6. ¨ Ubungsblatt zur Physik I

6. ¨ Ubungsblatt zur Physik I

Prof. Dr. G. Hiller, Prof. Dr. S. Khan

Abgabe: Bis Dienstag, den 21. November 2017 12:00 Uhr WS 2017/18

Aufgabe 1 : Vorbeiflug am Jupiter (4 Punkte)

Am 5. M¨ arz 1979, 18 Monate nach ihrem Start, flog die Raumsonde Voyager 1 am Planeten Jupiter vorbei. Sie ist heute mit ¨ uber 140 AE (Astronomischen Einheiten) das am weites- ten von der Erde entfernte Objekt irdischen Ursprungs. Betrachten Sie Jupiter als Zentral- gestirn mit Masse M = 1,9 · 10 ²⁷ kg und vernachl¨ assigen Sie den Einfluss der Sonne. Die Geschwindigkeit der Sonde betrug bei großem Abstand (N¨ aherung r → ∞) v = 10,8 km/s.

Der minimale Abstand zum Mittelpunkt des Planeten betrug r min = 3,4 · 10 ⁵ km.

(a) Dr¨ ucken Sie die Exzentrizit¨ at der hyperbolischen Bahn durch v, r _min und M aus.

Anmerkung: Der Bahndrehimpuls ist durch r _min und die dort erreichte maximale Geschwindigkeit v _max gegeben.

(b) Berechnen Sie die Exzentrizit¨ at der Bahn und daraus den Winkel, um den die Sonde vom Planeten insgesamt abgelenkt wurde.

Aufgabe 2 : Swing-by-Man¨ over (6 Punkte)

Viele interplanetare Raumfahrtmissionen wurden erst durch die Entwicklung des swing- by-Man¨ overs erm¨ oglicht. Hierbei wird auf eine Raumsonde, die einen Planeten passiert, im Ruhesystem der Sonne kinetische Energie ¨ ubertragen. Außerhalb eines sph¨ arischen Einflussbereichs des Planeten soll nur der Einfluss der Sonne, innerhalb dieses Bereichs nur die Zentralkraft des Planeten betrachtet werden. Im Folgenden wird die Norm eines Vektors ~a mit a bezeichnet.

(a) Beim Radius r E , der den Einflussbereich definiert, sei der Betrag der Gravitati- onskraft von Sonne und Planet gleich. Berechnen Sie r _E f¨ ur Jupiter (Bahnradius 7,8 · 10 ⁸ km, Jupitermasse 1,9 · 10 ²⁷ kg, Sonnenmasse 2,0 · 10 ³⁰ kg). Berechnen Sie ferner die Geschwindigkeit u P des Planeten im Ruhesystem der Sonne (heliozentri- sches System).

(b) Die Geschwindigkeiten der Sonde im heliozentrischen System seien ~ u ₁ bzw. ~ u ₂ vor und nach dem Man¨ over, relativ zu Jupiter seien sie ~ v ₁ bzw. ~ v ₂ . Die Winkel der Vektoren ~ u ₁ und ~ u ₂ relativ zu ~ u _P seien β ₁ und β ₂ . Die Winkel der Vektoren ~ v ₁ und

~ v ₂ relativ zu ~ u _P seien γ ₁ und γ ₂ (eine Skizze kann hilfreich sein). Dr¨ ucken Sie v ₁ durch u ₁ , u _P und β ₁ aus. Dr¨ ucken Sie ferner u ₂ durch v ₂ , u _P und γ ₂ aus. Warum gilt v ₁ = v ₂ =: v im Abstand r _E von Jupiter?

(c) Verwenden Sie nun die Daten aus Aufgabe 1. Wie groß waren die Winkel β ₁ und γ 1 vor dem Man¨ over, wenn die Geschwindigkeit u 1 im heliozentrischen System 12,8 km/s betrug? Wie groß war der Winkel γ ₂ ? Berechnen Sie hieraus die Geschwin- digkeit u ₂ nach dem Man¨ over und erkl¨ aren Sie in Worten, wieso eine Raumsonde beim Vorbeiflug an einem Planeten Energie gewinnen kann.

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Aufgabe 3 : Der -Tensor (4 Punkte) Im Folgenden wird die

” Einsteinsche Summenkonvention“ verwendet. Diese besagt, dass

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uber mehrfach auftretende Indices innerhalb eines Produktes summiert wird. Damit kann zum Beispiel das Standardskalarprodukt zweier Vektoren ~a = (a ₁ , a ₂ , a ₃ ), ~b = (b ₁ , b ₂ , b ₃ ) des R ³ geschrieben werden als ~a · ~b = a _i b _i , wohingegen mit a _i + b _i die i-te Komponente des Vektors ~a +~b gemeint ist.

Gegeben ist nun der -Tensor mit folgenden Eigenschaften:

_ijk =



 

 

1, wenn (i, j, k) zyklische Permutation von (1, 2, 3)

−1, wenn (i, j, k) antizyklische Permutation von (1, 2, 3) 0, sonst

.

Außerdem ist das Kronecker-Delta δ mit folgenden Eigenschaften gegeben:

δ _ij =

( 1, wenn i = j 0, wenn i 6= j . Hierbei durchlaufen die Indices die Werte 1, 2 und 3.

(a) Schreiben Sie alle nicht verschwindenden Komponenten von _ijk auf.

(b) Zeigen Sie, dass man das Kreuzprodukt wie folgt darstellen kann:

~a ×~b = ijk a j b k e ˆ i , (1) wobei ˆ e _i den i-ten Standardbasisvektor des R ³ bezeichnet.

(c) Zeigen Sie, dass gilt:

_{ijk lmn} =

δ _il δ _im δ _in δ jl δ jm δ jn

δ _kl δ _km δ _kn

. (2)

Hinweis: Betrachten Sie zun¨ achst die Determinanten

δ _i1 δ _i2 δ _i3 δ _j1 δ _j2 δ _j3 δ _k1 δ _k2 δ _k3

und

δ _i1 δ _j1 δ _k1 δ _i2 δ _j2 δ _k2 δ _i3 δ _j3 δ _k3

. (3)

(d) Berechnen Sie

3

X

i=1 3

X

j=1 3

X

k=1

_ijk . (4)

(e) Zeigen Sie, dass gilt:

_{ijk imn} = δ _jm δ _kn − δ _jn δ _km . (5) (f) Zeigen Sie, dass gilt:

_{ijk ijn} = 2δ _kn . (6)

(g) Berechnen Sie:

_{ijk ijk} . (7)

2

(h) Zeigen Sie mit Hilfe der vorherigen Aufgabenteile, dass gilt:

~a × ~b = − ~b × ~a (8)

sowie

~a × ( ~b × ~c) = ~b( ~a · ~c) − ~c( ~a · ~b). (9)

” bac-cab Regel“

Aufgabe 4 : Der Satz von Stokes (6 Punkte)

Einleitung: In dieser Aufgabe sei f ~ : D ⊂ R ³ → R ³ eine C ¹ -Funktion (d.h. stetig diffe- renzierbar) und D ⊂ R ³ ein Gebiet. Außerdem wird mit A ⊂ D eine zusammenh¨ angende Fl¨ ache mit Rand ∂A bezeichnet.

Die Fl¨ ache A sei orientierbar, d.h. es existiere zu jedem Punkt der Fl¨ ache ein normierter Einheitsvektor ~ n, welcher senkrecht auf der Fl¨ ache steht mit |~ n| = 1.

Eine Parametrisierung des Randes ∂A heißt positiv orientiert, wenn anschaulich gespro- chen eine Person, die sich auf der Seite der Fl¨ ache befindet, zu der ~ n zeigt und welche entlang der Randparametrisierung l¨ auft, die Fl¨ ache immer zu ihrer Linken hat.

(a) Der Satz von Stokes besagt mit den Voraussetzungen der Einleitung:

Z

∂A

fd~ ~ r = Z

A

(∇ × f)d ~ A, ~ d A ~ = ~ ndA, (10)

wobei ∂A in positiver Richtung durchlaufen werden soll. Zeigen Sie, dass der Satz von Stokes gilt.

Anleitung:

(i) Betrachten Sie zuerst als Fl¨ ache ein Rechteck mit den Seitenl¨ angen ∆x und ∆y, welches in der x-y-Ebene liegt (Integrale sind von der Wahl des kartesischen Koordinatensystems unabh¨ angig) und orientieren Sie das Rechteck so, dass ~ n in die z-Richtung zeigt. Der Mittelpunkt dieses Rechtecks werde mit (x ₀ , y ₀ , 0) bezeichnet. Fertigen Sie eine Skizze an.

(ii) Geben Sie eine Randparametrisierung an.

(iii) Berechnen Sie R

∂A

f ~ d~ r und verwenden Sie f¨ ur den vorkommenden Integranden eine Taylorentwicklung bis zur ersten Ordnung (Alternativ kann auch der Mit- telwertsatz der Differentialrechnung verwendet werden).

(iv) Gehen Sie nun zu dem Grenzwert kleiner Seitenl¨ angen ∆x, ∆y ¨ uber.

Zwischenergebnis: Sie sollten nun zu R

∂A

fd~ ~ r = (∇× f ~ )(x ₀ , y ₀ , 0)~ n∆x∆y gelangt sein.

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(v) Gehen Sie nun davon aus, dass die Fl¨ ache A beliebig gut durch Rechtecke R _i approximiert werden kann. Betrachten Sie nun die Summe der Linieninte- grale R

∂R

fd~ ~ r (Skizze mit Umlaufrichtungen der R¨ ander hilfreich!), verwenden Sie die vorherigen Aufgabenteile und gehen Sie anschließend zum Grenzwert infinitesimaler Rechtecke ¨ uber, um den Satz von Stokes zu erhalten.

(b) Betrachten Sie die in Zylinderkoordinaten durch A = {~ r(ρ, φ, z) ∈ R ³ | ρ

z = c; ρ > 0; h ₁ ≤ z ≤ h ₂ ; 0 ≤ φ ≤ 2π}

mit positiven Parametern c, h 1 , h 2 definierte Kegelmantelfl¨ ache. Verifizieren Sie f¨ ur das Vektorfeld f ~ mit f ~ (x, y, z) := (y, −z, −x) ^T den Satz von Stokes durch explizite Berechnung beider Seiten von (10).

Tipp f¨ ur das Fl¨ achenintegral: Parametrisieren Sie die Fl¨ ache A ~ = A(φ, z), so gilt ~ f¨ ur eine Orientierung

” nach außen“: d A ~ = ^{∂ ~} _∂φ ^A × ^{∂ ~} _∂z ^A , und f¨ ur eine Orientierung

” nach innen“: d A ~ = ^{∂ ~} _∂z ^A × ^{∂ ~} _∂φ ^A .

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