Vorlesung zur Quantenfeldtheorie SoSe 2019 2. Übungsblatt
Ausgabe: Donnerstag, den 18.04.2019 Abgabe: Dienstag, den 23.04.2019, 11 Uhr
Prof. Dr. Gudrun Hiller
Übungsleiter: Rigo Bause und Kevin Moch
Aufgabe 1: Pfadintegral und Funktionalableitung 8 Punkte Wir betrachten ein quantenmechanisches System mit der Hamiltonfunktion H = H0 +H1. Der Vakuumerwartungswert in Anwesenheit externer Felderf(t)und h(t) sei definiert als dasPfadin- tegral:
h0|0i f,h=
Z
DpDq exp
i Z +∞
−∞
dt
pq˙−H(p, q) +f q+hp
, (1)
wobei die Integrationsmaße Dp und Dq wie in der Vorlesung gegeben sind und die Exponential- funktion über ihre Reihendarstellung gegeben ist. Zeigen Sie, dass sich Gleichung (1) mittels der Funktionalableitung wie folgt schreiben lässt:
h0|0i
f,h= exp
−i Z +∞
−∞
dt H1 1
i δ δh,1
i δ δf
Z
DpDq exp
i Z +∞
−∞
dt
pq˙−H0(p, q) +f q+hp
.
(2)
Aufgabe 2: Residuensatz 5 Punkte
Zeigen Sie mittels des Residuensatzes (z∈R)
ε→0lim Z +∞
−∞
dk 2π
i
k2−E2+ iε exp(−ikz) = 1 2E
θ(z) exp(−iEz) +θ(−z) exp(+iEz)
(3) und
Z +∞
−∞
dk 2π
1
k2+E2 exp(+ikz) = 1 2E
θ(z) exp(−Ez) +θ(−z) exp(+Ez)
. (4)
Aufgabe 3: Gauß’sche Integration 7 Punkte
Gegeben sei die Amplitude
hq00, t00|q0, t0i= Z
DqDpexp (
i Z t00
t0
dt(pq˙−H(p, q)) )
(5) mit der Integration über alle Pfade von q0 = q(t0) nach q00 = q(t00) mit beliebigen Impulsen. Die Hamiltonfunktion lasse sich als ein Polynom zweiter Ordnung in den Impulsen schreiben.
Zeigen Sie, dass mit der LagrangefunktionL gilt:
hq00, t00|q0, t0i= Z
Dq0 exp (
i Z t00
t0
dtL( ˙q(t), q(t)) )
(6) und bestimmen Sie explizit das Integrationsmaß D0q.
1
