M. Bukal, Ph. Fuchs, A. J¨ungel
Ubungsblatt 3 ¨
Partielle Differentialgleichungen, WS 2011, 14. Oktober 2011
1. Betrachten Sie die W¨armeleitungsgleichung
uτ =κ∆ξu , ξ∈Rn, τ >0, u(ξ,0) =u0(ξ),
wobeiκ >0. Definieren Sie die Funktion v(x, t) durch die folgendeReskalierung u(ξ, τ) =R(τ)−nv R(τ)−1ξ,lnR(τ)
, wobeiR(τ) =√
2κτ+ 1. Wir setzen x=R(τ)−1ξ undt= lnR(τ).
(a) Zeigen Sie, dassvdie folgendeFokker-Planck-Gleichung l¨ost:
vt= divx(∇xv+xv), x∈Rn, t >0, v(x,0) =u0(x).
(b) Sei n = 1. Berechnen Sie den station¨aren Zustand v∞ der Fokker-Planck-Gleichung (d. h. ∇v∞+xv∞ = 0) und schreiben Sie ihn in den (ξ, τ)-Koordinaten, um eine asymptotische L¨osung der W¨armeleitungsgleichung f¨urτ→ ∞zu erhalten.
2. Sei f ∈L1loc(Rn) und sei die Abbildungu:D(Rn)→Rdefiniert als
hu, φi= Z
Rn
f(x−y)φ(y)dy, ∀φ∈ D(Rn).
Entscheiden Sie, obueine Distribution ist (mit Beweis).
3. Sei u∈ D0(R) unda∈C∞(R). Zeigen Sie:
(au)00=a00u+ 2a0u0+au00.
4. Betrachten Sie die Differentialgleichung ut+ div v(x)u
= 0, x∈Rn, t >0,
wobei v ∈ (C∞(Rn))n. Sei ferner x(ξ, t) := x(t) f¨ur gegebenes ξ ∈ Rn die unendlich oft differenzierbare L¨osung von xt = v(x) mit x(0) = ξ. Zeigen Sie, dass die Distribution f ∈ D0(Rn+1), definiert durch
hf, φi= Z
R
φ x(ξ, t), t
dt , ∀φ∈ D(Rn+1),
eine distributionelle L¨osung der obigen Differentialgleichung ist. In diesem Sinne ist f = δx(ξ,t).
Zur Besprechung am 21. Oktober 2011
1
