscheidend von der Expansionsrate H = ˙a/a des fr¨uhen Universums abh¨angig.

Diese Expansionsrate h¨angt nach der Friedmanngleichung (der Kr¨ummungs- term kann vernachl¨assigt werden) von der vorhandenen Energiedichte ρ ab,

H²(t) = 8πGρ

3 (33)

wobei im strahlungsdominierten Universum neben den Photonen in guter N¨aherung nur die ultra-relativistischen Teilchen zur Energiedichte beitragen.

Dazu geh¨oren neben Elektronen und Positronen die Neutrinos, die sich in der fr¨uhen Phase des Universums mit ultra-relativistischen Geschwindigkeiten bewegen.

Diese Teilchen liefern einen Beitrag zur Gr¨oße gef f, welche die effektiven inneren Freiheitsgrade angibt. Mit der Beziehung ρ= ^π₃₀² g_{ef f} ^kB_¯hc^T4, die wir im Anhang genauer begr¨unden, folgt:

H²(t) = 8πG 3 · π²

30g_{ef f} kBT

¯ hc

!4

(34)

H ∝ √

g_{ef f} (35)

Das heißt, je h¨oher die Zahl der Neutrino-Flavor N_ν ist, desto schneller ex- pandiert das Universum, und desto schneller k¨uhlt es ab.

Dadurch verstreicht zwischen dem Ausfrieren des Neutron-Proton-Verh¨alt- nisses und der ersten Bildung von Deuteronen weniger Zeit. Es stehen also mehr Neutronen zur Bildung von Helium zur Verf¨ugung und der Helium- Anteil steigt.

Abbildung 10: Abh¨angigkeit der primordialen Helium-Ausbeute von der Anzahl der Neutrino-Flavor Nν und der Baryonendichte Ωb

3.2 Teilchenphysik

Im Labor wurden bisher drei verschiedene Arten von Neutrinos (νe, νµ, ντ) experimentell nachgewiesen, das Tau-Neutrino (ν_τ) dabei erst im Jahr 2000 am Fermilab im Experiment DONUT (DirectObservation of theNU Tau).

Im Teilchenbeschleuniger LEP (Large Electron-Positron Collider) am CERN wurde zwischen 1989 und 2000 der Zerfall des Z-Bosons (Z⁰) in vier verschie- denen Experimenten (ALEPH, DELPHI, L3, OPAL) untersucht.

Dabei ergab sich als Ergebnis f¨ur die Anzahl der Neutrino-Flavor:

N_ν = 2,991±0,016 (36)

Abbildung 11: Feynman-Diagramm zur Elektron-Positron-Paar- vernichtung

Zu den Details der N_ν-Bestimmung in der Teilchenphysik

Elektronen und Positronen umkreisen im LEP entgegensetzt den Beschleu- nigerring mit einem Umfang von 27 km und werden zur Kollision gebracht.

Dabei kommt es zur Paarvernichtung und es entsteht entweder ein Photon γ oder ein Z-Boson, das ungeladene Austauschteilchen der schwachen Wech- selwirkung.

Beim LEP war nun die Energie der Elektronen und Positronen so justiert, dass sie genau der Masse des Z-Teilchens (91.1876±0.0021)GeV entsprach.

Man spricht in diesem Fall von Resonanz und die Ausbeute an Z⁰ ist maxi- mal.

Das Z⁰ ist instabil zerf¨allt nach Z⁰ →ff¯in Fermion-Antifermion-Paare.

Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen nach der Zeitt noch nicht zerfallen ist betr¨agt:

W(t) = N(t)

N₀ =e^τt (37)

mit der mittleren Lebensdauer τ.

Ein instabiles Teilchen besitzt keine scharfe Masse m₀, sondern eine Mas- senverteilung um m₀, welche durch die Zerfallsbreite Γ charakterisiert ist.

Zwischen der mittleren Lebensdauer τ und der Zerfallsbreite Γ besteht die Beziehung

Γ = ¯h

τ (38)

F¨ur den Zerfall des Z⁰-Teilchens gilt:

Γ^total_Z =^X

f

Γ_f (39)

mit den partiellen Zerfallsbreiten Γ_f.

Das Z-Boson kann dabei in folgende Teilchen-Antiteilchen-Paare zerfallen:

• Quarks: Z⁰ →uu, d¯ d, c¯¯ c, s¯s, b¯b

(der Zerfall int¯t ist wegen der hohen Masse des top-Quarks nicht m¨oglich) Γq= Γu+ Γ_d+ Γs+ Γc+ Γ_b (40)

• Leptonen: Z⁰ →e⁻e⁺, µ⁻µ⁺, τ⁻τ⁺

Γ_l= Γe+ Γµ+ Γτ (41)

• Neutrinos: Z⁰ →νν¯

Diese Zerf¨alle k¨onnen nicht beobachtet werden, da Neutrinos nur extrem schwach mit Materie wechselwirken. Mit der AnzahlNν von Neutrino-Flavor ergibt sich

Γ_ν =N_ν ·Γ_ν (42)

Aus unserer Betrachtung folgt:

Γ^total_Z = (Γ_q+ Γ_l) +N_ν ·Γ_ν (43) Damit erhalten wir die Anzahl der Neutrino-Flavor:

Nν = 1 Γ_ν

Γ^total_Z −Γq−Γl

(44)

wobei Γ^total_Z , Γ_q, Γ_l im Experiment gemessen werden und Γ_ν theoretisch be- rechnet wird.

Die Zerfallsbreiten Γ misst man durch die Bestimmung des Wirkungsquer- schnitts σ als Funktion der Schwerpunktsenergie E_cm bei der Z⁰-Resonanz.

(siehe auch Abbildung 12)

Abbildung 13 zeigt den zeitlichen Verlauf der Angaben f¨ur die Anzahl der Neutrino-Flavor N_ν, getrennt nach Kosmologie und Teilchenphysik.

Abbildung 12: Kurven f¨ur N_ν = 2,3,4 mit den Messwerten der LEP- Versuche

Abbildung 13: Entwicklung der Angaben f¨ur die Anzahl der Neutrino- Flavor Nν; gestrichelt: Kosmologie, durchgezogen: Teilchenphysik

4 Zusammenfassung

Die vorausgesagten primordialen H¨aufigkeiten der leichten Elemente sind durchaus mit den Messungen konsistent. Damit sind diese Teilchen die bisher

¨altesten Zeugen des Urknalls.

Die Messungen erreichen jedoch nicht die Pr¨azision, mit der die kosmische Hintergrundstrahlung j¨ungst durch die Projekte COBE und WMAP unter- sucht wurde.

Die Eingrenzung der Neutrino-Flavor durch die Teilchenphysik und parallel dazu mit unabh¨angigen Methoden von der Kosmologie auf nunmehr fast ex- akt 3 steht f¨ur den Erfolg des noch jungen Gebietes der Astroteilchenphysik.

Literatur

[1] A. Liddle: An Introduction to Modern Cosmology. Kapitel 11 und 12 (84 US 2000 L712 I6)

[2] H. G¨onner: Einf¨uhrung in die Kosmologie (84/US 2000 G595)

[3] L. Bergstr¨om and A. Goober: Cosmology and Particle Astrophysics (84 US 2000 B 499)

[4] W. Gebhardt: Kosmologie. Vorlesungsskript

[5] D. Schramm, M. Turner: Big Bang Nucleosynthesis enters Precision Era (astro-ph/9706069)

zur Teilchenphysik:

[6] N. Schmitz: Neutrinophysik (84 UO 6340 S355)

[7] Precision Electroweak Measurements on the Z-Resonance (hep-ex/0509008)

[8] Final Tau-neutrino Results from the DONUT-Experiment Physical Review D 78, 052002 (2008)

Anhang: Gleichgewichtsthermodynamik

Im folgenden werden einige thermodynamische Beziehungen angegeben, die beim Berechnen des Neutron-Proton-Verh¨altnisses sowie bei der Bestimmung der Expansionsrate im strahlungsdominierten Universum von Nutzen sind.

Teilchendichte

In der statistischen Mechanik erh¨alt man folgenden Ausdruck f¨ur die Teil- chendichte n:

n = g (2π¯hc)³

Z

f(p)d³p (45)

mit den inneren Freiheitsgraden g und

f(p) = 1

exp^E−Φ_k

BT

±1 (46) (+ f¨ur Fermionen, - f¨ur Bosonen)

Im nichtrelativistischen Grenzfall (k_BT mc²) folgt sowohl f¨ur Bosonen als auch f¨ur Fermionen:

n=g mk_BT 2π¯h²

!³₂

exp Φ−mc² k_BT

!

(47)

Energiedichte

Die Energiedichte ρ berechnet sich wie folgt:

ρ= g (2π¯hc)³

Z

f(p)E(p)d³p (48)

Im relativistischen Grenzfall (k_BT mc²,k_BT Φ) ergibt sich:

ρ = π²

30g k_BT

¯ hc

!3

(Bosonen) (49)

ρ = 7 8 ·π²

30g kBT

¯ hc

!3

(Fermionen) (50)

Im nichtrelativistischen Grenzfall (k_BT mc²) folgt sowohl f¨ur Bosonen als auch f¨ur Fermionen:

ρ=mc²·n =mc²·g mk_BT 2π¯h²

!³₂

exp Φ−mc² kBT

!

(51)

Wenn mehrere Teilchensorten im thermischen Gleichgewicht vorhanden sind, so k¨onnen diejenigen Teilchen, die sich nicht mit ultra-relativistischen Ge- schwindigkeiten bewegen, vernachl¨assigt werden, da der Ausdruck f¨ur die Energiedichte in diesem Fall exponentiell abf¨allt.

Ber¨ucksichtigt man, dass die verschiedenen Teilchen i bei einer Gleichge- wichtstemperatur T verschiedene Temperaturen T_i haben k¨onnen (dies ist z.B. bei den Neutrinos nach deren Ausfrieren der Fall), so folgt aus den Glei- chungen (49) und (50) f¨ur die Gesamtenergiedichte ρ:

ρ= π²

30g_{ef f} k_BT

¯ hc

!4

(52) mit den effektiven inneren Freiheitsgraden g_{ef f}:

g_{ef f} = ^X

Bosonen

g_i

T_i T

4

+ 7

8 · ^X

F ermionen

g_i

T_i T

4

(53)