Wirtschaftsmathematik Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik

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(1)Wirtschaftsmathematik Einführung in einige Teilbereiche der Wirtschaftsmathematik. Wintersemester 2016. Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA.

(2) Lageparameter. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. "Sollen wir das arithmetische Mittel als durchschnittliche Körpergröße nehmen und den Gegner erschrecken, oder wollen wir ihn einlullen und nehmen den Median?" 126.

(3) Lageparameter. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Modus xMod : häufigster Wert Beispiel: aj h(aj ). 1 4. 2 3. 4 1. ⇒ xMod = 1. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung. Sinnvoll bei allen Skalenniveaus.. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung. Median xMed : ‚mittlerer Wert‘, d.h.. Konzentration Zwei Merkmale. 1. Urliste aufsteigend sortieren: x1 5 x2 5 · · · 5 xn. Korrelation Preisindizes. 2. Dann . xMed. Lineare Regression. 6. W-Theorie. = x n+1 , 2 ∈ [x n2 ; x n2 +1 ],. falls n ungerade falls n gerade (meist xMed =. 7. Induktive Statistik. 1 2. (x n2 + x n2 +1 )). Quellen. Im Beispiel oben: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4 ⇒ xMed ∈ [1; 2], z.B. xMed = 1,5 Sinnvoll ab ordinalem Skalenniveau. 127.

(4) Lageparameter (2). Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Arithmetisches Mittel x̄: Durchschnitt, d.h. 1X 1X xi = aj · h(aj ) x̄ = n n n. i=1. k. j=1. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs. Im Beispiel:. 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik. x̄ =. 1 8. · (1| + 1 {z + 1 + 1} + 2| +{z 2 + 2} + |{z} 4 ) = 1,75 1·4. 2·3. 4·1. Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation. Sinnvoll nur bei kardinalem Skalenniveau. Bei klassierten Daten: P ∗ 1 Klassenmitte · Klassenhäufigkeit x̄ = n. Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. Im Beispiel: x̄∗ =. 1 12. · (2,5 · 5 + 10 · 5 + 22,5 · 2) = 8,96 ̸= 7,5 = x̄ 128.

(5) Umfrage. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Lageparameter. 1. Finanzmathematik. Ausgaben für Schuhe. Lieblingsfarbe. median(na.exclude(AusgSchuhe)). summary(Geschlecht). ## [1] 200. ## Frau Mann ## 389 281. mean(na.exclude(AusgSchuhe)). 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung. ## [1] 270.4529. Alter der Mutter. Alter. median(na.exclude(AlterM)). median(Alter). ## [1] 51. ## [1] 21. mean(na.exclude(AlterM)). mean(Alter). 2. Lineare Programme. ## [1] 51.63677. Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. ## [1] 22.12537. 129.

(6) Streuungsparameter. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Voraussetzung: kardinale Werte x1 , . . . , xn Beispiel: a) xi b) xi. 1. Finanzmathematik. 1950 0. 2000 0. 2050 6000. je x̄ = 2000. 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung. Spannweite: SP = max xi − min xi i. Im Beispiel:. 5. Deskriptive Statistik. i. Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale. a) SP = 2050 − 1950 = 100 b) SP = 6000 − 0 = 6000. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. Mittlere quadratische Abweichung: s2 =. 1 n. n X. (xi − x̄)2 =. i=1. 7. Induktive Statistik. 1 n |. n X i=1. Quellen. x2i − x̄2. {z. }. Verschiebungssatz. 130.

(7) Streuungsparameter (2). Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Mittlere quadratische Abweichung im Beispiel: a) s2 = 13 · (502 + 02 + 502 ) =. b) s2 =. 1 3 1 3 1 3. · (19502 + 20002 + 20502 ) − 20002 = 1666,67 · (20002 + 20002 + 40002 ) 2. 2. 2. · (0 + 0 + 6000 ) − 2000 √ Standardabweichung: s = s2 =. 2828,43 2000. 2. Lineare Programme 3. DGLs. 2. = 8000000. Im Beispiel: √ a) s = 1666,67 = 40,82 √ b) s = 8000000 = 2828,43 s Variationskoeffizient: V = (maßstabsunabhängig) x̄ Im Beispiel: a) V = 40,82 = 0,02 (= b 2 %) 2000 b) V =. 1. Finanzmathematik. 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. = 1,41 (= b 141 %) 131.

(8) Lage und Streuung: Überblick. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. LageStreuung = function(x) { x=na.omit(x) # ignoriere fehlende Werte n = length(x) # Anzahl nicht fehlender Werte popV = var(x)*(n-1)/n # var() ist nicht mittl. qu. Abweichung return(list(mean=mean(x), median=median(x), Variance=popV, StdDev=sqrt(popV), VarCoeff=sqrt(popV)/mean(x))) } mat1 = sapply(MyData[c("Alter","AlterV","AlterM", # sapply: pro Spalte anwenden "Geschwister", "AnzSchuhe", "AusgSchuhe")], LageStreuung). 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. mean median Variance StdDev VarCoeff. Alter. AlterV. AlterM. Geschwister. AnzSchuhe. AusgSchuhe. 22.13 21.00 11.36 3.37 0.15. 54.28 54.00 35.35 5.95 0.11. 51.64 51.00 25.74 5.07 0.10. 1.51 1.00 1.18 1.08 0.72. 21.22 16.00 415.51 20.38 0.96. 270.45 200.00 56333.39 237.35 0.88. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. 132.

(9) Lage und Streuung als Grafik: Boxplot. Linie in Mitte: Median Whiskers: Länge: Max./Min Wert, aber beschränkt durch das 1,5-fache des Quartilsabstands (falls größter/kleinster Wert größeren/kleineren Abstand von Box: Länge Whiskers durch größten/kleinsten Wert innerhalb dieser Schranken) Ausreißer: Alle Objekte außerhalb der Whisker-Grenzen. 1. Finanzmathematik. 2500. 2. Lineare Programme 3. DGLs. 2000. 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik. 1500. Häufigkeiten Lage und Streuung. 1000. Konzentration Zwei Merkmale Korrelation. 500. Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. 0 Mann. Box: Oberer/Unterer Rand: 3. bzw. 1. Quartil (x̃0,75 bzw. x̃0,25 ),. boxplot(AusgSchuhe ~ Geschlecht, col=c("mistyrose", "lightblue"), data=MyData, main="", las=2). Frau. Graphische Darstellung von Lage und Streuung. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. 7. Induktive Statistik Quellen. Ausgaben für Schuhe. 133.

(10) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. summary(MyData) ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ##. Jahrgang Min. :2014 1st Qu.:2014 Median :2015 Mean :2015 3rd Qu.:2016 Max. :2016 GroesseV Min. :160.0 1st Qu.:175.0 Median :180.0 Mean :179.1 3rd Qu.:183.0 Max. :204.0 NA's :11 AusgSchuhe Min. : 0.0 1st Qu.: 100.0 Median : 200.0 Mean : 270.5 3rd Qu.: 350.0 Max. :2500.0 NA's :1. Alter Min. :17.00 1st Qu.:20.00 Median :21.00 Mean :22.13 3rd Qu.:24.00 Max. :36.00. Groesse Min. :150.0 1st Qu.:166.0 Median :172.0 Mean :173.1 3rd Qu.:180.0 Max. :198.0. GroesseM Geschwister Min. : 76.0 Min. :0.000 1st Qu.:162.0 1st Qu.:1.000 Median :165.0 Median :1.000 Mean :166.2 Mean :1.509 3rd Qu.:170.0 3rd Qu.:2.000 Max. :192.0 Max. :9.000 NA's :8 Essgewohnheiten Raucher carnivor :420 ja : 81 fruktarisch : 1 nein:381 pescetarisch: 26 NA's:208 vegan : 3 vegetarisch : 15 NA's :205. Geschlecht AlterV AlterM Frau:389 Min. :38.00 Min. :37.00 Mann:281 1st Qu.:50.00 1st Qu.:48.00 Median :54.00 Median :51.00 Mean :54.28 Mean :51.64 3rd Qu.:57.00 3rd Qu.:55.00 Max. :87.00 Max. :70.00 NA's :1 NA's :1 Farbe AusgKomm AnzSchuhe blau : 31 Min. : 0.0 Min. : 2.00 gelb : 5 1st Qu.: 207.5 1st Qu.: 8.00 rot : 24 Median : 360.0 Median : 16.00 schwarz:333 Mean : 458.1 Mean : 21.22 silber : 82 3rd Qu.: 600.0 3rd Qu.: 30.00 weiss :195 Max. :4668.0 Max. :275.00 NA's :2 NoteMathe MatheZufr Studiengang Min. :1.000 unzufrieden :185 BW :107 1st Qu.:2.650 geht so :151 ET : 1 Median :3.300 zufrieden :114 IM : 74 Mean :3.233 sehr zufrieden: 74 Inf : 48 3rd Qu.:4.000 NA's :146 WI : 59 Max. :5.000 NA's:381 NA's :162. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. 134.

(11) Dateninspektion. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Boxplots. 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration. 2500. Zwei Merkmale 4000. 2000. 8 65. 1. Finanzmathematik. 1500. Preisindizes. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. 55. 3000. 6. Korrelation Lineare Regression. 60. 80 70. 30. Geschwister. 70. Alter. 35. for(attribute in c("Alter", "AlterV", "AlterM", "Geschwister", "AusgSchuhe", "AusgKomm")) { data=MyData[, attribute] boxplot(data, # all rows, column of attribute col="lightblue", # fill color lwd=3, # line width cex=2, # character size oma=c(1,1,2,1) ) text(0.7,max(data), attribute, srt=90, adj=1) }. 500. 1000. 0. 0. 2000. 2 0. 45. 50. 1000. 4. 60 40. 40. 20. 50. 25. Quellen. 135.

(12) Konzentrationsmaße. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Gegeben: kardinale Werte 0 5 x1 5 x2 5 · · · 5 xn Achtung! Die Werte müssen aufsteigend sortiert werden! 1. Finanzmathematik. Lorenzkurve:. 2. Lineare Programme 3. DGLs. Wieviel Prozent der Merkmalssumme entfällt auf die x Prozent kleinsten Merkmalsträger?. 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung. Beispiel: Die 90 % ärmsten besitzen 20 % des Gesamtvermögens.. Konzentration Zwei Merkmale. Streckenzug: (0,0), (u1 , v1 ), . . . , (un , vn ) = (1,1) mit. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. k P. vk = Anteil der k kleinsten MM-Träger an der MM-Summe = i=1 n P. 6. W-Theorie. xi. 7. Induktive Statistik Quellen. xi. i=1. uk = Anteil der k kleinsten an der Gesamtzahl der MM-Träger =. k n 136.

(13) Lorenzkurve: Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Markt mit fünf Unternehmen; Umsätze: 6, 3, 11, 2, 3 (Mio. €) ⇒ n = 5,. 5 P. xk = 25. 1. Finanzmathematik. k=1. 2. Lineare Programme. vk. 3. DGLs. 1. 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten. k. 1. 2. 3. 4. 5. Lage und Streuung Konzentration. xk. 2. 3. 3. 6. 11. pk. 2 25. 3 25. 3 25. 6 25. 11 25. vk. 2 25. 5 25. 8 25. 14 25. 1. uk. 1 5. 2 5. 3 5. 4 5. 1. Zwei Merkmale. 14 25. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. 8 25 5 25 2 25. 7. Induktive Statistik Quellen. uk 1 5. 2 5. 3 5. 4 5. 1. 137.

(14) Lorenzkurve. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Knickstellen: Bei i-tem Merkmalsträger ⇐⇒ xi+1 > xi Empirische Verteilungsfunktion liefert Knickstellen:. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. aj. 2. 3. 6. 3. DGLs. 11. 4. Einführung. h(aj ). 1. 2. 1. 1. f(aj ). 1 5 1 5. 2 5 3 5. 1 5 4 5. 1 5. F(aj ). 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration. 1. Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. Vergleich von Lorenzkurven:. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. Gleichverteilung. extreme Konzentration. stärker konzentriert als. schwer vergleichbar. 138.

(15) Lorenzkurve: Beispiel Bevölkerungsanteil gegen BSP. Bangladesch Brasilien Deutschland Ungarn USA. 1,0 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. 0,8 Anteil am BSP. (Stand 2000). Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik. 0,6. Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation. 0,4. Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. 0,2. 7. Induktive Statistik Quellen. 0,2. 0,4 0,6 0,8 Anteil der Bevölkerung. 1,0. 139.

(16) Lorenzkurve: Beispiel Bevölkerungsanteil gegen BSP. Bangladesch Brasilien Deutschland Ungarn USA. 1,0 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. 0,8 Anteil am BSP. (Stand 2000). Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik. 0,6. Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation. 0,4. Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. 0,2. 7. Induktive Statistik Quellen. 0,2. 0,4 0,6 0,8 Anteil der Bevölkerung. 1,0. 139.

(17) Gini-Koeffizient. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Numerisches Maß der Konzentration: Gini-Koeffizient G Fläche zwischen 45◦ -Linie und L G= = ◦ Fläche unter 45 -Linie. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs. Aus den Daten:. 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik. 2 G=. n P. i xi − (n + 1). i=1. n. n P. n P i=1. 2. xi =. xi. n P. Häufigkeiten Lage und Streuung. i pi − (n + 1). i=1. n. i=1. wobei. xi pi = P n xi i=1. Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. Problem: Gmax =. 7. Induktive Statistik. n−1 n. Quellen. ➠ Normierter Gini-Koeffizient: G∗ =. n · G ∈ [0; 1] n−1 140.

(18) Gini-Koeffizient: Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Beispiel: i. 1. 2. 3. P. 4. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. xi. 1. 2. 2. 15. 20. pi. 1 20. 2 20. 2 20. 15 20. 1. 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation. G=. 2· 1·. 1 20. +2·. 2 20. +3· 4. 2 20. +4·. 15 20. . − (4 + 1). Preisindizes. = 0,525. Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. Mit Gmax =. 4−1 4. = 0,75 folgt G∗ =. Quellen. 4 · 0,525 = 0,7 4−1. 141.

(19) Konzentrationsmaße: Beispiel. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Verteilung der Bruttoeinkommen in Preisen von 2000 aus unselbständiger Arbeit der Arbeitnehmer/-innen insgesamt. Anteil am Einkommen. Armutsbericht der Bundesregierung 2008. 1,0 1. Finanzmathematik. 0,8. 2. Lineare Programme 3. DGLs. 0,6. 4. Einführung. 0,4. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung. 0,2. Konzentration Zwei Merkmale. 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. Anteil der Bevölkerung. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. Arithmetisches Mittel Median Gini-Koeffizient. 2002. 2003. 2004. 2005. 24.873 21.857 0,433. 24.563 21.531 0,441. 23.987 20.438 0,448. 23.648 20.089 0,453. Quellen. 142.

(20) Lorenzkurve mit R. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. require(ineq) # inequality Paket Lorenz = Lc(na.exclude(MyData$AusgSchuhe)) plot(Lorenz, xlab="", ylab="", main="") # Standard plot plot(c(0,1), c(0,1), type="n", # bisschen netter panel.first=grid(lwd=1.5, col=rgb(0,0,0,1/2)), xlab="", main="", ylab="") polygon(Lorenz$p, Lorenz$L, density=-1, col=rgb(0,0,1,1/4), lwd=2). 2. Lineare Programme 3. DGLs. 1.0. 1.0. 1. Finanzmathematik. 5. Deskriptive Statistik. 0.8. 0.8. 4. Einführung. Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration. 0.6. 0.6. Zwei Merkmale. 0.4. Korrelation. 0.4. Preisindizes. 0.2. Lineare Regression. 0.2. 6. W-Theorie. 0.0. 7. Induktive Statistik. 0.0 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. Quellen. 0.0. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1.0. Gini(na.exclude(AusgSchuhe)) # Gini-Koeffizient ## [1] 0.4069336 143.

(21) Weitere Konzentrationsmaße. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Konzentrationskoeffizient: n X. CRg = Anteil, der auf die g größten entfällt =. pi = 1 − vn−g. i=n−g+1 1. Finanzmathematik. Herfindahl-Index:. 2. Lineare Programme. H=. n X. 3. DGLs. p2i. (∈ [ n1 ; 1]). 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik. i=1 1 Es gilt: H = n (V 2 + 1) Exponentialindex:. E=. n Y. √ V = n·H−1. bzw.. Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes. p. ∈ [ n1 ; 1]. pi i. . wobei. 00 = 1. i=1. Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. Im Beispiel mit x = (1, 2, 2, 15):. CR2 =. Quellen. 17 20. = 0,85 2 2 15 1 + ··· + = 0,59 H= 20 20 1 20 15 1 15 20 E= ··· = 0,44. 144.

(22) Auswertungsmethoden für zweidimensionale Daten. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Zweidimensionale Urliste Urliste vom Umfang n zu zwei Merkmalen X und Y : 1. Finanzmathematik. (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ). 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung. Kontingenztabelle:. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten. Sinnvoll bei wenigen Ausprägungen bzw. bei klassierten Daten.. Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale. Ausprägungen von Y Ausprägungen von X. b1. b2. .... bl. a1. h11. h12. .... h1l. a2. h21. h22. .... h2l. .. .. .. .. .. .. ak. hk1. hk2. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. .. . .... hkl. 145.

(23) Kontingenztabelle. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Unterscheide: Gemeinsame Häufigkeiten:. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. hij = h(ai , bj ). 3. DGLs 4. Einführung. Randhäufigkeiten:. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten. hi· =. l X. hij. und. j=1. h·j =. k X. Lage und Streuung Konzentration. hij. i=1. Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. Bedingte (relative) Häufigkeiten:. 7. Induktive Statistik. hij f1 (ai | bj ) = h·j. und. hij f2 (bj | ai ) = hi·. Quellen. 146.

(24) Häufigkeiten. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Beispiel: 400 unfallbeteiligte Autoinsassen: 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. leicht verletzt (= b1 ). schwer verletzt (= b2 ). tot (= b3 ). 264 (= h11 ) 2 (= h21 ). 90 (= h12 ) 34 (= h22 ). 6 (= h13 ) 4 (= h23 ). angegurtet (= a1 ) nicht angegurtet (= a2 ). 3. DGLs 4. Einführung. 360 (= h1· ) 40 (= h2· ). 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation. 266 (= h·1 ). 124 (= h·2 ). 10 (= h·3 ). 400 (= n). Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. f2 (b3 | a2 ) =. 4 40. = 0,1. (10 % der nicht angegurteten starben.). f1 (a2 | b3 ) =. 4 10. = 0,4. (40 % der Todesopfer waren nicht angegurtet.). 7. Induktive Statistik Quellen. 147.

(25) Streuungsdiagramm. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung. Beispiel: i. 1. 2. 3. 4. 5. xi yi. 2 4. 4 3. 3 6. 9 7. 7 8. P. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration. 25 28. Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. ⇒ x̄ = ȳ =. 25 5 28 5. =5. Quellen. = 5,6. 148.

(26) Streuungsdiagramm. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Streuungsdiagramm sinnvoll bei vielen verschiedenen Ausprägungen (z.B. stetige Merkmale) ➠ Alle (xi , yi ) sowie (x̄, ȳ) in Koordinatensystem eintragen.. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. y. Beispiel: i. 1. 2. 3. 4. 5. xi yi. 2 4. 4 3. 3 6. 9 7. 7 8. ⇒ x̄ = ȳ =. 25 5 28 5. =5 = 5,6. P 25 28. 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 3. DGLs. x. 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale. y. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. 1 2 3 4 5 6 7 8 9. x. 148.

(27) Beispiel Streuungsdiagramm. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. (Datenquelle: Fahrmeir u. a., (2009)). 149.

(28) Beispiel Streuungsdiagramm. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. if (!require("RColorBrewer")) { install.packages("RColorBrewer") library(RColorBrewer) } mieten <- read.table('http://goo.gl/jhpJW4', header=TRUE, sep='\t', check.names=TRUE, fill=TRUE, na.strings=c('','')) x <- cbind(Nettomieten=mieten$nm, Wohnflaeche=mieten$wfl) library("geneplotter") ## from BioConductor smoothScatter(x, nrpoints=Inf, colramp=colorRampPalette(brewer.pal(9,"YlOrRd")), bandwidth=c(30,3)). 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation. 150. Preisindizes Lineare Regression. 100. 7. Induktive Statistik Quellen. 50. Wohnflaeche. 6. W-Theorie. 500. 1000. 1500. 150.

(29) Beispiel Streuungsdiagramm. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. x = cbind("Alter des Vaters"=AlterV, "Alter der Mutter"=AlterM) require("geneplotter") ## from BioConductor smoothScatter(x, colramp=colorRampPalette(brewer.pal(9,"YlOrRd")) ). 1. Finanzmathematik. 70. 2. Lineare Programme. 65. 3. DGLs 4. Einführung. 60. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten. 55. Konzentration Zwei Merkmale Korrelation. 50. Preisindizes Lineare Regression. 45. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. 40. Alter der Mutter. Lage und Streuung. 40. 50. 60. 70. 80. Alter des Vaters. 151.

(30) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. require(GGally) ggpairs(MyData[, c("Alter", "AlterV", "AlterM", "Geschlecht")], upper = list(continuous = "density", combo = "box"), color='Geschlecht', alpha=0.5) Frau. Alter. 0.15. Mann. 0.10. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. 0.05. 3. DGLs. 0.00. 4. Einführung 80. 5. Deskriptive Statistik. AlterV. 70. Häufigkeiten 60. Lage und Streuung. 50. Konzentration. 40. Zwei Merkmale. 70. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. AlterM. 60. 6. W-Theorie 50. 7. Induktive Statistik 40. Quellen. 80 60. Geschlecht. 40 20 0 80 60 40 20 0 20. 25. Alter. 30. 35. 40. 50. 60. AlterV. 70. 80. 40. 50. AlterM. 60. 70. Frau. Mann. Geschlecht. 152.

(31) Bagplot: Boxplot in 2 Dimensionen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. require(aplpack) bagplot(jitter(AlterV), jitter(AlterM), xlab="Alter des Vaters", ylab="Alter der Mutter"). 70. ## [1] "Warning: NA elements have been exchanged by median values!!" 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. 65. 3. DGLs 4. Einführung. 60. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten. 55. Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes. 50. Lineare Regression. 6. W-Theorie. 45. 7. Induktive Statistik Quellen. 40. Alter der Mutter. Lage und Streuung. 40. 50. 60. 70. 80. Alter des Vaters 153.

(32) Bubbleplot: 3 metrische Variablen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. require(DescTools) My.ohne.NA = na.exclude(MyData[,c("AlterM", "AlterV", "Alter")]) with(My.ohne.NA, { Alter.skaliert = (Alter-min(Alter))/(max(Alter)-min(Alter)) PlotBubble(jitter(AlterM), jitter(AlterV), Alter.skaliert, col=SetAlpha("deeppink4",0.3), border=SetAlpha("darkblue",0.3), xlab="Alter der Mutter", ylab="Alter des Vaters", panel.first=grid(), main="") }). 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik. 90. Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration. 80. Zwei Merkmale Korrelation Lineare Regression. 60. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. 40. 50. Quellen. 30. Alter des Vaters. 70. Preisindizes. 40. 50. 60. 70. Alter der Mutter 154.

(33) Circular Plots: Assoziationen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. require(DescTools) with(MyData, { PlotCirc(table(Studiengang, Geschlecht), acol=c("dodgerblue","seagreen2","limegreen","olivedrab2","goldenrod2","tomato2"), rcol=SetAlpha(c("red","orange","olivedrab1"), 0.5) )}). 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung. BW. 5. Deskriptive Statistik Mann. Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration. ET. Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression IM. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen Inf Frau. WI. Gute Idee: Noch Experimentell. 155.

(34) Korrelationsrechnung. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Frage: Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y ? Dazu: Korrelationskoeffizienten Verschiedene Varianten: Wahl abhängig vom Skalenniveau von X und Y :. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik. Skalierung von Y Skalierung von X. kardinal. kardinal. Bravais-PearsonKorrelationskoeffizient. ordinal. nominal. ordinal. Häufigkeiten. nominal. Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. Rangkorrelationskoeffizient von Spearman. 7. Induktive Statistik Quellen. Kontingenzkoeffizient. 156.



(37) y. Korrelationskoeffizient von Bravais und Pearson. 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient Voraussetzung: X, Y kardinalskaliert n P. n P. (xi − x̄)(yi − ȳ). xi yi − nx̄ȳ i=1 s ∈ [−1; +1] r = s i=1 = s n n n n P P 2 P 2 P (xi − x̄)2 (yi − ȳ)2 xi − nx̄2 yi − nȳ2 i=1. i=1. i=1. i=1. Wirtschaftsmathematik x Etschberger - WS2016 y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9. x. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs. 7 6. 5. Deskriptive Statistik. 5. 3. 1. 4. Lage und Streuung. 2. 0. 3. Konzentration. −1. 2. Zwei Merkmale 1. Korrelation. −2. 4. 2. Häufigkeiten. 1. 3. 5. 4. 6. 4. Einführung. −1. 0. 1. 2. 3. 4. Preisindizes −1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. −1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. Lineare Regression. 6. W-Theorie. Quellen. −2. −1. −1. −1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 4. 7. Induktive Statistik. −2. −1. 0. 1. 2. 3. 4. −1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. −3. −2. −1. 0. 1. 2. 3. 157.

(38) 0.9048. 0.8783101.

(39) Korrelationskoeffizient von Bravais und Pearson. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient Voraussetzung: X, Y kardinalskaliert n P. n P. (xi − x̄)(yi − ȳ). xi yi − nx̄ȳ i=1 s ∈ [−1; +1] r = s i=1 = s n n n n P P 2 P 2 P (xi − x̄)2 (yi − ȳ)2 xi − nx̄2 yi − nȳ2 i=1. i=1. i=1. i=1. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs. 7 6. 5. Deskriptive Statistik. 5. 3. 1. 4. Lage und Streuung. 2. 0. 3. Konzentration. −1. 2. Zwei Merkmale 1. Korrelation. −2. 4. 2. Häufigkeiten. 1. 3. 5. 4. 6. 4. Einführung. −1. 0. 1. 2. 3. 4. Preisindizes −1. 0. r=1. 1. 2. 3. 4. 5. −1. 0. 1. r = −0,999. 2. 3. 4. 5. Lineare Regression. r = 0,982. 6. W-Theorie. Quellen. −2. −1. −1. −1. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 4. 7. Induktive Statistik. −2. −1. 0. 1. r = −0,897. 2. 3. 4. −1. 0. 1. 2. 3. 4. r = 0,514. 5. 6. −3. −2. −1. 0. 1. 2. r = −0,083. 3. 157.

(40) Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Im Beispiel: i 1 2 3 4 5 P. x2i. y2i. xi yi. 4 16 9 81 49. 16 9 36 49 64. 8 12 18 63 56. 25 28 159 174. 157. xi yi 2 4 3 9 7. 4 3 6 7 8.                           . 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs. ⇒. x̄ = 25/5 = 5 ȳ = 28/5 = 5,6. 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie. 157 − 5 · 5 · 5,6 √ = 0,703 r= √ 2 2 159 − 5 · 5 174 − 5 · 5,6. 7. Induktive Statistik Quellen. (deutliche positive Korrelation). 158.

(41) Guess The Correlation. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. guessthecorrelation.com 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. Go for the Highscore!. 159.

(42) Rangkorrelationskoeffizient von Spearman. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Voraussetzungen: X, Y (mindestens) ordinalskaliert, Ränge eindeutig (keine Doppelbelegung von Rängen) Vorgehensweise: ➀ Rangnummern Ri (X) bzw. Wert usw. ➁ Berechne 6 rSP = 1 −. Ri′. n P i=1. (Y ) mit. (′) Ri. = 1 bei größtem. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung. (Ri − Ri′ )2. (n − 1) n (n + 1). Konzentration. ∈ [−1; +1]. Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. Hinweise:. 6. W-Theorie. rSP = +1 wird erreicht bei Ri = rSP = −1 wird erreicht bei Ri = n + 1 − Ri′ Ri′. ∀ i = 1, . . . , n ∀ i = 1, . . . , n. 7. Induktive Statistik Quellen. Falls Ränge nicht eindeutig: Bindungen, dann Berechnung von rSP über Ränge und Formel des Korr.-Koeff. von Bravais-Pearson 160.

(43) Rangkorrelationskoeffizient von Spearman. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Im Beispiel: 1. Finanzmathematik. xi. Ri. yi. Ri′. 2. Lineare Programme. 2 4 3 9 7. 5 3 4 1 2. 4 3 6 7 8. 4 5 3 2 1. 4. Einführung. 3. DGLs. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. 2. rSP = 1 −. 2. 2. 2. 2. 6 · [(5 − 4) + (3 − 5) + (4 − 3) + (1 − 2) + (2 − 1) ] = 0,6 (5 − 1) · 5 · (5 + 1). Quellen. 161.

(44) Kontingenzkoeffizient. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Gegeben: Kontingenztabelle mit k Zeilen und l Spalten (vgl. hier) Vorgehensweise: ➀ Ergänze Randhäufigkeiten hi· =. l X. hij. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs. und. h·j =. j=1. k X. 4. Einführung. hij. i=1. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration. ➁ Berechne theoretische Häufigkeiten hi· · h·j h̃ij = n. ➂ Berechne. Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. k X l X (hij − h̃ij )2 2 χ = h̃ij i=1 j=1. Quellen. χ2 hängt von n ab! (hij 7→ 2 · hij ⇒ χ2 7→ 2 · χ2 ). 162.

(45) Kontingenzkoeffizient. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. ➃ Kontingenzkoeffizient: s K=. χ2 n + χ2. 1. Finanzmathematik. ∈ [0; Kmax ]. 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung. wobei. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten. r Kmax =. Lage und Streuung. M−1 M. mit. M = min{k, l}. Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes. ➄ Normierter Kontingenzkoeffizient:. Lineare Regression. 6. W-Theorie. K∗ =. K Kmax. ∈ [0; 1]. 7. Induktive Statistik Quellen. K∗ = +1 ⇐⇒. bei Kenntnis von xi kann yi erschlossen werden u.u. 163.

(46) Kontingenzkoeffizient. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Beispiel Staatsangehörigkeit Geschlecht. X: Y:. (d,a) (m,w). hij. m. w. d a. 30 10 40. 30 30 60. h·j. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. hi· 60 40 100. ⇒. h̃ij. m. w. d a. 24 16. 36 24. 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale. wobei h̃11 =. 60·40 100. = 24. usw.. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 2. χ = K = K∗ =. (30−24)2 24. q. +. 6,25 100+6,25. 0,2425 0,7071. (30−36)2 36. +. = 0,2425;. (10−16)2 16. +. (30−24)2 24. 6. W-Theorie. = 6,25. M = min{2,2} = 2;. Kmax =. 7. Induktive Statistik. q. 2−1 2. Quellen. = 0,7071. = 0,3430. 164.

(47) Graphische Repräsentation von Kontingenztabellen. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Beispiel Autounfälle Verletzung. angegurtet nicht angegurtet. 1. Finanzmathematik. leicht. schwer. tödlich. 264 2. 90 34. 6 4. 360 40. 266. 124. 10. 400. 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung. schwer. tödlich. Konzentration. Standardized Residuals:. 2:4. Zwei Merkmale Korrelation. <−4 −4:−2 −2:0 0:2. Gurt Kein. Sicherheit. >4. leicht. Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. Verletzungen. Mosaikplot Autounfälle 165.

(48) Verletzung. angegurtet nicht angegurtet. leicht. schwer. tödlich. 264 2. 90 34. 6 4. 360 40. 266. 124. 10. 400.

(49) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. sehr gut. gut. sehr zufrieden. zufrieden. geht so. unzufrieden. Data.complete = na.omit(MyData[,c("MatheZufr", "NoteMathe")]) Noten.complete = ordered(cut(Data.complete$NoteMathe, breaks=c(0,1.5,2.5,3.5,4.1,5.0)), labels=c("sehr gut", "gut", "befriedigend", "ausreichend", "nicht bestanden")) tab = table("Note"=Noten.complete, "Zufrieden mit Leistung"=Data.complete$MatheZufr) require(vcd) mosaic(tab, shade = TRUE, gp_args = list(interpolate = function(x) pmin(x/4, 1)), labeling_args = list(rot_labels = c(90,0,0,0), just_labels = c("left", "left", "right", "right"), offset_varnames = c(left = 5, top=5.5), offset_labels = c(right = 3)), margins = c(right = 1, bottom = 3, left=6, top=5)). 8.60. Note. 4. Einführung. Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale. 3.40 1.70 −0.02 −1.70 −3.50. nicht bestanden. 3. DGLs. Häufigkeiten Pearson residuals: 10.00. 5.10. ausreichend. 2. Lineare Programme. 5. Deskriptive Statistik. 6.80. befriedigend. 1. Finanzmathematik. −5.20 p−value = < 2.22e−16. „Note in Matheklausur“ gegen „Zufrieden mit Leistung“. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. 166.

(50) Mosaicplot Geschlecht, Wunschfarbe für Smartphone. mosaicplot(t(tab), shade = TRUE, sort=2:1, main=""). ## Geschlecht ## Farbe Frau Mann ## blau 15 16 ## gelb 3 2 ## rot 19 5 ## schwarz 143 190 ## silber 57 25 ## weiss 152 43. Mann. 1. Finanzmathematik >4. rot gelb blau. Frau. 2. Lineare Programme. 2:4. 3. DGLs 4. Einführung. schwarz. 0:2. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung. Farbe. −2:0. Konzentration Zwei Merkmale. −4:−2. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. <−4. silber. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. Standardized Residuals:. Quellen weiss. tab = table(Farbe, Geschlecht) tab. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Geschlecht. 167.

(51) Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. require(vcd) Data.complete = na.omit(MyData[,c("Geschlecht", "Studiengang")]) with(Data.complete, { tab = table("Studiengang"=Studiengang, "Geschlecht"=Geschlecht) mosaic(tab, shade = TRUE, gp_args = list(interpolate = function(x) pmin(x/4, 1)), labeling_args = list(rot_labels = c(90,0,0,0), just_labels = c("left", "left", "right", "right"), offset_varnames = c(left = 5, top=5.5), offset_labels = c(right = 3)), margins = c(right = 1, bottom = 3, left=6, top=5)) }). 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs. 5. Deskriptive Statistik. Mann. Frau. 4. Einführung. Pearson residuals: 3.00 BW. 2.30 1.70. Studiengang. ET. Lage und Streuung Konzentration. 0.97 0.28. IM −0.40 −1.10 Inf. Häufigkeiten. −1.80. Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes. −2.50 WI. −3.10 p−value = 1.5247e−08. Lineare Regression. 6. W-Theorie. „Note in Matheklausur“ gegen „Zufrieden mit Leistung“. 7. Induktive Statistik Quellen. 168.

(52) Mosaicplot Geschlecht, Anzahl Schuhe. Frau. Mann. 1. Finanzmathematik >4. (2,8]. 2. Lineare Programme 3. DGLs. 2:4. (8,16]. 4. Einführung. 0:2. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung −2:0. Konzentration (16,30]. Zwei Merkmale. −4:−2. Korrelation Preisindizes Lineare Regression. <−4. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. Standardized Residuals:. ## Geschlecht ## Anzahl Schuhe Frau Mann ## (2,8] 22 148 ## (8,16] 53 108 ## (16,30] 195 18 ## (30,275] 119 1. mosaicplot(t(tab), shade = TRUE, main="", las=1). Anzahl Schuhe. tab = table( "Anzahl Schuhe" = cut(AnzSchuhe, breaks = quantile( AnzSchuhe, probs = (0:4)/4 ) ), Geschlecht) tab. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. (30,275]. Geschlecht. 169.

(53) Ausgangsdaten. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Bundesliga 2008/2009 Gegeben: Daten zu den 18 Vereinen der ersten Bundesliga in der Saison 2008/09 Merkmale: Vereinssetat für Saison (nur direkte Gehälter und Spielergehälter) und Ergebnispunkte in Tabelle am Ende der Saison. FC Bayern VfL Wolfsburg SV Werder Bremen FC Schalke 04 VfB Stuttgart Hamburger SV Bayer 04 Leverkusen Bor. Dortmund Hertha BSC Berlin 1. FC Köln Bor. Mönchengladbach TSG Hoffenheim Eintracht Frankfurt Hannover 96 Energie Cottbus VfL Bochum Karlsruher SC Arminia Bielefeld. Etat. Punkte. 80 60 48 48 38 35 35 32 31 28 27 26 25 24 23 17 17 15. 67 69 45 50 64 61 49 59 63 39 31 55 33 40 30 32 29 28. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme 3. DGLs 4. Einführung 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. (Quelle: Welt). 175.

(54) Darstellung der Daten in Streuplot. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. 70. Bundesliga 2008/09 VfL Wolfsburg FC Bayern. 1. Finanzmathematik. VfB Stuttgart Hertha BSC Berlin. 2. Lineare Programme. 60. Hamburger SV Bor. Dortmund. 3. DGLs 4. Einführung. TSG Hoffenheim. 5. Deskriptive Statistik. 50. Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale. SV Werder Bremen. Korrelation. 40. Preisindizes Lineare Regression. Hannover 96 1. FC Köln. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik. 30. Punkte. Häufigkeiten. FC Schalke 04 Bayer 04 Leverkusen. Eintracht Frankfurt VfL Bochum Bor. Mönchengladbach Energie Cottbus Karlsruher SC Arminia Bielefeld. 20. Quellen. 40. 60. 80. Etat [Mio. Euro]. 176.

(55) Trend als lineares Modell. Wirtschaftsmathematik Etschberger - WS2016. Kann man die Tabellenpunkte näherungsweise über einfache Funktion in Abhängigkeit des Vereinsetats darstellen? Allgemein: Darstellung einer Variablen Y als Funktion von X:. 1. Finanzmathematik 2. Lineare Programme. y = f(x). 3. DGLs 4. Einführung. Dabei:. 5. Deskriptive Statistik Häufigkeiten. X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable. Wichtiger (und einfachster) Spezialfall: f beschreibt einen linearen Trend: y = a + bx. Lage und Streuung Konzentration Zwei Merkmale Korrelation Preisindizes Lineare Regression. 6. W-Theorie 7. Induktive Statistik Quellen. Dabei anhand der Daten zu schätzen: a (Achsenabschnitt) und b (Steigung) Schätzung von a und b: Lineare Regression 177.

(56)