Research Collection
Working Paper
Berechnung von Platten und Rippenplatten nach der Methode der endlichen Elemente
Author(s):
Alberti, Giorgio F.
Publication Date:
1971
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-000747229
Rights / License:
In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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ETH Library
der Methode der endlichen Elemente
Giorgio F. Alberti
Oktober 1971 BerichtNr. 39
Birkhäuser Verlag Basel Institutfür Baustatik ETH Zürich
nach derMethode der endlichen Elemente
von
Dr.sc. techn. Giorgio F.Alberti
Institut für Baustatik
EidgenössischeTechnische Hochschule Zürich
Zürich Oktober 1971
Seite
1. Einleitung 8
2. Kinematische Methode der endlichen Elemente
für zweidimensionale Tragwerke 11
2.1 Lokale Steifigkeitsmatrix und Lastvektor
eines Elementes 13
2.2 Verwendete Elemente 20
2.3 Globale Steifigkeitsmatrix und globale
Belastungsmatrix 40
2.4 Lösung des Gleichungssystems und Berechnung
der Schnittkräfte 44
2.5 Verschiedene kompatible Plattenelemente 45 3. Generelle Uebersicht des Programmes 52
4. Begründung der Eingabe 56
4.1 Elementorientierte Eingabe 56
4.2 Bandförmige globale Steifigkeitsmatrix 57
4.3 Eingabeprbgramm 58
5. Globale Steifigkeitsmatrix 63
6. Lastfälle 66
7. Randbedingungen 69
8. Lösung des Gleichungssystems 72
8.1 Gauss'sches Eliminationsverfahren 72
8.2 Cholesky-Verfahren 74
9. Numerische Beispiele 77
9.1 Platte 77
9.2 Rippenplatte 79
9.3 Schiefe Plattenbrücke 81
Summary 90
ResumS 92
Anhang I : Eingabebeschreibung des Programmes 134 Anhang II : Knotennumerierung und Vorzeichenkonvention 155
Nomenklatur 156
Literatur 159
Die Methode der finiten Elemente hat sich heute bei der numerischen Berechnung von Problemen der Elastizitäts- und der Plastizitätstheorie mit digitalen Rechenautomaten all¬
gemein durchgesetzt. Ihre Anwendbarkeit auf praktische Ingenieurprobleme hängt in erster Linie von den zur Verfü¬
gung stehenden Computerprogrammen ab. Das in der vorliegenden Arbeit entwickelte Programm "FEAPS" erlaubt die Berechnung
von allgemein begrenzten und allgemein gestützten elastischen Platten mit und ohne Rippen. Das Institut für Baustatik hofft, damit einen nützlichen Beitrag zur Berechnung solcher Konstruktionen geleistet zu haben.
Die Arbeit wurde von Herrn G. Alberti als Doktordissertation (Referent: Prof. Dr. B. Thürlimann, Korreferent: Dr. E.
Anderheggen) verfasst. Die theoretischen Grundlagen des Verfahrens basieren zum Teil auf Arbeiten und Veröffent¬
lichungen von Herrn Dr. E. Anderheggen, der auch diese Arbeit wissenschaftlich leitete.
Eidgenössische Technische Prof. Dr. Bruno Thürlimann Hochschule - Zürich
Oktober 1971
Die Berechnung von Verformungen und Schnittkräften von dünnen Platten mit analytischen Methoden ist nur in Spezialfällen möglich. Für allgemeine Plattensysteme werden Näherungsmetho¬
den verwendet, die meistens auf einer Diskretisation aufgebaut
sind. Die Methode der endlichen Elemente wurde für die Berech¬
nung von beliebigen zweidimensionalen, dünnen, linear-elasti¬
schen Platten und Rippenplatten verwendet. Diese wurde Ende der fünfziger Jahre mit den Pionierarbeiten von Argyris [1,30], Clough [2,28], Melosh [29] und Zienkiewicz [3] entwickelt.
Sie stützt sich auf die Unterteilung des Kontinuums in Teile einfacher Geometrie. Dies erlaubt die stückweise Bildung von anpassungsfähigen Ansatzfunktionen für die unbekannten Ver¬
formungen im Innern des Tragwerkes. Die Ansätze dienen zur
Approximation der inneren Formänderungsenergie der einzelnen Elemente als quadratische Funktion der angenommenen Verfor¬
mungsparameter. Das elastische Potential (Formänderungsenergie) der einzelnen Elemente wird zur Bestimmung von verallgemeiner¬
ten Spannungsdehnungsbeziehungen (Steifigkeitsmatrizen) im lokalen elementbezogenen Koordinatensystem verwendet. Das Potential der äusseren Kräfte kann auch durch Ansatzfunktionen als lineare Funktion der diskreten Verformungsparameter be¬
rechnet werden. Die totale potentielle Energie des Tragwerkes wird als Addition der, im globalen Koordinatensystem definier¬
ten, Formänderungsenergien der Elemente und der, im selben Koordinatensystem abgeleiteten, potentiellen Energie der äusseren Lasten bestimmt.
Die potentielle Energie eines im Gleichgewicht stehenden elastischen Tragwerkes wird für den wirklichen Verformungs¬
zustand minimal. Die Anwendung des Minimumprinzips führt zu
bekannten Algorithmen (z.B. Gauss'sches Eliminationsverfahren oder Cholesky-Verfahren) gelöst werden. Die Spannungen werden dann aus den Dehnungen bzw. aus den Verschiebungen bestimmt.
Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Programmes für die Berechnung von beliebig begrenzten und gelagerten Platten und Rippenplatten nach der Methode der endlichen Elemente.
Das Programm hat eine leicht verständliche Eingabe und strebt minimale Rechenzeiten an. Im Gegensatz zu den bis jetzt be¬
kannten Programmsystemen wurde eine elementorientierte Eingabe gewählt. Die Elementanordnung basiert auf sich wiederholenden Elementtypen fester Geometrie, die kolonnenweise angegeben werden. Die Randbedingungen und die Belastungsgrössen werden ebenfalls elementorientiert spezifiziert. Die Knotennumerierung bei den Elementen und Verformungsparametern ist so gewählt, dass schmale, bandförmige globale Steifigkeitsmatrizen ent¬
stehen. Diese Anordnung minimalisiert die Rechenzeit zur
Auflösung des Gleichungssystems.
Für die vorliegende Arbeit werden die folgenden Elemente verwendet:
a) Dreieckige und viereckige Plattenelemente mit 18 bzw. 24 Verschiebungsparametern, basierend auf einem Polynom 5. Grades als Verschiebungsansatz.
b) Dreieckige und viereckige Scheibenelemente mit 18 bzw. 24 Verschiebungsparametern, gestützt auf einem Polynom 3. Grades als Verschiebungsansätze.
c) Exzentrische Balken (Rippen) mit polynomischen Verschiebungsansätzen 5. Grades für die Verschiebung senkrecht zur Plattenebene und 3. Grades für die Verschiebung in Längsrichtung.
Im nächsten Kapitel wird eine Uebersicht über die mathe¬
matischen Grundlagen der Methode der endlichen Elemente gegeben, und es werden gleichzeitig die verwendeten Elemente beschrieben. Im folgenden dritten Kapitel wird das Programm FEAPS in seinem Aufbau und in seiner möglichen Verwendung betrachtet. Nach der Begründung der getroffenen Wahl einer elementorientierten Eingabe und einer speziellen Element¬
unterteilung der zu berechnenden Tragwerke (Kap. 4), wird die Aufstellung des linearen Gleichungssystems (Kap. 5, 6 und 7) beschrieben. Im achten Kapitel wird die Lösung des Gleichungssystems besprochen. Das neunte Kapitel stellt die untersuchten Platten und Rippenplatten zusammen.
KINEMATISCHE METHODE DER ENDLICHEN ELEMENTE FUER ZWEIDIMENSIONALE FLAECHENTRAGWERKE
Die Theorie der dünnen Platten mit kleiner Durchbiegung aus linear-elastischem Material (Theorie 1. Ordnung) stellt die Grundlage für die folgenden Ausführungen dar.
Die Methode der endlichen Elemente stützt sich auf die Unter¬
teilung des Kontinuums in Elemente einfacher Geometrie (z.B.
Dreiecke oder Vierecke). Für jedes Element wird eine Anzahl Verformungsparameter für eine bestimmte Knotenanordnung ge¬
wählt. Die Verformungsparameter stellen die, den Verschie¬
bungsansätzen opi(x,y) entsprechenden Amplituden im Innern
des Elementes dar. Der Verschiebungsansatz beschreibt den
Verformungszustand des Elementes in Funktion der Knoten¬
verformungsparameter. Er stellt als solcher eine Diskreti¬
sation des Verschiebungszustandes dar. Die für die Ver¬
schiebungsansätze verwendeten Funktionen sind meistens Polynome in den kartesischen Koordinaten x und y oder in
"natürlichen" dimensionslosen Dreieck- oder Viereckkoordi¬
naten. Die letzteren basieren auf Abständen von den Seiten.
Felippa [20], Zienkiewicz [3] und Argyris [15] haben "natür¬
liche" dimensionslose Koordinaten systematisch angewendet.
Durch Integration innerhalb jedes Elementes werden das elasti¬
sche Potential U, das Potential der äussern Kräfte V, als quadratische beziehungsweise lineare Funktion der Verformungs¬
parameter, und damit die lokale Steifigkeitsmatrix und der lokale Lastvektor bestimmt. Die Steifigkeitsmatrix und der
Lastvektor des aus Elementen zusammengesetzten Tragwerkes werden durch die Summe über alle Elemente der entsprechenden Formänderungsenergien und der Potentiale der äussern Kräfte
berechnet. Die Anwendung des Minimumprinzips der poten¬
tiellen Energie liefert ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Verformungsparameter. Die Spannungen folgen
aus den Dehnungen bzw. aus den Verschiebungen.
Bei der Annahme der Verformungsparameter und der Verformungs¬
ansätze müssen die folgenden Bedingungen erfüllt sein:
a) Kinematische Kontinuitäts- und Randbedingungen entlang
den Rändern der Elemente dürfen nicht verletzt sein.
Die angenommenen Ansatzfunktionen müssen dann entlang den gemeinsamen Seiten von zwei benachbarten Elementen Verformungen aufweisen, die nur von den Parametern dieser Seiten abhängig sind. Für die Verschiebungen der Scheiben¬
elemente in der Ebene des Elementes entstehen in der Regel keine Schwierigkeiten, weil einfache Kontinuität notwendig ist. Für die Plattenelemente sind nicht nur die gleiche Verschiebung senkrecht zur Plattenmittelebene der an¬
grenzenden Seiten zweier Elemente notwendig, sondern auch gleiche Werte für die Verdrehungen normal zu den gemeinsamen Elementseiten, Eine gewisse Anzahl externer Verformungsparameter muss deswegen auf den Rändern der Elemente gewählt werden. Interne Verformungsparameter werden in gewissen Fällen zusätzlich, für eine bessere Erfassung des Gleichgewichtes, eingeführt.
b) Starrkörperverschiebungen dürfen keine Dehnung (und des¬
wegen keine Spannung) verursachen, d.h.: wenn die Knoten¬
verformungen einer Starrkörperverschiebung entsprechen,
muss die Verformungsenergie des Elementes identisch Null sein.
c) Zustände konstanter Dehnung müssen möglich sein. Beim Verfeinern der Elementmaschen nähern sich die Element¬
verformungen Zuständen konstanter Dehnung. Deswegen müssen diese Zustände in den Ansatzfunktionen enthalten sein. In diesem Falle, wenn die Verformungsparameter einen konstan¬
ten Dehnungszustand beschreiben, sollen die Dehnungen im
Innern des Elementes konstant sein.
d) Die Ansatzfunktionen sollten invariant bezüglich einer Aenderung des globalen Koordinatensystems sein. Diese Eigenschaft wird durch die Verwendung von natürlichen Koordinaten automatisch erfüllt. Ansatzfunktionen in Form von bis zu einem bestimmten Grad vollständigen Polynomen erfüllen ebenfalls diese Bedingung.
2.1 Lokale Steifigkeitsmatrix und Lastvektor eines Elementes
Der lokale Verschiebungszustand |v(x,y)j eines Scheiben¬
oder Plattenelementes kann durch die folgende Beziehung zwischen der Matrix pKx.yjJ, der angenommenen Ansatzfunk¬
tionen und dem Vektor |fe|der Verformungsparameter beschrieben werden:
{v(x,y)} =[3>(x,y)]-{fe} d)
Für die Ansatzfunktionen werden meistens polynomische Funktionen verwendet, welche am besten mit Hilfe von natürlichen, dimen¬
sionslosen Koordinaten (z.B. £ , £ ,£ für Dreieckkoordi¬
naten) formuliert werden.
Die Beziehungen zwischen den erwähnten Koordinaten und den karthesischen x- und y-Koordinaten sind von Felippa [20] und
Ergatoudis [26] angegeben worden. Die Dehnungen können auch in Funktion der angenommenen Ansatzfunktionen berechnet werden:
(6(x,y)} = [A<J>(x,y)]-{fe} (2,
Die Matrix [A$(x,y)J entsteht aus der Matrix [$(x,y)J
durch Anwendung der, aus der Theorie der Flächentragwerke [6,7], bekannten Beziehungen zwischen Dehnungen und Verfor¬
mungen. Die folgende Gleichung gibt die linear-elastischen Spannungsdehnungsbeziehungen an:
{a(x,y)} = [D]-{€(x,y)} (3)
Die Matrix [D] enthält die Elastizitätskonstanten des ange¬
nommenen Materials. Die lokale Elementsteifigkeitsmatrix [k]
stellt die Beziehung zwischen verallgemeinerten Kräften und Knotenverformungen dar. Seine Definition folgt aus der Be¬
ziehung für das elastische Potential U:
F F
U ist die Formänderungsenergie des Elementes für einen vom Vektor |fej definierten Verschiebungszustand.|e| und |o-j
sind Vektoren der Dehnungen und der entsprechenden Spannungen.
Die lokale Steifigkeitsmatrix eines Elementes ist durch die folgende Beziehung gegeben:
[k] =ff[&&]'¦ [ü]-[tä] ¦ dF es)
F
Für die Bestimmung des lokalen Belastungsvektors |p| in¬
folge allgemeiner äusserer Lasten |p(x,y )| verwendet man den
Ausdruck für das Potential V der äusseren Kräfte:
V = -JJ{v(x,y)}t-{p(x,y)}- dF C6)
Durch die Einsetzung der Beziehung (1) folgt:
V=-{'e},-//[*]'{p}dF=-{fe},{p}
Der lokale Lastvektor |p| ist:
{p} -/ZK' {p}dF
F
Der Vektor |p| stellt die "konsistenten", für eine allgemeine Belastung |p(x,y)| entstandenen, den Verformungsparametern entsprechenden Knotenbelastungen dar. Analoge Lastvektoren können für Anfangsdehnungen (z.B. infolge Schwinden) definiert werden.
Die Gleichungen (1) bis (8) dienen zur Berechnung des elasti¬
schen Potentials und des Potentials der äusseren Kräfte eines Elementes mit Hilfe von Verschiebungsansätzen. Analog kann
man auch das elastische Potential mit Dehnungsansätzen berech¬
nen. Dieses Vorgehen hat den grossen Vorteil, dass man eine geometrieunabhängige Integration, bis auf einige Materialkon¬
stanten und bis auf die Plattendicke, der Elementsteifigkeits¬
matrix [k£ ] für die gewählte Anordnung der diskreten Deh¬
nungsparameter |e| durchführen kann.
Diese Integration kann deswegen einmal für alle Elemente er¬
folgen. Die weiteren Vorteile bestehen im niedrigeren Grad der Interpolationspolynome für die Dehnungsparameter (im
Falle der Scheibe ist der Grad um Eins und im Falle der Platte um Zwei kleiner als der Grad der Polynome für die Verschiebungsansätze) und im Fehlen der Bedingung der kine¬
matischen Zulässigkeit für den Vektor|€|der allgemeinen Dehnungen. Die Gleichung (2) kann analog für die diskreten Dehnungsparameter geschrieben werden:
{«}*[¦*]•{«} (9)
Aehnlicherweise zur Gleichung (4) kann man die Steifigkeits¬
matrix für die Dehnungsparameter definieren. Das elastische Potential U des Elementes, mit Berücksichtigung der Gleichung
(9) wird:
U =1//{,}'H•dF=i-{c-}'//[*€] • [D]{*e] ¦ dF{*}
F F
=-H*}*N-{*}
Daraus ergibt sich die lokale Steifigkeitsmatrix des Elementes für die gewählten diskreten Dehnungsparameter zu:
[K] = //[*<]' [D] ¦[«*]¦ dF ,..)
Die Steifigkeitsmatrix für die benützten Verformungsparameter
(fe| im lokalen Koordinatensystem entsteht aus [k€ ] durch
eine kongruente Transformation. Die Transformationsmatrix [T]
der Verschiebungsparameter in die Dehnungsparameter ist mei¬
stens relativ leicht aufzustellen:
{*}=[T].{r}
Aus der Definition des elastischen Potentials U folgt:
^W'N'W4{1'[1'N[1M-
-m^-w-k}
(13)
Die kongruente Transformation der Steifigkeitsmatrix von den Dehnungsparametem zur Steifigkeitsmatrix der Verformungs¬
parameter ergibt sich zu:
[K] =[T]'.[K«].[T]
Der Vektor yr> der allgemeinen Spannungen wird mit den Gleichungen (3), (9), (12) definiert:
[«r] =[D]-H=[DH4W=»]'(1=i1 "»
Die Matrix [s] ist die Spannungsmatrix:
[.]=[D]-K]-[T] (16)
Die "Kondensation" der internen Verformungsparameter eines Elementes wird anschliessend beschrieben. Sie wurde von
Felippa [20] ausführlich behandelt. Das Minimumprinzip der potentiellen Energie kann für die inneren Verformungspara¬
meter |fj| eines Elementes angewendet werden, bevor die globale Steifigkeitsmatrix zusammengesetzt wird. Das ist möglich, weil die internen Verformungsparameter keinen Ein-
fluss auf die nebenliegenden Elemente haben. Die potentielle Energie eines belasteten Elementes ist:
7T=U+V=
kjj i kje
I
kei | kee
• «
'fi"
,_•
V t
. . .
Pi
A fe ^ Pe J
{fef sind die "externen", den Randverformungen entsprechen¬
den Parameter, {pe} die dazugehörigen Belastungen und Ipjj
der Vektor der "internen" Belastungen, entsprechend den "in¬
ternen" Verformungsparametern if\\ . Die symmetrische Stei¬
figkeitsmatrix des Elementes wurde in vier Untermatrizen, entsprechend den "internen" und "externen" Verformungspara¬
metern, getrennt. Die Anwendung des Minimumprinzips der potentiellen Energie auf die "internen" Verformungsparameter gibt:
|-ri]'WMl}-W = 0
{fi} kann jetzt in der Beziehung für TT eingesetzt werden
und man bekommt eine Beziehung der Form:
'¦i{f.}'HW-W'{p}
worin die "kondensierte" Steifigkeitsmatrix
[k] = [kee] - [kei]-[ku]~1- [kie]
und der "kondensierte" Lastvektor
{P}= {Pe}- [kei]'[kii]"1{Pi}
die angegebene reduzierte Form erhalten. Die "internen" Ver¬
formungsparameter werden eliminiert und deswegen wird das globale Gleichungssystem reduziert ohne Aenderung des Trag¬
verhaltens des idealisierten Systems.
2.2 Verwendete Elemente
2.2.1 Plattenelemente DRPL21, DRPL18, VKPL24
Da die Plattenstärke klein ist gegenüber den anderen Ab¬
messungen, kann man annehmen, dass die Punkte auf einer Normalen zur Mittelebene der Platte auch nach der Verformung auf einer Normalen zur deformierten Mittelfläche liegen.
Weil die Durchbiegungen klein sind, kann man die Verformung der Mittelebene der Platte vernachlässigen. Diese von Kirch¬
hoff eingeführten Hypothesen haben zur Folge, dass die Ver¬
formung der Platte durch die vertikale Durchbiegung der Mittelebene vollständig beschrieben ist. Es folgt nun die mathematische Formulierung dieser Bedingungen für die Ver¬
schiebung w senkrecht zur Mittelebene der Platte und die zwei
Verschiebungen u und v in der Ebene der Platte:
w(x,y,z )= w(x,y)
v(x,y,z) = -z--|^-=-z-w,y d7)
uU,y,z) =-z-ff = -z-w,x
Die Dehnungen der Platte ergeben sich mit Berücksichtigung der Gleichungen (17) wie folgt:
= -z- W XX
- -z •w>yy
a2w
<3xr3y =
¦-2-Z'•w
i.xy
- dii _ dw
x
"
öx öx2
jr3v_ _ dw
ey " dy
"
Z '
dy2
W dy dx <LZ
Die Dehnungen €z , £yz , €xz und die entsprechenden Spannungen verschwinden.
Die Momente für eine Platte mit Dicke t sind wie folgt definiert:
+t/2 +t/2
Mx = /crx-z-dz-t/2+t/2 My = fay z-dz
Mxy = / rxy • z • dz
(18)
-t/2
-t/2
+t/2
(19)
Für die Plattenelemente und für das angenommene linear-elasti¬
sche, orthotrope Material folgt aus den Gleichungen (3), (17) und (18) die Gleichung (20). Sie stellt eine Verallgemeinerung
der Gleichung (3) dar, und sie zeigt die Beziehung zwischen den verallgemeinerten Dehnungen w xx , w
yy ,w xy und den verallgemeinerten Spannungen Mx , My und Mxy .
M„
M,
Mxy
Pl1 P12 °
P12 P22 0
0 0 P33
wxx
W.yy
w
,xy
(20)
Für isotropes Material und konstante Plattendicke t ergeben sich die folgenden Koeffizienten für die obere Gleichung:
P11 = R22
E- t;
12 (1-zr2)
p33 Ml-irVpu
P12= ^"Pn
(21)
worin V die Poisson'sche Zahl und E der Elastizitätsmodul sind. Für Plattenelemente berechnet man die Formänderungs- energie wie folgt:
U =\ ff (wiXX-Mx+ w,yy-My+2-w,Xy-Mxy)-dF ^
Die Momente sind durch die Beziehung (20), (21) von den Krümmungen abhängig.
Das verwendete dreieckige Plattenelement DRPL21 (21 Verfor¬
mungsparameter) basiert auf der Annahme eines vollständigen
Polynoms 5. Grades als Durchbiegungsfunktion. Dieses Element wurde von mehreren Autoren beschrieben und programmiert [34,
32, 35, 36, 20, 23, 58]. Bell [35] hat dieses Element ohne Anwendung von natürlichen Koordinaten programmiert. Die Rechen¬
zeit (CP-Zeit) für die Berechnung der Steifigkeitsmatrix eines Dreieckelementes ist deswegen gross. Anderheggen [32] hat
durch Anwendung von natürlichen, dimensionslosen Dreieck¬
koordinaten die Rechenzeit gegenüber Bell stark reduziert.
Sein Algorithmus benötigt keine Matrizeninversion. Die Ma¬
trizen und Vektoren, die mit diesen Koordinaten hergeleitet werden, sind von Geometrie und Materialeigenschaften weit¬
gehend unabhängig, so dass viele Berechnungen nur einmal für alle Elemente gemacht werden müssen. Die Tabelle 2.2.1.1 stellt diese Angaben zusammen.
Programm-
Speicherlänge Anlage Rechenzeit(Sek.)
Anderheggen [32] 1100 Wörter (1 Wort = 60bits)
CDC-6500 0.17
(inkl. Lastvektoren)
Bell [35] UNIVAC-1107 2.70
Butlin [58] 64000 bytes (1 byte = 8bits)
IBM360-75 0.12
Tabelle 2.2.1.1 : Berechnung der Steifigkeitsmatrix des Elementes DRPL21
Anderheggen [32] entwickelte gleichzeitig Viereckelemente VKPL24, bestehend aus vier Dreiecken DRPL21 mit "konden¬
sierten" inneren Verformungsparametern und Elimination der vier äusseren Verdrehungen in Seitenmitte.
Die Verträglichkeit der Verformungen muss in den Berührungs¬
flächen und im Innern des Elementes gewährleistet sein. Der angenommene Verschiebungsansatz für w im Innern des Elementes
muss kontinuierlich und kontinuierlich differenzierbar sein.
Die Hauptschwierigkeit bei den Plattenelementen liegt in der kinematischen Verträglichkeit der Durchbiegung und ihrer
ersten Ableitung normal zu den Rändern von benachbarten end¬
lichen Elementen. Für die Ränder verlangt man kontinuierliche Durchbiegung w sowie auch kontinuierliche Verschiebung u und
v an zwei angrenzenden Elementen. Die erste Bedingung ist bei den Elementen DRPL21 und DRPL18 erfüllt. Die Durchbiegung w entlang einer Seite ist durch die Verschiebung w, die Ver¬
drehung w und die Krümmung w (der Index p steht für
>P »PP
parallel zur Seite) an beiden Enden der Seite als Polynom
5. Grades vollständig bestimmt. Die Verschiebungen u, v (in
x- und y-Richtung) der Punkte ausserhalb der Mittelfläche der Platte und in den gemeinsamen Randflächen von zwei Ele¬
menten müssen für beide Elemente gleich sein. Die Kirchhoff' sehen Annahmen (17) zeigen eine direkte Abhängigkeit der Verschiebungen u , v von den Verdrehungen W)X ,w„ . Für die kinematische Kompatibilität der Plattenränder verlangt
man deswegen gleiche Normalverdrehung der Seite für die an¬
grenzenden Elemente. Die Normalverdrehung wn muss durch die Werte der Seitenverformungsparameter vollständig bestimmt sein. Für das DRPL21-Element hat man für die Normalverdrehun¬
gen entlang einer Seite ein Polynom 4. Grades. Für ihre ein¬
deutige Bestimmung braucht man fünf Parameter. Weil die Ver¬
drehung v»7n und die Krümmung wjnp an beiden Seitenenden bekannt sind, fehlt ein zusätzlicher Verformungsparameter.
Als fünfter Parameter wird die Verdrehung normal zur Seiten¬
mitte gewählt. Die drei Verdrehungen in Seitenmitte werden beim Element DRPL18 eliminiert, indem verlangt wird, dass die Ableitung der Durchbiegungsfunktion in Normalrichtung entlang
den drei Seiten eine Funktion 3. Grades (und nicht 4. Grades wie beim Element DRRL21) ist. Der Vektor der Verschiebungs¬
parameter reduziert sich von 21 auf 18 Parameter.
Für die Vollständigkeit des Verschiebungsansatzes wird ver¬
langt, dass alle Starrkörperverschiebungen und Zustände kon¬
stanter Dehnung im Verschiebungsansatz enthalten sind. Für die verwendeten Plattenelemente DRPL18 bedeutet dies, dass im Polynom der Durchbiegungsfunktion w(x,y) die Terme
1 , x , y (Starrkörperverschiebungen) und xy , x2 , y2 (Zustände konstanter Dehnung £x ,ey , yiXy bzw. konstanter Krümmungen aus den Gleichungen (18)) enthalten sind.
Die Entwicklung der Steifigkeitsmatrix und der konsistenten Lastmatrix des von Anderheggen [32] programmierten Platten¬
elementes DRPL21 werden im folgenden Teil kurz zusammenge- fasst. Im Bilde 2.3 sind die verschiedenen benötigten Ko¬
ordinatensysteme zusammengestellt. Die angenommenen Knoten¬
anordnungen und zugehörigen Numerierungen sowie die ent¬
sprechenden Interpolationspolynome sind der Veröffentlichung
von Felippa [20] entnommen worden. Der Ansatz für die Durch¬
biegungsfunktion ist ein vollständiges Polynom 5. Grades in
x und y mit 21 Termen. Die Krümmungen sind nach der Platten¬
theorie die zweiten Ableitungen der Durchbiegung. Sie werden als voneinander unabhängige Feldvariablen betrachtet. Die
Interpolationspolynome für die Krümmungen im kartesischen Koordinatensystem wxx , wyy ,wxy sind Polynome 3. Grades
mit je 10 Termen. Für die unabhängig voneinander angenommenen kartesischen Krümmungsfeldvariablen sind die kubischen Inter¬
polationsfunktionen in natürlichen Dreieckkoordinaten für die 10 Knoten des Bildes 2.3.C bekannt (Felippa [20]). Mit
diesen Interpolationsfunktionen werden die Krümmungsfeider
als Funktion der diskreten Krümmungsparameter der gewählten
