Universit¨ at Regensburg Mathematik
A Phase Field Model for the
Electromigration of Intergranular Voids
John W. Barrett, Harald Garcke and Robert N¨urnberg
Preprint Nr. 15/2005
!!" #$% &'( ) *+ ! ,-
.
+ /"
01234563
78 9:;9;<8 = >8?8@8:=A8 BCC8@DE=F@GE=F@DHICCI=:> <J<A8K L;M9C8> A; = NM=<IO
<A=AIL >IPM<I;@ 8NM=AI;@ A; K;>8C AF8 K;AI;@ ;Q I@A8:?:=@MC=: R;I><S TF8 <J<A8K
L=@ U8 RI8V8> =< = 9F=<8 W8C> <J<A8K VIAF =@ I@A8:Q=LI=C 9=:=K8A8: XS Y@ AF8 CIKIA
X Z [\ AF8 9F=<8 W8C> <J<A8K K;>8C< AF8 8R;CMAI;@ ;Q R;I>< UJ <M:Q=L8 >IPM<I;@
=@> 8C8LA:;KI?:=AI;@ I@ =@ 8C8LA:IL=CCJ L;@>MLAI@? <;CI> VIAF = ?:=I@ U;M@>=:JS 78
I@A:;>ML8 = W@IA8 8C8K8@A =99:;]IK=AI;@ Q;: AF8 9:;9;<8> <J<A8K\ <F;V <A=UICIAJ
U;M@><\ 9:;R8 L;@R8:?8@L8\ =@> F8@L8 8]I<A8@L8 ;Q = V8=^ <;CMAI;@ A; AFI< @;@O
CI@8=: >8?8@8:=A8 9=:=U;CIL <J<A8K I@ AV; <9=L8 >IK8@<I;@<S B@ IA8:=AIR8 <LF8K8
Q;: <;CRI@? AF8 :8<MCAI@? @;@CI@8=: >I<L:8A8 <J<A8K =A 8=LF AIK8 C8R8C I< I@A:;>ML8>
=@> =@=CJ<8>\=@> <;K8 @MK8:IL=C 8]98:IK8@A< =:8 9:8<8@A8>S Y@ AF8 B998@>I] V8
>I<LM<< AF8 <F=:9 I@A8:Q=L8 CIKIA ;Q AF8 =U;R8 >8?8@8:=A8 <J<A8K =< AF8 I@A8:Q=LI=C
9=:=K8A8: X A8@>< A; _8:;S
`ab cdefgh ijkl mnmopqjrksqtpkjuv wxtym zmnl rjlmnv lmsmumqtpm {nnmu|}txu~
}txu|knnktql mtpkjuv jqpx jqlmq lmsmumqtpm wtqtjnko mtpkjuvzukpm mnmrmupyvoju
imqsmuom tutn ykyv rtpoxml ty rwpjpko mwtuykjuy
ga ggdgh v v v v v v
}v v
¡¢£¤¥¦§¨£©¥¢
ªrtnn ijkly pxtp jqr ku kupmqojuumop nkumy ku rkoqjmnmopqjuko okqokpy otu oxtusm pxmkq
yxtwm lm pj lk«ykju j tpjry tnjus pxm ijkl yqtom¬ xky yqtom lk«ykju ky lqkimu
t lk«ykju wjpmupktn ®xkox ojuptkuy pmqry ypmrrkus qjr otwknntq m«mopyv qjr tu
mnmopqkotn wjpmupktn tul qjr mntypko ypqmyymy¬ ntypko m«mopy tqm umsnmopml ku pxky wtwmq
p otu m kuojqwjqtpml ¯ymm °±²¬ xm mnmopqko zmnl otu otym t yj otnnml ³mnmopqju ®kul´
jqom tul pxky nmtly pj pxm pqtuywjqp j tpjry ®xkox qmynpy ku pxm rksqtpkju j ijkly¬ µu
¶·¸¹º»¼½¸¾¼ ¿À Áº¼Â¸½º¼ÃÄÅÆǽ¹¸»ÃºÈ É¿ÈȸʸÆË¿¾Ì¿¾Æ ÍÎÏ ÐÑÒÆÓÔ
Õ Ô
Ö×ÎØ ÇÙ Áº¼Â¸½º¼ÃÚÆÓ¾ÃÛ¸»Åüº¼Ü ݸʸ¾ÅÞß»ÊÆàáâãâ ݸʸ¾ÅÞß»ÊÆ ä¸»½º¾å
®kpx t omqptku jqkmuptpkju jpxm oq yptn ntppkom² j pxm kupmqojuumop otu ojrm kupj ojuptop
®kpx tujpxmq sqtku ¯k¬m¬ t qmskju ®kpx t lk«mqmup ntppkom jqkmuptpkju²¬ xm rjlmnnkus tul
ojrwptpkju j pxm kupmqtopkju mp®mmu ijkly tul sqtku jultqkmy ky pxm y mop j pxky
wtwmq¬
xmqm tqm p®j twwqjtoxmy pj rjlmn pxm mijnpkju j ojwnml sqtku jultq ~ijkl
y ypmry¬ µu pxm ontyykotn twwqjtox kupmqtomy ¯k¬m¬ pxm sqtku jultqkmy tul pxm ijkl
yqtomy² tqm rjlmnnml t yxtqw kupmqtomv k¬m¬ t x wmqyqtom¬ { ymojul rjqm qmomup
twwqjtox rjlmny kupmqtomy t lk«ykim kupmqtoktn nt mq¬ mp y zqyp lkyoyy qjsxn pxm
yxtqw kupmqtom twwqjtox ¯jq rjqm lmptknyymm °± tul pxm qmmqmuomy pxmqmku²¬ mqm t kpm
ojrwnkotpml y ypmr xty pj m yplkml¬ {njus pxm ijkl yqtom t jqpx jqlmq wtqtjnko
mtpkju xty pj m yjniml ®xmqmty tp sqtku jultqkmy t ymojul jqlmq wtqtjnko mtpkju
xjnly¬ xmym mtpkjuy tqm pxmu ojwnml tp pqkwnm uopkjuyv ®xmqm jultq ojulkpkjuy
yox ty tusnm ojulkpkjuy tul tntuomy xtim pj xjnl¬ j twwqjkrtpm pxky wqjnmr
urmqkotnn ky kpm lkonp ykuom pxm pjwjnjs j pxm kupmqtomy otu oxtusm lqtypkotnn
¯m¬s¬ijkly otu tpptox pj tul lmptox qjr t sqtku jultq ² tul uj ytpkytopjq twwqjtox
ky uj®u pj y¬ jq mtrwnmv ku pxm wtwmq ° ± kpm ymimqm y rrmpq ojulkpkjuy tqm
tyyrml¬
¯
²
¯
² ¯²
sqtku jultq
rtpmqktn jultqkmy
ksqm xm ¯
²ywtom ¬ mqm qmwqmymupy pxm ijkl wxtymv sqtku µvtul
sqtku µµ¬
µu pxky wtwmq ®m pxmqmjqm kupqjlom t um® rjlmn tyml ju pxm klmt j rjlmnnkus pxm
kupmqtom t lk«ykim kupmqtoktn nt mq ¯jq rjlmn ®knn m t yj otnnml wxtym zmnl rjlmn²¬
m jqrntpm t rjlmn jq t y ypmr jp®j sqtkuy ¯®m otnn pxmr sqtku µ tul sqtku µµ²vp
utpqtn smumqtnktpkjuy tqm wjyyknm ¯ymm m¬s¬ °±²¬ tox wjkup ku ywtom mkpxmq mnjusy pj
sqtku µv sqtku µµ jq pj pxm ijkl¬ m uj® kupqjlom t imopjq jqlmq wtqtrmpmq ¯jq wxtym
zmnl² ¯
²v ®xmqm pxm jqlmq wtqtrmpmq
lmyoqkmy ®xmpxmq ®m tqm ku pxm ijkl ¯
²
jq ujp ¯
²¬ µ
¯k¬m¬ ku pxm rtpmqktn²v pxmu pxm jqlmq wtqtrmpmq
lmyoqkmy
®xmpxmq ®m tqm ku sqtku µ ¯
² jq ku sqtku µµ ¯
²¬ µ
kp rtmy uj ymuym
pj lkypkuskyx mp®mmu pxm sqtkuy tul ®m ymp
¬ xky rmtuy pxtp pxm pxqmm wjkupy
¯²v ¯
² tul ¯
² jq ¯
² tqm qmnmitup pj lkypkuskyx mp®mmu
ijklv sqtku µ tul sqtku µµ ¯ymm ksqm ²¬ m oxjjym
ty itnmy jq
ku pxm sqtkuy
motym pxky rtmy pxm onjyml pqktusntq ljrtku ®kpx imqpkomy tul v ymm ksqm
v mkntpmqtn¬ pxmq itnmy j
pj lkypkuskyx pxm sqtkuy tqm wjyyknmv p pxmym ®jnl
ku °±vtul yplkml ntpmq ku ° v
±vpj kuonlm sqtku jultqkmy¬ m rtm ym tnyj j klmty
ku °v v ±v®xmqm t lmsmumqtpm {nnmu|}txu~}txu|knnktql mtpkju ®ty yplkml¬
xm zqyp ypmw ky pj kupqjlom pxm ojqqmop qmm mumqs ¬ µp ky uj® ®mnn myptnkyxml pxtp
t kuqs|tult mumqs
¯
² °
¯
²±l
lmwmulmup ju t imopjqitnml jqlmq wtqtrmpmq ¯
² jq t ljrtku v t wtqtrmpmq
v ®xkox ky qmntpml pj pxm kupmqtoktn pxkoumyyv tul t ujuojuim qmm mumqs lmuykp
otu rjlmn pxm kupmqtoktn mumqs j y ypmry xtikus lk«mqmup p wmy j kupmqtomyv ymm m¬s¬
°v v± tul pxm qmmqmuomy pxmqmku¬ j rjlmn pxm kupmqtoktn mumqs jjq kupmqsqtuntq
ijkl y ypmr ®m umml pj tyyrm pxtp xty pxqmm snjtn rkukrt tp pxm wjkupy
tul
¬ {y rmupkjuml tjim ky qmntpml pj pxm kupmqtoktnpxkoumyy¬ µp otu m yxj®u ®kpx pxm
xmnw j jqrtnn rtpoxml ty rwpjpko mwtuykjuy jq ®kpx |ojuimqsmuom rmpxjly pxtpv ty
v
nmtly pj t yxtqw kupmqtom qmm mumqs ®kpx yqtom mumqs lmuykpkmy ¯yjrmpkrmy
tnyj otnnml yqtom pmuykjuy²
ku
¯²
¯
¯ ²²l ¯¬²
®xmqm pxm kuzrr ky jimq tnn
¯°± ² ®kpx
¯² tul
¯² ¬ {stku ®m
qmmq pj °v v ± jq rjqm lmptkny¬
j jqrntpm mtpkjuy jq pxm pkrm mijnpkju j pxm kupmqtomy ®m kupqjlom pxm wj
pmupktny
!"
!#
$
%
#
¯
² tul & !"
!'
$
%
'
¯
²
®xmqm !"
!#
tul !"
!'
tqm pxm ( qmwqmymuptpkjuy jpxm itqktpkjutn lmqkitpkimy j ®kpx qmywmop
pj
tul
qmywmopkimn ¬ xm mtpkjuy jq tul & tqm yptpml xmqm jq t yrjjpx ¬ tpmqv
®m ®knn ym t ujulk«mqmupktnm
tul pxmu ®m xtim pj yjnim t itqktpkjutn kumtnkp pj
ojrwpm tul &v ymm ¯¬o² mnj®¬ xm wjpmupktn ky pxm oxmrkotn wjpmupktn jq pxm
lk«ykju j tpjry ku pxm ijklrtpmqktn kupmqtoktn nt mq tul & topy ty pxm lqkikus jqom jq
pxm sqtku jultq rjpkju¬ tkus kupj toojup pxtp lk«ykju j tpjry ky tnyj otyml
pxm mnmopqkotn zmnl ) ¯ymm m¬s¬ °±²v ®m wqjwjym pxtp pxm rtyy * jq pxm lk«ykju
j tpjry ky skimu ty
* +¯
²° , )±
®xmqm , ky t ojuyptupv+¯
²
ky t lmsmumqtpm rjknkp tul pxm topjq
ptmy kupj
toojup pxtp pxm lk«ykju ky muxtuoml ku pxm kupmqtomv
-
¬ xm mijnpkju mtpkju
jq
uj® jnnj®y qjr pxm rtyy tntuom nt® .#
./
0* ¬ xm uuj®u
rjlmny
pxm sqtku jultq tul ty ytn ®m ptm t sqtlkmup j® l utrkoyv k¬m¬ .'
./
wjkupy ku pxm
lkqmopkju j pxm umstpkim sqtlkmup j
®kpx qmywmop pj
¯ymm m¬s¬ °v ±²¬ {npjsmpxmq ®m
jptku pxm jnnj®kus ymp j mijnpkju mtpkjuy
.#
./
0¯+¯
²° ,)±² ¯¬ t²
1¯ ².'
./
& 2 ¯¬ ²
0¯ ¯
²)² 0 ¯¬o²
mqm 1¯ ² ky t ujuumstpkim ojmokmupv tul ntpmq ®m ®knn ym pxm yotnkusy 1¯ ²
tul 1¯ ² v ®xmqm ¬ tpkju ¯¬ o² qmlomy pj twntomy mtpkju ku pxm
rtpmqktnv tul ky tymup ku pxm ijkl k ®m ptm ¯
²
¬ {y zqyp yxj®u ku °±v ®m
mwmopv ku pxm otym pxtp pxmqm ky uj ojwnkus pj t
mtpkju tul , v pxtp ¯¬ t² ®knn
rjlmn yqtom lk«ykju ku pxm yxtqw kupmqtom nkrkp¬
xm qmynpkus y ypmr ojwnmy pxm lmsmumqtpm }txu|knnktql mtpkju ¯¬t² pj t uju
lmsmumqtpm {nnmu|}txu mtpkju ¯¬ ²¬ m ujpm pxtp pxky ky lk«mqmup qjr t ykrkntq ymp
j mtpkjuy kupqjloml }txu tul jiko}jxmu °±v®xmqm pxm {nnmu|}txu mtpkju
®ty tnyj lmsmumqtpm¬ jq pxky y ypmrv ®xkox ky t rjlmn jq ykrnptumjy jqlmqlkyjqlmq
tul wxtym ymwtqtpkjuv kp ®ty yxj®u ku °v ± pxtpv ulmq tu twwqjwqktpm yotnkus tul
ulmq omqptku tyyrwpkjuy ju pxm kupmqtom smjrmpq v jum jptkuy rmtu oqitpqm j®
tul yqtom lk«ykju ojwnml tp pqkwnm uopkjuy ku pxm yxtqw kupmqtom nkrkp¬ m jptku
t ykrkntq yxtqw kupmqtom nkrkp tnyj jq jq y ypmr ®kpx t ujulmsmumqtpm {nnmu|}txu
mtpkju¬ j®mimqv jq yxtqw kupmqtom nkrkp ky lk«mqmup ku yjrm tywmopyv tul nmtly pj
yjrm kupmqmypkus um® m«mopy¬ jq mtrwnmv ®m lmqkim t rjlmn ®xmqm pxm sqtku jultq
rjpkju ky tykyptpkov tul tujpxmq rjlmn ®xmqm ikyojy m«mopy twwmtq ku pxm yqtom
lk«ykju mtpkju¬ {utnjsjy qmynpy ®jnl jnnj® jq pxm ljn lmsmumqtpm y ypmr
lmqkiml ku °±v k jum ®jnl ®jq ®kpx pxm yotnkus yml ku pxky wtwmq¬ m ®knn lkyoyy
pxm yxtqw kupmqtom rjlmn ku pxm {wwmulkv {¬ mqm ®m ®knn jun jpnkum pxm qmynpy¬
xm ljrtku ®knn ywnkp kupj qmskjuy ®xmqm ¯
² tpptkuy pxm itnmy tul vtul kupj
kupmqtoktn nt mqy ymwtqtpkus pxmym qmskjuy ®xkox xtim t pxkoumyy pxtp ky wqjwjqpkjutn pj
¬ j®v lmwmulkus ju pxm yotnkusv ®m lmqkim lk«mqmup smjrmpqko mijnpkju nt®y jq pxm
kupmqtomy¬ mqm ®m lkyoyyv jq mtym j mwjykpkjuv jun pxm otym ®xmu uj ojwnkus pj pxm
mnmopqko zmnl ky wqmymup¬
jq pxm yotnkus 1
¯ ² ®m jptku pxtp pxm kupmqtomy ®xkox jul pxm ijkl rjim
yqtom lk«ykjuv k¬m¬
$
®xmqm ky pxm ujqrtnimnjokp j pxm kupmqtomv ky pxm ¯rmtu² oqitpqm j pxm kupmqtomv
$ ky pxm yqtom twntoktuv tul tul
tqm ojuyptupyv ®xjym wqmokym lmzukpkjuy otu
m jul ku pxm {wwmulk¬ jq t sqtku jultq v ®m jptku pxtp kpy rmtu oqitpqm ky
mqj¬ xmym mijnpkju nt®y tqm ojwnml tp pqkwnm uopkjuyv ®xmqm tusnm ojulkpkjuyv
ojulkpkjuy tul ojupkukp ojulkpkjuy xtim pj xjnl¬
µ®m yotnm pxm
mtpkju ®kpx 1¯ ² v®m jptku jqijkl jultqkmy tu mijnpkju
nt® ®xkox ojrkumy yqtom lk«ykju tul yqtom tpptoxrmup nkrkpml kumpkoy
¯ª
{²¬
xm mijnpkju mtpkju ky
$¯
² ¯¬²
®xmqm ky t ojuyptup¬ xky nt® xty mmu lmqkiml ku °±v tul xty mmu yplkml ku °±¬ µp
nkuy pxm jqpx jqlmq yqtom lk«ykju j® pj t ymojul jqlmq j®v ®xkox ky otnnml rjpkju
timqtsml rmtu oqitpqm ¯ymm °v ± jq lmptkny²¬ µu pxky ojupmp ®m qmmq tnyj pj
nmtl pj ¯¬² ku pxm yxtqw kupmqtom nkrkp¬ jq pxky ymojul yotnkus jum jptkuy pxm rmtu
oqitpqm j®
ty pxm mijnpkju nt® jq sqtku jultqkmy¬ m qmrtq pxtp ku °v ± t ykusntq nkrkp j
tu {nnmu|}txu~}txu|knnktql y ypmr xty tnyj mmu tutn ml ykus lk«mqmup yotnkusy¬
.
.
.
.
¯
²
¯
²
¯
²
-
-
ksqm xm jqlmq wtqtrmpmqy jq t p wkotn kupmqsqtuntq ijkl¬ jpm pxtp ¯²v
¯
² tul ¯
²¬
µu pxm qmomup wtwmq °±v pxm jnnj®kus wxtym zmnl rjlmn jq ijkl mnmopqjrksqtpkju ®ty
ojuyklmqml
.#
./
0
¯+
¯
²° ,
)±²
$
¯
² 0¯ ¯
²)² ¯¬²
y mop pj tu kukpktn ojulkpkju
¯² °± ju
tul jultq ojulkpkjuy ju tnn
pxqmm mtpkjuy¬ mqm
¯² °± ky pxm ojuymqiml jqlmq wtqtrmpmqv®xmqm tp tu
pkrm °±
¯² lmujpmy pxm ijkl tul
¯² lmujpmy pxm ojulopjqv ®xknm
pxm ijkl jultq ky twwqjkrtpml pxm
¯² ojupjq nkum kuyklm pxm
¯²
-
kupmqtoktn qmskju¬ µu tllkpkjuv ¯² ky pxm oxmrkotn wjpmupktn tul
ky t ujuyrjjpx
ljnm jyptonm wjpmupktn2 tul xmuom pxm ymojul mtpkju ku ¯¬² ky ku top t itqktpkjutn
kumtnkp ¯ymm °± jq lmptkny²¬ xknmv ty ku ¯¬ t|o²v )¯² ky pxm mnmopqko wjpmupktnv
kypxm kupmqtoktnwtqtrmpmqv ,
kyt wtqtrmpmqlmujpkus pxm qmntpkim ypqmuspx
j pxm mnmopqko zmnlvtul +¯
²
tul ¯
²
tqm lmsmumqtpm ojmokmupy¬ xm
tpxjqy mpmulml pxm pmoxukm j jqrtn ty rwpjpko mwtuykjuy ku °± pj yxj® pxtp pxm
mqj nmimn ympy j
v pxm yjnpkju pj ¯¬² jq t zml
v ojuimqsm ty
pj tu
kupmqtomv ¯² ®kpx ukp ujqrtn v mijnikus ®kpx ujqrtn imnjokp
$ ,
$
) ju ¯² ¯¬ t²
®xmqm ky pxm oqitpqm j ¯² ¯wjykpkim k kp ky oqiml ku pxm lkqmopkju j ²¬ xm
nkrkpkus mnmopqko wjpmupktnv )¯²vytpkyzmy
$) ku ¯²
¯² .
.
ju ¯² ¯¬ ²
twwqjkrtpm ¯¬tv²vymm °±¬ jq qpxmq lmptkny ju ijkl mnmopqjrksqtpkju ymm m¬s¬ ° v ±
tul pxm qmmqmuomy pxmqmku¬
xm wqmymup wtwmq mpmuly pxm wxtym zmnl rjlmn ¯¬² pj ptm kupj toojup sqtku
jultqkmy¬ µu yrrtq vpxm mijnpkju jkupmqsqtuntqijkly kylmyoqkml pxm jnnj®kus
ujunkumtq lmsmumqtpm wtqtjnko y ypmr
¯ ² kul uopkjuy tul
& ) °±
yox pxtp ¯
¯²
¯²²
tul jq tnn ¯
¯²
¯²²
.#
./
0¯+¯
²° ,)±² ku ¯¬t²
1¯ ².'
./
& ku ¯¬²
¯ $
%
#
¯
² ²¯
²
¯ $
%
'
¯
²&²¯
² ku ¯¬ o²
¯
¯²
¯²² ¯
¯²
¯²²
¯
²
.#
. +¯
²
.
.
.
'
.
ju ¯± ¯¬l²
0¯ ¯
²)² ku ¯¬ m²
¯
² .
.
ju
¯ ± ¯
² .
.
)
ju ¯±2 ¯¬ ²
®xmqm ky t zml wjykpkim pkrmv ¯ ± tul ¯(
(
² ¯( ( ²
ky t qmoptusntq ljrtku ku v qmwqmymupkus pxm kupmqojuumop nkumv ®kpx jultq
v ®xmqm
tul
®kpx (
°( ( ±
tul ky pxm jp®tql ukp ujqrtn pj 2 ymm ksqm ¬ muom
ky pxm kuyntpml
jultq j v ®xknyp pxm jku jultq ojulkpkjuy ju pxm muly rjlmn t ukjqr
wtqtnnmn mnmopqko zmnlv ty (
¬ m ujpm pxtp jum ojnl tnpmqutpkimn rjlmn pxky ®kpx
mkpxmq ¯t² pxm kqkoxnmp ojulkpkju )
jq ¯² pxm mrtuu ojulkpkju ¯
² .
.
ju
¬ j®mimqv ku lmqkikus mumqs july jq ¯ ²kp ky ojuimukmup pj xtim ®mt jultq
ojulkpkjuy2pxtp kyv mrtuu jq jku ojulkpkjuy¬ xm oxjymu jku ojulkpkju ju v
¯¬ ²v xty pxm tllml tlituptsm pxtp jum jptkuy tu krrmlktpm ( ¯ ² jul ju ) jq
pxm lmsmumqtpm mnnkwpko mtpkju ¯¬ m²¬ µu ¯¬ t|l²v 1¯ ² tul , tqm skimu
ojuyptupy tul
¯²
¯² k ¯²
k ¯²
®kpx ¯²v ¯¬ ²
ky tu jyptonm qmm mumqs ®xkox qmypqkopy ¯
¯²
¯²² ¬ mqm ®m tyyrm pxtp
ky t ojuotim uopkju ®kpx ¯
²
¯²
¯ ² v m¬s¬
¯²
°¯
²
¯ ²
¯
²± ¯¬²
®xmqm
-
ky t wtqtrmpmq¬ µu tllkpkjuv ®m lmzum pxm lmsmumqtpm lk«ykju ojmokmupy
¯²
+
¯² ¯² ¯²
°±0 ¯¬ ²
xm itqktpkjutn kumtnkp ¯¬ o² ky jptkuml ptkus pxm zqyp itqktpkju j ®kpx
qmywmop pj
tul
v tul ptkus pxm ujuyrjjpx oxtqtopmq j kupj toojup¬ xm zqyp
itqktpkju otu m ojrwpml ku pxm ojupmp jylk«mqmupktny¬ m oxjjym t oxtqtopmqktpkju
j tul & ku pmqry j itqktpkjutn kumtnkpkmyv ty kp ykrwnkzmy pxm jqrntpkju j pxm
lkyoqmpm wqjnmr¬ m qmmqpj ° v ±jq qpxmqlmptknyju ylk«mqmupktnytul itqktpkjutn
kumtnkpkmy¬
xm tyko kusqmlkmupy j jq twwqjtox tqm yjrm m mumqs mypkrtpmy¬ mp y uj®
qkm ku t jqrtn ®t lmyoqkm xj® ®m jptku pxmym mypkrtpmy¬ npkwn kus ¯¬ t²
!"
!#
tul ¯¬² °1¯ ²±
& °1¯ ²±
!"
!'
kmnlyvtpmq kupmsqtpkju j pxm yr j
pxm p®j pmqryvpxm jnnj®kus qmm mumqs klmupkp
/
¯
²
+
¯
²
°1¯
²±
&
l
, +
¯
² 0)l 0 ¯¬²
µ ®m rnpkwn ¯¬ m² ) ®m otu mypkrtpm
+
¯
² 0)l tul pxky mutnmy y pj
ojupqjn pxm qksxp xtul yklm j ¯¬²2 nmtlkus pj
mypkrtpmy ku ywtom jq pxm wxtym zmnl
¯
²¬ mntpkus pj tul pj + pxm klmupkpkmy
¯ ²
¯² tul +
¯²
¯² ¯¬²
tul pmypkus ¯¬ t² ®kpx
¯
²v ¯¬ ² ®kpx $
v tul tllkus nmtly pj
/
¯
²
l
$
$
l
0¯ %
#
,)²l
0%
'
l 2 ¯¬²
®xmqm pxm pmqr
0)l otu m ojupqjnnml k®m pmyp ¯¬m²®kpx
¯
²¬ xkytwwqjtox
®knn nmtl pj mypkrtpmy ku ywtom jq ¯
²¬ kyoqmpm tutnjsmy j pxm tjim pmypkus
wqjomlqmy®knnnmtl pj pxm rtkut wqkjqkmypkrtpmyjqjqzukpm mnmrmuplkyoqmpktpkju ¯ymm
ªmopkju ²¬ µp ky pxm sjtn jpxky wtwmq pj lmqkim t zukpm mnmrmup twwqjkrtpkju j ¯²pxtp
ky ojuykypmup ®kpx pxmym mumqs mypkrtpmyv ®xkox pxmu mutnmy y pj myptnkyx ojuimqsmuom
ku p®j ywtom lkrmuykjuy¬ µu jqlmq pj lmqkim t lkyoqmpm tutnjsm j pxm mumqs mypkrtpm
¯¬²v®m umml pj mpmul t pmoxukm kupqjloml ku °
v± jq lmqkikus t lkyoqmpm mupqjw
jul jq pxm pxku znr mtpkju¬ kutnn v ®m ujpm pxtp t zukpm mnmrmup twwqjkrtpkju
j pxm lmsmumqtpm {nnmu|}txu~}txu|knnktql y ypmr kupqjloml ku °± otu m jul ku
°±¬ j®mimq lm pj pxm nto j t ojqqmywjulkus mupqjw julv ojuimqsmuom j pxtp
twwqjkrtpkju ®ty jun myptnkyxml ku jum ywtom lkrmuykju¬ kutnn ®m qmrtq pxtp uj
ukmumyy qmynpy jq lmsmumqtpm jqpx jqlmq wtqtjnko mtpkjuy tqm uj®uv tul xmuom
uj mqqjq mypkrtpmy jq pxky zukpm mnmrmup twwqjkrtpkju otu m mwmopml tp wqmymup¬
xky wtwmq ky jqstukyml ty jnnj®y¬ µu ªmopkju ®m jqrntpm t zukpm mnmrmup tw
wqjkrtpkju j pxm lmsmumqtpm y ypmr ¯² tul lmqkim krwjqptup lkyoqmpm tutnjsmy j pxm
mumqs mypkrtpmy ¯¬² tul ¯¬²¬ µu ªmopkju ®m wqjim ojuimqsmuomv tul xmuom mky
pmuom j t ®mt yjnpkju pj pxm y ypmr ¯ ² ku p®j ywtom lkrmuykjuy¬ µu jpx j pxm tjim
ymopkjuy ®m umml pj yyptupktnn mpmul ju pxm pmoxukmy ku °±v ykuom m¬s¬ pxm lkyoqmpm
tutnjsm j ¯¬² tul pxm ojuimqsmuom j ju
-
tqm jpx tq rjqm lkonp pj
myptnkyx2 ymm mrrty ¬ tul ¬ v qmywmopkimn v mnj®¬ xky ky lm pj pxm top pxtp pxm
smjrmpq j nmtly pj t tq rjqm ojrwnkotpml itqktpkjutn kumtnkp ojrwtqml pj pxm
jum yplkml ku °±¬ µu ªmopkju ®m kupqjlom tul wqjim ojuimqsmuom j t ³tyy|ªmklmn
p wm´ kpmqtpkim yoxmrm jq yjnikus pxm ujunkumtq lkyoqmpm y ypmr jq pxm twwqjkrtpkjuy
j ¯
&² tp mtox pkrm nmimn¬ µu ªmopkju ®m wqmymup yjrm urmqkotn mwmqkrmupy¬
kutnn vku pxm {wwmulk ®m lkyoyy pxm yxtqw kupmqtom nkrkpvty pxm kupmqtoktnwtqtrmpmq
v j ¯ ²¬
jq jq v ®m tljwp pxm yptultql ujptpkju jq ªjjnmi ywtomyv lmujpkus
pxm ujqr j
%
¯² ¯ v °±²
%% tul pxm ymrkujqr
%% ¬
m mpmul pxmym ujqry tul ymrkujqry ku pxm utpqtn ®t pj pxm ojqqmywjulkus ywtomy
j imopjq tul rtpqk itnml uopkjuy¬ jq v
%
¯ ² ®knn m lmujpml ¯²
®kpx pxm tyyjoktpml ujqr tul ymrkujqr ®qkppmu tyv qmywmopkimn v
% tul
% ¬ jq
ujptpkjutnojuimukmuomv®m lqjw pxm ljrtku yyoqkwp jupxm tjim ujqrytul ymrkujqry
ku pxm otym ¬ xqjsxjp lmujpmy pxm yptultql ( kuumq wqjlop jimq ¬ µu
tllkpkjuv®m lmzum ¯² ty pxm rmtyqm j tul
jq tnn
(
¯²¬
jq ntpmq wqwjymyv ®m qmotnn pxm jnnj®kus ojrwtopumyy qmynpy¬ mp
v tul
m tutox ywtomy ®kpx t ojrwtop mrmllkus
tul t ojupkujy mrmllkus
¬ xmu ®m xtim pxm ojrwtop mrmllkusy
( ¯2
² .
./
( ¯ 2
²
( ¯ 2 ² ¯¬t²
tul
(¯2
² .
./
( ¯ 2
²
¯°±2 ²0 ¯¬²
µp ky ojuimukmup pj kupqjlom pxm ³kuimqym twntoktu´ jwmqtpjq
yox pxtp
°
±
¯² ¯¬²
®xmqm
¯
¯ ²²
tul
¯ ² ¯
² ¬ mqm tul
pxqjsxjp lmujpmy pxm ltnkp wtkqkus mp®mmu ¯
¯²²
tul
¯ ²¬ xm ®mnn
wjymlumyy j jnnj®y qjr pxm t|knsqtr pxmjqmr tul pxm jkuotqm!kumtnkp
" ¯
²
¯²0 ¯¬²
m ujpm tnyj jq pqm qmmqmuom #jusy kumtnkp
" $
$
% 0 ¯¬²
xqjsxjp lmujpmy t smumqko ojuyptup kulmwmulmup j &v ' tul (2 pxm rmyx
tul pmrwjqtn lkyoqmpktpkju wtqtrmpmqy tul pxm qmsntqktpkju wtqtrmpmq¬ µu tllkpkju
¯ )
)*² lmujpmy t ojuyptup lmwmulkus ju pxm tqsrmupy )
*
+
¬
m ojuyklmq pxm zukpm mnmrmup twwqjkrtpkju j ¯² ulmq pxm jnnj®kus tyyrwpkjuy ju
pxm rmyx
¯{² mp m pxm qmoptusntq ljrtku ¯(
(
² ¯( ( ²¬ mp m t tyk
ukjqr trkn jwtqpkpkjukusyjkupj lky jkupjwmu pqktusnmy
®kpx & lktr¯
²
tul & rt
& v yj pxtp
¬ µu tllkpkjuv kp ky tyyrml pxtp tnn
pqktusnmy
tqm qksxptusnml¬
m ujpm pxtp pxm qksxptusnml pqktusnmy tyyrwpkju ky ujp t ymimqm ojuypqtkupv ty pxmqm
mkyp tltwpkim zukpm mnmrmup ojlmy pxtp ytpky pxky qmkqmrmupv ymm m¬s¬ °±¬
{yyjoktpml ®kpx ky pxm zukpm mnmrmup ywtom
¯ ²
ky t wjn ujrktn j lmsqmm jum
¯²0
m kupqjlom tnyj
¯
² °
¯
²±
¯
¯²
¯²²
)0 0 ku tul
° ±
0
mp m pxm ymp j ujlmy j tul
pxm ojjqlkutpmy j pxmym ujlmy¬ mp
m pxm yptultql tyky uopkjuy jq
2 pxtp ky
tul
¯
² jq tnn ¬
xm qksxp tusnm ojuypqtkup ju pxm wtqpkpkjukus ky qmkqml jq jq twwqjkrtpkjuy j +¯²
tul ¯²v ymm ¯ ¬tv² tul ¯ ¬tv² mnj®v p jum ojuymmuom ky pxtp
0
l "
0 ¯¬²
m kupqjlom ¯ ² vpxm tsqtusm kupmqwjntpkjujwmqtpjqvyox pxtp ¯
²¯
²
¯
² jq tnn ¬ { lkyoqmpm ymrkkuumq wqjlop ju ¯ ² ky pxmu lmzuml
¯
¯²
¯²²l
¯
²
¯
² ¯¬ ²
®xmqm
¬ xm kuloml lkyoqmpm ymrkujqr kypxmu
°
±
v®xmqm
¯ ²¬ m kupqjlom tnyj pxm wqj mopkju ( ¯ ² lmzuml
0 ¯¬²
u qmotnnkus ¯¬ ² tul ¯¬²v ®m lmzum uopkjuy tul yox pxtp ¯
²°
¯
²±
tul +¯
²°
¯
²±
2 pxtp kyv
¯²
tul
¯ ²
0 ¯¬²
m ptm
¯²vyox pxtp
¯ ² ¯
² njs¯
²
¯ ² tul ¯² ° ¯²
¯²±2 ¯¬ ²
uopkjuy
%
¯² yox pxtp
¯²
¯( ²
¯(
²
¯( ²
¯( ² " (
¯² (
¯² ° ¯² ¯²±0 ¯¬²
m ujpm jq ntpmq wqwjymy pxtp jq tnn °±
"
¯² " (
¯² "
¯² " °( ¯ (²± "( 0 ¯¬ ²
ªkrkntqn pj pxm twwqjtox ku °
v ±v ®m kupqjlom °(
¯²± yox pxtp
jq tnn
tul )0 0 ku
¯
² ky y rrmpqko tul wjykpkim ymrklmzukpm ¯ ¬t²
¯
² °
¯
²±
0 ¯ ¬²
xm kupqjlopkju jpxm rtpqkomy tul vymm mnj®vkyoqoktnjqpxm ojuypqopkju jjq
zukpm mnmrmup twwqjkrtpkju¬ ykus tu twwqjwqktpm ³yptultql´ twwqjtox pj twwqjkrtpm
¯
² tul +¯
²v®jnl kmnl t zukpm mnmrmup twwqjkrtpkju ytpky kus t lkyoqmpm tutnjsm j
¯¬²vp ujp j ¯¬²¬ kpxjp ¯¬²vjum ljmy ujp jptku pxm ywtpktnojupkukp jpxm
nkrkpuopkju
ku p®j ywtom lkrmuykjuy tul xmuom kp kyujp wjyyknm pj wqjim ojuimqsmuom
j pxm qmynpkus zukpm mnmrmup twwqjkrtpkju¬
m uj® skim pxm ojuypqopkju j ¬ mp
+
m pxm jqpxjujqrtn imopjqy ku v
yox pxtp pxm ojrwjumup j
ky v
¬ kimu ujumqj ojuyptupy
v
2 nmp
¯
+
² m pxm qmmqmuom jwmu pqktusnm ku ®kpx imqpkomy
+
v®xmqm
ky pxm jqksku tul
v ¬ kimu t
®kpx imqpkomy
+
v yox
pxtp
ky pxm qksxptusnml imqpmv pxmu pxmqm mkypy t qjptpkju rtpqk tul ujumqj
ojuyptupy
+
yox pxtp pxm rtwwkus
rtwy pxm imqpm
pj
v v tul xmuom
¯
+
² pj
¬ jq tu
v®m pxmu ymp
¯
²
¯
²
¯¬ ²
®xmqm
¯ ²
¯ ² jq tnn
tul
¯
²
ky pxm lktsjutn rtpqk ®kpx
lktsjutn mupqkmyv v
°
¯
²
±
k
¯
²
¯
²
k
¯
²
¯
²0
¯ ¬²
{y
v
v ®xmqm ¯
²
v ¯ .
. .
.
²
v ¯
²
tul
¯ .
.
.
.
²
v kp mtykn jnnj®y pxtp ¯
² ojuypqopml ku ¯ ¬ ² tul ¯¬² ytpkyzmy
¯¬tv²¬ µp ky pxky ojuypqopkju pxtp qmkqmy pxm qksxptusnm ojuypqtkupju pxm wtqpkpkjukus
¬ kpxjppxkyojuypqtkupv®m ojnl njjym pxm wqjwmqp ¯¬t²tul xmuom pxm wjykpkikp j
pxm
pmqr ku pxm lkyoqmpm tutnjsm j ¯¬²¬ {ujpxmq ojuymmuom j pxky ojuypqtkup
ky pxtp
.
.
.
.
l "
0 ¯ ¬²
µu t ykrkntq tyxkju ®m kupqjlom °(
¯²± yox pxtp jq tnn
tul
)0 0ku
¯
² ky y rrmpqko tul wjykpkim ymrklmzukpm ¯ ¬t²
¯
² °
¯
²±
2 ¯ ¬²
mpmulkus pxm ojuypqopkju ¯ ¬ ²|¯ ¬²jq pj ¬ ª
krkntqn pj ¯¬²vkp jnnj®y qjr
¯¬²v pxm tjim ojuypqopkju tul ¯¬ ² pxtp jq tnn
¯
²
0
l
¯
²
0
l "
0 ¯ ¬²
ikjyn vpxm tjim qmynp tnyj xjnly ®kpx qmwntoml ¬
µu tllkpkju pj v nmp
-
- 000
-
-
m t wtqpkpkjukus j °±
kupj wjyykn itqktnm pkrm ypmwy '
v ¬ m ymp ' rt
+
'
¬
jq tu skimu ( ¯ ²v ®m pxmu ojuyklmq pxm jnnj®kus nn wqtopkotn zukpm mnmrmup
twwqjkrtpkju j ¯ ²
¯
%
² jq zul ¯
² ° ± yox pxtp ¯
² tul
¯
²
.
l
.
l
¯ ¬t²
¯²° ,± ¯ ¬²
1¯ ²
¯¬o²
°
±
°
±
%
#
¯
²
%
'
¯
²
¯
² ¯ ¬l²
®xmqm
¯(
²ju tul ¯
² kytu twwqjkrtpkjuj ¯
² v
m¬s¬
v k
¯²2 tul ykrkntqn
¬
mnj® ®m qmotnn yjrm ®mnnuj®u qmynpyv ymm m¬s¬ °±v ojuomqukus jq tu
v
v v
°± tul ¯ ±
¯ ²
" &
¯ ²2 ¯ ¬²
¯ ²
% " &
%
%
¯ ²2 ¯ ¬²
l " ° ±l " l 2 ¯ ¬ ²
¯ ²¯
²l
"
¯ ²¯
²
%
% " &
%
% 0 ¯ ¬²
¯ ²
" &
¯²0 ¯ ¬ ²
m lmzum
tul kupqjlom pxm ³lkyoqmpm twntoktu´
jwmqtpjq $
yox pxtp
$
0 ¯ ¬ ²
mp ®m kupqjlom jq tnn ( ¯ ²v °± °(± tul + °± °( ¯ (²±
lmzumlv ju qmotnnkus ¯ ¬²v ¯ ¬ ² tul ¯¬ ²v
¯²
¯² + ¯ ²
+¯ ²0 ¯ ¬ ²
xmu pxm jnnj®kus p®j nmrrty jnnj® krrmlktpmn qjr pxm ojuypqopkju j tul v
ymm °vmrrty ¬ tul ¬ ± jq lmptkny¬
¯{² ( ¯²
°(
¯²±
(
" rku
¯
¯²²
"
¯
²
" rt
¯
¯²²
"
¯ ¬t²
(¯ (²
" rku
+ ¯
¯²²
"
¯
²
" rt
+ ¯
¯²²
"
¯ ¬²
¯
²
"
¯
²
0 ¯¬o²
¯{²
( ¯²
°(¯²±
°(
¯²±
rt
° ¯
² ¯
² ±¯²" &
° ¯
²±
%
% " &
¯ ¬t²
rt
° ¯
² + ¯
² ±¯²" &
°+ ¯
²±
%
% " &
¯ ¬²
!
"
m uj® lmqkim lkyoqmpm tutnjsmy j pxm mumqs mypkrtpmy ¯¬² tul ¯¬²¬
# ¯{² ¯
² (
¯ ² & '
" ¯² $
¯
%
²
!
¯ ² % & %
"
¯
² ¯² '
¯
²
%
.
"
%
.
¯ ¬ ²
"
%
.
°
¯²±
%
.
¯ ¬ ²
¯²
°1¯ ²±'
'
° ¯
²±
"
¯
² , '
%
.
¯ ¬t²
!
¯² °
± ¯²
0 ¯ ¬²
¬ xm lmqkitpkju j pxm mkypmuom j t ukm yjnpkju pj ¯¬t²v tul
pxm july ¯ ¬² tul ¯¬ ² ky ypqtksxpjq®tqlv tul otu m jul ku °v mrrt ¬±¬
µu jqlmq pj wqjim mkypmuom j t yjnpkju ¯¯²²
°
± pj ¯ ¬|l²v
®m kupqjlomv ykrkntqn pj ¯¬²v jq pxm lkyoqmpm tukyjpqjwko qmmuy jwmqtpjq
yox pxtp
¯ ²°
±
0 ¯ ¬ ²
µp jnnj®y krrmlktpmn qjr ¯¬² tul ¯¬² pxtp
ky ®mnnwjyml¬ µp jnnj®y qjr
¯¬² tul ¯¬ ² pxtp
,
°
± ¯ ¬ ²
®xmqm
¬ muom ¯ ¬|l² otu m qmyptpml ty kul ¯² ¯²
¯
²
tul t tsqtusm rnpkwnkmq yox pxtp jq tnn
¯
²
¯
²
¯
²
°
±
1¯
²
%
#
¯²,
%
'
¯² 0
¯ ¬ ²
µp jnnj®y qjr ¯¬ ² pxtp ¯
² ¯
² ky yox pxtp jq tnn ¯
² ¯
²
¯
² ¯ ²
°
±
1¯ ²
%
#
¯² ,
%
'
¯² 0 ¯ ¬²
xmqm mkypy t ukm ¯² ¯
² yjnikus ¯¬² ykuomv ju ujpkus ¯ ¬ ²vpxky ky
pxm nmq|tsqtusm itqktpkjutn kumtnkp j pxm ypqkopn ojuim rkukrktpkju wqjnmr
rku
%
° ¯²±
¯
²
%
#
¯² ,
%
'
¯²
0
kypmuom j pxm tsqtusm rnpkwnkmq ku ¯¬ ²pxmu jnnj®y qjr yptultql jwpkrkytpkju
pxmjq vymm m¬s¬° ±¬ muom ®m xtim mkypmuom jtyjnpkju ¯¯²²
°
±
-
¯
² ¯
° ¯
² ±
!
° ¯
² ±² ku ¯¬ ² jq yokmupn
yrtnn kmnly ukmumyy j tulv ju ujpkus ¯ ¬ ²v ukmumyy j ¬ qpxmqrjqmv
oxjjykus ku ¯¬² kmnly ¬
}xjjykus
ku ¯¬²v
ku ¯ ¬o²tul ¯
² ¯
²ku ¯ ¬l²
kmnly pxtp
'
¯
²°
,
±
¯ ¬ t²
1
¯ ²
'
¯ ¬ ²
° ± ° ±
%
#
¯²
%
'
¯² 0 ¯¬ o²
u ujpkus pxm mnmrmuptq klmupkp
¯ ² ¯ ² ¯ ²
kp jnnj®y qjr ¯ ¬t|o²v ¯¬²v ¯¬ o² tul pxm ojuimkp j v qmotnn ¯¬ ²v pxtp
°
±
'
° ¯²±
°1¯ ²±'
" %
#
¯² %
'
¯²
,
'
¯
²
"
¯
¯
²
° ¯
²±
,
° ¯
²±
0 ¯ ¬²
muom pxm lmykqml qmynp ¯¬ t² jnnj®y qjr ¯¬²v ¯¬ ² tul ¯¬ ²¬
¯
² ¯
²
'
$
'
$
" (
'
°° ± ,
%
#
¯² %
'
¯²±0 ¯ ¬²
¬ }xjjykus °
¯²± ku ¯¬²v tul ujpkus ¯¬² kmnly pxtp
¯² '
° ,± 2 ¯ ¬²
®xknm oxjjykus $
ku ¯ ¬o²v tul ujpkus ¯ ¬² kmnly pxtp
1¯ ²
$
'
0
¯ ¬²
lkrmuykjutn otym j °±¬ xm otym yplkml xmqmv qmkqmy
yjrm ywmoktn ojuyklmqtpkjuy¬ mp v pxmu jq ¯
¯
²
¯
²² ®m lkypkuskyx pxm
jnnj®kus otymy¬ jq mtym j ujptpkjuvnmp
¬
¯² ¯
¯
²
¯
²² ¯²
¯
²
¯
² ¯
²
¯² ¯
² ¯² ¯
² '
¯¯
² ²
¯
² ¯
² ¯² ¯
² ' ¯¯
² ²
¯
² ¯¯
²¯
²² ¯
² ¯
² ¯¯
²¯
²² ¯
²
¯
² ¯¯
²¯
²² ¯²0
µu ®xtp jnnj®yv ®m oxjjym yokmupn yrtnn yj pxtp pxm ywmokzml ¯
² otu
m oxjymu ku ¯¬l²¬ µu otym ¯² ®m xtim ju oxjjykus ¯
² ¯
² tul
¯
² ¯
²v qmywmopkimn v pxtp
%
#
¯
²
¯ ¬ t²
tul
%
'
¯²
0 ¯ ¬ ²
µu otym ¯²®m xtim ju oxjjykus ¯
² ¯
² tul ¯
² ¯
²v
qmywmopkimn vpxtp
" tul
¬ jqotym ¯²®m oxjjym ¯
² ¯
'
² tul ¯
² ¯
²vqmywmopkimn v yj pxtp
'
tul
" ¬
ªkrkntqn v ®m jptku jq otym ¯
²v ju oxjjykus ¯
² ¯
'
² tul
¯
² ¯
²v qmywmopkimn v pxtp
'
tul
¬ µu otym ¯
²
®m jptku pxtp
" tul
'
" 2 ju oxjjykus ¯
² ¯
²
tul ¯
² ¯
'
²v qmywmopkimn ¬ ªkrkntqn v jq otym ¯
² ®m xtim
pxtp
tul
'
" xjnl2 ju oxjjykus ¯
² ¯
² tul
¯
² ¯
'
²v qmywmopkimn ¬ kutnn v ku otym ¯
² ®m xtim pxtp
'
xjnl2 ju oxjjykus ¯
² ¯
'
²¬
qjr ¯¬ ²v ¯¬ ² tul ¯ ¬² kp jnnj®y jq pxm otymy ¯²v ¯
² tul ¯
² pxtp
¯
²
¯
² ¯
²
$
¯
² " 0 ¯ ¬ t²
ªkrkntqn v ku pxm otymy ¯²v ¯
² tul ¯
² kp xjnly pxtp
$ ¯ ²¯
² ¯ ¬ ²
®xknm ku pxm otymy ¯
²v ¯
² tul ¯
² ®m xtim pxtp
$
¯ ²¯
² 0 ¯¬ o²
}jrkukus ¯¬tv² tul ¯¬ t|o² kmnly jq tnn otymy ¯² | ¯
² pxtp
°
$
¯
²
$
¯
²± " 0 ¯ ¬²
ªrrkus ¯ ¬ ² jq tnn kmnlyv ju ujpkus ¯ ¬ tv²v ¯ ¬ ² tul ¯ ¬²v pxtp
$
$
" %
#
¯²
$
%
'
¯²
$
° %
#
¯²± ° %
'
¯²±0
¯ ¬ ²
¯² ¯²
'
$
'
$
"
¯ ²
'
° °
%
#
¯
²±
%
'
¯
²
±
"
¯²
¯
²
'
° ° ±,
%
#
¯² %
'
¯²±
" (
'
°° ±,
%
#
¯
²
%
'
¯
²
±
tul xmuom pxm lmykqml qmynp ¯¬²¬
xm qmynpy j pxm wqmomlkus p®j nmrrty ®knn uj® m yml pj lmqkim ultrmuptn t
wqkjqk mypkrtpmy¬
¯{² ¯
² ( ¯ ²
& '
+
¯
²
+
¯
%
²
rt
+
rt
+
+
+
'
° ¯
²±
°1¯ ²±
1¯ ²
"
¯
%
.
² 0 ¯ ¬²
&
+
'
°
±
'
+
"
¯
%
.
² ¯ ¬²
rt
+
¯
²
+
'
$
+
'
$
" ¯
²
,
+
'
°
¯
²±
%
.
¯²° ('
±
¯
%
.
² 0 ¯ ¬²
¬ rrkus ¯¬ t² qjr kmnly jq tu " pxtp
¯
²
+
°1¯ ²±
+
'
+
'
° ¯²±
"¯
² ,
%
.
0 ¯ ¬²
xm lmykqml qmynp ¯ ¬² pxmu jnnj®y qjr ¯¬²v ¯ ¬ ²v ¯ ¬²v ¯¬ ²v ¯ ¬o² tul pxm
top pxtp ¯¯
²¯
²²
v
v ¬ xmu ¯ ¬² jnnj®y qjr ¯¬²v
¯¬ ²v ¯¬²v ¯ ¬ vo²v ¯¬ ²v ¯¬ ² tul ¯¬²2 ymm °v xmjqmr ¬± jq lmptkny¬
kutnn v yrrkus ¯¬ ² qjr tul ujpkus ¯¬ ²v ¯ ¬ ²v ¯ ¬ ² tul ¯ ¬²
kmnly jq tu " pxtp
¯
²
+
'
$
+
'
$
" ¯
²
+
(
'
,
%
% rt
+
rt
+
(
+
'
° ¯²±
+
'
0 ¯ ¬²
xm lmykqml qmynp ¯ ¬²pxmu jnnj®y qjr ¯¬²v ¯¬ ²v ¯¬²v ¯ ¬² tul ¯ ¬²¬
¯
² °
%
¯ ²±
!
¯{²
¯
² ¯
²
!
¯
² &
¯
²
" ¯²0 ¯ ¬²
¬ xm lmykqml qmynp ¯¬² jnnj®y qjr ¯ ¬²v ¯ ¬² tul ¯¬ ²¬
xm twwqjkrtpkju ¯
%
² j ¯² qmkqmy yjnikus jq ¯
² jimq
pxm ®xjnm ljrtku v lm pj pxm ujulmsmumqto j ¯² tul ¯ ²v ymm ¯¬tv²¬ jq
ojrwptpkjutnywmml kp®jnl m rjqm ojuimukmup pj yjnim jq yp ku pxm ojulopjqtul
kupmqtoktnqmskjuyv
vtul jq ¯² yp ku pxm kupmqtoktnqmskjuv
-
¬
kpx pxkyku rkulv®m qmotnnmrtq ¬ ku °± tul kupqjlom pxm jnnj®kus twwqjkrtpkju
j ¯ ²¬ {ljwpkus pxm ujptpkju ¯¬ ² tul ¯ ¬²v nmp °(
¯²± yox pxtp
¯
²
¯
²
tul ¯
²
¯
²
v®xmqm
°
¯
²
±
k
¯
²
¯
²
°
¯
²
± jpxmq®kym2
tul °
¯
²
±
k
¯
²
¯
²
°
¯
²
± jpxmq®kym0
¯¬tv² qmwntoml ¯
²v ypknn xjnl¬ m pxmu kupqjlom pxm twwqjkrtpkju ¯
%
² j
¯ ²v ®xkox ky pxm ytrm ty ¯
%
² p ®kpx ¯² ku ¯¬t² qmwntoml ¯² tul
¯
² ku ¯¬² qmwntoml ¯
²¬ {y ¯ ² tul ¯² tqm uj® lmsmumqtpmv mky
pmuom j t yjnpkju ¯²pj ¯
%
² ljmy ujp twwmtq pj m pqkiktn¬ j®mimqv
pxky otu mtykn m myptnkyxml ywnkppkus pxm ujlmy kupj wtyykim tul topkim ympyv ymm m¬s¬
°±¬ jqmjimqv jum otu yxj® pxtp ¯
² ky ukm¬ qpxmqrjqmvjum otu myptnkyx
tutnjsmy j pxm mumqs mypkrtpmy ¯¬² tul ¯¬²¬ ujqputpmn v kp ljmy ujp twwmtq
wjyyknm pj myptnkyx tu tutnjsm j pxm m mumqs mypkrtpm ¯ ¬² jq ¯
%
²¬
¥¢¤¢¨
mp
¯² //
/
/
°
± ¯¬t²
¯²
¯²
¯
± 0 ¯¬²
m ujpm jq pqm qmmqmuom pxtp
¯
².
./
¯
² ¯ ¬ ²
®xmqm
tul
¬ m kupqjlom tnyj
'¯² '
¯
± 0 ¯ ¬²
ykus pxm tjim ujptpkjuv tul kupqjlokus tutnjsjy ujptpkju jq
tul v
¯
%
² otu m qmyptpml ty kul ¯
¯ ²
² (
¯ 2
² ¯°±2 ²
°(
¯2 ²± yox pxtp jq tnn (
¯ 2 ²
¯²l
.
ll
.
ll ¯¬t²
.
./
¯²° , ±l ¯¬²
1¯ ².
./
l 2 ¯¬o²
®xmqm jq )0 )0 ¯ ²
°
±
°
±
%
#
¯ ²
%
'
¯²
¯
² 0 ¯¬l²
# ¯
² °
%
¯²±
!
¯²
'
+
(
¯k² ¯ ² ¯
²
¯kk² ¯{² ( ¯²
!
( & '
"
'
" (
" % ¯
²
!
¯
²
¯
%
²
(¯2¯ ²² ¯2¯ ¯ ²²
² ¯¬ t²
(
¯2
¯ ²²
¯2 (
¯ ²² & ( ¯²2 ¯¬ ²
¯
¯²
¯²² )00 ¯²
!
¯²
¯²
¯²
¯²
( ¯ ²
¯²
)0 )0 ¯² &
!
$ (¯ 2¯²² ¯¬t²
.
./
.#
./
!
( ¯2¯ ²² ¯¬²
.
./
.'
./
&
!
( ¯² ¯¬ o²
( ¯ 2(
¯²² ¯¬ t²
¯² +¯
² ¯² ¯
² ( ¯ 2(
¯²²2 ¯¬ ²
°²
&
¯²
!
.#
.
,
°
¯²±
%
.
l " ¯ ¬²
¯ ¬t²
( ¯ 2 ¯ ²² ¯ ¬ ²
" % ¯ ¬tv²v ¯ ¬ tv² &
$
$
$
!
( ¯ ² ¯¬t²
!
( ¯ 2
%
¯²² °² ¯¬²
( ¯ 2 %
¯ ²² ¯² ¯ ¬o²
( ¯ 2
¯²²0 ¯¬l²
¯ ²
!
.'
.
¯¬ ²
( ¯2 ¯ ²² ¯¬²
" % ¯ ¬tvo²v ¯ ¬ t² &
$ $ $
!
( ¯ ² ¯¬t²
!
( ¯ 2
%
¯²² °
² ¯¬²
( ¯2 %
¯ ²² ¯² ¯ ¬o²
( ¯2¯ ²²0 ¯¬l²
¯¬² pjsmpxmq ®kpx ¯¬²v ¯ ¬² tul jq tyyrwpkju ¯k² krwn pxtp
° ¯²±
%
.
%
%
'
.
./
%
'
.
./
%
° ¯²±
.
./
%
'
'
.
./
.
./
" ¯¬t²
tul
$
$
" 0 ¯¬²
qpxmqrjqmv ®m lmlom qjr ¯ ¬ ² tul ¯¬t² pxtp
%
%
"
' .
./
%
' .
./
%
" ' 0 ¯¬²
muom ju ujpkus ¯¬t²v ¯ ¬²v ¯ ¯² ¯²² v tul ¯¬t²v ®kpx m¬s¬
¯²v (
¯ ² tul
¯ ²v ®m otu oxjjym t yymmuom ¯
² yox pxtp pxm ojuimqsmuom qmynpy ¯¬ tv²v ¯¬ t|o² tul ¯ ¬ t²xjnl¬ xmu ¯ ¬ tv²
tul xmjqmr ¬ kmnlvju ujpkus ¯¬²vtyyrwpkju ¯k² tul ¯ ¬² pxtp pxm yymmuom
ytpkyzmy pxm tllkpkjutn kukpktn tul kupmsqtn ojulkpkjuy¬
xm wqjj j ¯ ¬ ²otu m jul ku pxm wqjjjmrrt ¬ ku °±¬ jqmjimqvpxm wqjj
j pxm qmynpy ¯¬ ²|¯¬² tul pxm qmynp ju ku ¯ ¬o²v tqm tnyj ku °v mrrt ¬±v
®xmqm pxm tqm lmqkiml qjr pxm m mupqjw jul ¯¬²¬ m uj® myptnkyx ¯¬o²jq
¬ jq tu ¯ ²v ¯
² tul tu
¯
² kp xjnly ju ujpkus pxm ojrwtop
mrmllkus
%
¯ ²
%
¯²v ¯ ¬² tul ¯ ¬² pxtp
%
"
%
"
%
%
" '
¯¬²
®xmqm
¯ ²¬ }jrkukus ¯¬²v tyyrwpkju ¯kk² tul pxm myptnkyxml qmynp
ju ku ¯ ¬o² kmnly pxm lmykqml qmynp ju
ku ¯ ¬o²¬
m uj® wqjim ¯ ¬l²¬ m xtim pxtp
¯
²
"
¯
²0
ll
¯
²0 ll
¯
²0 ll
¯¬t²
®xmqmv ju ujpkus ¯ ¬ ² tul ¯ ¬ ²v
¯
²0 ll
$
l
"
$
0 ¯¬²
kutnn vpxm wqjj j pxm qmynpy ¯ ¬²|¯¬l² jq ky mtopn pxm ytrm ty pxm wqjj
j ¯ ¬ ²|¯ ¬l² jq ¬
# xm ojulkpkjuy
¯ ² ®kpx .
#
.
ju jq pxm qmynpy ¯¬t|l²v
tul ykrkntqn jq
v otu m qmwntoml t qmypqkopkju ju '
ku pmqry j &v ymm ° v mrrt
¬±v p pxm tqm ujp wtqpkontqn qmypqkopkim¬ xm tyyrwpkju ¯¬² xjnly k ¯²
jq tnn tul °±v tul pxky ojulkpkju xmnl ku tnn jq urmqkotn mwmqkrmupy
wqjiklml
ju tul mkpxmq (
kyoxjymu yokmupn ntqsm jq kyoxjymu yokmupn
yrtnn¬ xky otu m rtlm qksjqjy jq pxm twwqjkrtpkju ¯
%
²v ymm mrtq ¬v ty pxm
lmsmumqto j nmtly pj zukpm ywmml jwqjwtstpkju j pxm urmqkotn rtpmqktn kupmqtoktn
qmskjuv
-
2 tp mtox pkrm nmimn kp otu rjim njotnn tp rjyp jum rmyx wjkupv ymm °±¬
kutnn vpxm tyyrwpkju ¯kk² kmnly uj qmtn qmypqkopkju ju pxm pkrm ypmw ykm ' ku pmqry j &v
ty pxm qmkqmrmup ( ®xmu & ky imq ®mt¬ jpm tnyj pxtp pxm wjykpkim ojuyptup
ku ¯kk² otu m oxjymu tqkpqtqkn ¬
qjr ¯ ¬t²v ¯¬ tv²v ¯¬ ²v ¯¬ ²tul ¯¬o² ®m ymm pxtp ®m otu jun ojupqjn
tul ju pxm ympy ®xmqm ¯² tul ¯² tqm julml mnj® kulmwmulmupn j
(v tul xmuom & ju ujpkus ¯kk²v k¬m¬ ju pxm ympy ®xmqm
tul
-
v qmywmopkimn ¬
xmqmjqm ku jqlmq pj ojuypqoppxm twwqjwqktpm nkrkpyty & v®m kupqjlom pxm jnnj®kus
jwmu yympy j ¬ jq tu ¯²v ®m lmzum jq )0)0 ¯ ²
!
¯²
¯²
-
!
¯²
-
¯² ¯¬ t²
!
%*¯²
!
¯²
¯²
-
¯
¯² ² ¯¬ ²
!
%
¯²
!
¯²
¯²
¯
¯²² ° !
± ¯ ¬ o²
!
%
¯²
!
¯²
¯²
¯
¯²² ° !
±0 ¯¬ l²
qjr ¯ ¬o² tul ¯ ¬o² ®m xtim pxtp pxmqm mkyp wjykpkim ojuyptupy
¯² yox pxtp
¯
²
¯ ²
¯
²
¯ ²
"
¯²
jq )0)0 ¯²0 ¯¬²
{y
¯²
¯² jq )0 )0 ¯ ²v kp jnnj®y pxtp pxmqm mkypy t
¯
² yox pxtp
!
¯²
!
¯² jq )0)0 ¯²¬ µp krrmlktpmn jnnj®y
qjr ¯ ¬ t|l² tul ¯ ¬² jq )0 )0 ¯ ² tul jq tu
¯ ² ®kpx
pxtp
mkpxmq
!
¯² tul
!
¯² jq
!
¯² tul
!
¯² ®kpx
¯²
¯
²
¯ ²
¯
² ¯¬ t²
tul
!
%*
¯² tul
!
%*
¯² ®kpx
¯²
¯
²
¯ ²
¯
²
¯ ²
¯
²2 ¯¬ ²
®xmqm
!
¯²v
!
¯² tul
!
%*¯² tqm pxm jultqkmy j
!
¯²v
!
¯² tul
!
%*¯²vqmywmo
pkimn ¬ xky krwnkmypxtpjq )0)0 ¯² tul tu ¯ ²vpxmqm mkypy tu &¯ ² yox
