Mwlkplikakous operator Mf

96

Bsp

^{.: • Der}

Mwlkplikakous operator Mf

^{:[ (R") →}

[

LR^")

, tts

ft

,

f

^{: Rh→R}

mepbw , ist

selbstadjungivt

^{unit D (Mf )}

^:{

^{YEL' /}

^FYEL

^'

}

Lemma

^: 1st A hvmitesch

, daun

gilt ^KFEDCA

^{): < f. Al > €R .}

Beweis

^{: <}

f.

^{> : < A} y,

Af f)

^{= < f , A}

^f

^{> .} ,]

Ben

^.: Das

gwantiert

^{in du} Quantennnechanik

, class

Erwartungswute

^d Wahrscheinlich ^. Keith reek sind

, obwohl dlr

zugrundeliegende

^{H.- raum}

Uompllxist

^.

Lemma: Sei AE BCH) and

(f)

_n,,= ,

IEN eine ONB ^{in H} . Dann

gilt

^{KµeH :}

At ⁼ [

fu

^{eh . Afm > ''fun, µ>}

nine I

Beweis ^: Da (

fn

⁾ ONB ^ist _,

gilt

^{: 1:) Y = [ fuefn , t>}

NEI

lii ) Afu ^:

⇐

,

fmefm , Afn^>

Da A

stekg

^{und linear ist ,}

dinrfeu

^{wir den Lines}

⁽

^{in Fall}

Ii

^N

)

in ¹i) unit A vertanschen

, so class die

Dehanptung

^{aus (i) Rlii )}

^folgt

^.

D

Bem

^{.: . A e B (H) ist durch die} " Matrixelcmeute

"

<

fu

,

Afm

^{> =: Ann damit}

eindlnkg

^{bestimmt .}

. Es

gilt

^:

^{( At )nm}

^{: < fu ,}

Atfm

^{> : ' At+}

fm

^.

fu

^{> = < fm , Afn> =}

Inn

D. h. du

adjungierte ^Operator entspricht

^dem

komplexikoujugivten

^,

trausponierteu

^{Operator .}

Bsp

^{.: . 1st H - L'( w) und A ( ×,. ×}, , ^... ) ^:= ( ⁰, x. , xz , ^... ) ^dv " Rechts^. Shift ^" _,

dann ist At ( ^×,,

×, , ^... ) ⁱ ( ^x,, x,_, ^... ) der

,.

Links ^. Shift ^{" . In Matrix -}

Dwstellung

^: _a =

( ⁹⁹⁰

^...

⁾ At

^,

^{|° tt}

^{' ...}

⁾

97

Satz ^: Sind AB ^E BCH )_, delk

, dawn

gilt

^:

(i) Att ^.- A

Iii ) IAB ) ^{'t .-}

Bta

^'t

A

( iii ) ( Atl B )^: Att IB ^'t

Liv) HA ^*It ⁼ HAH

Ir) HAA^'t H ^-- It At All ^: HAH^'

Bewcisi

lil et

, Att f ^{s .- e A* it} f, t ^{> = e} f ^, Att ^{> i e} Atx _,

f

^{> = - t, A} f ^>

(ⁱⁱ) ^- f^{. (} AB )^* t ^{> = e (A}B) ^it t, f^{> i et , A Bfs . Att} , Bfs ^{= e} Bt Att , f^{> .- e} f, Bi^t Att ^> .

( iii )

foyt

^ans

koujugiwter

^{Linear. tort des}

Skalwprodnkts

^.

Cir ) Es

gilt

¹¹

Atf

112= e

Ate Atf Atf Atf

^±

'll ¥

^{, t > = A}

^f-

^{, f >I A 1111111}

HAH HA

^11111111

Dawit ist It

Atf

^{It I}

HAH HA

^{11111 und 't HE}

HAH

^{e o}

Dasselbe

HATH Argument HA At

^{unit ⇐ A}

^liefvt

^{HE .}

I^r) 'll ^± HAH

HAA

HATH ⁼ HAH^' . Ans ^a-)

folgt

^{HAA't117 HATH' : HAH' .}

Dawit

^{ist HAA+11 -- HAK' und unit A ⇒ At}

gilt

^{cinch HA't All .- HAH' .}

D

Def

^{.i A e- BCH} )

heipti

° normal _, ^wenn

IA

, At

]

^{-- O}

• Uni tar , wenn At ^.- A ^-

-

•

orthogonal Projekt

^{or , wenn A-- A* und A' : A .}

98

Lemma ^{: 1st} UEBTH ) unitar

, dann

gilt

^{Ky, YEH : < Uf . Ut > =ef , t >}

also anch HUFH ^: 11111 und somit 11h11 ^{= 1}.

Beweis : < Uf^{, UY >= <} u*uf it ^{> <}

;

^{f. ts . D}

U*^.. U^.1

Ben ^{.: Sind U},

Vunitar

, dann ^anch U* und ( ^UV )

,

aber ^{i. a. hicht} UTV .

Bsp ^.e

for

^unitare

Opuatoreu

^:

° Translations

operator

. Fouriertrafo

.

Multiplikakousoperatoreu

^{der Form t (x) +,} exp

[

iflx ⁾

]

tlx⁾

wobei

f

^{: R "→R}

• Quautenmechanisuhe

Zeiteutwickluug

-

-

-

=

BCH)

normal

\

- - - -

unitar A*=A

\

\^\\:

11 ^\

I ¹

••

Orth . \

Projektoren

'

:

gg

Def

^{.: Se: A : DLA ) EH → 71 und 1K= ¢ .}

° ^DiesoXEE ^classMenge

Leipt ^rpla Eigeuwert

^At)

µED(

^{= dvit .}

Eigeuwerte

^vonµ

^heipt

^{A , Winndannvon A ein}

^Eignvektor hipt

^A)

Punktspektrum

^Ito.

^}

^{existivt , .}

• Die

Menge

^{SLA) :=}

^{

^{t.cc / A - -111 :D (A) → 71 besitzt eine}

beschrainkte Inverse

}

heft Resolventenmenge

^{vonA . lhr}

komplement

^{RLA) :-. El SLA )}

hiipt Spektrum

^{von A.}

Ben

^{.: . Es}

gilt

^{stets TLA) t}

⁰

^und

Loffensichtlioh )

rp ^{(A) erla ) .}

1st dim (H) ^{< oo}

, daun ist

Tp (A)

^{= TIA) . 1. a.}

gilt

^{dies nicht .}

• Es existrvt eine

Uuakgemeinvungdv Spekkatterlegung ⁽

nichttrivial ?)

Bsp^{. : •} Der ^.

shift Reihts

^{A :L2( N) →}

^[

^{( N )} ,

Alx , .×, ^{. ...}) ^:-. ( ⁰, ×

,,×z,

-..

)

besitzt keiweu

Eigenwvt

^{, du A t.tt ⇒ 4=0 .}

^Demnach

^ist

rpl

^{A) =}

¢

^.

Man Kann

jedoch zeiyen

^{, dass TLA) =}

^{

^{TEE / linen}

}

^.

• Sei

fe

^{C([ 0,7]. R}

⁾

^{und 71 :[ ([0,7 ]}

⁾

^{. Fur does}

Spektrum

^des

Multiplications operators

^{At :. flu}

gilt

^:

r( A) ⁼

f ⁽

^{[on ]) und}

rpl

^{A) =}

The

^{rla ) /} _µ

(

f^{- '( tx } )}

)

^{> 0}

)

^.

n Go

NACHTRAG ^:

Dirac

^{' she bra - Ket} Schreibweise

Sei 71 ^ein tlilbvtraum und 71^' do Raum alter

stekgw

^{L' nearer Fnnktionak}

auf

^{H . Nauh Riesz Wisseh wir It}

'±H

.

Man schreibt It ^{> EH}

geuannt

^{" Ket "}

e

01

^{EH '}

genawut

^{" bra "}

so class

< ¢ ^e

41145 ,µs="

"

'

edits (

^{" braldket "}

⁾

( ^{du zwcik Strick wird stets}

weygelasseu )

Dies

vueinfaiht

^{v. a. die}

Schreibweise for

^{ein -} dimensional orth .

Projektoren

^:

14×+1 ^: 71 → 71

und elanbt die

Pwseval Gleichuug

^{Zu usetzen church :}

§

^{14 :×Y ; 1 = I}