Technische Universitat Berlin Fakultat II { Institut fur Mathematik

Technische Universitat Berlin

Fakultat II { Institut fur Mathematik SS 11

Barwol, Neitzel, Penn-Karras, Stephan 14.10.2011

Oktober { Klausur Analysis II fur Ingenieure

Musterlosung Rechenteil

1. Aufgabe 10 Punkte

Gegeben sei f(x; y) = x ln(xy).

a) D := f(x; y) 2 R ² jxy > 0g.

Skizze: D besteht also aus I. und III. Quadraten ohne Achsen.

b)

gradf =

ln(xy) + 1

x y

; Hessf = ^{1 x} ₁ ^{1 y}

y x

y

!

; f = 1 x

x y ² : c) ^@f _@~v (1; 1) = ^{p 1} ₅

1 1

1

2

= ^{p 3} ₅ d)

T (x; y) = f(1; 1) + grad _(1;1) f

x 1 y 1

+ 1

2 (x 1; y 1)Hess _(1;1) f

x 1 y 1

= x + y 2 + 1

2 (x 1) ² 1

2 (y 1) ² + (x 1)(y 1) )f( 9

10 ; 11

10 ) 1 100 :

2. Aufgabe 10 Punkte

a)

ds = j _~c(t)jdt =

0

@ sin t + t cos t cos t t sin t

1

1 A

dt

= p

sin ² t + t ² cos ² +2t sin t cos t + cos ² +t ² sin ² 2t sin t cos t + 1 = p

t ² + 2dt:

Z

~c

u ds = Z 1 0

u(~c(t))j _~c(t)jdt = Z 1 0

t(t ² + 2)dt = Z 1

0

(t ³ + 2t)dt = 5

4

b)

Z

~c

~v ~ ds = Z 1 0

~v(~c(t)) _~c(t)dt = Z 1 0

0

@ t sin t t cos t

t ² 1 A

0

@ sin t + t cos t cos t t sin t

1

1 A dt

= Z 1 0

(t + t ² )dt = 1 2 + 1

3 = 5 6 :

3. Aufgabe 10 Punkte

Notwendiges Kriterium fur lokale Extremstellen:

gradf = ~0 ,

e ^x+y e ^x+y

= ~0:

Da die e-Funktion immer positiv ist, ist das Kriterium nicht erfullbar, d.h. es gibt keine lokalen Extrema.

Zur Berechnung der globalen Extrema, die sich nun nur noch auf dem Rand benden konnen, benutzen wir den Lagrange-Ansatz

grad f = grad g g(x; y) = 0

mit g(x; y) = (x 1) ² + y ² 2. Obiges System ist aquivalent zu e ^x+y 2(x 1) = 0

e ^x+y 2y = 0 (x 1) ² + y ² = 2:

Subtraktion der 2. Gleichung von der 1. Gleichung liefert (y x + 1) = 0. Im Fall = 0 gibt es aber keine Losung. Also untersuchen wir den Fall y = x 1. Eingesetzt in die 3.

Gleichung erhalten wir x = 0 oder x = 2. Wir erhalten somit als Kandidaten fur globale

Extrema (0; 1) und (2; 1) . Wegen ¹ _e = f(0; 1) < f(2; 1) = e ³ liegt an der Stelle (0; 1)

das globale Minimum und an der Stelle (2; 1) das globale Maximum von f.

Verstandnisteil

4. Aufgabe 10 Punkte

a) Skizze (fehlt): B ist ein Halbkreisring im I. und IV. Quadranten mit Innenradius 2, Auenradius 3 und Ursprung als Mittelpunkt.

b) In Polarkoordinaten ist B beschrieben durch die Menge der Punkte (; ) mit 2 3 und _{2 2} .

c) Nach dem Transformationssatz gilt:

ZZ

B

x

x ² + y ² dxdy = Z ₃

2

Z

2 2

cos

² dd

= Z ₃

2

Z

2 2

cos dd

= Z

2 2

cos d

= 2

5. Aufgabe 10 Punkte

a) Es gilt

rot ~w = 0

@

@ ~ w

@ ~ @x w

@ ~ @y w

@z

1 A

0

@ xy xz yz

1 A =

0

@ y

x z 1 A = ~v:

b) Nach Satz von Gauss gilt:

ZZ

S

~v ~ dO = ZZZ

E div~v dxdydz = ZZZ

E 0 dxdydz = 0:

c) Nein, denn ~v ist nicht wirbelfrei.

6. Aufgabe 10 Punkte

a) i) A := f(x; y) 2 R ² jx ² + y ² < 1g.

ii) B := f(x; y) 2 R ² jx ² + y ² = 1g.

iii) C := [0; 1[[0; 1[:

b) Die Folge (~a n ) _n2N ist konvergent mit Grenzwert (0; 0), da die erste Kompoentenfolge Produkt einer Nullfolge und einer beschrankten Folge ist und die zweite Komponenten- folge eine geometrische Folge der Form (x ⁿ ) _n2N mit jxj < 1 ist.

Die Folge

~b n

n2N ist divergent, da die zweite Teilfolge ischen -1 und 1 alterniert.

c) i) nein, ii) ja, iii) nein