Prof. Dr. T. Guhr, PD Dr. H. Kohler, Dr. R. Sch¨afer
Theoretische Physik II — Haus¨ ubung 9
Abgabe: 16. Juni 2008
H25. Drehimpulserwartungswerte (7P) Gegeben seien die Wellenfunktionen
ψ
1
(~ r) = (x + y + 3z) R
1
( | ~ r | ) ψ
2
(~ r) = x
2
− y
2
R
2
( | ~ r | )
in kartesischen Koordinaten, wobei die radialen Wellenfunktionen R
1
( | ~ r | ), R
2
( | ~ r | ) so gew¨ahlt seien, dass ψ
1
(~ r) bzw. ψ
2
(~ r) normiert sind.
i) Welche Drehimpulse L, M k¨onnen f¨ ur ein Teilchen im Zustand ψ
1
(~ r) bzw. ψ
2
(~ r) gemessen werden (2P)?
ii) Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten (4P)?
Schreiben Sie obige Funktionen in Kugelkoordinaten und entwickeln Sie sie dann in Kugelfl¨achenfunktionen. Die ben¨otigten Kugelfl¨achenfunktionen sind
Y
00
(θ, φ) = 1
√ 4π
Y
11
(θ, φ) = − r 3
8π sin θe
iφ
, Y
10
(θ, φ) = r 3
4π cos θ , Y
1−1
(θ, φ) = r 3
8π sin θe
−iφ
sowie die in Aufgabe H24 berechneten Y
2M
(θ, φ).
iii) Was ist der maximale Bahndrehimpuls, der in einem Zustand der Form ψ(~ r) = x
25
y
33
f ( | ~ r | )
gemessen werden kann (1P)? Begr¨ unden Sie Ihre Antwort, ohne zu rechnen. Benutzen Sie, dass die assoziierte Legendre Funktion P
LM
(θ) ein Polynom der Ordnung L in sin θ und cos θ ist.
H26. Radialimpuls (5P) Es sei
∆
r
= 1 r
2
∂
∂r r
2
∂
∂r ,
der radiale Anteil des Laplaceoperators in Kugelkoordinaten.
i) Zeigen Sie, dass sich − ~
2
∆
r
auch wie
− ~
2
∆
r
= ˆ p
2r
, p ˆ
r
= ~ i 1 r
∂
∂r r = ~ i
∂
∂r + 1 r
(2)
schreiben l¨asst (2P). Der Operator ˆ p
r
wird der Radialimpuls genannt.
ii) Zeigen Sie, dass ˆ p
r
ein Hermitescher Operator ist (2P).
iii) Was ist der kanonisch konjugierte Operator zu ˆ p
