Einf¨ uhrung in die Analysis Pr¨ ufung 29.01.2015 - Teil 1
Name, Vorname Matrikel
Unterschrift
Dauer: 40 Minuten f¨ur Teil 1, 80 Minuten insgesamt. Jede ¨Ubung hat genau eine korrekte Antwort. Merken Sie sie so an. F¨ur jede Antwort: Richtig = +3, Leer = 0, Falsch= −1.
Keine Unterlagen, kein Handy/PC, kein Taschenrechner, keine Gruppenarbeit.
1. Sei 0≤an≤1/n. Dann: a P+∞
n=1(−1)nan ist absolut konvergent. b P+∞
n=1an ist absolut konvergent.
c P+∞
n=1an/n ist absolut konvergent. d P+∞
n=1(−1)n/(an+n) ist absolut konvergent.
2. Sei f(x) = x3+x2+ 2x, f¨ur x > 0 und sei g die Umkehrungfunktion von f. Wie viel gilt 1/(g0(16))?
a 17. b 19. c 18. d 1/18.
3. Seien A={z ∈C : z4+ 1 = 0}und α= 2 sup{Re(ia), a ∈A}. Wie viel giltα? a 2/√
2. b 2/(2/√ 2).
c 2. d 2/4.
4. Seif :R→R, so dassf(2x) = f(x) f¨ur allex∈R. Dann: a ∃(xn) : xn →0 und (f(xn)) ist konstant.
b ∃(xn) : xn →0 undf(xn)→0. c limx→0f(x) = f(2). d f ist konstant.
5. Sei p ein Polynom mit Gradn. Dann: a p beschr¨ankt ⇒n ungerade. b pbeschr¨ankt ⇒ p konstant.
c n ungerade ⇒ limx→−∞p(x) =−∞. d n gerade ⇒ pperiodisch.
6. Sei f(x) = sin(x+) + 2αarctan(x−) f¨ur alle x∈R, wobei x+= max{0, x} und x−= max{0,−x}. Dann ist f differenzierbar in 0 f¨ur: a α= 0. b α= 1/2. c α=−1/2. d Kein α∈R.
7. Sei an>0, so dass (an) und (1/an) konvergent sind. Dann: a P+∞
n=1an ∈R. b P+∞
n=1(1/an)∈R. c P+∞
n=1(an−1/an)∈R. d P+∞
n=1an = +∞.
8. Sei f : [0,1]→[0,1] stetig. Dann: a ∃x∈[0,1] : f(x)> f(0). b ∃x∈(0,1) : f(x)> x.
c ∃x∈(0,1) : f(x) = 0. d ∃x∈[0,1] : f(f(x)) = f(x).
9. Seian →0. Dann: a ∃(nk) : P+∞
k=1(−1)kank konvergiert. b P+∞
n=1a2n konvergiert absolut. c ean →0.
d an≤1/n fast immer.
10. Sei an >0 und a2n → 0. Dann: a P+∞
n=1an = +∞. b lim supn→+∞a4n = 0. c lim supn→+∞an > 0.
d P+∞
n=1a2n<+∞.
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Einf¨ uhrung in die Analysis Pr¨ ufung 29.01.2015 - Teil 2
Name, Vorname Matrikel
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Zeit: 40 Minuten f¨ur Teil 1, 80 Minuten insgesamt.
Keine Unterlagen, kein Handy/PC, kein Taschenrechner, keine Gruppenarbeit.
11. Sei f(x) = −(x−1)2+ 22+ 1 f¨ur alle x∈Rund man definiert die Menge A=
(
x∈R : die Reihe
+∞
X
n=2
cos(lnn) + 22
nf(x) ist absolut konvergent )
.
Wie viel gilt supA+ 2 infA?
Merken Sie die richtige Antwort an:
−15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 (Richtig = +5, Leer = 0, Falsch= −2)
12. Seien α ∈ R und fα(x) = 8(α−1) sinx f¨ur x ≥ 0 und fα(x) = α2e2x−8(α2−2α)−4 f¨ur x < 0. Man definiert die Mengen
A={α∈R : fα monoton in [−1,1]}, B ={α ∈R : fα stetig}, C ={α∈R : fα differenzierbar}.
Wie viel gilt −infA+ 8 supC−supB?
Merken Sie die richtige Antwort an:
−36 −32 −28 −24 −20 −16 −12 −8 −4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 (Richtig = +5, Leer = 0, Falsch= −2)
13. Beweisen Sie den folgenden Satz:
an →0 ⇒ ∃(nk) :
+∞
X
k=1
ank konvergiert absolut.
(Bis zum = +10, Leer = Falsch = 0)
