Mathe: Formelsammlung (1. Semester)

(1)

1

Formelsammlung

Analysis und Lineare Algebra

1 Analysis ... 4

1.1 Mengen ... 4

1.2 Natürliche Zahlen ... 5

1.3 Folgen ... 6

1.4 Imaginäre Zahlen ... 7

1.5 Reihen ... 8

1.5.1 Konvergenzkriterien für Reihen ... 8

1.6 Die Exponentialreihe ... 8

1.7 Das Hoernerschema ... 9

1.8 Stetige Funktionen ... 9

1.8.1 Stetigkeit ... 9

1.8.2 Unstetigkeit ...10

1.9 Spezielle Funktionen...10

1.9.1 Ganze Rationale Funktionen (Polynome) ...11

1.9.1.1 Lineare Funktionen (n=1) ...11

1.9.1.2 Quadratische Funktionen ...11

1.9.1.3 Polynome höheren Grades ...11

1.9.1.4 Division von Polynomen ...12

1.9.1.5 Gebrochen rationale Funktionen ...12

1.9.1.6 Algebraische Funktionen / Relationen ...13

1.9.1.7 Potenzfunktionen ...13

1.9.1.8 Trigonometrische Funktionen ...14

1.9.1.8.1 Rechenregeln für Winkelfunktionen ...15

1.9.1.8.2 Periodische Vorgänge ...15

1.9.1.8.3 Umkehrfunktionen von Sin, Cos und Tan ...16

1.10 Differentialrechnung ...17

1.10.1 Ableitungsregeln ...17

1.10.2 Kurvendiskussion ...17

1.10.2.1 Definitionsbereich ...18

1.10.2.2 Symmetrie ...18

1.10.2.3 Nullstellen von f, f ‘, f ‘‘ ...18

1.10.2.4 Extremstellen ...18

1.10.2.5 Wendepunkte ...18

1.10.2.6 Pole, einseitige Grenzwerte ...18

1.10.2.7 Verhalten für große |x|, Asymptoten...18

(2)

1.10.3 Lokale Extrema ...19

1.10.4 Das Newton-Verfahren zur Lösung von Gleichungen ...19

1.11 Integralrechnung ...19

1.11.1 Eigenschaften bzw. Rechenregeln des bestimmten Integrals ...19

1.11.2 Das unbestimmte Integral ...20

1.11.3 Rechenregeln für die Integration ...20

1.11.3.1 Partielle Integration (Produktregel)...20

1.11.3.2 Substitution (Variablentransformation bzw. Kettenregel) ...21

1.11.3.3 Partialbruchzerlegung ...21

1.11.3.4 Allgemeines Verfahren ...22

1.11.3.5 Numerische Integration ...23

1.11.3.5.1 Die Trapezregel ...23

1.11.3.6 Uneigentliche Integrale ...23

2 Lineare Algebra ...24

2.1 Mathematische Grundlagen...24

2.1.1 Zahlendarstellung ...24

2.1.2 Aussagenlogik ...24

2.1.2.1 Gesetze von De Morgan ...25

2.1.3 Prädikatenlogik ...25

2.1.4 Mengen ...25

2.1.4.1 Relationen ...26

2.1.5 Funktionen (=Abbildungen) ...27

2.1.6 Beweisverfahren ...27

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) ...27

2.2.1 Lösen von LGSn ...27

2.2.1.1 Lösen eines LGS durch den Gauß-Algorithmus ...27

2.2.2 Determinanten ...28

2.2.2.1 2,2-Matrix (Cramersche Regel) ...28

2.2.2.2 3,3-Matrix (Formel von Sarrus) ...28

2.2.2.3 Sonstige Berechnung von Determinanten ...28

2.2.3 Matrizenoperationen ...29

2.3 Vektorrechnung in ℝ² und ℝ³ ...29

2.3.1 Darstellungsweise von Vektoren ...30

2.3.1.1 Polarkoordinaten ( ℝ²) ...30

2.3.1.2 Richtungscosinus ...30

2.3.1.3 Kugel- und Geo-Koordinaten ...31

2.3.1.4 Zylinderkoordinaten ...31

2.3.2 Vektoren, Geraden und Ebenen ...32

(3)

3

2.3.3 Skalarprodukt ...32

2.3.4 Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ...33

2.3.4.1 Hesse-Normalform ...34

2.3.4.2 Abstand eines Punktes zu einer Ebene ...34

2.3.4.3 3D-Objekte...34

2.3.4.4 Ray-Tracing ...34

2.3.4.5 Weitere Anwendungen ...35

2.3.4.5.1 Lorentzkraft ...35

2.3.4.5.2 Drehmoment ...35

2.4 Struktureigenschaften der Vektoren ...35

2.4.1 Gruppen ...35

2.4.2 Körper ...36

2.4.3 Vektorräume ...36

2.4.4 Basis und Dimension eines Vektorraums ...36

2.4.5 Umrechnen von Koordinaten ...37

2.4.5.1 Umrechnen mit Hilfe eines LGS ...37

2.5 Lineare Abbildungen, Matrizen ...37

2.5.1 Definition von linearen Abbildungen ...37

2.5.2 Beschreibung einer linearen Abbildung durch eine Matrix ...37

2.5.3 Verknüpfen von linearen Abbildungen ...38

2.5.3.1 Addition ...38

2.5.3.2 Umkehrabbildung ...38

2.5.3.3 Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen ...38

2.5.4 Eigenvektoren, Eigenwerte, Eigenräume ...38

2.6 Verschlüsselung ...39

(4)

1 Analysis

1.1 Mengen

Definition 1.1.1

Eine Abbildung oder eine Funktion einer Menge D (Definitionsbereich) in eine Menge B (Bildmenge) ordnet jedem Element aus D genau ein Element aus B zu.

Schreibweise: oder:

f: D → B {(x,y)|x ∈ D ∧ y ∈ B ∧ y = f (x)} = Graph( f )

∀x ∈ D: x ↦ f (x) Definition 1.1.2

Eine Abbildung f : D → B heißt surjektiv genau dann wenn ∀y ∈ B ∃x ∈ D: y = f (x)

➔ Jedes y aus dem Bildbereich gehört zu einem x

Eine Abbildung f: heißt injektiv genau dann wenn ∀x,y ∈ D ∃x ∈ D: x ≠ y ⇒ f(x) ≠ f(y)

➔ Jedes x hat ein „eigenes“ y

Eine Abbildung f: heißt bijektiv genau dann wenn sie surjektiv und injektiv ist.

Eine Funktion f : D → B, D,B ⊂ ℝ heißt monoton wachsend, g.d.w. ∀x1,x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

f heißt streng monoton wachsend, g.d.w. ∀x1,x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

Sei f : D → B bijektiv, d.h. jedes y ∈ B hat genau ein Urbild x ∈ D. Eine Funktion, welche jedem y ∈ B das Urbild x bezüglich f zuordnet, heißt Umkehrfunktion von f, symbolisiert durch f ^-1: B → D.

Folgerung: f^-1(f (x)) = f (f ^-1(x)) = x Lemma 1.1.1

Jede streng Monotone, surjektive Funktion f : D → B, D,B ⊂ ℝ besitzt eine Umkehrfunktion.

Berechnung von Umkehrfunktionen: y = f (x) nach x auflösen.

surjektiv injektiv bijektiv

(5)

5

1.2 Natürliche Zahlen

Induktionsbeweis (Beispiel Summenformel)

∀𝑛 ∈ ℕ ∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

=𝑛(𝑛 + 1) 2

Induktionsvoraussetzung n = 1: 1 = 1 Induktionsschritt n → n + 1:

Zu Zeigen ist: ∑^𝑛+1_𝑖=1 𝑖=^{(𝑛+1)(𝑛+2)}

2

∑ 𝑖

𝑛+1

𝑖=1

= ∑ 𝑖

𝑛

𝑖=1

+ (𝑛 + 1) =𝑛(𝑛 + 1)

2 + (𝑛 + 1) =𝑛(𝑛 + 1) + 2 × ( 𝑛 + 1)

2 =(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

2

Summe der Geometrischen Reihe für q ≠ 0 und n ∈ ℕ⁰ gilt:

∑ 𝑞^𝑘

𝑛

𝑘=0

=1 − 𝑞^𝑛+1 1 − 𝑞

∀𝑛 ∈ ℕ 𝑛! ≔ 𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × 1 = ∏ 𝑘

𝑛

𝑘=1

Definition 1.2.2 (𝑛

𝑘) ≔𝑛 × (𝑛 − 1) × (𝑛 − 2) × … × (𝑛 − (𝑘 − 1))

1 × 2 × 3 × … × 𝑘 = 𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

(𝑛 0) = (𝑛

𝑛) = 1 (𝑛

1) = ( 𝑛

𝑛 − 1) = 𝑛

Satz 1.2.1

Die Zahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge ist (𝑛 𝑘)

(6)

Pascalsches Dreieck

n (𝑛

𝑘) k=0,1,2…n

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

6 1 6 15 20 15 6 1

Spiegelung in der Mitte: (𝑛

𝑘) = ( 𝑛 𝑛 − 𝑘)

Addition zweier Elemente ergibt neues Element eine Zeile tiefer: (𝑛

𝑘) + ( 𝑛

𝑘 + 1) = (𝑛 + 1 𝑘 + 1) Summation einer Nebendiagonalen: ∑ (𝑖

𝑘)

𝑛−1𝑖=0 = ( 𝑛 𝑘 + 1)

Dreiecksungleichung

|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|

Bernoullische Ungleichung

∀x ≥ -1 und n ∈ ℕ gilt: (1+x)ⁿ ≥1 + nx

1.3 Folgen

Eine Abbildung ℕ → ℝ, n ↦ an wird Folge genannt.

Schreibweise: (an)n∈ℕ oder (a1, a2, a3,…) Beispiel: (¹_𝑛)

𝑛∈ℕ= 1,¹₂,¹₃, …

Eine Folge (an)n∈ℕ heißt beschränkt, wenn es A, B ∈ ℝ gibt mit ∀n A ≤ an ≤ B (an)n∈ℕ heißt monoton wachsend (fallend), wenn ∀an an+1 ≥ an (an+1 ≤ an)

Eine Folge reeller Zahlen (an)n∈ℕ heißt konvergentgegen a ∈ ℝ, falls gilt ∀ε > 0 ∃N(ε) ∈ ℕ, so dass

|an-a|< ε ∀n ≥ N(ε) Schreibweise: lim

𝑛→∞𝑎_𝑛 = 𝑎

ε a ε an

(7)

7 Definition 1.3.4

Eine Folge heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist.

Satz 1.3.1

Jede konvergente Folge ist beschränkt.

Achtung: Nicht jede beschränkte Folge ist konvergent!

Satz 1.3.2

Jede beschränkte monotone Folge ist konvergent.

Eine Folge rationaler Zahlen (an)n∈ℕ heißt Cauchyfolge, g.d.w.

∀ε > 0 ∃ N(ε) |an-am|< ε ∀n, m ≥ N(ε)

Folgerung: Ab einem bestimmten Index N liegen alle Folgeglieder beliebig nahe beieinander.

Eine Cauchyfolge rationaler Zahlen, die keinen Grenzwert besitzt, definiert eine irrationale Zahl.

ℝ := ℚ ⋃ Menge der irrationalen Zahlen

Satz 1.3.3

Jede Cauchyfolge reeller Zahlen ist konvergent. (ℝ ist vollständig)

1.4 Imaginäre Zahlen

Definition 1.4.1 𝑖 ∶= √−1

Imaginäre Zahlen: 𝕀 {𝑖 × 𝑏|𝑏 ∈ ℝ}

Komplexe Zahlen: ℂ ≔ {𝑎 + 𝑖 × 𝑏|𝑎, 𝑏 ∈ ℝ}

Für 𝓏 = 𝑎 + 𝑖𝑏 ist 𝓏̅ = 𝑎 − 𝑖𝑏 die zu z konjugiert komplexe Zahl.

Division 𝓏₁

𝓏₂ =𝑎₁+ 𝑖𝑏₁

𝑎₂+ 𝑖𝑏₂=𝑎₁𝑎₂+ 𝑏₁𝑏₂

𝑎₂²+ 𝑏₂² + 𝑖 ×𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂ 𝑎₂²+ 𝑏₂²

Betrag von Komplexen Zahlen

Geometrisch: |𝓏| = √𝓏 × 𝓏̅ = √(𝑎 + 𝑖𝑏)(𝑎 − 𝑖𝑏) = √𝑎²− 𝑖²𝑏² = √𝑎²+ 𝑏² Achtung: √𝓏²≠ 𝓏 √𝓏²≠ |𝓏|

Im z

Re z z

a b

√𝑎²+ 𝑏²

(8)

1.5 Reihen

Sei (an)n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge 𝑠_𝑛 ≔ ∑^𝑛_𝑘=0𝑎_𝑘, 𝑛 ∈ ℕ der Partialsummen heißt (unendliche) Reihe und wird mit ∑^∞_𝑘=0𝑎_𝑘 bezeichnet.

1.5.1 Konvergenzkriterien für Reihen

Satz 1.5.1.1

(Cauchy) Die Reihe ∑^∞_𝑘=0𝑎_𝑘 konvergiert g.d.w.

∀𝜀 > 0 ∃ 𝑁 ∈ ℕ | ∑ 𝑎_𝑘

𝑛

𝑘=𝑚

| < 𝜀 für alle n ≥ m ≥ N

Satz 1.5.1.2

Eine Reihe mit ak > 0 für k ≥ 1 konvergiert g.d.w. die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Satz 1.5.1.3 (Majorantenkriterium)

Sei ∑^∞_𝑛=0𝑐_𝑛 eine konvergente Reihe mit ∀n cn > 0 und eine (an)n∈ℕ Folge mit |an| ≤ cn dann konvergiert

∑^∞_𝑛=0𝑎_𝑛.

Satz 1.5.1.4 (Quotientenkriterium) Sei ∑∞ 𝑎𝑛

𝑛=0 eine Reihe mit an ≠ 0 für alle n ≥ n0. Es gebe eine reelle Zahl q mit 0 < q < 1, so dass

|^𝑎^𝑛+1

𝑎_𝑛 | ≤ 𝑞 für alle n ≥ n0, dann konvergiert die Reihe ∑^∞_𝑛=0𝑎_𝑛. Gilt jedoch von einem Index n0 an |^𝑎_𝑎^𝑛+1

𝑛 | ≥ 1, so ist die Reihe divergent.

Kann kein q gefunden werden, dass das Quotientenkriterium erfüllt, es aber dennoch nicht über 1 steigt, so muss die Konvergenz anderweitig bestimmt werden (z.B. Monotonie und Beschränktheit nachweisen).

1.6 Die Exponentialreihe

Für jedes x ∈ ℝ ist die Exponentialreihe exp(𝑥) ≔ ∑ ^𝑥^𝑛

𝑛!

∞𝑛=0 konvergent.

Eulersche Zahl e = exp(1).

Satz 1.6.1 e^x+y = e^x e^y

(9)

9

1.7 Das Hoernerschema

Jede ganzrationale Funktion kann im Hoernerschema geschrieben und berechnet werden.

∑ 𝑎_𝑘𝑥^𝑛−𝑘

𝑛

𝑘=0

= 𝑎₀𝑥^𝑛+ 𝑎₁𝑥^𝑛−1+ ⋯ + 𝑎_𝑛−1𝑥 + 𝑎_𝑛

= 𝑎_𝑛+ 𝑎_𝑛−1𝑥 + 𝑎_𝑛−2𝑥²+ 𝑎₀𝑥^𝑛

= 𝑎_𝑛+ 𝑥 (𝑎_𝑛−1+ 𝑥 (𝑎_𝑛−2+ 𝑥(… + 𝑥(𝑎₂+ 𝑥(𝑎₁+ 𝑥𝑎₀)) … ))) Rechenzeit für die Auswertung von Polynomen

Ohne Hoernerschema: n Multiplikationen + n Additionen + n-1Potenzierungen Mit Hoernerschema: n Multiplikationen + n Additionen

1.8 Stetige Funktionen 1.8.1 Stetigkeit

Funktionen werden unter anderem bezüglich der „Glattheit“ charakterisiert. Die Schwächste Form der Glattheit ist die Stetigkeit.

Definition 1.8.1.1

Sei D ⊂ ℝ, f : D → ℝ eine Funktion und a ∈ ℝ. Man schreibt lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝐶, falls für jede Folge (xn)n∈ℕ, (xn) ∈ D mit lim

𝑛→∞𝑥_𝑛= 𝑎 gilt: lim

𝑛→∞𝑓(𝑥_𝑛) = 𝐶.

Beispiele 1. lim

𝑥→0exp (𝑥) = 1 2. lim

𝑥→1⌊𝑥⌋ Existiert nicht (Linksseitiger Grenzwert ≠ Rechtsseitiger Grenzwert) 3. Sei f : ℝ → ℝ ein ganzrationales Polynom, dann gilt:

lim

𝑥→∞𝑓(𝑥) = ∞ lim

𝑥→−∞𝑓(𝑥) = { ∞, 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑔𝑟öß𝑡𝑒𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒

−∞, 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑔𝑟öß𝑡𝑒𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒

Sei f : D → ℝ eine Funktion und a ∈ D. Die Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

f heißt stetig iin D, falls f in jedem Punkt von D stetig ist.

Werden stetige Funktionen verbunden (durch Addition, multiplikation, division (für a ≠0) und Komposition (f(g(x)))), so ist die daraus resultierende Funktion ebenfalls stetig.

Satz 1.8.1.1 (ε-δ Definition der Stetigkeit)

Eine Funktion f : D → ℝ ist genau dann stetig in x0 ∈ D, wenn gilt:

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D (|x-x0| < δ ⇒ |f (x)-f (x0)|<ε)

y

x

(10)

Satz 1.8.1.2 (Zwischenwertsatz)

Sei f : [a,b] → ℝ stetig mit f (a) < 0 und f (b) > 0. Dann exisitiert ein p ∈ [a,b] mit f (p) = 0.

Achtung:

D = ℚ: x ↦ x² -2 = f (x). f (1) = -1, f (2) = 2, aber es gibt kein p ∈ D mit f (p) = 0.

1.8.2 Unstetigkeit

Definition 1.8.2.1 Man nennt lim

𝑥 ↘𝑎𝑓(𝑥) rechtsseitiger Grenzwert und lim

𝑥↗𝑎𝑓(𝑥) linksseitiger Grenzwert

Für den Rechtsseitigen Grenzwert muss gelten, dass alle xn > a (d.h. der Wert wird kleiner, daher Pfeil nach unten) und für den linksseitigen Grenzwert muss gelten xn< a (d.h. der Wert wird größer, daher Pfeil nach oben).

Eine Funktion ist Stetig in Punkt a, wenn lim

𝑥↘𝑎𝑓(𝑥) = lim

𝑥↗𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).

Satz 1.8.2.1

Eine Funktion ist unstetig, wenn lim

𝑥↘𝑎𝑓(𝑥) ≠ lim

𝑥↗𝑎 𝑓(𝑥) . Oder wenn lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥)nicht existiert.

Beispiel Polstellen:

𝑓(𝑥) =_𝑥¹; lim

𝑥↘𝑎𝑓(𝑥) = ∞; lim

𝑥↗𝑎𝑓(𝑥) = −∞

Oszillationsstellen:

𝑓(𝑥) = sin (¹_𝑥)

1.9 Spezielle Funktionen

Funktionen

Algebraische Funktionen

Implizite Algebraische

Funktionen Rationale

Funktionen

Ganze Rationale Funktionen Gebrochen

Rationale Funktionen

Transzendente Funktionen

Trigonomietrische Funktionen

exp, log

sonstige y

x

(11)

11

1.9.1 Ganze Rationale Funktionen (Polynome)

Definition 1.9.1.1 (Siehe auch Hoernerschema)

Jede Funktion der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎₀+ 𝑎₁𝑥 + 𝑎₂𝑥²+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑥^𝑛= ∑^𝑛_𝑘=0𝑎_𝑘𝑥^𝑘 wird Polynom oder ganz rationale Funktion genannt. Die Zahl n ist der Grad des Polynoms.

1.9.1.1 Lineare Funktionen (n=1)

Bestimmung der Koeffizienten aus zwei Punkten gesucht: Gerade y = ax + b durch P1(x1,y1) und P2(x2,y2)

P1: y1 = ax1 + b ⇒ a = ^𝑦_𝑥¹^−𝑦²

1−𝑥₂

b = y1 – ax1

= ^𝑦¹^𝑥¹^−𝑦¹^𝑥²^−𝑦¹^𝑥¹^+𝑦²^𝑥¹

𝑥₁−𝑥₂

= ^𝑥¹^𝑦_𝑥²^−𝑥²^𝑦¹

1−𝑥₂

P2: y2 = ax2 + b

1.9.1.2 Quadratische Funktionen

y = ax² + bx + c

Nullstellen: 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ^{−𝑏± √𝑏}²^{−4×𝑎×𝑐}

2×𝑎

Bestimmung der Koeffizienten aus drei Punkten ⇒ Drei Gleichungen, Drei Unbekannte

1.9.1.3 Polynome höheren Grades

Asymptotisches Verhalten: für x → ±∞ durch höchste Potenz bestimmt für x → 0 durch kleinste Potenz bestimmt y

x

∆x ∆y

y

x

y

x y

x

y

x

a0=0, a1≠0 a0=0, a1=0

Größte Potenz gerade a0=0, a1=0 Größte Potenz ungerade

(12)

Nullstellen Satz 1.9.1.3.1

Jedes Polynom mit ∑^𝑛_𝑘=0𝑎_𝑘𝑥^𝑘mit an≠0 und ∀k ak ∈ ℝ hat genau n Nullstellen x1,…, xn und es Gilt:

∑ 𝑎_𝑘𝑥^𝑘

𝑛

𝑘=0

= 𝑎_𝑛(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂) × … × (𝑥 − 𝑥_𝑛) (Zerlegung in Linearfakroten)

Satz 1.9.1.3.2

Komplexe Nullstellen treten immer in Paaren der Form (𝑥 − 𝑥𝑘)(𝑥 − 𝑥̅̅̅) auf. D.h. mit x_𝑘 k ist auch 𝑥̅̅̅ 𝑘

eine Nullstelle.

Folgerung: Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Nullstelle. Lineare Funktionen haben genau eine reelle Lösung.

1.9.1.4 Division von Polynomen

Beispiel: 2x³-2.2x²-2.4x+1.8 = 0 Die Nullstelle -1 ist bekannt. Andere Nullstellen?

(2x³-2.2x²-2.4x+1.8) : (x+1)=2x²-4.2x+1.8 - (2x³+2x²)

-4.2x²-2.4x -(-4.2x²-2.4x)

1.8x+1.8 -(1.8x+1.8) 0 0 Satz 1.9.4.1.1

Die Division eines Polynoms p(x) durch einen Linearfaktor (x-a) geht auf (ohne Rest), g.d.w. a eine Nullstelle von p(x) ist.

1.9.1.5 Gebrochen rationale Funktionen

Definition 1.9.1.5.1

Der Quotient zweier Polynome

∑^𝑛_𝑘=0𝑎_𝑘𝑥^𝑘

∑^𝑚_𝑘=0𝑎_𝑘𝑥^𝑘

ist eine gebrochen rationale Funktion. Sie heißt echt gebrochen, wenn n < m und unecht gebrochen, wnen n ≥ m.

Jede unecht gebrochene rationale Funktion kann (evtl. mit Rest) dividiert werden.

Ergebnis: Polynom + echt gebrochene rationale Funktion.

Lemma 1.9.1.5.1

1. Für jede echt gebrochene rationale Funktion f gilt lim

𝑥→ ±∞𝑓(𝑥) = 0

2. Für jede unecht gebrochene rationale Funktion f mit der Zerlegung f (x) = p(x) + e(x) in Polynom p und echt gebrochen rationale Funktion e wird das Asymptotische Verhalten durch p bestimmt.



(13)

13 1.9.1.6 Algebraische Funktionen / Relationen

Definition 1.9.1.6.1 Jede Gleichung der Form

∑ 𝑝_𝑘(𝑥) × 𝑦^𝑘

𝑛

𝑘=0

= 0

heißt algebraische Gleichung, deren Lösungsmenge {(x,y)|f (x,y) = 0} eine Relation und gleichzeitig den Graphen vom f (x,y) = 0 darstellt.

Beispiel: 2x²+1-y  y = 2x²+1

1.9.1.7 Potenzfunktionen 𝑦 = 𝑐 × 𝑥^𝑚^𝑛 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x y

x

m > n m/n positiv m < n

m/n negativ m und n teilerfremd

m geraden ungerade n geradem ungerade m und n ungerade

(14)

1.9.1.8 Trigonometrische Funktionen

Definition 1.9.1.8.1 Für alle x ∈ ℝ sei

sin(𝑥) ≔ ∑(−1)^𝑘 𝑥^2𝑘+1

(2𝑘 + 1)!= 𝑥 −𝑥³ 3!+𝑥⁵

5!−𝑥⁷ 7!± ⋯

∞

𝑘=0

cos(𝑥) ≔ ∑(−1)^𝑘 𝑥^2𝑘

(2𝑘)! = 𝑥 −𝑥² 2! +𝑥⁴

4! −𝑥⁶ 6! ± ⋯

∞

𝑘=0

tan(𝑥) ≔ sin (𝑥) cos (𝑥)

𝑆𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑒𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑠 =𝐺𝑒𝑔𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡ℎ𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 𝐶𝑜𝑠𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑒𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑠 = 𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡ℎ𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑠 𝑒𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑠 =𝐺𝑒𝑔𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒

𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒

Definition 1.9.1.8.2

Ein Winkel ist ein Bruchteil einer vollen Umdrehung um den Ursprung.

Der Winkel x im Bogenmaß wird gemessen als 𝑥 ≔^𝑏_𝑟 =^{𝐵𝑜𝑔𝑒𝑛𝑙ä𝑛𝑔𝑒}_{𝑅𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠}

Umdrehung ¼ ½ 1

Winkel x ^π/2 π 2 π Definition 1.9.1.8.3

Der Winkel φ im Gradmaß wird gemessen als 𝜑 =^360×𝑥_2𝜋 =¹⁸⁰

𝜋 × 𝑥 r

(15)

15 Satz 1.9.1.8.1 Periodizität der Winkelfunktionen

für alle n ∈ ℤ gilt:

sin(x + n·2π) = sin(x) cos(x + n·2π) = cos(x) tan(x + n·2π) = tan(x) Satz 1.9.1.8.2 Symmetrie

Die Sinusfunktion ist ungerade und die Cosinusfunktion ist gerade. D.h.:

sin(-x)=-sin(x) → Ungerade Funktion: Punktsymmetrisch zum Ursprung cos(-x)=cos(x)→ Geradefunktion: Achsensymmetrisch zur y-Achse 1.9.1.8.1 Rechenregeln für Winkelfunktionen

sin(𝛼)²+ cos(𝛼)² = 1

sin(𝛼 + 𝛽) = sin(𝛼) cos(𝛽) + sin(𝛽) cos(𝛼) cos(𝛼 + 𝛽) = cos(𝛼) cos(𝛽) − sin(𝛼) 𝑠𝑖𝑛(𝛽) Spezialfälle: sin(2𝛼) = 2sin (𝛼)cos (𝛼)

cos(2𝛼) = 2 cos(𝛼)²− 1 Folgerungen: sin (𝑥 +𝜋

2) = cos (𝑥) cos (𝑥 −𝜋

2) = sin (𝑥)

sin(𝛼) + sin(𝛽) = 2 sin (𝛼 + 𝛽

2 ) cos(𝛼 − 𝛽 2 ) sin(𝛼) − sin(𝛽) = 2 cos (𝛼 + 𝛽

2 ) sin(𝛼 − 𝛽 2 )

1.9.1.8.2 Periodische Vorgänge

Physik: Zeit t, Winkelgeschwindigkeit 𝜔 =^{𝑊𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙}

𝑍𝑒𝑖𝑡 , Amplitude a, Schwingungsdauer T y=a·sin(ωt+φ); 2π=ω·T; Frequenz f = 1/T = ω/2π

a sin(b(x+c))

(16)

1.9.1.8.3 Umkehrfunktionen von Sin, Cos und Tan

Definition 1.9.1.8.3.1

Die Funktion sin (cos, tan) ist im Intervall [-0.5π;0.5π] ([0;π], [-0.5π;0.5π]) strang monoton wachsend (fallend, wachsend) und bildet dieses Intervall bijektiv auf [-1;1] ([-1;1], ℝ) ab. Die Umkehrfunktion arcsin: [-1,1] → [-0.5Π;0.5Π] heißt Arcus-Sinus

arccos: [-1,1] → [0;Π] heißt Arcus-Cosinus arctan: [ℝ] → [-0.5Π;0.5Π] heißt Arcus-Tangens

(17)

17

1.10 Differentialrechnung

Sei D ⊂ ℝ. Eine Funktion f : D → ℝ heißt differenzierbar im Punkt x ∈ D, falls der Grenzwert 𝑓^′(𝑥) = lim

ℎ→0 ℎ≠0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ

existiert. f ´ heißt Differentialquotient oder Ableitung von f im Punkt x. Man schreibt auch ^{𝑑𝑓(𝑥)}_𝑑𝑥 statt f ´(x)

1.10.1 Ableitungsregeln

1. f (x) = c f ‘(x) = 0

2. f (x) = c·x f ‘(x) = c

3. f (x) = x² f ‘(x) = 2x 4. f (x) = ¹

𝑥 f ‘(x) = ⁻¹

𝑥²

5. f (x) = exp(x) f ‘(x) = exp(x) 6. f (x) = sin(x) f ‘(x) = cos(x) 7. f (x) = cos(x) f ‘(x) = -sin(x)

Seien f, g: D → ℝ differenzierbar in x und r ∈ ℝ. Dann sind auch f + g, r·f, f ·g: D → ℝ differenzierbar und es gilt:

( f + g)’(x) = f ’(x) + g’(x) (r f )’(x) = r f ’(x)

( f · g)‘(x) = f ‘(x) · g(x) + g‘(x) · f (x) (^𝑓_𝑔)‘(x) = ^𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)²

f (g(x))‘ = f ‘(g(x)) · g‘(x) ( f ^-1)‘(x) = ¹

𝑓′(𝑓⁻¹(𝑥))

Satz 1.10.1

Ist f : D → ℝ in x0 differenzierbar, so ist f in x0 auch stetig.

Satz 1.10.2

Ist f : [a, b] → ℝ differenzierbar, so gibt es ein x0 ∈ (a, b) mit 𝑓^′(𝑥) =^{𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)}

𝑏−𝑎

Folgerung (Satz von Rolle): 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) ∃𝑥0∈ (𝑎, 𝑏): 𝑓^′(𝑥₀) = 0

1.10.2 Kurvendiskussion

Funktion Interpretation > 0 = 0 < 0

f (x) f ‘(x) f ‘‘(x) f ‘‘‘(x)

Funktionswert Steigung

Krümmung Str.mon.wachsend Linkskurve

Nullstelle Waagrechte Tangente

Wendepunkt (wenn f ‘‘‘(x)≠0)

Str.mon.fallend Rechtskurve

Um ein Schaubild skizzieren zu können, geht man folgende Punkte durch:

(18)

1.10.2.1 Definitionsbereich

Meist ist f (x) durch eine Formel gegeben. Daher eignet es sich durchzurechnen, für welche x es Sinn ergibt (bei x^0.5 z.B. nur x ≥ 0). Bei Anwendungsbeispielen (z.B. Flächenberechnungen), sollte man sich über den Definitionsbereich ebenfalls Gedanken machen (es gibt keine negativen Flächen).

1.10.2.2 Symmetrie

Auf Achsensymmetrie ( f(-x) = f(x), gerade Funktion ) oder Punktsymmetrie (-f(x) = f(-x) (evtl. nach Nullpunktverschiebung x‘ =x-x0, y‘=y-y0), ungerade Funktion) untersuchen.

1.10.2.3 Nullstellen von f, f ‘, f ‘‘

Nullstellen berechnen und Intervalle eingrenzen, in denen die Funktionen Positiv oder Negativ sind.

Positiv bzw. Negativ ( f (x) > 0 bzw. f (x) < 0) Streng monoton wachsend bzw. fallend ( f ‘(x)> 0 bzw. f ‘(x)< 0) Streng Konvex bzw. Konkav ( f ‘‘(x)>0 bzw. f ‘‘(x)<0) (linksgekrümmt) (Rechtsgekrümmt)

1.10.2.4 Extremstellen

Die Nullstellen von f ‘ zusammen mit dem Vorzeichen von f ‘‘ liefern lokale Maxima und Minima.

Bei Randpunkten und f ‘=f ‘‘=0 sind gesondert zu untersuchen.

1.10.2.5 Wendepunkte

Wendepunkte sind vorhanden in x0 mit f ‘‘(x0)=0 und f ‘‘‘(x0)≠0. An Wendepunkten wechselt f von Konvex zu Konkav oder andersherum.

1.10.2.6 Pole, einseitige Grenzwerte Sollte f (x0) = ∞ sein, so ist x0 ein Pol

1.10.2.7 Verhalten für große |x|, Asymptoten Man versuche lim

𝑥→±∞𝑓(𝑥) zu finden. Allgemeiner: Suche nach „einfachen“ Funktionen h mit

| f (x) – h(x)| → 0 für x → ∓ ∞

Diese Funktionen heißen Asymptoten. Asymptoten sind ein Polynom. Asymptoten als Geraden treten genau dann auf, wenn der Grad des Zählerpolynoms höchstens 1 Grad höher ist als der des

Nennerpolynoms.

Satz 1.6.2.1 Satz von de l’Hospital

Seien f und g auf (a, b) differenzierbare Funktionen und sei g‘≠0 für x ∈ (a, b) und sei

𝑥→𝑏lim𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑏𝑔(𝑥) = 0 oder lim

𝑥→𝑏𝑓(𝑥) = ±∞, dann gilt lim

𝑥→𝑏 𝑓(𝑥) 𝑏(𝑥)= lim

𝑥→𝑏 𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥) 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, falls der Grenzwert existiert. Für a gilt die selbe Aussage.

e(x) lim

𝑥→𝑎𝑒(𝑥) Umformung u(x) · v(x) „0 · ∞“

𝑢(𝑥) 1 𝑣(𝑥)

𝑏𝑧𝑤 𝑣(𝑥) 1 𝑢(𝑥) u(x) – v(x) „∞ - ∞“

1

𝑣(𝑥)− 1 𝑢(𝑥) 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) u(x)^v(x) „0⁰“/ „∞⁰“/ „1^∞“ ev(x) · ln(u(x))

(19)

19

1.10.3 Lokale Extrema

Sei f differenzierbar auf einem offenen Intervall (a, b), dann gilt

1. Hat f in x0 ∈ (a, b) ein Extremum, so gilt: f ‘(x0) = = (Notwendige Bedingung)

2. Wenn für x0 ∈ (a, b) gilt: f ‘(x) = 0 und f ‘‘(x) ≠ 0, so hat f in x0 ein lokales Maximum ( f ‘‘(x0)<0) oder Minimum ( f ‘‘(x)>0)

1.10.4 Das Newton-Verfahren zur Lösung von Gleichungen

Es wird ein beliebiger Punkt gewählt und die Tangente angelegt.

An dem x-Wert, an dem die Tangente die x-Achse Schneidet, wird erneut eine Tangente an der Funktion angelegt, bis man Schließlich den Nullpunkt der Funktion erreicht. Dieses

Verfahren ist schneller als das Intervallhalbierungsverfahren, aber es funktioniert nicht immer. (siehe unteres Bild)

𝑥_𝑛+1= 𝑥_𝑛−𝑓(𝑥_𝑛) 𝑓′(𝑥_𝑛)

1.11 Integralrechnung

Definition 1.11.1 (Riemann-Integral)

Sei f : [a, b] → ℝ beschränkt. Gilt S*u = S*o =: S*, so heißt f integrierbar und der Wert S* heißt das Integral von f auf [a, b]. Man Schreibt 𝑆^∗= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 .

Satz 1.11.1

Ist f : [a, b] → ℝ stetig, so ist f integrierbar auf [a, b].

Satz 1.11.2

Ist f in [a, b] überall bis auf abzählbar viele Stellen stetig und beschränkt, so ist f integrierbar.

1.11.1 Eigenschaften bzw. Rechenregeln des bestimmten Integrals

Satz 1.11.1.1

Sind f : [a, b] → ℝ und g: [a, b] → ℝ integrierbar, so gilt:

1. ∫ [𝑐_𝑎^𝑏 1𝑓(𝑥) + 𝑐₂𝑔(𝑥)]𝑑𝑥= 𝑐₁∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 + 𝑐₂∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 2. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑐 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑐^𝑏

3. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑏^𝑎

4. Mit m ≤ f (x) ≤ M für x ∈ [a, b] gilt m(a-b) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 ≤ M(a-b) 5. Gilt f (x) ≤ g(x) für x ∈ [a, b], so gilt: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 6. Für a, b gilt |∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 | ≤ ∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥_𝑎^𝑏 (Dreiecksungleichung)

(20)

Satz 1.11.1.2 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)

Ist f : [a, b] → ℝ stetig, so existiert (mindestens) ein xm ∈ [a, b] mit ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 = 𝑓(𝑥_𝑚)(𝑏 − 𝑎) Definition 1.11.1.1

Sei f : [a, b] → ℝ integrierbar. Dann heißt 𝑀(𝑓, 𝑎, 𝑏) =^{∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥}

𝑏 𝑎

𝑏−𝑎 der Mittelwert der Funktion f im Intervall [a, b] (Ähnlich eines arithmetischen Mittels).

1.11.2 Das unbestimmte Integral

Eine Funktion F: [a, b] → ℝ heißt Stammfunktion von f : [a, b] → ℝ, g.d.w. F‘ = f Funktion f (x) Stammfunktion F(x)

x² cos(x) e^x

1/3 x³, ¹/3 x³+5 sin(x)+c e^x+c

Satz 1.11.2.1 (Hauptsatz der (Differential- und) Integralrechnung)

Sei f : [a, b] → ℝ stetig. Dann ist die Funktion F : [a, b] → ℝ definiert durch

𝐹(𝑥) ≔ ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡_𝑎^𝑥 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. Eine Stammfunktion von f, d.h. es gilt F‘(x) = f (x) für x ∈ [a, b]

Sei F eine Stammfunktion von f, dann schreibt man ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∶= 𝐹(𝑥) (unbestimmtes Integral).

Damit gilt auch ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝑐 𝑓ü𝑟 𝑗𝑒𝑑𝑒𝑠 𝑐 ∈ ℝ.

1.11.3 Rechenregeln für die Integration

1.11.3.1 Partielle Integration (Produktregel)

(𝑓 × 𝑔)^′(𝑥) = 𝑓^′𝑔 + 𝑓𝑔^′⇒ ∫ 𝑓𝑔^′𝑑𝑥 = 𝑓𝑔 − ∫ 𝑓^′𝑔 𝑑𝑥 Bestimmtes Integral: (analog bei unbestimmtem)

∫ 𝑓(𝑥)𝑔^′(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

= [𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]_𝑎^𝑏− ∫ 𝑓^′(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Beispiel:

∫ 𝑥 × sin (𝑥)𝑑𝑥

𝜋 2

0

= [−𝑥 × cos (𝑥)]₀

𝜋

2− ∫ − cos(𝑥) 𝑑𝑥

𝜋 2

0

= [−𝑥 × cos(𝑥) + sin(𝑥)]₀

𝜋 2

= (0 × −1 + 0) − (𝜋

2× 0 + 1) = −1

(21)

21 1.11.3.2 Substitution (Variablentransformation bzw. Kettenregel)

Unbestimmtes Integral:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡)) × 𝜑^′(𝑡)𝑑𝑡 𝑚𝑖𝑡 𝑥 = 𝜑(𝑡) Bestimmtes Integral:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝜑(𝑏)

𝜑(𝑎)

= ∫ 𝑓(𝜑(𝑡)) × 𝜑^′(𝑡)𝑑𝑡

𝑏

𝑎

Beispiel:

∫ln (𝑥)

𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢

𝑒^𝑢× 𝑒^𝑢𝑑𝑢 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 =𝑢²

2 =ln (𝑥)²

2 𝑚𝑖𝑡 𝑥 = 𝑒^𝑢, 𝑢 = ln (𝑥)

1.11.3.3 Partialbruchzerlegung

Berechnung von Stammfunktionen gebrochen rationaler Funktionen Beispiel:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫3𝑥⁴− 9𝑥³+ 3𝑥²− 17𝑥 + 8 𝑥³− 3𝑥²− 𝑥 + 3 𝑑𝑥 =?

1. Division

3𝑥⁴− 9𝑥³+ 3𝑥²− 17𝑥 + 8 : (𝑥³− 3𝑥²− 𝑥 + 3) = 3𝑥 3𝑥⁴− 9𝑥³+ 3𝑥²+ 9

+6𝑥²− 26𝑥 + 8

⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 6𝑥²− 26𝑥 + 8

𝑥³− 3𝑥²− 𝑥 + 3𝑑𝑥 =3

2𝑥²+ ∫ 6𝑥²− 26𝑥 + 8 𝑥³− 3𝑥²− 𝑥 + 3𝑑𝑥 2. Nullstellen des Nenners

𝑥³− 3𝑥²− 𝑥 + 3 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 3. Zerlegung in Partialbrüche

6𝑥²− 26𝑥 + 8

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)= 𝐶₁

𝑥 − 1+ 𝐶₂

𝑥 + 1+ 𝐶₃ 𝑥 − 3

=𝐶₁(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) + 𝐶₂(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) + 𝐶₃(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)

=𝐶₁(𝑥²− 2𝑥 − 3) + 𝐶₂(𝑥²− 4𝑥 + 3) + 𝐶₃(𝑥²− 1) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)

=𝑥²(𝐶₁+ 𝐶₂+ 𝐶₃) − 𝑥(2𝐶₁+ 4𝐶₂) + (−3𝐶₁+ 3𝐶₂− 𝐶₃) (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 − 3)

(22)

Koeffizientenvergleich führt zu linearem Gleichungssystem:

𝐶₁ 𝐶₂ 𝐶₃ = 6 (1) 𝐶₁ 2𝐶₂ = 13 (2)

−3𝐶₁ 3𝐶₂ −𝐶3 = 8 (3) (1)+(3)+2(2) → Sukzessives Einsetzen

𝐶2 = 5

𝐶₁ = 3

𝐶₃ = −2 4. Integration der Partialbrüche

∫ 𝐶_𝑖

𝑥 − 𝑥_𝑖𝑑𝑥 = 𝐶𝑖× ln (𝑥 − 𝑥𝑖)

⇒3

2𝑥²+ ∫ 3

𝑥 − 1𝑑𝑥 + ∫ 5

𝑥 + 1𝑑𝑥 + ∫ −2

𝑥 − 3𝑑𝑥 =3

2𝑥²+ 3 ln(𝑥 − 1) + 5 ln(𝑥 + 1) − 2ln (𝑥 − 3)

=3

2𝑥²+ ln ((𝑥 − 1)³(𝑥 + 1)⁵

(𝑥 − 3)² ) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 1.11.3.4 Allgemeines Verfahren

1. Wenn f (x) unecht gebrochen rational ist, dann Zerlegung von f (x) in Summe aus Polynom und echt gebrochen rationaler Funktion durch Division

2. Nullstelen des Nennerpolynoms berechnen

3. Zerlegung in Partialbrüche. Je nach Art der Nullstellen aus 2. Versch. Ansatz:

a. Einfache reelle Nullstellen x1,…,xn

𝑓(𝑥) = 𝐶₁

𝑥 − 𝑥₁+ ⋯ + 𝐶_𝑛 𝑥 − 𝑥_𝑛 b. Mehrfache reelle Nullstelle x1 (n-fach)

𝑓(𝑥) = 𝑑₁

𝑥 − 𝑥₁+ 𝑑₂

(𝑥 − 𝑥₁)²+ ⋯ + 𝑑_𝑛 (𝑥 − 𝑥₁)^𝑛 c. Zwei Komplexe Nullstelen x1, x2:

Zerlegung nur bis in quadratische Terme der Form:

𝑎_𝑖𝑥 + 𝑏 𝑥²+ 𝑝_𝑖𝑥 + 𝑞 d. Mehrfache komplexe Nullstellen:

Schwierig → Bronstein, Computeralgebrasystem 4. Integration der Partialbrüche

a. ∫_𝑥−𝑥^𝐶^𝑖

𝑖𝑑𝑥 = 𝐶_𝑖ln (𝑥 − 𝑥_𝑖) b. ∫_(𝑥−𝑥^𝑑^𝑖

𝑖)^𝑘𝑑𝑥 =_{(𝑘−1)(𝑥−𝑥}^−𝑑^𝑖

𝑖)^𝑘−1

c. ∫_𝑥₂^𝑎_+𝑝^𝑖^𝑥+𝑏

𝑖𝑥+𝑞𝑑𝑥 = siehe Bronstein

(23)

23 1.11.3.5 Numerische Integration

Numerische Integration ist sehr wichtig, aber die analytische Integration ist, wenn möglich, immer vorzuziehen.

1.11.3.5.1 Die Trapezregel

Äquidistante von [a, b] durch x0=a, x1=a+h, x2= a+2h, …, xn=a·n·h=b Schrittweite: ℎ =^𝑏−𝑎_𝑛

Näherung: ∫_𝑥^𝑥^𝑖 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑖−1 ≈ ℎ ×^𝑓(𝑥^𝑖−1^+𝑓(𝑥^𝑖⁾

2 (Fläche eines Trapezes) Satz 1.11.3.5.1.1 (Trapezregel)

𝑏

𝑎

= ℎ × (𝑓(𝑥₀)

2 + 𝑓(𝑥₁) + 𝑓(𝑥₂) + ⋯ + 𝑓(𝑥_𝑛−1) +𝑓(𝑥_𝑛) 2 ) + 𝛿

𝑚𝑖𝑡 |𝛿| ≤ (𝑏 − 𝑎)𝑀₂

12ℎ² 𝑚𝑖𝑡 𝑀₂ = max {|𝑓^′′(𝑥)|: 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]}

Bei der Halbierung von h ( h → 0.5h) verdoppelt sich der Rechenaufwand (2n Funktionsauswertungen), wobei sich der Fahler um den Faktor 4 verringert.

1.11.3.6 Uneigentliche Integrale

Das Bestimmte Integral ist nur für endliche abgeschlossene Intervalle und beschränkte Integranden definiert. Integrale ins Unendliche oder endliche Integrale mit Polstellen sind nicht definiert, doch:

∞

𝑎

≔ lim

𝑡→∞∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑡

𝑎

, 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑖𝑒𝑟𝑡 h

a=x0+h=x1+h=x₂ … +h=xn=b

y

x

T(h)

(24)

2 Lineare Algebra

2.1 Mathematische Grundlagen 2.1.1 Zahlendarstellung

Im Alltag verwenden wir das Dezimalsystem, also Zahlen zur Basis 10, die wie folgt dargestellt werden:

Bsp.: 123 = 1 · 10² + 2 · 10¹ + 3 · 10⁰

Es gibt allerdings noch andere Zahlensysteme, wie das Binär- (zur Basis 2), das Oktal- (zur Basis 8) oder das Hexadezimalsystem (zur Basis 16). Eine Umwandlung der Systeme in das Dezimalsystem ist einfach:

Bsp: 110102 = 1 · 2⁴ + 1 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 0 · 2⁰ =16 + 8 + 2 = 26

Die Umrechnung vom Dezimalsystem in andere Systeme erfolgt jeweils durch das Teilen (mit Rest) durch die Basis:

135 : 2 = 67 Rest 1 67 :2 = 33 Rest 1 33 : 2 = 16 Rest 1 16 : 2 = 8 Rest 0 8 : 2 = 4 Rest 0 4 : 2 = 2 Rest 0 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1

Binär also: 1 0 0 0 0 1 1 1 Oder Hexadezimal: 8 7

2.1.2 Aussagenlogik

Aussagen im Sinne der Mathematik sind immer entweder wahr oder Falsch. Trifft eine Voraussetzung für die Schlussfolgerung nicht ein, so gilt die aussage als wahr (z.B. Wenn es Schokolade regnet, gewinne ich im Lotto ➔ Wahre Aussage (es sei denn, es regnet tatsächlich mal Schokolade vom Himmel und ich gewinne nicht im Lotto))

Für die Aussagenlogik gibt es folgende Operatoren

Operator Name Beschreibung

¬ Negation (Nicht) Kehrt den Wahrheitswert um (z.B. ¬Wahr → Falsch)

Achtung! Aussagenlogik ist nicht kommutativ, also:

¬(Wahr∨Wahr) nicht gleich ¬Wahr∨¬Wahr

∧ Konjunktion (Und) Nur wahr, wenn beide verketteten Argumente Wahr sind (z.B. Wahr ∧ Falsch → Falsch)

∨ Disjunktion (Oder) Wahr, wenn mindestens eines der beiden Argumente

Wahr ist (z.B. Wahr ∨ Falsch → Wahr)

≠ Antivalenz (Entweder oder) Wahr, wenn nur eines der beiden Argumente Wahr ist (z.B. Wahr ≠ Wahr → Falsch)

= Äquivalenz (Nicht + Antivalenz) Wahr, wenn beide Argumente gleich sind (z.B.

Falsch = Falsch → Wahr)

→ Implikation (Wenn, dann) Wie oben angedeutet, ist eine Implikation nur dann falsch, wenn die Voraussetzung erfüllt ist, aber die Schlussfolgerung nicht stimmt

(25)

25 Alle Operatoren außer die Implikation können auch als Gatter gezeichnet werden:

2.1.2.1 Gesetze von De Morgan

Wie beim Nicht-Operator bereits angesprochen, lässt sich eine Negation nicht einfach

hereinmultiplizieren, sondern es müssen die Gesetze von De Morgan beachtet werden, welche wie folgt lauten:

¬(x1 ∧ x2)  (¬x1 ∨ ¬x2) und ¬(x1 ∨ x2)  (¬x1 ∧ ¬x2)

2.1.3 Prädikatenlogik

In der Aussagenlogik werden konkrete Aussagen über ein Objekt gemacht (z.B. Malte Jakob ist studiert Angewandte Informatik), die sich nicht weiter zerlegen lassen. Möchte man jedoch eine suchabfrage starten, so muss man Teile austauschen und danach überprüfen, ob sie wahr sind (z.B. du studierst Angewandte Informatik).

Hierfür gibt es die Prädikatenlogik, die Aussagen in Subjekt und Prädikat zerlegt. Hier gibt es zusätzlich

„Quantoren“:

∀ der Allquantor – gelesen „Für alle“

∃ der Existenzquantor – gelesen „es gibt / gibt es“

∃! Bedeutet „es gibt genau ein/-e/-n“

Beispiel für Prädikatenlogische Aussage:

∀ x ∈ ℕ: x Mod2 = 0 → x ist gerade (gelesen: Für alle x in ℕ für die gilt: x Mod 2 = 0 ist x gerade)

2.1.4 Mengen

Eine Menge ist eine Gesamtheit von Objekten, von denen eindeutig feststeht, ob sie zur Menge gehören oder nicht.

Auch für Mengen gibt es Operatoren:

∈

∉

⊂

⊆

⋂

⋃

∅

z.B. a ∈ ℕ → a ist Element von ℕ z.B. a ∉ ℕ → a ist kein Element von ℕ

z.B. ℕ ⊂ ℤ → ℕ ist eine echte Teilmenge von ℤ.

z.B. {x: x0 = 1, xn+1 = xn +1} ⊆ ℕ → die Menge ist eine unechte Teilmenge von ℕ

z.B. {1;3;5} ⋂ {1;2;5;7} = {1;5} → Menge A geschnitten Menge B. Nur Elemente, die in beiden Mengen vorkommen, werden in die Schnittmenge aufgenommen. Doppelte Elemente gibt es nicht.

z.B. {1;3;5} ⋂ {1;2;5;7} = {1;2;3;5;7} → Menge A vereinigt Menge B. Alle Elemente kommen in die Neue Menge. Es gibt keine Doppelten Elemente.

∅ = {} → Leere Menge

Teilmengen sind vollkommen in der Grundmenge enthalten. Echte Teilmengen sind kleiner als Die Grundmenge, unechte Teilmengen sind kleiner oder gleich groß wie die Grundmenge.

Nicht:

x z

Und:

X1

X₂ z

&

Oder:

X₁ z

X₂

≥1 Antivalenz:

X₁ z

X₂

=1

Äquivalenz:

X₁ z

X₂

=1

(26)

|A| gibt die Mächtigkeit einer Menge an.

|{1;2;3}| = 3

|ℕ| = ∞

|ℕ| = ℵ₀ (ℵ₀= abzählbar unendlich, ℵ₁ = überabzählbar unendlich (z.B. |ℝ|))

Zwei Mengen mit unendlich vielen Elementen sind unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen beiden gibt.

z.B. |ℕ|=|ℚ⁺|

q p 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 1/2 1 3/2 2 5/2

3 1/3 2/3 1 4/3 5/3

4 1/4 2/4 3/4 1 5/4

5 1/5 2/5 3/5 4/5 1

Durch das Cantor‘sche Diagonalisierungsverfahren kann man mit solch einer Schlangenlinie die gesamte (unendliche) Tabelle entlangfahren und so jeden neuen Wert durchnummerieren und somit eine bijektive Abbildung schaffen. In diesem Beispiel wäre die Abbildung wie folgt (rechts):

ℕ ℚ⁺

1 1

2 2

3 1/2 4 1/3

5 3

6 4

7 3/2

⋮ ⋮ 2.1.4.1 Relationen

Die Menge aller Paare (x, y) mit x ∈ A und y ∈ B heißt die Produktmenge oder das kartesische Produkt der Mengen A und B. Man schreibt A × B.

Unter einer zweistelligen Relation zwischen den Mengen A und B versteht man eine Teilmenge REL des kartesischen Produkts (REL ⊆ A × B). x REL y bedeutet „x und y stehen in der Relation REL“.

Die Menge x ∈ A, die in der Relation vorkommen nennt man Vorbereich, die Menge y ∈ B, die in der Relation vorkommen nennt man Nachbereich der Relation REL.

Eine zweistellige Relation auf einer Menge M(REL ⊆ M × M) hat folgende Eigenschaften, wenn sie jeweils für alle a, b, c ∈ M gelten:

Eigenschaft Bedingung Beispiel

Symmetrie a REL b ⇒ b REL a Verheiratet

Asymmetrie a REL b ⇒ ¬ b REL a >

Antisymmetrie a REL b ⇒ (¬ b REL a) ∨ (a=b) ≥

Reflexivität a REL a Parallelität von Geraden

Irreflexivität ¬ a REL a Verheiratet

Transitivität a REL b ∧ b REL c ⇒ a REL c Parallelität von Geraden ℝ hingegen ist überabzählbar unendlich, hierfür der Beweis:

Angenommen man erstellt eine Folge an Reellen Zahlen, von der behauptet wird, sie sei vollständig, so kann man immer eine neue Zahl erstellen, indem man die n-te Stelle der n-ten Zahl nimmt und 1 hinzuaddiert. Man hat eine Neue Zahl, die bis jetzt noch nicht in der Reihe enthalten war. Diese Vorgehensweise ist beliebig wiederholbar.

(27)

27 Durch Relationen kann auch Klassenbildung erfolgen:

Beispiel Modulo 3:

0 mod 3 = 0; 1 mod 3 = 1; 2 mod 3 = 2; 3 mod 3 = 0; 4 mod 3 = 1; 5 mod 3 = 2; 5 mod 3 = 0 etc.

Hier werden alle natürlichen Zahlen mit dem gleichen Rest beim Teilen durch 3 in die selbe Klasse eingeteilt. Mit Restklassen kann man auch rechnen, wie mit Zahlen (hier muss jedoch auf die „Modulo- Grenze“ geachtet werden).

2.1.5 Funktionen (=Abbildungen)

Eine Relation heißt genau dann Funktion / Abbildung, wenn ein x ∈ D auf genau mit einem y ∈ B in Relation steht. D heißt hierbei Definitionsmenge und B Zielmenge. Der Nachbereich heißt Wertevorrat.

Es gibt sehr viele unterschiedliche Funktionen:

• Lineare (ax) und Affine (ax +b) Funktionen, Treppenfunktionen, Polynomfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Trigonometrische Funktionen u.v.m.

Hinweis für Trigonometrische Funktionen:

360° = 2𝜋; 1° = ^2𝜋

360; 30° =^𝜋

6

2.1.6 Beweisverfahren

Die Vollständige Induktion spielt auch in der linearen Algebra eine Rolle, wurde aber bereits unter 1.2 behandelt. Es gibt neben dem Induktionsbeweis auch andere Beweisverfahren, wie z.B. den Indirekten Beweis. Ein Beispiel hierfür ist der Beweis, dass die reellen Zahlen überabzählbar sind.

2.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) 2.2.1 Lösen von LGSn

Ein Schema der folgenden Gestalt mit m Gleichungen und n Unbekannten heißt lineares Gleichungssystem.

𝑎₁₁𝑥₁ + 𝑎₁₂𝑥₂ + ⋯ 𝑎₂₁𝑥₁ +𝑎₂₁𝑥₂ + ⋯ 𝑎_𝑚1𝑥₁ +𝑎_𝑚1𝑥₂

⋮ + ⋯

+𝑎_1𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₁ +𝑎_2𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏₂ +𝑎_𝑚𝑛𝑥_𝑛 = 𝑏_𝑚

Eine Belegung der xi mit Zahlen, sodass alle Gleichungen erfüllt sind, nennt sich eine Lösung des LGS.

Das Falk-Schema ist eine Platzsparende Schreibweise für ein LGS:

(

𝑎₁₁ ⋯ 𝑎_1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎_1𝑚 ⋯ 𝑎_𝑚𝑛) ∙ ( 𝑥₁

⋮ 𝑥_𝑛) = (

𝑏₁

⋮ 𝑏_𝑚

) 2.2.1.1 Lösen eines LGS durch den Gauß-Algorithmus

Für das Lösen eines LGS kann auch sehr gut der Gauß-Algorithmus verwendet werden. Wie genau dieser funktioniert ist in der PowerPoint-Präsentation „Mathe: LGS Operationen“ unter

https://i-malte.jimdo.com/downloads/schule zu finden.

(28)

2.2.2 Determinanten

Eine Determinante ist eine Zahl, die einer Matrix zugeordnet wird und beim lösen eines

Gleichungssystems behilflich sein kann. Zur Bildung von Determinanten muss die entsprechende Matrix quadratisch sein.

2.2.2.1 2,2-Matrix (Cramersche Regel)

Bei einer 2,2-Matrix wird die Determinante wie folgt gebildet und interpretiert:

𝐷 = |𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂| = 𝑑𝑒𝑡 (𝑎₁₁ 𝑎₁₂

𝑎₂₁ 𝑎₂₂) = 𝑎₁₁𝑎₂₂− 𝑎₁₂𝑎₂₁ D ≠ 0:

⇒ Genau eine Lösung

D = 0 und (D1 ≠ 0 oder D2 ≠ 0):

⇒ Keine Lösung D = D1 = D2 = 0:

⇒ Unendlich viele Lösungen 𝐷₁= |𝑏₁ 𝑎₁₂

𝑏₂ 𝑎₂₂| = 𝑏₁𝑎₂₂− 𝑏₂𝑎₁₂; 𝐷₂= |𝑎₁₁ 𝑏₁

𝑎₂₁ 𝑏₂| = 𝑎₁₁𝑏₂− 𝑎₂₁𝑏₁ 𝑥₁ =𝐷₁

𝐷 ; 𝑥₂=𝐷₂

𝐷 (𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑒 𝑅𝑒𝑔𝑒𝑙) 2.2.2.2 3,3-Matrix (Formel von Sarrus)

|

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃|

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂

= 𝑎₁₁𝑎₂₂𝑎₃₃+ 𝑎₁₂𝑎₂₃𝑎₃₂+ 𝑎₁₃𝑎₂₁𝑎₃₂− 𝑎₃₁𝑎₂₂𝑎₁₃− 𝑎₃₂𝑎₂₃𝑎₁₁− 𝑎₃₃𝑎₂₁𝑎₁₂ 2.2.2.3 Sonstige Berechnung von Determinanten

Streicht man in einer n-reihigen Determinante die i-te Zeile und die k-te Spalte, so entsteht eine Unterdeterminante mit n-1 Reihen. Multipliziert man diese mit dem Faktor (-1)^i+k, so entsteht die Adjunkte Aik des Elements aik.

Nach dem Entwicklungssatz von Laplace ist der Wert einer n-reihigen Determinante gleich der Summe der Produkte aus den Elementen einer beliebigen Reihe und den zugehörigen Adjunkten.

z.B. bei einer 4,4-Matrix: a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 + a14 · A14 (Oder eine Spalte) Bzw. in Kurzschreibweise: 𝐷 = ∑^𝑛_𝑘=1𝑎_𝑖𝑘𝐴_𝑖𝑘(𝑖 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) = ∑^𝑛_𝑖=1𝑎_𝑖𝑘𝐴_𝑖𝑘(𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡) Eine Determinante, die zu einem Gestaffelten LGS gehört hat als Produkt das Element der

Hauptdiagonal-Elemente. Diese Vorgehensweise ist weitaus weniger Rechenaufwändig und fehleranfällig als die oben beschriebene Vorgehensweise. Daher ist es zu empfehlen, eine Matrix zuerst mithilfe des Gauß-Algorithmus zu einer oberen Dreiecksmatrix umzuformen und dann die Determinante zu berechnen.

Sind die Spaltenvektoren oder die Zeilenvektoren einer Matrix linear abhängig, so hat die Determinante den Wert 0 und umgekehrt. (Definition zu linearer Abhängigkeit folgt später)

Wird die Matrix einer Determinante intern umgeformt (Zeilenaddition oder Transponieren), so verändert sich ihr Wert nicht. Wird die Matrix mit einem Faktor k multipliziert, so erhält auch die Determinante diesen Faktor.

(29)

29

2.2.3 Matrizenoperationen

Matrizen können auch noch zahlreichen anderen Operationen unterzogen werden. Hierfür verweise ich erneut auf die bereits genannte PowerPoint-Präsentation. (Unten sind einige schematische Bilder aus der Präsentation entnommen, die die Operationen andeuten)

2.3 Vektorrechnung in ℝ

²

und ℝ

³

Für die Vektorrechnung in den verschiedenen räumen braucht es ein Bezugssystem. Dies ist meist das kartesische Koordinatensystem. Die Darstellungen in den unterschiedlichen Räumen erflogen wie unten:

Im ℝ²: Im ℝ³:

Die Werte werden jeweils in Klammern zusammengefasst:

(x;y) (x;y;z)

Vektoren haben viele Anwendungsbereiche, wie Physik, 3D-Modellierung etc.

Mit Vektoren kann man auch rechnen: 3 ∙ (2 3) = (6

9) ; (1 2) + (3

4) = (4 6) Vektoren werden meist mit einem Pfeil darüber geschrieben: 𝑣⃗

x y

(1;2)

(1 2)

x y

z

(1,5;2;1)

(1,5 2 1

)

(30)

2.3.1 Darstellungsweise von Vektoren

Vektoren können nicht nur in Koordinatenschreibweise geschrieben werden, sondern auch in anderen Darstellungsweisen.

2.3.1.1 Polarkoordinaten ( ^ℝ²)

Ein Vektor kann auch mit dem Winkel α zur x-Achse mit 0 ≤ α ≤ 2π und der Länge l beschrieben werden.

Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten px = l · cos(α)

py = l · sin(α)

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten 𝑙 = |𝑝⃗| = √𝑝_𝑥²+ 𝑝_𝑦²

tan(𝛼) =𝑝_𝑦

𝑝_𝑋 ⇒ 𝛼 = tan⁻¹(𝑝_𝑦 𝑝_𝑦)

Diese Formeln von den kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten gelten im 1. Quadranten. Für andere Quadranten sieht es wie folgt aus:

px = 0, py > 0 α = 90° = 0,5π

px < 0, py ≥ 0 𝛼 = 180° − tan⁻¹( 𝑝_𝑦

−𝑝_𝑥) = 𝜋 + tan⁻¹(𝑝_𝑦 𝑝_𝑥) px < 0, py < 0 𝛼 = 𝜋 + tan⁻¹(−𝑝_𝑦

−𝑝_𝑥) px = 0, py < 0 α = 270° = 1,5π px > 0, py < 0 𝛼 = 2𝜋 − tan⁻¹(−𝑝_𝑦

𝑝_𝑥) 2.3.1.2 Richtungscosinus

An einen Vektor 𝑝⃗ kann von jeder Achse ein rechtwinkliges Dreieck angelegt werden, um den entsprechenden Winkel zu messen. Es müssen drei Winkel angegeben werden, da sich der Vektor sonst um die Achse drehen kann, für die kein Winkel angegeben ist.

Von Richtungscosinus zu Koordinaten px = l · cos(α)

py = l · cos(β) pz = l · cos(γ)

Von Koordinaten zu Richtungscosinus 𝑙 = √𝑝_𝑥²+ 𝑝_𝑦²+ 𝑝_𝑧²

𝛼 = cos⁻¹(𝑝𝑥

𝑙 ) 𝛽 = cos⁻¹(𝑝_𝑦

𝑙 ) 𝛾 = cos⁻¹(^𝑝_𝑙^𝑧) α, β und γ sind nicht unabhängig. Es gilt: (cos(α))² + (cos(β))²) + (cos(γ))² = 1

x y

α l

𝑝⃗

x y

z

α γ

β