Jürgen Tietze. Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

Jürgen Tietze

Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik

Aus dem Programm ____________ __...

Mathematik

Lineare Algebra von A. Beutelspacher Stochastik für EInsteiger vonN. Henze

Elementare Elnführun,ln die Wahrscheinlichkeitsrechnun, vonK.Bosch

Elementare Elnführun,ln die An,ewandte Statistik vonK. Bosch

Statistische Datenanalyse von W. A. Stahel

Numerische Mathematik für Anfän,er vonG. Opfer

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1 - 3 von F. Pfuff

Elnführun,ln die angewandte WIrtschaftsmathematik von J. Tietze

Elnführun,ln die FInanzmathematik von J. Tietze

Übun,sbuch zur FInanzmathematik von

J.

Herzberger

Incenleurmathematlk kompakt von W. Richter

Mathematik zum Studlenbeclnn von A. Kemnitz

vieweg _______________ --"

Jürgen Tietze

Einführung in die angewandte

Wirtschaftsmathematik

8., durchgesehene Auflage

Mit 500 Abbildungen und 1300 Übungs aufgaben

~

vleweg

Prof. Dr. Jürgen Tietze Fachbereich Wirtschaft der Fachhochschule Aachen Eupener Straße 70 52066 Aachen tietze@fh-aachen.de

1. Auflage 1988

2., verbesserte Auflage 1990 3., verbesserte Auflage 1991 4., verbesserte Auflage 1992

5., neubearbeitete und erweiterte Auflage 1995 6., verbesserte Auflage 1996

7., durchgesehene Auflage 1998 8., durchgesehene Auflage 1999

Alle Rechte vorbehalten

© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweiglWiesbaden, 1999 Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH.

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http://www.vieweg.de

Konzeption und Layout des Umschlags: Ulrike Weigel, www.CorporateDesiJ!nGroup.de Gedruckt auf säurefreiem Papier

ISBN 978-3-528-741 64-8 ISBN 978-3-322-9359 1-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-322-93591-5

Vorwort zur 8. Auflage

v

"Mathematik = Höhere Faulheit:

ständig harte Arbeit auf der Suche nach dem leichteren Weg ((

(Graffito auf einer Hörsaalbank)

Ein wirtschaftswissenschaftliches Studium ist heutzutage ohne Mathematik (als Hilfswissenschaft) un- denkbar, mathematische Beschreibungs-, Erklärungs- und Optimierungsmodelle beherrschen große Teile der ökonomischen Theorie und in zunehmendem Maße auch der ökonomischen Praxis.

Mathematik in diesem Zusammenhang bedeutet einerseits das Problem, mathematische Ideen zu ver- stehen, um die dazugehörigen Techniken zu beherrschen und andererseits, diese zunächst abstrakten Techniken zielgerichtet und sinnvoll für ökonomische Anwendungen nutzbar zu machen.

Das nun in 8. Auflage vorliegende Buch - als Lehr-, Arbeits- und Übungsbuch vorrangig zum Selbststu- dium konzipiert - versucht, beide Aspekte zu berücksichtigen durch

• ausführliche Darstellung, Begründung und Einübung mathematischer Grundelemente und öko- nomisch relevanter mathematischer Techniken aus der Analysis (d.h. der Differential- und Inte- gralrechnung), der linearen Algebra und der linearen Optimierung sowie

• ausführliche Demonstration der Anwendbarkeit mathematischer Instrumente auf Beschreibung, Erklärung, Analyse und Optimierung ökonomischer Vorgänge, Situationen und Probleme.

Dieses Buch wendet sich daher sowohl an Studierende der ersten Semester, die das notwendige mathe- matische Elementarrüstzeug von Grund auf verstehen, wiederholen, einüben und ökonomisch anwen- den möchten als auch an fortgeschrittene Studierende oder quantitativ orientierte Wirtschaftspraktiker, die sich über die Fülle der Anwendungsmöglichkeiten mathematischen Instrumentariums auf ökonomi- sche Sachverhalte informieren möchten.

Jahrelange Erfahrungen mit Teilnehmem meiner Vorlesungen und Übungen in Finanz- und Wirt- schaftsmathematik bzw. Operations Research haben mich darin bestärkt, ein Buch für den (zunächst) nicht so bewanderten Leser zu schreiben (und nicht für den mathematischen Experten). Wenn daher auch in manchen Fällen die mathematischen Beweise nicht streng sind oder fehlen, so habe ich mich doch bemüht, jeden mathematischen Sachverhalt in einer das Verstehen erleichternden Weise zu begründen und plausibel herzuleiten. Die daraus resultierende relativ breite (weil auf Verständnis abzielende) Darstellung dürfte allen den Leserinnen und Lesern entgegenkommen, die sich im Selbststu- dium die Elemente der Wirtschaftsmathematik aneignen wollen.

Weiterhin habe ich bewußt auf das eine oder andere Detail traditioneller Mathematikdarstellungen verzichtet, so auf die Theorie der Folgen und Reihen, auf die sog. Epsilontik oder auf die Theorie der Determinanten, auf Stoffinhalte also, die zwar von prinzipiellem mathematischen Interesse sind, nicht aber im Vordergrund ökonomischer Anwendungen stehen und daher dem Studienanfänger (und erst recht dem Praktiker) als unnötiger theoretischer Ballast erscheinen müssen.

Während die 5. Auflage vollständig neugesetzt und in vielen Teilen neubearbeitet, erweitert und um- strukturiert wurde, habe ich mich bei der 6. Auflage im wesentlichen auf umfangreiche Textkorrekturen und kleinere Ergänzungen beschränkt. Sowohl für die 7. als auch für die vorliegende 8. Auflage wurde der Text erneut kritisch durchgesehen, überprüft und verbessert. Das bis zur 4. Auflage noch enthal- tene Kapitel über die Finanzmathematik ist ersetzt (und erweitert) worden durch den im gleichen Verlag erschienenen separaten Band "Einführung in die Finanzmathematik".

VI VOlwort Der Text enthält eine Vielzahl ergänzender Beispiele und Übungsaufgaben, die das Gefühl für die Beherrschung und die Anwendbarkeit des mathematischen Kernstoffes stärken sollen. Für den wesent- lich erweiterten Aufgabenteil (mit mehr als 1300 Aufgaben in aber 300 Übungsteilen) ist ein eigenes Lösungsbuch erschienen:

Tietze, J.: Einführung in die angewandte Wirtschaftsrnathematik - Lösungsbuch -

Alano Verlag Aachen, 8. Aufl. 1998 , ISBN 3-89399-245-6 (oder höhere Auflage).

Zum Gebrauch des Buches: Um die Lesbarkeit des Textes zu verbessern, wurde die äußere Form struk- turiert:

Definitionen, mathematische Sätze und

I

wichtige Ergebnisse

I

sind jeweils eingerahmt.

Bemerlamgen sind in kursiver Schrifttype gehalten.

I

^Beispiele sind mit einem senkrechten Strichbalken am linken Rand gekennzeichnet.

Definitionen (Def.) , Sätze, Bemerkungen (Bem.), Formeln, Beispiele (Bsp.), Aufgaben (Aufg.) und Abbildungen (Abb.) sind in jedem erststelligen Unterkapitel ohne Rücksicht auf den Typ fortlaufend durchnumeriert. So folgen etwa in Kap. 6.2 nacheinander Bsp. 6.2.15, Abb. 6.2.16, Bem. 6.2.17, Def.

6.2.18, Abb. 6.2.19 usw. Ein '" an einer Aufgabe weist auf einen etwas erhöhten Schwierigkeitsgrad hin. Zahlen in eckigen Klammern, z.B. [67], beziehen sich auf das Literaturverzeichnis am Schluß des Buches.

Die reproduktionsfähige Druckvorlage hat in monatelanger unermüdlicher und sachkundiger Weise Herr cand. rer. pol. Norbert Breker (mit Hilfe des wissenschaftlichen Textverarbeitungssystems WiTEX 4.01) gestaltet. Hilfreiche Unterstützung erhielt ich von Herrn cand. rer. pol. Manfred Havenith (digitale Bearbeitung der Graphiken) sowie von Herrn cand. rer. pol. Roland Hansen (Korrektur).

Ihnen allen danke ich herzlich.

Die 2-D-Graphiken wurden zu einem kleinen Teil mit TurboPlot 7.5 neu erstellt, zum größten Teil aus den vorhandenen Tusche-Originalen per Scanner digitalisiert und nach teilweise mehrfacher Kon- vertierung und Bearbeitung schließlich in WiTEX 4.01 übernommen und dort neu beschriftet. Die 3-D- Darstellungen in Kapitel 3 wurden mit der Graphiksoftware GRAPHDAT, einer Entwicklung des Instituts für Geometrie und Praktische Mathematik der RWTH Aachen erstellt. Für seine diesbezügli- che Unterstützung danke ich Herrn Prof. Dr. Reinhard Wodicka vielmals.

Dieses Buch hätte nicht entstehen können ohne Herma, die mir in vielen kritischen Situationen ihre Kraft zum Weitermachen lieh.

Zum Schluß gebührt mein Dank dem Vieweg Verlag Wiesbaden und hier besonders Frau Ulrike Schrnickler-Hirzebruch für die gute und verständnisvolle Zusammenarbeit.

Die Hinweise vieler Leserinnen und Leser auf Fehler und Verbesserungsmöglichkeiten in den vorange- henden Auflagen waren für mich sehr wertvoll. Da ich allerdings damit rechnen muß, daß trotz aller Sorgfalt der Fehlerteufel (bzw. die Fehlerteufelin) nicht untätig geblieben sind, danke ich schon jetzt allen Leserinnen und Lesern für entsprechende Korrekturhinweise oder Verbesserungsvorschläge, z.B. per Telefon (0241-165615), Fax (0241-165606) oder eMail (tietze@fh-aachen.de).

Aachen, im Mai 1999 Jürgen Tietze

VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort... V Symbolverzeichnis ... XV Abkürzungen, Variablennamen, griechisches Alphabet ... XVI 1 Grundlagen und Hilfsmittel... 1-1

1.1 Mengen und Aussagen ... ,. . ... . .. . ... 1-1 1.1.1 Mengenbegriff . . . 1-1 1.1.2 Spezielle Zahlenmengen ... 1-3 1.1.3 Aussagen und Aussageformen ... 1-5 1.1.4 Verknüpfungen von Aussagen und Aussageformen ... 1-9 1.1.4.1 Konjunktion. . . 1-9 1.1.4.2 Disjunktion... 1-10 1.1.4.3 Negation. . . 1-11 1.1.4.4 Zusammengesetzte Aussagen.. ... . ... .... 1-11 1.1.5 Folgerung (Implikation) und Äquivalenz. . . 1-14 1.1.5.1 Folgerung (Implikation) ... 1-14 1.1.5.2 Äquivalenz. . . 1-16 1.1.6 Relationen zwischen Mengen ... . . . 1-17 1.1.6.1 Gleichheit zweier Mengen.. ... ... . .... 1-17 1.1.6.2 Teilmengen ... 1-17 1.1.7 Verknüpfungen (Operationen) mit Mengen ... 1-18 1.1.7.1 Durchschnittsmenge . . . 1-18 1.1.7.2 Vereinigungsmenge ... 1-18 1.1.7.3 Restmenge (Differenzmenge) ... 1-19 1.1.8 Paarmengen, Produktmengen ... 1-21 1.2 Arithmetik im Bereich der reellen Zahlen ... 1-23

1.2.1 Grundregeln (Axiome) und elementare Rechenregeln

in IR . . . 1-23 1.2.1.1 Axiome. . . 1-23 1.2.1.2 Elementare Rechenregeln für reelle Zahlen .,. 1-26 1.2.1.3 Betrag einer Zahl ... 1-31 1.2.1.4 Das Summenzeichen ... 1-32 1.2.1.5 Das Produktzeichen ... 1-35 1.2.1.6 Fakultät und Binomialkoeffizient ... 1-35 1.2.2 Potenzen ... 1-37 1.2.2.1 Potenzen mit natürlichen Exponenten ... 1-37 1.2.2.2 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten ... 1-40 1.2.2.3 Potenzen mit rationalen (gebrochenen)

Exponenten; Wurzeln ... 1-41

VIII Inhaltsverzeichnis 1.2.2.4 Potenzen mit reellen Exponenten ... 1-44 1.2.3 Logarithmen... 1-46 1.2.3.1 Begriff des Logarithmus ... 1-46 1.2.3.2 Logarithmenbasen ... 1-47 1.2.3.3 Rechenregeln für Logarithmen ... 1-48 1.2.3.4 Logarithmen zu beliebiger Basis ... 1-50 1.2.4 Gleichungen ... 1-51

1.2.4.1 Allgemeines über Gleichungen und

deren Lösungen ... 1-51 1.2.4.2 Äquivalenzumformungen ... 1-54 1.2.4.3 Lineare Gleichungen ax + b

=

cx + d . . . 1-58 1.2.4.4 Lineare Gleichungssysteme (LGS) ... 1-59 1.2.4.5 Quadratische Gleichungen ax² + bx + c

=

0 .... 1-63 1.2.4.6 Gleichungen höheren als zweiten Grades . . . 1-67 1.2.4.7 Wurzelgleichungen .... . . 1-70 1.2.4.8 Exponentialgleichungen... 1-71 1.2.4.9 Logarithmengleichungen . . . 1-72 1.2.4.10 Bruchgleichungen . . . 1-73 1.2.5 Ungleichungen... 1-74 1.2.6 Wo steckt der Fehler? ... 1-78 1.2.6.1 Fehler bei Termumformungen ... 1-78 1.2.6.2 Fehler bei der Lösung von Gleichungen .. . . 1-80 1.2.6.3 Fehler bei der Lösung von Ungleichungen. . . 1-82

2 Funktionen einer unabhängigen Variablen

... 2-1 2.1 Begriff und Darstellung von Funktionen ... 2-1 2.1.1 Funktionsbegriff . . . 2-1 2.1.2 Graphische Darstellung von Funktionen ... 2-6 2.1.3 Abschnittsweise definierte Funktionen ... 2-11 2.1.4 Umkehrfunktionen . . . .. . .. . ... . . . .. . . ... . . .. . . 2-14 2.1.5 Implizite Funktionen ... 2-19 2.1.6 Verkettete Funktionen. . . 2-20 2.2 Eigenschaften von Funktionen ... 2-22 2.2.1 Beschränkte Funktionen ... 2-22 2.2.2 Monotone Funktionen . . . 2-23 2.2.3 Symmetrische Funktionen ... 2-24 2.2.4 Nullstellen von Funktionen. . . 2-25 2.3 Elementare Typen von Funktionen ... 2-26 2.3.1 Ganzrationale Funktionen (Poynome) ... 2-26 2.3.1.1 Grundbegriffe, Horner-Schema ... 2-26 2.3.1.2 Konstante und lineare Funktionen ... 2-28 2.3.1.3 Quadratische Funktionen ... 2-35 2.3.1.4 Nullstellen von Polynomen und

Polynomzerlegung ... 2-38 2.3.2 Gebrochen-rationale Funktionen ... 2-41 2.3.3 Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen) ... 2-43

Inhaltsverzeichnis IX 2.3.4 Exponentialfunktionen... 2-46 2.3.5 Logarithmusfunktionen .. . . 2-48 2.3.6 Trigonometrische Funktionen

(Kreisfunktionen, Winkelfunktionen) .. . . 2-49 2.4 Iterative Gleichungslösung und Nullstellenbestimmung

(Regula falsi) ... 2-55 2.5 Beispiele ökonomischer Funktionen ... 2-59

3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen

... 3-1 3.1 Begriff von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen . 3-1 3.2 Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhängigen

Variablen ... 3-2 3.3 Homogenität von Funktionen mit mehreren unabhängigen

Variablen ... 3-13

4 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen

... 4-1 4.1 Der Grenzwertbegriff . . . 4-1 4.1.1 Grenzwerte von Funktionen für x ~ xo •••.••••••••••• 4-2 4.1.2 Grenzwerte von Funktionen für x ~ 00 (bzw. x ~ - 00) .. 4-6 4.2 Grenzwerte spezieller Funktionen . . . 4-13 4.3 Die Grenzwertsätze und ihre Anwendungen.. . . . .. . . .. . . 4-15 4.4 Der Stetigkeitsbegriff . . . 4-20 4.5 Unstetigkeitstypen ... 4-22 4.6 Stetigkeitsanalyse ... 4-24 4.7 Stetigkeit ökonomischer Funktionen. . . 4-27 4.8 Asymptoten. . . 4-30

5 Differentialrechnung für Funktionen mit einer

unabhängigen Variablen - Grundlagen und Technik

5-1 5.1 Grundlagen der Differentialrechnung. . . 5-1 5.1.1 Problemstellung. . . 5-1 5.1.2 Durchschnittliche Funktionssteigung

(Sekantensteigung) und Differenzenquotient ... 5-2 5.1.3 Steigung und Ableitung einer Funktion

(Differentialquotient) ... 5-3 5.1.4 Differenzierbarkeit und Stetigkeit. . . 5-7 5.2 Technik des Differenzierens ... 5-9 5.2.1 Die Ableitung der Grundfunktionen ... 5-9 5.2.1.1 Ableitung der konstanten Funktion f(x)

=

C ... 5-9 5.2.1.2 Ableitung der Potenzfunktion f(x)

=

x" . . . 5-10 5.2.1.3 Ableitung der Exponentialfunktion f(x)

=

^{eX • • • 5-12}

5.2.1.4 Ableitung der Logarithmusfunktion f(x)

=

^{In x. 5-12}

5.2.2 Ableitungsregeln ... 5-14 5.2.2.1 Faktorregel. . . 5-14 5.2.2.2 Summenregel . . . 5-15 5.2.2.3 Produktregel ... 5-16

x

Inhaltsverzeichnis 5.2.2.4 Quotientenregel. . . 5-17 5.2.2.5 Kettenregel ... 5-19 5.2.3 Ergänzungen zur Ableitungstechnik ... 5-23 5.2.3.1 Ableitung der Umkehrfunktion ... 5-23 5.2.3.2 Ableitung allgemeiner Exponential- und

Logarithmusfunktionen .. . . 5-24 5.2.3.3 Logarithmische Ableitung. . . 5-27 5.2.4 Höhere Ableitungen ... 5-28 5.2.5 Zusammenfassung der wichtigsten Differentiationsregeln 5-30 5.3 Grenzwerte bei unbestimmten Ausdrücken - Regeln

von de L'Höspital ... 5-31 5.4 Newton-Verfahren zur näherungsweisen Ermittlung

von Nullstellen einer Funktion ... 5-39 6 Anwendungen der DitTerentialrechnung bei Funktionen

mit einer unabhängigen Variablen . . . 6-1 6.1 Zur ökonomischen Interpretation der ersten Ableitung ... 6-1 6.1.1 Das Differential einer Funktion.. . ... . .... . .. . .. . .. . . 6-1 6.1.2 Die Interpretation der 1. Ableitung als (ökonomische)

Grenzfunktion . . . 6-4 6.1.2.1 Grenzkosten ... 6-6 6.1.2.2 Grenzerlös (Grenzumsatz, Grenzausgaben) ... 6-7 6.1.2.3 Grenzproduktivität (Grenzertrag) .. . . 6-9 6.1.2.4 Grenzgewinn ... . 6-10 6.1.2.5 Marginale Konsumquote ... .. ... . .. . . .. .. . . . 6-12 6.1.2.6 Marginale Sparquote ... 6-12 6.1.2.7 Grenzrate der Substitution ... 6-13 6.1.2.8 Grenzfunktion und Durchschnittsfunktion .... 6-14 6.2 Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung

von Funktionen.... . . .. . .. . . . .. . ... . .. . ... . .. . . .. . . 6-18 6.2.1 Monotonie- und Krümmungsverhalten .. . ... . .. .. . . 6-18 6.2.2 Extremwerte... 6-22 6.2.3 Wendepunkte ... 6-26 6.2.4 Kurvendiskussion... 6-28 6.2.5 Extremwerte bei nichtdifferenzierbaren Funktionen .... 6-33 6.3 Die Anwendung der Differentialrechnung auf ökonomische

Probleme ... 6-36 6.3.1 Beschreibung ökonomischer Prozesse mit Hilfe

von Ableitungen ... 6-36 6.3.1.1 Beschreibung des Wachsturnsverhaltens

ökonomischer Funktionen ... 6-37 6.3.1.2 Konstruktion ökonomischer Funktionen

mit vorgegebenen Eigenschaften ... 6-40 6.3.2 Analyse und Optimierung ökonomischer Funktionen ... 6-42 6.3.2.1 Fahrstrahlanalyse ... 6-43 6.3.2.2 Diskussion ökonomischer Funktionen ... 6-46

Inhaltsverzeichnis XI 6.3.2.3 Gewinnmaximierung... 6-48 6.3.2.4 Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter

Preis-Absatz-Funktion . . . 6-55 6.3.2.5 Optimale Lagerhaltung ... 6-57 6.3.3 Die Elastizität ökonomischer Funktionen ... 6-67 6.3.3.1 Änderungen von Funktionen ... 6-67 6.3.3.2 Begriff, Bedeutung und Berechnung

der Elastizität von Funktionen ... 6-69 6.3.3.3 Elastizität ökonomischer Funktionen ... 6-75 6.3.3.4 Graphische Ermittlung der Elastizität. . . 6-82 6.3.4 Überprüfung ökonomischer Gesetzmäßigkeiten mit Hilfe

der Differentialrechnung . . . 6-86

7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren

unabhängigen Variablen... ...

7-1 7.1 Grundlagen. . . 7-1 7.1.1 Begriff und Berechnung von partiellen Ableitungen .... 7-1 7.1.2 Ökonomische Interpretation partieller Ableitungen .... 7-7 7.1.3 Partielle Ableitung höherer Ordnung. . . 7-9 7.1.4 Kennzeichnung von Monotonie und Krümmung

durch partielle Ableitungen ... 7-10 7.1.5 Partielles und vollständiges (totales) Differential. . . ... . 7-12 7.1.6 Kettenregel, totale Ableitung. . . 7-15 7.1.7 Ableitung impliziter Funktionen ... 7-19 7.2 Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen 7-23 7.2.1 Relative Extrema ohne Nebenbedingungen ... 7-23 7.2.2 Extremwerte unter Nebenbedingungen ... 7-25 7.2.2.1 Problemstellung. . . 7-25 7.2.2.2 Variablensubstitution . . . 7 -27 7.2.2.3 Lagrange-Methode... 7-28 7.3 Beispiele für die Anwendung der Differentialrechnung

auf ökonomische Funktionen mit mehreren unabhängigen

Variablen ... 7-31 7.3.1 Partielle Elastizitäten . . . 7-32 7.3.1.1 Begriff der partiellen Elastizität. . . 7-32 7.3.1.2 Die Eulersche Homogenitätsrelation ... 7-33 7.3.1.3 Elastizität homogener Funktionen. . . 7-34 7.3.1.4 Faktorentlohnung und Verteilung

des Produktes ... 7-37 7.3.2 Ökonomische Beispiele für relative Extrema

(ohne Nebenbedingungen) ... 7-43 7.3.2.1 Optimaler Faktoreinsatz in der Produktion. . . . 7-43 7.3.2.2 Gewinnmaximierung

von Mehrproduktunternehmungen ... 7-47 7.3.2.3 Gewinnmaximierung bei räumlicher

Preisdifferenzierung .. . . 7-52

XII

7.3.3

Inhaltsverzeichnis 7.3.2.4 Die Methode der kleinsten Quadrate ... . Ökonomische Beispiele für Extrema

unter~ebenbedingungen ... . 7.3.3.1 Minimalkostenkombination ... . 7.3.3.2 Expansionspfad, Faktornachfrage- und

7.3.3.3 7.3.3.4

Gesamtkostenfunktion ... .

~utzenmaximierung und Haushaltsoptimum ...

~utzenmaximale Güternachfrage- und

Konsumfunktionen ... . 7-56 7-59 7-59 7-66 7-70 7-77

8 Einführung in die Integralrechnung

... 8-1 8.1 Das unbestimmte Integral ... 8-1 8.1.1 Stammfunktion und unbestimmtes Integral. . . 8-1 8.1.2 Grundintegrale ... 8-4 8.1.3 Elementare Rechenregeln für das unbestimmte Integral 8-5 8.2 Das bestimmte Integral ... 8-7

8.2.1 Das Flächeninhaltsproblem und der Begriff

des bestimmten Integrals. . . 8-7 8.2.2 Beispiel zur elementaren Berechnung eines bestimmten

Integrals. . . 8-10 8.2.3 Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals. . . . 8-11 8.3 Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral 8-12 8.3.1 Integralfunktion... . . . 8-12 8.3.2 Der 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 8-13 8.3.3 Der 2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 8-15 8.3.4 Flächeninhaltsberechnung ... 8-17 8.4 Spezielle Integrationstechniken ... 8-19 8.4.1 Partielle Integration. . . 8-19 8.4.2 Integration durch Substitution ... 8-21 8.5 Ökonomische Anwendungen der Integralrechnung ... 8-23 8.5.1 Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen ... 8-23 8.5.2 Die Konsumentenrente ... 8-26 8.5.3 Die Produzentenrente ... 8-28 8.5.4 Kontinuierliche Zahlungsströme ... 8-29 8.5.5 Kapitalstock und Investitionen einer Volkswirtschaft ... 8-33 8.5.6 Optimale ~utzungsdauer von Investitionen. . . 8-34 8.6 Elementare Differentialgleichungen ... 8-38 8.6.1 Einleitung ... 8-38 8.6.2 Lösung von Differentialgleichungen durch Trennung

der Variablen . . . 8-39 8.6.3 Ökonomische Anwendungen separabler

Differentialgleichungen . . . 8-42 8.6.3.1 Exponentielles Wachstum ... 8-42 8.6.3.2 Funktionen mit vorgegebener Elastizität ... 8-42 8.6.3.3 ~eoklassisches Wachstumsmodell nach Solow. 8-44

Inhaltsverzeichnis

9 Einführung in die Lineare Algebra

... . 9.1 Matrizen und Vektoren ... . 9.1.1 Grundbegriffe der Matrizenrechnung ... . 9.1.2 Spezielle Matrizen und Vektoren ... . 9.1.3 Operationen mit Matrizen ... . 9.1.3.1 Addition von Matrizen ... . 9.1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem

Skalarfaktor ... . 9.1.3.3 Die skalare Multiplikation zweier Vektoren

(Skalarprodukt) ... . 9.1.3.4 Multiplikation von Matrizen ... . 9.1.4 Die inverse Matrix ... . 9.1.5 Ökonomisches Anwendungsbeispiel

(Input-Output-Analyse) ... . 9.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) ... . 9.2.1 Grundbegriffe ... . 9.2.2 Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme -

Gaußscher Algorithmus ... . 9.2.3 Pivotisieren ... . 9.2.4 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme ... . 9.2.5 Berechnung der Inversen einer Matrix ... . 9.2.6 Ökonomische Anwendungsbeispiele für lineare

Gleichungssysteme ... . 9.2.6.1 Teilebedarfsrechnung, Stücklistenauflösung .. . 9.2.6.2 Innerbetriebliche Leistungsverrechnung ... .

10 Lineare Optimierung (LO)

... . 10.1 Grundlagen und graphische Lösungsmethode ... . 10.1.1 Ein Problem der Produktionsplanung ... . 10.1.2 Graphische Lösung des Produktionsplanungsproblems ..

10.1.3 Ein Diät-Problem ... . 10.1.4 Graphische Lösung des Diät-Problems ... . 10.1.5 Sonderfälle bei graphischer Lösung ... . 10.1.6 Graphische Lösung von LO-Problemen-

Zusammenfassung ... . 10.2 Simplexverfahren ... . 10.2.1 Mathematisches Modell des allgemeinen LO-Problems . 10.2.2 Grundidee des Simplexverfahrens ... . 10.2.3 Einführung von Schlupfvariablen ... . 10.2.4 Eckpunkte und Basislösungen ... . 10.2.5 Optimalitätskriterium ... . 10.2.6 Engpaßbedingung ... . 10.2.7 Simplexverfahren im Standard-Maximum-Fall-

Zusammenfassung ... . 10.2.8 Beispiel zum Simplexverfahren

(Standard-Maximum-Problem) ... .

XIII 9-1 9-1 9-1 9-6 9-7 9-7 9-9 9-11 9-12 9-19 9-21 9-26 9-26 9-28 9-35 9-40 9-45 9-48 9-48 9-50 10-1 10-1 10-1 10-2 10-4 10-5 10-7 10-10 10-12 10-12 10-14 10-14 10-15 10-17 10-19 10-20 10-21

XIV Inhaltsverzeichnis 10.3 Zweiphasenmethode zur Lösung beliebiger LO-Probleme ... 10-24 10.4 Sonderfälle bei LO-Problemen . . . 10-31 10.4.1 Keine zulässige Lösung ... 10-31 10.4.2 Keine endliche optimale Lösung

(unbeschränkte Lösung) ... 10-32 10.4.3 Degeneration (Entartung) ... 10-32 10.4.4 Mehrdeutige optimale Lösung~n ... 10-34 10.4.5 Fehlen von Nichtnegativitätsbedingungen ... 10-36 10.4.6 Ablaufdiagramm des Simplexverfahrens

im allgemeinen Fall ... 10-37 10.5 Die ökonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus 10-38 10.5.1 Produktionsplanungsproblem .. ... . ... .. . ... 10-38

10.5.1.1 Problemformulierung, Einführung

von Einheiten ... 10-38 10.5.1.2 Optimaltableau und optimale Basislösung .. . .. 10-40 10.5.1.3 Deutung der Zielfunktionskoeffizienten ... 10-41 10.5.1.4 Deutung der inneren Koeffizienten. . . 10-42 10.5.1.5 Zusammenfassung ... 10-44 10.5.2 Diätproblem ... 10-44 10.6 Dualität... 10-46 10.6.1 Das duale LO-Problem ... 10-46 10.6.2 Dualitätssätze ... 10-48 10.7 Ökonomische Interpretation des Dualproblems ... 10-51 10.7.1 Dual eines Produktionsplanungsproblems ... 10-52 10.7.2 Dual eines Diätproblems . . . .. 10-53 11 Literaturverzeichnis ... 11-1 12 Sachwortverzeichnis . . . 12-1

xv

Symbolverzeichnis

(auf den angegebenen Seiten finden sich nähere Erläuterungen zu den jeweiligen Symbolen)

E (E!=) ist (kein) Element von, 1-1 lim fex) Grenzwert von f, 4-lff

{X E MI} M ... enge ammer, -nk1 1 2f x -^{x_ Xo} = für: für: x gegen unendlich x gegen Xc

IN, 7L, CO, IR spezielle Zahlenmengen,I-3 x_ xJ rechtsseitiger Grenzwert

{ }, (jJ leere Menge, 1-3 x - Xö linksseitiger Grenzwert

[a,b] ; ]a,b[ M Differenzenquotient

[ b[] a, ; a,b] Intervalle, 1-4 illr (Sekantenstelgung) , 5-3

< ; ~ kleiner; kleiner oder gleich f'( ) d[ Differentialquotient 5-3f x , dx 1. Ableitung ,

> ; ~ größer; größer oder gleich d

w, f wahr, falsch, 1-5 -d _{x 2}

A(x), f"( ) .!.!:

A( x,y,... ) Aussageformen, 1-5 x , dx²

Differentialoperator, 5-4 2. Ableitung, 5-28f

T(x), Terme, 1-6 f(nl(x) dn[

T(x,y, ... ) , dxn n-te Ableitung, 5-28f

DA' DG Definitionsmenge, 1-7,1-51 df Differential, 6-lf

L, LN LG Lösungsmenge, 1-6,1-52f ff,x Elastizität von f bzgl. x, 6-69ff ,= ; =, ist definitionsgem. gleich, 1-3

/\,V,--,

~,<=

~

C

n,u

\ AxBx ...

lRn

lai

~,II

n!

an,

(~)

eX

n 1

Va,

an logax,lnx,lgx

00

f, f(x),f(x,y, .. ) D[, W[

x~f(x)

f -1

f(g(x»

n,n

sin, cos tan, cot

-

^X

1"

"0+

ist identisch gleich ist ungefähr gleich entspricht

und, oder, nicht, 1-9ff Folgerung, 1-14f Äquivalenz, 1-16 ist Teilmenge von, 1-17 Durchschnitt,Vereinigung, 1-18 Mengendifferenz, 1-19 Produktmenge, 1-21 n-dimensionaler Raum, 1-22 absoluter Betrag, 1-3lf Summe, Produkt, 1-32ff Fakultät, 1-35

Binomialkoeffizient, 1-35f Potenz, 1 -3 7ff

Wurzel, 1-42 Logarithmus, 1-46ff unendlich, 1 -4, 1-47 ,4-lff Funktionen, 2-lff,3-lff Definitions-, Wertebereich, 2-2 Zuordnungsvorschrift, 2-2 Umkehrfunktion, 2-14f verkettete Funktion, 2-20 f steigt bzw. fällt, 2-23,6-18f trigonometrische Funktio-

nen,2-49f Vektor, 3-2, 9-4f

uneigentliehe Terme, 4-15,5-3lff ax a

dfx

df ff(x)dx

b

ft(x)dx

a

F(x)

I:

y A,B, ...

A_mn

(ai,k) ai,k' bi,k' ...

AT

a,b, ...

E,~

A-1 rgA

Länge der (gerichteten) Strecke von A nach B, 6-82

1. partielle Ableitung, 7-3 partieller Differential- operator, 7-3

2. partielle Ableitung, 7-9 partielles Differential, 7-13 totales Differential, 7-14 unbestimmtes Integral, 8-3 bestimmtes Integral, 8-9 F(b) - F(a), 8-16 y'(t), ~i, 8-38 Matrizen, 9-lff Matrix-Elemente, 9-2 transponierte Matrix, 9-3 Spaltenvektoren, 9-4 Zeilenvektoren, 9-4 Nullmatrix, Nullvektor, 9-6 Einheitsmatrix,

Einheitsvektor, 9-6 inverse Matrix, 9-19 Rang der Matrix A, 9-40

XVI

Abkürzungen

BL BV c.p.

DB f FE GE LE LOS LO

Basislösung Basisvariable ceteris paribus Deckung<>beitrag falsch

Faktoreinkommen Geldeinheit Leistung<>einheit Lineares Gleichung<>- system

Lineare Optimierung ME NB NBV

NNB

Mengeneinheit Nebenbedingung Nichtbasisvariable Nichtnegativitätsbe- dingung

p.a. pro Jahr IDM tausend DM

w wahr

w.z.b.w. was zu beweisen war ZE Zeiteinheit

HäufIg verwendete Variablennamen

llt, a(t) Auszahlung d. Periode t K"

A, A(t) Annuität; Arbeitsinput (in t) _~ B Bestand; (zulässiger) Bereich

C Konsum, Konsumsumme kv

Co Kapitalwert Kv

e Eulersche Zahl L

~, e(t) Einzahlung d Periode t

E Erlös, Umsatz, Ausgaben; A

Einheitsmatrix p

e Elastizität q

g Stückgewinn gD Stückdeckung<>beitrag

G Gewinn R

GD Deckungsbeitrag R.t

h Stunde(n) S

i Zinssatz (= p/lOO) t

I, I(t) Investition (im Zeitpunkt t) T

k Stückkosten U

K Kosten; Kapital x

kr stückfixe Kosten

Kr

^{Fixkosten Y}

K"

Endwert (eines Kapitals) Z

Griechisches Alphabet

a,A Alpha t, I Jota

ß,B Beta ^/C, K Kappa

y, r Gamma A, A Lambda

d, A Delta ,u,M My

e, E Epsilon v, N Ny

~, Z Zeta ~, E Xi

11, H Eta 0,0 Omikron

it,

e

Theta n,II Pi

Abkiinungen für Rechengesetze:

Abkürzungen

AI-AS D MI-M5 Ll-L3 PI - P7 RI-RI3 WI-W5

Axiome für " + "

Distributivgesetz Axiome für "."

Logarithmengesetze Potenzgesetze Rechemegeln in lR Wurzelgesetze

Barwert (eines Kapitals) Zeitwert (eines Kapitals im Zeitpunkt t) stückvariable Kosten variable Kosten

Lösung<>menge; Lagrange- Funktion; Liquidationseilös Lagrange-Multiplikator Preis; Zinsfuß Zinsfaktor (= 1 +i) Input; Homogenitätsgrad;

(stetiger) Zinssatz; Rang einer Matrix Rate; Zahlungsstrom

Renten-Endwert Sparen,Sparsumme Zeit

Laufzeit

Nutzen(inda); Umsatz Nachfrage; Angebot;

Output; Menge

Einkommen; Sozialprodukt Zielfunktion

p,P Rho

a,~ Sigma

l', T Tau

v, Y Ypsilon q>,<I> Phi

X,X Chi

'IjJ,1JI Psi w,Q Omega