Zur Besprechung am 11. November 2011

M. Bukal, Ph. Fuchs, A. J¨ungel

Ubungsblatt 6 ¨

Partielle Differentialgleichungen, WS 2011, 4. November 2011

1. Zeigen Sie, dass

u(x, y) = ln

ln 1

px²+y²

∈H¹ B_1/2(0) ,

wobeiB_1/2(0) die Kugel imR²um den Ursprung mit Radius 1/2 ist.

2. Sei Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit∂Ω∈C¹. Zeigen Sie:

(a) Sindu∈H^k(Ω) (k∈N) undv∈C^∞( ¯Ω), so folgtuv∈H^k(Ω).

(b) Sindu∈H¹(Ω) undv∈C₀^∞(Ω), so folgt uv∈H₀¹(Ω).

3. Seien Ω ⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit ∂Ω∈ C¹, c ∈L^∞(Ω), c ≥c₀ > 0,f ∈ L²(Ω), g∈H¹(Ω) undα∈R. Betrachten Sie die elliptische Gleichung mitRobin-Randbedingungen

−∆u+cu=f in Ω,

∇u·ν+αu=g auf ∂Ω.

(a) Bestimmen Sie die schwache Formulierung dieses Randwertproblems.

(b) Zeigen Sie, dass dieses Problem eine schwache L¨osung besitzt.

4. Sei Ω ⊂ Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet mit ∂Ω ∈ C². Zeigen Sie, dass die biharmonische Gleichung

∆²u=f in Ω, u=∇u·ν= 0 auf ∂Ω

eine schwache L¨osung besitzt, fallsf ∈L²(Ω). Hierbei istν der ¨außere Normaleneinheitsvek- tor auf∂Ω. Anleitung:

(a) Zeigen Sie zun¨achst, dass die schwache Formulierung des obigen Randwertproblems Z

Ω

∆u∆vdx= Z

Ω

f vdx f¨ur allev∈V

lautet, wobeiV ={v∈H²(Ω)|v=∇v·ν = 0 auf∂Ω}.

(b) Zeigen Sie, dassa(u, v) =R

Ω∆u∆vdxeine stetige und koerzive Bilinearform aufV ×V ist. Verwenden Sie hierbei folgende Ungleichung: F¨ur alle u ∈ V gilt kuk_H2(Ω) ≤ Ck∆ukL²(Ω), wobeiC >0 eine positive Konstante ist.

(c) Zeigen Sie die Existenz einer schwachen L¨osung des Randwertproblems.

Zur Besprechung am 11. November 2011

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