23. Juni 2008

23. Juni 2008

Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer

Theoretische Physik II — Haus¨ ubung 11

Abgabe: 30. Juni 2008

H29. Spinalgebra (6P)

Es seien ~u und ~v dreidimensionale Vektoren mit reellen Eintr¨agen. 1

sei die Einheits- matrix in zwei Dimensionen und σ

, σ

, σ

seien die Pauli Matrizen. Beweisen Sie die folgenden Identit¨aten:

(~u · ~σ)(~v · ~σ) = (~u · ~v) 1

+i(~u × ~v) · ~σ (2P) , (~v × ~u) · ~σ = 1

2i [ ~v · ~σ, ~u · ~σ] (2P).

Berechnen Sie die Eigenwerte von ~u · ~σ (2P).

H30. Spin in Magnetfeld (6+6P)

Ein Spin befinde sich in einem Magnetfeld in z–Richtung. Seine Dynamik werde also von dem Hamiltonoperator

H ˆ = ω

S ˆ

mit der Lamorfrequenz ω

bestimmt. Berechnen Sie die Erwartungswerte h S ˆ

(t) i und h S ˆ

(t) i , wenn der Spin sich am Anfang

i) im Zustand | + i befindet (3P).

ii) im Zustand ( | + i + |−i )/ √

2 befindet (3P).

Hinweis: Es gibt mindestens drei M¨oglichkeiten, das Problem zu behandeln A: Man entwickelt den Zeitentwicklungsoperator in Eigenzust¨anden von ˆ H e

= c

(t) | + ih + | + c

(t) |−ih−| .

B: Man betrachtet

S ˆ

(t) = e

S ˆ

(0)e

, S ˆ

(t) = e

S ˆ

(0)e

,

schreibt den Zeitentwicklungsoperator als 2 × 2 Matrix, wertet die entstehenden Aus- dr¨ ucke durch Anwenden der Vertauschungsrelationen aus und nimmt schließlich den Erwartungswert.

C: Man l¨ost die Heisenberggleichungen f¨ ur ˆ S

(t) und ˆ S

(t).

Wer zwei M¨oglichkeiten durchexerziert, erh¨alt drei Extrapunkte, wer alle drei M¨oglich-

keiten rechnet, erh¨alt sechs Zusatzpunkte.