Teilaufgabe 3a(5 BE) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene S4 die Kugel nicht schneidet

Abitur 2006 Mathematik LK Geometrie VI

Gegeben ist eine Kugel K mit dem Radius 5, die in eine im Koordinatensystem stehende w¨urfelf¨ormige Schachtel ABCDEFGH mit der Kantenl¨ange 10 (siehe Abbildung) verpackt ist, sowie die Punkteschar Pa(10|0^5(a+2)_a+1

mit dem Parametera∈R⁺₀ .

Teilaufgabe 1a(2 BE)

Wie viel Prozent des Schachtelvolumens f¨ullt die Kugel aus?

Teilaufgabe 1b(5 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Z1 und Z2, in denen die Gerade DF die Kugel schneidet.

[Zur Kontrolle: Z1(5 +⁵₃√ 3|5−⁵₃√

3|5 +⁵₃√ 3) ] Teilaufgabe 1c(5 BE)

Geben Sie die k¨urzeste Strecke an, auf der sich der Punkt Pa bewegt, wenn a das Intervall [0;∞[ durchl¨auft. Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

Um diese Verpackung attraktiver zu gestalten, werden durch Ebenen, die senkrecht zu den Raumdiagonalen des W¨urfels verlaufen, an allen seinen Ecken kongruente dreiseitige Pyrami- den abgeschnitten.

Teilaufgabe 2a(3 BE)

Um welche besonderen Dreiecke handelt es sich bei der Grundfl¨ache (Schnittfl¨ache) und den Seitenfl¨achen der abgeschnittenen Pyramiden?

Teilaufgabe 2b(4 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Ebene Sa in Normalenform, die senkrecht zu DF liegt und den Punkt Pa enth¨alt.

[m¨ogliches Ergebnis: Sa:x1−x2+x3−^15a+20_a+1 = 0 ]

Im Folgenden sei a= 4 . Teilaufgabe 3a(5 BE)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene S4 die Kugel nicht schneidet.

Teilaufgabe 3b(5 BE)

Zeichnen Sie den W¨urfel, den Punkt P4 und die Schnittfl¨ache der Ebene S4 mit dem W¨urfel in ein Koordinatensystem (Orientierung wie in obiger Abbildung) ein.

Teilaufgabe 3c(6 BE)

Berechnen Sie die Volumenverkleinerung der Schachtel und die Oberfl¨achenabnahme der Schachtel, wenn in gleicher Weise wie durch S4 an der Ecke F an allen W¨urfelecken Pyramiden abgeschnitten werden.

Teilaufgabe 3d(5 BE)

Die Ebene S4 und die drei entsprechenden Ebenen, die die oberen Ecken E, G und H des W¨urfels abschneiden, haben genau einen Punkt W gemeinsam (Nachweis nicht erforder- lich). Berechnen Sie die Koordinaten von W.

L¨osung

Teilaufgabe 1a(2 BE)

Gegeben ist eine Kugel K mit dem Radius 5, die in eine im Koordinatensystem stehende w¨urfelf¨ormige Schachtel ABCDEFGH mit der Kantenl¨ange 10 (siehe Abbildung) verpackt ist, sowie die Punkteschar Pa(10|0^5(a+2)_a+1

mit dem Parametera∈R⁺₀ .

Wie viel Prozent des Schachtelvolumens f¨ullt die Kugel aus?

L¨osung zu Teilaufgabe 1a Volumen einer Kugel

Volumen der Schachtel ABCDEFGH: VS=l·l·l=l³= 10³ Volumen der Kugel: VK=⁴₃·r³·π=⁴₃·5³·π

⇒^V_V^K_S = ^43·5₁₀³3^·π=^π₆

Die Kugel f¨ullt ^π₆·100%≈52,36% des Schachtelvolumens aus.

Teilaufgabe 1b(5 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Z1 und Z2, in denen die Gerade DF die Kugel schneidet.

[Zur Kontrolle: Z1(5 +⁵₃√ 3|5−⁵₃√

3|5 +⁵₃√ 3) ] L¨osung zu Teilaufgabe 1b

Lage eines Punktes

Gerade durch die Punkte D(0|10|0) und F(10|0|10) : gDF:−→x=−−→OD+α·−−→DF=−−→OD+α·(−−→OF−−−→OD) =

=



 0 100



+α·[



10 100



−( 0 100 )] =



 0 100



+α·



 10

−1010





⇒gDF:−→x=



 0 10

0



+α·



 1

−1 1





M(5|5|5) ist der Mittelpunkt der Kugel

Erl¨auterung:Kugelgleichung

Eine Kugel l¨asst sich durch die Gleichung K :x²+y²+z² =r² beschreiben, wobei x,y,z die Raumkoordinaten sind und r den Radius darstellt.

Ist M der Mittelpunkt der Kugel K, dann lautet die Gleichung K : (x−xM)²+ (y−yM)²+ (z−zM)²=r²

⇒K: [−→x−



 5 55



]

2

= 25

Gesucht ist nun gDF∩K , also gDF in K einsetzen:







 0 10

0



+α·



 1

−1 1



−



 5 5 5









2

= 25 ⇐⇒







 −5 5

−5



+α·



 1

−1 1









2

= 25

⇒



 −5

−55





2

+α²·



 1

−11





2

+ 2α·



 5

−55



·



 1

−11



= 25

⇒75 + 3α²+ 2α·(−15) = 25

⇒3α²−30α+ 50 = 0

⇒α1,2=^30±√

30²−4·3·50

2·3 =^30±√9·100−6·100

6 =^30±10₆^√9−6

⇒α1,2= 5±⁵₃√ 3

Werte von α in gDF einsetzen:

Z1:



 0 100



+ (5 +⁵₃√ 3)·



 1

−11



=



 0 + 5 +⁵₃√ 3 10−5−⁵₃√

3 0 + 5 +⁵₃√

3



=



 5 +⁵₃√ 3 5−⁵₃√

3 5 +⁵₃√

3





Z2:



 0 10

0



+ (5−⁵₃√ 3)·



 1

−1 1



=



 0 + 5−⁵₃√ 10−5 +⁵₃√3

3 0 + 5−⁵₃√

3



=



 5−⁵₃√ 5 +⁵₃√3 3 5−⁵₃√

3





Teilaufgabe 1c(5 BE)

Geben Sie die k¨urzeste Strecke an, auf der sich der Punkt Pa bewegt, wenn a das Intervall [0;∞[ durchl¨auft. Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

L¨osung zu Teilaufgabe 1c Grenzwert bestimmen

Wenn a das Intervall [0;∞[ durchl¨auft, dann ver¨andert sich die x3-Koordinate des Punktes Pa :

x3Pa=^5(a+2)_a+1

a→∞limx3_Pa= lim_a→∞^5(a+2)_a+1 = lim_a→∞5·^aaa^+2a

a+¹_a = lim_a→∞5·¹⁺

z}|{→0

2 a

1+ 1

|{z}a

→0

= 5

x3Pa(a= 0) = 5·⁰⁺²₀₊₁= 10 Erste Ableitung bilden:

x3Pa0(a) = (5·^a+2_a+1)⁰= 5·^a+1−(a+2)_(a+1)2 =−_(a+1)⁵ 2

Da der Nenner im Quadrat steht, ist x3Pa0(a)<0 f¨ur alle a∈R⁺₀ .

Die Funktion x3_Pa(a) ist auf dem Intervall [0;∞[ streng monoton fallend, hat somit keine Extrempunkte.

⇒Pa bewegt sich auf der x3-Achse zwischen 5 und 10.

Teilaufgabe 2a(3 BE)

Um diese Verpackung attraktiver zu gestalten, werden durch Ebenen, die senkrecht zu den Raumdiagonalen des W¨urfels verlaufen, an allen seinen Ecken kongruente dreiseitige Pyramiden abgeschnitten.

Um welche besonderen Dreiecke handelt es sich bei der Grundfl¨ache (Schnittfl¨ache) und den Seitenfl¨achen der abgeschnittenen Pyramiden?

L¨osung zu Teilaufgabe 2a Besondere Dreiecke

Die Grundfl¨ache ist ein gleichseitiges Dreieck.

Die Seitenfl¨achen sind gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke.

Teilaufgabe 2b(4 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Ebene Sa in Normalenform, die senkrecht zu DF liegt und den Punkt Pa enth¨alt.

[m¨ogliches Ergebnis: Sa:x1−x2+x3−^15a+20_a+1 = 0 ] L¨osung zu Teilaufgabe 2b

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

Da die gesuchte Ebene senkrecht zu gDF liegt, ist −→nSa=−−→DF

Erl¨auterung:Normalenform einer Ebene Die Parameterform einer EbeneE lautet:

−

→x=−→x0+α· −→a+β·−→b , wobei−→x0 der Ortsvektor ist.

Die Normalenform einer Ebene E entsteht durch Skalarprodukt mit dem Normalenvektor −→nE. Dieser steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren

−

→a und −→b der Ebene E. Das Skalarprodukt zwischen 2 Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich 0.

Es folgt also:

E:−→x· −→nE=−→x0+α· −→a +β·−→ b

· −→nE

=−→x0· −→nE+α· −→| {z }a· −→nE

=0

+β·−→| {z }b· −→nE

=0

=−→x0· −→nE

⇒Sa:−→x· −→nSa=−P→a· −→nSa ⇐⇒ −→x·



 1

−11



=



 10 0 5·^a+2_a+1



·



 1

−11



= 10 + 5·^a+2_a+1

⇒Sa:x1−x2+x3= 5·^3a+4_a+1

Teilaufgabe 3a(5 BE) Im Folgenden sei a= 4 .

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene S4 die Kugel nicht schneidet.

L¨osung zu Teilaufgabe 3a Lagebeziehung Ebene und Kugel S4:−→x·



 1

−11



−16 = 0

Erl¨auterung:Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalform einer Ebene H entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene mit dem Betrag des Normalenvektors.

H^−→nH:−→x· −→nH−d= 0 ⇒ H^HNF:^−→x|^{·−→n−→nH}H^−d| = 0

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Hesse-Normalform der Ebene E, bestimmt man den Abstand des Punktes zur Ebene.

d(P, H) =|H^HNF(P)|=

0 BB

@

p1

p2

p3 1 CC A·−→nH−d

|^−→nH|

S4HNF:

−

→x· 0 BB

@

−11 1

1 CC A−16 vu

uu uu t 0 BB

@

1

−11

1 CC A

2 =

−

→x· 0 BB

@

−11 1

1 CC A−16

√3

Der Abstand der Ebene S4 vom Mittelpunkt M der Kugel K ist:

d(S4, M) =

0 BB

@

55 5

1 CC A· 0 BB

@

−11 1

1 CC A−16

√3

=^5−16√₃ =^√11₃≈6,35 , also gr¨oßer als der Radius der Kugel K (r= 5 )

Die Ebene S4 schneidet nicht die Kugel K.

⇒S4∩K=∅

Teilaufgabe 3b(5 BE)

Zeichnen Sie den W¨urfel, den Punkt P4 und die Schnittfl¨ache der Ebene S4 mit dem W¨urfel in ein Koordinatensystem (Orientierung wie in obiger Abbildung) ein.

L¨osung zu Teilaufgabe 3b Skizze

Teilaufgabe 3c(6 BE)

Berechnen Sie die Volumenverkleinerung der Schachtel und die Oberfl¨achenabnahme der Schachtel, wenn in gleicher Weise wie durch S4 an der Ecke F an allen W¨urfelecken Pyramiden abgeschnitten werden.

L¨osung zu Teilaufgabe 3c Volumen einer Pyramide

Das Volumen der Pyramide P4F2F1F ist gleich ¹₃·G·h Die Grundfl¨ache ist das Dreieck P4F1F

⇒G=¹₂·4·4 = 8

Die H¨ohe der Pyramide ist gleich 4 ⇒h= 4

⇒VP yr.=¹·G·h=¹·8·4 =³²

Es werden 8 solcher Pyramiden abgeschnitten, also ist die Volumenminderung gleich 8·³²₃ Oberfl¨ache einer Pyramide

Wird an einer Ecke der Schachtel solch eine Pyramide abgeschnitten, dann wird die Oberfl¨ache der Schachtel um die 3 Seitenfl¨achen der Pyramide verkleinert und um die Schnittfl¨ache vergr¨oßert.

Seitenfl¨ache = 3·8

Schnittfl¨ache =¹₂·4√

2·h=¹₂·4√ 2·q

4√ 22

− 2√ 22

=

= 2√ 2·√

31−8 = 2√ 2√

24 = 8√ 3

Bei 8 Ecken ergibt sich eine Oberfl¨achenminderung von 8·

(3·8)−8√ 3

= 8·8(3−√ 3)

Teilaufgabe 3d(5 BE)

Die Ebene S4 und die drei entsprechenden Ebenen, die die oberen Ecken E, G und H des W¨urfels abschneiden, haben genau einen Punkt W gemeinsam (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten von W.

L¨osung zu Teilaufgabe 3d Lage eines Punktes

Aus Symmetriegr¨unden liegt der Schnittpunkt W auf der Geraden die parallel zur x3-Achse ist und durch den Mittelpunkt M geht.

gM,x3:−→x=



5 5 5



+σ·



0 0 1





Gesucht ist gM,x3∩S4 :

[



 5 5 5



+σ·



 0 0 1



]· 1

−1

1 −16 = 0

⇒(5 +σ·0)·1 + (5 +σ·0)·(−1) + (5 +σ)·1−16 = 0

⇒5−5 + 5 +σ−16 = 0⇒σ= 11

⇒W(5|5|16)

Alternative L¨osung:

Aufstellen der Gleichung der Ebenen die senkrecht zu BH und CE sind.

Ebenen schneiden und die Schnittgerade ermitteln.

Schnittgerade mit der Ebene S4 schneiden ⇒ W