Aufgaben zu
Gew¨ohnliche Differentialgleichungen
Sommersemester 2014
W.–J. Beyn A. Girod
Abgabe: Mittwoch, 04.06.2014, 8:30 Uhr
Ubungsgruppen:¨ Do. 14–16, V5–148, Postfach: V3–128 (36) (Nils Strunk) Do. 18–20, V5–148, Postfach: V3–128 (215) (Jochen R ¨ondigs) Di. 12–14, V5–148, Postfach: V3–128 (44) (Denny Otten) Di. 16–18, V4–119, Postfach: V3–128 (114) (Alina Girod)
Aufgabe 21:
Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
u′ =|u2+t|, u(0) = 1 (1) wobeiu∈Rundt∈[−2,2].
(a) Berechnen und skizzieren Sie den Eulerschen Polygonzug zur AWA (1) mit der Zerlegung {ti =i:i=−2,−1,0,1,2}.
(b) Zeigen Sie, dass der Fortsetzungssatz auf die AWA (1) mitΩ = (−2,2)×Ranwendbar ist.
(6 Punkte)
Aufgabe 22:
SeiuεL¨osung der Anfangswertaufgabe u′ε = t2+ sin(t)
uε, uε(0) = 2 +ε.
Zeigen Sie f¨urn ∈Ndie Absch¨atzung sup
0≤t≤nπ
|u0(t)−uε(t)| ≤Cnε,
wobei insbesondere die (vonnabh¨angige) KonstanteCnzu bestimmen ist.
(6 Punkte)
— Bitte wenden —
Aufgabe 23:
Seiu(t, u0, λ), t≥0, L¨osung des zweidimensionalen parameterabh¨angigen Systems u′1 = −u2−u1(u21+u22−λ)
u′2 = u1−u2(u21+u22−λ) , u1(0) u2(0)
!
=u0 = u01
u02
! .
Zeigen Sie, dass die L¨osung der AWA mit Parameter λ = 1zum Anfangswertu0 = 1
0
die folgende Form hat
u
t, 1
0
,1
=
cos(t) sin(t)
.
Geben Sie explizit die lineare Anfangswertaufgabe an, die von der Funktion
v(t) := ∂u
∂λ
t, 1
0
,1
gel¨ost wird.
(6 Punkte)
