... im Beispiel:

... im Beispiel:

S → ^if ( E ) S else S ⁰ | while ( E ) S ¹ | E; ²

E → ^id0

Zustände: Items

Tabelle:

if while id

[. . . → . . . • S. . .] 0 1 2 [. . . → . . . • E. . .] − − 0

Im Allgemeinen ...

• ist die Menge der möglichen nächsten k Zeichen gegeben durch:

First_k(α β) = ^First_k(α) ^First_k(β) wobei:

(1) α die rechte Seite der passenden Regel;

(2) β ein möglicher rechter Kontext von A ist :-)

• First_k(β) müssen wir dynamisch akkumulieren.

==⇒ Wir erweitern Items um Vorausschau-Mengen ...

Ein erweitertes Item ist ein Paar: [A→α •β _{, L}] (A→α β ∈ P, L ⊆ T^≤k) Die Menge L benutzen wir, um First_k(β) für den rechten Kontext β von A zu repräsentieren :-)

Konstruktion:

Zustände: erweiterte Items Anfangszustand: [S⁰ → •S, {}]

Endzustand: [S⁰ → _S •_, {}] Übergänge:

Expansionen:

([A → α • _Bβ_{, L}],_,[A → α • _Bβ_{, L}] [B →

•γ, First_k(β) L ]) Shifts:

([A → α • aβ_{, L}], a, [A → α _a•β_{, L}]) für A → α _aβ ∈ P

Ein erweitertes Item ist ein Paar: [A→α •β _{, L}] (A→α β ∈ P, L ⊆ T^≤k) Die Menge L benutzen wir, um First_k(β) für den rechten Kontext β von A zu repräsentieren :-)

Konstruktion:

Zustände: erweiterte Items Anfangszustand: [S⁰ → • S, {}]

Endzustand: [S⁰ → _S•_, {}]

Übergänge:

Expansionen:

([A → α • _Bβ_{, L}],_,[A → α • _Bβ_{, L}] [B →

•γ, First_k(β) L ]) Shifts:

([A → α • aβ_{, L}], a, [A → α _a•β_{, L}]) für A → α _aβ ∈ P

Ein erweitertes Item ist ein Paar: [A→α •β _{, L}] (A→α β ∈ P, L ⊆ T^≤k) Die Menge L benutzen wir, um First_k(β) für den rechten Kontext β von A zu repräsentieren :-)

Konstruktion:

Zustände: erweiterte Items Anfangszustand: [S⁰ → • _S, {}]

Endzustand: [S⁰ → _S•, {}]

Übergänge:

Expansionen: ([A→α• _Bβ_{, L}],_, [A→α • _Bβ _{, L}] [B→ •γ_, ^First_k(β) _L ]) für A → α _Bβ_{, B}→γ ∈ _P

Shifts: ([A→α • _aβ_{, L}], a, [A→α _a• β_{, L}]) für A→α _aβ ∈ _P Reduce: ([A→α • _Bβ, L] [B→γ• , L⁰],,[A→α _B•β, L]) für

A0 i0

A2 i2

A1 i1

γ

β₁

β₂

B i β

Die Vorausschau-Tabelle:

Wir setzen M[ [A→α • _Bβ_{, L}], w] = i genau dann wenn (B,i) die Regel B→γ _{ist und: w} ∈ ^First_k(γ) ^First_k(β) L

([A0 → •α_{1 A1}β_{1, L1}], uv) `^∗ ([A0 →α₁ • _A1β_{1, L1}]. . .[A_m−1 →α_m • _Am β_{m, Lm}], v)

`^∗ ([A0 →α_{1 A1} β₁•_{, L1}], ) ... gilt genau dann wenn:

(1) α_{1 . . .}α_m →^∗ u (2) A_mβ_{m . . .}β₁ →^∗ _v

(3) L_m = ^First_k(β_m−1) . . . ^First_k(β₁) L1

A0 i0

A₂ i₂ A1 i1

γ

β₁

β₂ Am im β_m

Satz

Die reduzierte kontextfreie Grammatik G ist LL(k) genau dann wenn die k-Vorausschau-Tabelle für alle benötigten erweiterten Items wohl-definiert ist.

Diskussion:

• Der erweiterte Item-Kellerautomat zusammen mit einer

k-Vorausschau-Tabelle erlaubt die deterministische Rekonstruktion einer Links-Ableitung :-)

• Die Anzahl der Vorausschau-Mengen L kann sehr groß sein :-(

• ...

Beispiel:

Die Übergänge des erweiterten Item-Kellerautomat (k = 1) :

0 [_S⁰ → • S,{}] [_S⁰ → • S,{}] [S→•,{}]

1 [S⁰ → • S,{}] [S⁰ → • S,{}] [S→ • aSb,{}]

2 [S→ • aSb,{}] a [S→a • Sb,{}]

[S→ • aSb,{b}] a [S→a • Sb,{b}]

3 [_S→a• Sb,{}] [_S→a • Sb,{}] [S→•,{b}]

[S→a• Sb,{b}] [S→a • Sb,{b}] [S→•,{b}]

4 [S→a• Sb.{}] [S→a • Sb.{}] [S→ • aSb,{b}]

[S→a• Sb.{b}] [S→a • Sb.{b}] [S→ •a Sb,{b}]

5 [_S→a• Sb,{}] [S→•,{b}] [_S→a S•b,{}]

[S→a• Sb,{b}] [S→•,{b}] [S→a S•b,{b}]

. . . . . .

. . . . . . 6 [S→a• Sb,{}] [S→a Sb•,{b}] [S→aS•b,{}]

[_S→a• Sb,{b}] [S→aSb•,{b}] [_S→aS•b,{b}]

7 [S→aS•b,{}] b [S→aSb•,{}]

[S→aS•b,{b}] b [S→aSb•,{b}]

8 [S⁰ → • S,{}] [S→•,{}] [S⁰ →S•,{}]

9 [_S⁰ → • S,{}] [S→aSb•,{}] [_S⁰ →S•,{}]

Die Vorausschau-Tabelle:

_{a b}

[S⁰ → • S,{}] 0 1 − [S→a • Sb,{}] − 1 0 [S→a • Sb,{b}] − 1 0

Beobachtung:

• Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen der Items ab !!!

• Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-)

• Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k) ...

Wir definieren:

Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A → α_{, A} → α⁰ ∈ _{P :}

First_k(α) ^Follow_k(A) ∩ ^First_k(α⁰) ^Follow_k(A) = ∅

Beobachtung:

• Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen der Items ab !!!

• Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-)

• Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k) ...

Wir definieren:

Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A → α_{, A} → α⁰ ∈ _{P :}

First_k(α) ^Follow_k(A) ∩ ^First_k(α⁰) ^Follow_k(A) = ∅

Beobachtung:

• Die auszuwählende Regel hängt hier ja gar nicht von den Erweiterungen der Items ab !!!

• Unter dieser Voraussetzung können wir den Item-Kellerautomaten ohne Erweiterung benutzen :-)

• Hängt die auszuwählende Regel nur von der aktuellen Vorausschau w ab, nennen wir G auch stark LL(k) ...

Wir definieren:

Die reduzierte kontextfreie Grammatik G heißt stark LL(k), falls für je zwei verschiedene A→α _{, A}→α⁰ ∈ _{P :}

... im Beispiel:

Follow₁(S) = {_,b}

First₁() ^Follow₁(S) = {} {_,b} = {_{, b}} First₁(aSb) ^Follow₁(S) = {_a} {,b} = {_a}

Wir schließen:

Ist G eine starke LL(k)-Grammatik, können wir die Vorausschau-Tabelle statt mit (erweiterten) Items mit Nichtterminalen indizieren :-)

Wir setzen M[B, w] = i genau dann wenn (B,i) die Regel B→γ ist und: w ∈ ^First_k(γ) ^Follow_k(B) .

... im Beispiel:

_{a b}

S 0 1 0

Satz

• Jede starke LL(k)-Grammatik ist auch LL(k) :-)

Ist G eine starke LL(k)-Grammatik, können wir die Vorausschau-Tabelle statt mit (erweiterten) Items mit Nichtterminalen indizieren :-)

Wir setzen M[B, w] = i genau dann wenn (B,i) die Regel B→γ ist und: w ∈ ^First_k(γ) ^Follow_k(B) .

... im Beispiel:

_{a b}

S 0 1 0

Satz

• Jede starke LL(k)-Grammatik ist auch LL(k) :-)

• Jede LL(1)-Grammatik ist bereits stark LL(1) :-))

Beweis:

Sei G stark LL(k).

Betrachte eine Ableitung S→^∗_{L u A}β _{und Regeln A}→α_{, A}→α⁰ ∈ _P.

Dann haben wir:

First_k(α β) ∩ ^First_k(α⁰ β) = ^First_k(α) ^First_k(β) ∩ ^First_k(α⁰) ^First_k(β)

⊆ ^First_k(α) ^Follow_k(A) ∩ ^First_k(α⁰) ^Follow_k(A)

= 0

Folglich ist G auch LL(k) :-)

Sei G LL(1).

Betrachte zwei verschiedene Regeln A→α _{, A}→α⁰ ∈ P.

Fall 1: ∈ ^First₁(α) ∩ ^First₁(α⁰) .

Dann kann G nicht LL(1) sein :-)

Sei G LL(1).

Betrachte zwei verschiedene Regeln A→α _{, A}→α⁰ ∈ _P.

Fall 1: ∈ ^First₁(α) ∩ ^First₁(α⁰) .

Dann kann G nicht LL(1) sein :-)

Fall 2: 6∈ ^First₁(α) ∪ ^First₁(α⁰) .

Sei S →^∗_L u Aβ _{. Da G LL(1) ist, gilt:}

First₁(α) ^Follow₁(A) ∩ ^First₁(α⁰) ^Follow₁(A)

= ^First₁(α) ∩ ^First₁(α⁰)

= ^First1(α) ^First₁(β) ∩ ^First₁(α⁰) ^First₁(β)

= 0

Fall 3: ∈ ^First₁(α) und 6∈ ^First₁(α⁰) . Dann gilt:

First₁(α) ^Follow₁(A) ∩ ^First₁(α⁰) ^Follow₁(A)

= ^First₁(α) ^Follow₁(A) ∩ ^First₁(α⁰)

= ^First₁(α) (^S{^First₁(β) | _S→^∗_{L u A}β}) ∩ ^First₁(α⁰)

= (^S{^First₁(α) ^First₁(β) | _S→^∗_{L u A}β}) ∩ ^First₁(α⁰)

= ^S{^First₁(α) ^First₁(β) ∩ ^First₁(α⁰) | S→^∗_L u Aβ}

= ^S{∅ | S→^∗_L u Aβ}

= ∅

Fall 4: 6∈ ^First₁(α) und ∈ ^First₁(α⁰) : analog :-)

Fall 3: ∈ ^First₁(α) und 6∈ ^First₁(α⁰) . Dann gilt:

First₁(α) ^Follow₁(A) ∩ ^First₁(α⁰) ^Follow₁(A)

= ^First₁(α) ^Follow₁(A) ∩ ^First₁(α⁰)

= ^First₁(α) (^S{^First₁(β) | _S→^∗_{L u A}β}) ∩ ^First₁(α⁰)

= (^S{^First₁(α) ^First₁(β) | _S→^∗_{L u A}β}) ∩ ^First₁(α⁰)

= ^S{^First₁(α) ^First₁(β) ∩ ^First₁(α⁰) | S→^∗_L u Aβ}

= ^S{∅ | S→^∗_L u Aβ}

= ∅

Fall 4: 6∈ ^First₁(α) und ∈ ^First₁(α⁰) : analog :-)

Beispiel:

S → _{a Aa a} ⁰ | _{b Ab a}¹ A → _b⁰ | ¹

Offenbar ist die Grammatik LL(2) :-) Andererseits gilt:

First₂(b) ^Follow₂(A) ∩ ^First₂() ^Follow₂(A)

= {b} {a a , b a} ∩ {} {a a, b a}

= {b a, b b} ∩ {a a, b a} 6= ∅

Folglich ist die Grammatik nicht stark LL(2) :-(

Wir schließen:

• Für k > 1 ist nicht jede LL(k)-Grammatik automatisch stark LL(k).

• Zu jeder LL(k)-Grammatik kann jedoch eine äquivalente starke LL(k)-Grammatik konstruiert werden RR Übung!

Beispiel:

S → _{a Aa a} ⁰ | _{b Ab a}¹ A → _b⁰ | ¹

Offenbar ist die Grammatik LL(2) :-) Andererseits gilt:

First₂(b) ^Follow₂(A) ∩ ^First₂() ^Follow₂(A)

= {b} {a a , b a} ∩ {} {a a, b a}

= {b a, b b} ∩ {a a, b a} 6= ∅

Folglich ist die Grammatik nicht stark LL(2) :-(

Wir schließen:

• Für k > 1 ist nicht jede LL(k)-Grammatik automatisch stark LL(k).

• Zu jeder LL(k)-Grammatik kann jedoch eine äquivalente starke

Berechnung von Follow

( B ) :

A₂ i₂

A1 i1 β₁ β₂ A i_m

S i0

α

β_m B

Follow_k(B)

Follow_k(A)

Berechnung von Follow

( B ) :

Idee:

• Wir stellen ein Ungleichungssystem auf :-)

• ist ein möglicher rechter Kontext von S :-)

• Mögliche rechte Kontexte der linken Seite einer Regel propagieren wir ans Ende jeder rechten Seite ...

... im Beispiel:

Follow_k(S) ⊇ {}

Follow_k(S) ⊇ {b} ^Follow_k(S)

Allgemein:

Follow_k(S) ⊇ {}

Follow_k(B) ⊇ ^First_k(X1) _{. . .} ^First_k(X_m) ^Follow_k(A) für A→α _{BX1 . . . Xm} ∈ _P

Diskussion:

• Man überzeugt sich, dass die kleinste Lösung dieses Ungleichungssystems tatsächlich die Mengen Follow_k(B) liefert :-)

• Die Größe der auftretenden Mengen steigt mit k rapide :-(

• In praktischen Systemen wird darum meist nur der Fall k = 1 implementiert ...

2.5 Schnelle Berechnung von Vorausschau-Mengen

Im Fall k = 1 lassen sich First, Follow besonders effizient berechnen ;-)

Beobachtung:

Seinen L1, L2 ⊆ _T ∪ {} _{mit L1} 6= ∅ 6= _L2. Dann ist:

L1 L2 =







L₁ falls ∈ L₁ (L1\{})∪ L2 sonst

Ist G reduziert, sind alle Mengen A nichtleer :-)