3.6 Schiefe Biegung

3.6 Schiefe Biegung

α

S S

S S

S S S

S

F F F F

F F

F F

Gerade Biegung Schiefe Biegung

3.6 Schiefe Biegung

3.6 Schiefe Biegung

y

z

z

z

dM V dx

dV p dx

=

= −

z

y

y

y

dM V

dx

dV p

dx

= −

= −

1.) Gleichgewichtsgleichungen

dx Q^z +dQ^z

y y

M +dM x qz

Qz

My

z y

Seitenansicht

dx Q^y +dQ^y M^z +dM^z x qy

Qy

Mz

z

y

Draufsicht

3.6 Schiefe Biegung

2.) Elastizitätsgesetz

σ = ⋅ E ε

3.) Kinematik

• Verschiebung in x-Richtung

u = ψ

( ) x ⋅ − z ψ

( ) x ⋅ y

• Drehwinkel

ψ

( ) x = − w x ^′ ( ); ψ

( ) x = v x ^′ ( )

3.6 Schiefe Biegung

( ) ( ) ( ) ( )

y z

du x z x y w x z v x y

ε = dx = ψ ^′ ⋅ − ψ ^′ ⋅ = − ^′′ ⋅ − ^′′ ⋅

• Dehnung in x-Richtung

4.) Schnittgrößen und Spannungen

y z

0

A A A A

N = ∫ σ dA = ∫ E ⋅ ε dA = − Ew ^′′ ∫ zdA − Ev ^′′ ∫ ydA = − Ew S ^′′ − − Ev S ^′′ =

• Normalkraft

(S_y=0 und S_z=0 da y-z-Achsen Schwerachsen sind!)

2

y A A A A y yz

M ⁼ ∫ z ^⋅ σ dA ⁼ ∫ z E dA ^⋅ ε ^{= −} Ew ^′′ ∫ z dA ⁻ Ev ^′′ ∫ yzdA ^{= −} EI w ^{′′ +} EI v ^′′

• Biegemoment

3.6 Schiefe Biegung

y yz y

yz z z

EI w EI v M EI w EI v M

′′ ′′

− + =

′′ ′′

− + =

( )

( )

1 1

y z z yz

y yz z y

Ew M I M I

Ev M I M I

′′ = − +

Δ

′′ = − +

Δ

2

z A A A A yz z

M = − ∫ y ⋅ σ dA = − ∫ y E dA Ew ⋅ ε = ^′′ ∫ yzdA Ev + ^′′ ∫ y dA = − EI w ^′′ + EI v ^′′

5.) Differentialgleichungen für die Biegelinien

yz

0 I =

2

y z yz

I I I

Δ = −

y y

z z

EI w M EI v M

′′ = −

′′ =

Entkoppelte Dgln 2. Ordnung!

Sonderfall: Im Hauptachsensystem Möglichkeit I:

3.6 Schiefe Biegung

( )

( )

z yz z

y z yz z

y yz z y

M EI w EI v

V M EI w EI v V EI w EI v p

′′ ′′

= − +

′ ′′ ′′ ′

= − = −

′ = ′′ − ′′ ′′ = −

( )

( )

y y yz

z y y yz

z y yz z

M EI w EI v

V M EI w EI v

V EI w EI v p

′′ ′′

= − +

′ ′′ ′′ ′

= = − +

′ = − ′′ + ′′ ′′ = −

(

)

E I w ′′ − I v ′′ ′′ = p

Gekoppelte Dgln 4. Ordnung !

(

)

E − I w ′′ + I v ′′ ′′ = p

Möglichkeit II:

3.6 Schiefe Biegung

6.) Normalspannung

( )

(

) (

)

E E w z v y M I M I z M I M I y

σ

ε

σ ist linear über y und z verteilt!

Nulllinie im Querschnitt: σ = 0

z y y yz

y z z yz

M I M I z

y M I M I

= −

−

Die größte Spannung σ_max tritt im Punkt mit dem größten Abstand von der Nulllinie auf!

Im Hauptachsensystem: I_yz = 0 ^{z y}

y z

z M I

y = M I

3.6 Schiefe Biegung

7.) Bestimmung der Durchbiegung f

• Bestimmung von w und v;

• Vektorielle Addition zur gesamten Durchbiegung f.

2 2

tan | |

| |

f w v

v ϕ w

= +

=

Bemerkungen:

• Die Durchbiegung f steht senkrecht zur Spannungs- nulllinie, i. A. aber nicht parallel zur Lastrichtung.

• Die Spannungsnulllinie steht i. A. nicht senkrecht zur Lastrichtung!