Über das Verhalten der Witt-Gruppe bei galoischen Körpererweiterungen

Math. Ann. 193, 189-196 (1971)

© by Springer-Verlag 1971

Über das Verhalten der Witt-Gruppe bei galoischen Körpererweiterungen

M . K N E B U S C H u n d W . S C H A R L A U

In dieser N o t e u n t e r s u c h e n w i r q u a d r a t i s c h e F o r m e n ü b e r beliebigen K ö r p e r n . W i r s t u d i e r e n das V e r h a l t e n der W i t t - G r u p p e bei einer g a l o i s c h e n E r w e i t e r u n g des G r u n d k ö r p e r s ; das wesentliche H i l f s m i t t e l ist die i n [12] e i n - g e f ü h r t e V e r l a g e r u n g s m e t h o d e . I m ersten A b s c h n i t t beweisen w i r einen S a t z v o n R o s e n b e r g u n d W a r e [ 1 1 ] : Ist L/K eine g a l o i s c h e E r w e i t e r u n g v o n u n - g e r a d e m G r a d m i t G a l o i s - G r u p p e G , so ist W(K) = W(L)G. In den weiteren A b - schnitten definieren w i r die H ö h e eines K ö r p e r s als den E x p o n e n t e n des T o r s i o n s t e i l e s der W i t t - G r u p p e u n d u n t e r s u c h e n das V e r h a l t e n der H ö h e bei g a l o i s c h e n K ö r p e r e r w e i t e r u n g e n . E s scheint uns, d a ß unsere d i e s b e z ü g l i c h e n R e s u l t a t e weit d a v o n entfernt s i n d , o p t i m a l z u sein. D e s w e g e n f o r m u l i e r e n w i r eine ganze R e i h e v o n offenen P r o b l e m e n u n d V e r m u t u n g e n .

W i r b e t r a c h t e n n u r K ö r p e r der C h a r a k t e r i s t i k 4= 2. J e d o c h s i n d die A n a l o g a z u d e n S ä t z e n aus § 1 s o w o h l für die W i t t - G r u p p e der q u a d r a t i s c h e n F o r m e n als a u c h die der s y m m e t r i s c h e n B i l i n e a r f o r m e n ([2]) i n C h a r a k t e r i s t i k 2 r i c h t i g . D i e i n den § § 2 - 4 betrachteten F r a g e n s i n d i n C h a r a k t e r i s t i k 2 u n - interessant.

Es bezeichne W(K) den W i t t - R i n g der n i c h t - s i n g u l ä r e n q u a d r a t i s c h e n F o r m e n ü b e r K. Ist L/K eine K ö r p e r e r w e i t e r u n g , so liefert eine q u a d r a t i s c h e F o r m q ü b e r K d u r c h tensorieren m i t L eine F o r m qL ü b e r L. M a n e r h ä l t so einen k a n o n i s c h e n R i n g h o m o m o r p h i s m u s r: W(K) W(L). Ist L/K e n d l i c h u n d s : L - > K eine K - l i n e a r e A b b i l d u n g 4=0 u n d q : V-+L eine n i c h t - s i n g u l ä r e q u a d r a t i s c h e F o r m , so ist sq: V^K eine n i c h t - s i n g u l ä r e q u a d r a t i s c h e F o r m ü b e r K. D i e s e K o n s t r u k t i o n liefert einen G r u p p e n h o m o m o r p h i s m u s

s+:W(L)-+W(K) ( „ V e r l a g e r u n g " ) .

§ 1. Ein Satz von Rosenberg und Ware

Ist L/K eine galoissche E r w e i t e r u n g m i t G a l o i s - G r u p p e G u n d ist q : V-+L eine q u a d r a t i s c h e F o r m ü b e r L , so definieren w i r für a e G die q u a d r a t i s c h e F o r m qa f o l g e n d e r m a ß e n : D e r z u g r u n d e liegende V e k t o r r a u m ist Va m i t Va = V als abelsche G r u p p e n , aber der m i t e r- 1 getwisteten S k a l a r m u l t i p l i k a t i o n • :

/ • V: = G~1(/.)V, XeL, veV.

D a n n ist qa: Va-+L, v*-*a(q(v)) eine q u a d r a t i s c h e F o r m . D i e s e K o n s t r u k t i o n liefert eine O p e r a t i o n der G a l o i s - G r u p p e G a u f der W i t t - G r u p p e W(L).

Lemma 1.1. Sei L/K endliche galoissche Erweiterung mit Galois-Gruppe G . Ist q eine quadratische Form über L , so gilt

(Tr^L/Kq)^L^@q\

aeG

Beweis. D e r H o m o m o r p h i s m u s

L®^KV-+@V\ / ® r h > £ ; . .^r

aeG aeG

ist eine Isometrie.

Satz 1.2 (vgl. [11]). Ist L/K galoissche Erweiterung von ungeradem Grad, so gilt

W(Lf z W(K).

Beweis. D e r G r a d v o n L/K sei 2tt + 1, die G a l o i s - G r u p p e dieser E r w e i t e r u n g sei G . Sei x e i n E r z e u g e n d e s v o n L , u n d s:L-+K sei definiert d u r c h s ( l ) = 1, s{x)= •" = s(x2n) = 0. D i e zusammengesetzte A b b i l d u n g

W(K)-^> W(Lf-^W(K)

ist M u l t i p l i k a t i o n m i t 1 (vgl. [12]), also ist s^ surjektiv. Z u s gibt es e i n E l e m e n t aeL m i t s(x) = T r ( a x ) für alle xeL. N a c h L e m m a 1.1 ergibt sich für die z u - sammengesetzte A b b i l d u n g

W(Lf^W(K)-^W(L)

rs*(q) = rTr^(aq)= £ (^{f l}4)* = [ I M >

aeG

d e n n q^a = q für alle aeG. N u n s i n d n a c h Pfister ( [ 8 ] , Satz 11) E l e m e n t e u n - gerader D i m e n s i o n keine N u l l t e i l e r , also ist insbesondere s^#: W(L)^G^W{K) injektiv. q.e.d.

Bemerkung 13. U n t e r B e n u t z u n g a n d e r e r M e t h o d e n ([4]) l ä ß t sich zeigen, d a ß d i e K o h o m o l o g i e - G r u p p e n H ' ( G , W{L)) für 1 v e r s c h w i n d e n . F ü r d i e L o k a l i s i e r u n g 2 ~^x W(L) v o n W(L) n a c h der H a l b g r u p p e der P o t e n z e n v o n 2 besteht n ä m l i c h eine u n k a n o n i s c h e I s o m o r p h i c

2-*W[L)^ i y ( K ) ( x )²2 -^{a c}Z [ G ]

E s ist z u v e r m u t e n , d a ß sogar der G - M o d u l W{L)/W^t{L) i n d u z i e r t ist.

Bemerkung 1.4. Satz 1.2 w u r d e zuerst v o n R o s e n b e r g u . W a r e [ 1 1 ] bewiesen.

R o s e n b e r g u . W a r e r e d u z i e r e n mittels des Satzes v o n F e i t - T h o m p s o n das P r o b l e m a u f d e n F a l l einer z y k l i s c h e n E r w e i t e r u n g . Sie stellten die F r a g e n a c h e i n e m d i r e k t e n B e w e i s u n d erregten d a m i t unser Interesse a n diesem P r o b l e m , w o f ü r w i r i h n e n h e r z l i c h d a n k e n . H e r r R o s e n b e r g wies uns a u c h d a r a u f h i n , d a ß s i c h d e r Beweis v o n 1.2 o h n e d e n Satz v o n Pfister z u E n d e f ü h r e n l ä ß t : W i r sahen rs^(q) = q®(p für alle qeWiLf u n d geeignetes (peW(L)^G u n d

s*r(q') = q' für alle q' e W(K). A l s o

r(q') = rs^r(q') = r(q')®(p,

also < p ^ < l > ( w ä h l e z . B . g ' ~ < l > ! ) , also s i n d s^# u n d r z u e i n a n d e r invers.

W i r e r g ä n z e n Satz 1.2 d u r c h

Satz 1.5. / s f L / X eme endliche galoissche Erweiterung, so wird der Cokern von r\W(K)^W(Lf

und der Kern von

Tx^.W(L)^G-+W(K) von [ L : K~\ annulliert.

Beweis. D i e zusammengesetzte A b b i l d u n g

r T r⁺ : W(L)^G ^W(K)^ W(L)^G ist M u l t i p l i k a t i o n m i t [ L : K].

§ 2. Die H ö h e eines Körpers

E s bezeichne W^t(K) die T o r s i o n s u n t e r g r u p p e v o n W(K). N a c h Pfister [ 8 ] ist W^t(K) 2 - p r i m ä r .

Definition 2.1. Die Höhe des Körpers K ist die kleinste 2-Potenz h(K) = 2d, welche W^t(K) annulliert. (Bei dieser D e f i n i t i o n m ü s s e n w i r a u c h h(K) = oo zulassen.)

Beispiel 2.2. (i) H a t der K ö r p e r K e n d l i c h e Stufe s [ 8 ] , so gilt h(K) = 2s;

jede u n g e r a d e - d i m e n s i o n a l e F o r m hat n ä m l i c h O r d n u n g 2s i n der W i t t - G r u p p e . (ii) Ist 5 = x , so ist h die kleinste P o t e n z v o n 2, so d a ß jede Q u a d r a t s u m m e s c h o n S u m m e v o n h Q u a d r a t e n ist. D a s folgt aus Pfisters Satz 22 i n [ 8 ] , aus d e m sich ergibt, d a ß W^t(K) v o n d e n b i n ä r e n F o r m e n <1, — w> m i t w S u m m e v o n Q u a d r a t e n erzeugt w i r d . E i n u n v e r ö f f e n t l i c h t e r Satz v o n W i t t (vgl. [ 3 ] , § 4) liefert d a r ü b e r hinaus, d a ß das Ideal aller \p e W(K) m i t 2nxp = 0 v o n d e n F o r m e n

<1, — w> m i t w S u m m e v o n 2" Q u a d r a t e n erzeugt w i r d . D i e H ö h e spielt eine wesentliche R o l l e bei Pfisters U n t e r s u c h u n g definiter F u n k t i o n e n ( [ 9 ] , siehe a u c h [6, 13]).

Beispiel 2.3. Ist K = k(t) r a t i o n a l e r F u n k t i o n e n k ö r p e r i n einer V a r i a b l e n , so gilt

h(K)= s u p h(k').

[k':k]< oo

D a s folgt sofort aus der B e r e c h n u n g v o n W(K) i n [ 7 ] .

Beispiel 2.4. Ist k f o r m a l - r e e l l u n d K r a t i o n a l e r F u n k t i o n e n k ö r p e r i n n V a - r i a b l e n , so gilt h(K)^in+ 1. D a s folgt sofort aus 2.2 (ii) u n d einem Satz v o n Cassels [10, Satz B ] . D u r c h Ü b e r g a n g z u u n e n d l i c h vielen V a r i a b l e n folgt insbesondere, d a ß es K ö r p e r der H ö h e x gibt.

Satz 2.5. Sei L/K eine galoissche Erweiterung vom Grad n = 2^dn⁰ mit n⁰ ungerade. Dann gilt

h{L)\h(K)-2^d+n-¹ .

Beweis. N a c h Pfister u n d W i t t w i r d , wie s c h o n gesagt, Wt(L) v o n 2 - d i m e n - s i o n a l e n F o r m e n (p = < l , - w> erzeugt. M i t f^t((p) bezeichnen w i r die /-te e l e m e n t a r - s y m m e t r i s c h e F u n k t i o n i n den E l e m e n t e n cp^a, w o b e i die a die G a l o i s - G r u p p e G v o n L/K d u r c h l a u f e n . In W(L) gilt die G l e i c h u n g

<Pn-M<p)<Pn-l+ - + ( - i) V n M = o . (*) Offenbar liegen alle f^cp) i n W^t(L)^G. N a c h L e m m a 1.1 ist

h(K) • n -Ucp) = (h(K) Tr^L/K /<(<p))L = 0 , also

h(K)-2^d-fⁱ((^P) = 0.

D i e B e h a u p t u n g ergibt sich n u n aus der G l . (*) unter V e r w e n d u n g v o n cpⁿ = 2ⁿ~^l(p. q.e.d.

Satz 2.6. Sei L = K(\/ä)/K eine quadratische Erweiterung. Dann gilt h(L)\2h(K).

1. Beweis. Sei qe Wt(L) u n d sei ip = h(K)q. D a n n ist Tv^(xp) = \p®\pa = 0, w o b e i a das n i c h t t r i v i a l e E l e m e n t der G a l o i s - G r u p p e bezeichnet. D i e s e l b e Ü b e r l e g u n g , a u f die F o r m (\/ra)q a n g e w a n d t , ergibt (]/ä) ip®(-\fa) \p° = 0.

D u r c h M u l t i p l i k a t i o n m i t J / a folgt \p©(- \pa) = 0, also \p@\p = 0. q.e.d.

2. Beweis. Sei <p = < l , -w}eWt(L). D a n n ist <1, — NL/K(w)} e ^ ( X ) . Ist n ä m l i c h 2^m< 1, - w> = 0 i n V^(L), so ist 2^m< 1, - N^L/K{w)} = 0 i n (vgl. [ 1 3 ] , 2.2.6). D i e G l . (*) lautet i m Spezialfall einer q u a d r a t i s c h e n E r w e i t e r u n g

(p²-((p®(p^a)(p + (p(p^a = 0 also

2q> = (<p © cp^a) cp - ( - < 1, - N^L/K(w)} + (<p © ^)), u n d cp®cp^a sowie <1, - N^L/K(w)} w e r d e n v o n /i(/C) a n n u l l i e r t .

Bemerkung 2.7. W i r wissen nicht, w i e „ z a h l r e i c h " K ö r p e r e r w e i t e r u n g e n L/K sind, bei denen sich die H ö h e v e r g r ö ß e r t . T a t s ä c h l i c h k e n n e n w i r n u r z i e m l i c h triviale Beispiele, bei denen das der F a l l ist (z. B . C/IR) u n d die i m m e r d a d u r c h entstehen, d a ß m a n einen formal-reellen K ö r p e r nicht formal-reell m a c h t (z. B . Q( ] / - 7) / Q ) . W i r k e n n e n keine Beispiele v o n u n g e r a d e n E r w e i t e - r u n g e n , bei denen sich die H ö h e v e r g r ö ß e r t , oder welche, bei denen sich d i e H ö h e u m m e h r als d e n F a k t o r 2 v e r g r ö ß e r t . V e r m u t l i c h gibt es j e d o c h solche B e i s p i e l e ; als K a n d i d a t e n für die G r u n d k ö r p e r k ä m e n z. B . die p y t h a g o r ä i s c h e n H ü l l e n v o n r a t i o n a l e n F u n k t i o n e n k ö r p e r n ü b e r Q i n g e n ü g e n d vielen V a r i a b l e n i n F r a g e .

§ 3. Ein Induktionsverfahren

In diesem A b s c h n i t t b e n u t z e n w i r das i n [ 1 4 ] i n e i n e m a n d e r e n Z u s a m m e n - h a n g e i n g e f ü h r t e I n d u k t i o n s v e r f a h r e n , u m die i n Satz 2.5 gegebene A b s c h ä t z u n g i n vielen F ä l l e n w e s e n t l i c h z u verbessern.

E s sei G eine e n d l i c h e G r u p p e u n d Z [ G ] i h r G r u p p e n r i n g . M i t aG bezeichnen w i r das v o n folgenden E l e m e n t e n erzeugte R e c h t s i d e a l v o n Z [ G ]

{1 ••• + ( 7H f f'1| ( 7 e G , <7=M , na= Ordnung(<r)}

D a n n ist a G n Z l e i n Ideal v o n Z ; es bezeichne e(G) das nicht-negative E r z e u g e n d e dieses Ideals.

Lemma 3.1. Sei L/K galoissche Erweiterung mit Galois-Gruppe G. Ist e(G) ungerade, so ist

U Wt(M)-+Wt(L)

KCM C L

surjektiv.

Beweis. S c h r e i b e

e(G) = r = I ( l + < 7 + ••• + ( J " - -1) T .

N a c h L e m m a 1.1 liegt für jedes q e Wt(L)

rq=Z(l +a+ . . . +on°-i)(Tq)

i m B i l d des o b i g e n H o m o m o r p h i s m u s . D a Wt{L) 2 - p r i m ä r ist, folgt d i e B e h a u p t u n g .

Lemma 3.2. Sei G eine nicht-zyklische elementar-abelsche Gruppe vom Typ ( p , . . . , p\ mit p Primzahl. Dann ist e(G) = p.

Beweis (vgl. [13]). W ä h l e a, b e G , d i e eine n i c h t - z y k l i s c h e U n t e r g r u p p e erzeugen. D a n n ist

1 + A + • • •

+ (1 ••• +(ab)p-1)

+ •••

+ (\+abp~l+ • . . +(abp-l)p~l) + ( l + f c + ••• +bp~l)

-{\+b+ +bP-l)(\+a+ +ap~l) = p.

s(G) k a n n n i c h t 1 sein, w e i l aG unter d e r A u g m e n t a t i o n s a b b i l d u n g Z G - > Z e r s i c h t l i c h a u f pZ a b g e b i l d e t w i r d . A l s o ist e(G) = p.

Korollar 3.3. Sei L/K galoissche Erweiterung mit elementar-abelscher Galois- Gruppe G vom Typ ( p , . . . , p) mit p ungerade Primzahl Dann gilt

h(L)\h(K)-2"-1.

Beweis. D u r c h w i e d e r h o l t e A n w e n d u n g v o n L e m m a 3.2 folgt:

]J Wt(M)^Wt(L)

[M:K) = p

ist surjektiv. N a c h Satz 2.5 teilt die H ö h e h(M) aller dieser Z w i s c h e n k ö r p e r M die Z a h l h(K) • 2^P'\ D a h e r gilt das gleiche für h(L).

D a s P r o b l e m der B e r e c h n u n g v o n e(G) führt a u f k o m p l i z i e r t e g r u p p e n - theoretische F r a g e n , die einer besonderen A r b e i t v o r b e h a l t e n b l e i b e n s o l l e n . W i r w o l l e n n u r n o c h a n d e u t e n , wie m a n eine A b s c h ä t z u n g für h(L) e r h ä l t , w e n n G = G(L/K) eine p - G r u p p e ist, w o b e i p eine ungerade P r i m z a h l i s t :

Ist G z y k l i s c h , so versagt die I n d u k t i o n s m e t h o d e u n d m a n m u ß Satz 2.5 a n w e n d e n . Ist G n i c h t - z y k l i s c h , so ist a u c h G/F n i c h t - z y k l i s c h , w e n n F d i e F r a t t i n i - G r u p p e bezeichnet. Ist K^x der F i x k ö r p e r v o n F , so gilt n a c h d e m letzten K o r o l l a r

h(K{)\h(K)2p-x .

D u r c h F o r t s e t z u n g des Verfahrens a u f L/K^x erhalten w i r s c h l i e ß l i c h eine A b s c h ä t z u n g für h(L).

V e r m u t u n g : E s gibt eine F u n k t i o n <p : N ->IN m i t folgender Eigenschaft: Ist L/K E r w e i t e r u n g v o m G r a d it so gilt h(L)\cp(n) • h(K).

§ 4. R e g u l ä r e Quadratklassen

W i r w o l l e n a b s c h l i e ß e n d die F r a g e aufwerfen, wie sehr die H ö h e h(K)

= 2^t,iK) eines K ö r p e r s K bei Ü b e r g a n g z u einer e n d l i c h e n galoisschen E r -

w e i t e r u n g L/K a b n e h m e n k a n n . D a die H ö h e j a nicht a b n e h m e n k a n n , falls [ L : K~\ ungerade ist, k o n z e n t r i e r e n w i r uns a u f d e n F a l l [ L : K ] = 2.

Definition 4.1. Eine Quadratklasse (a) * ( 1 ) von K heißt regulär, falls n(K(\/a))

^n(K)-\ ist.

Beispiel 4.2. Ist n(K)^2, so s i n d alle Q u a d r a t k l a s s e n r e g u l ä r .

Beweis. n(K(\/a)) = 0 bedeutet, d a ß K(\/a) r e e l l - p y t h a g o r ä i s c h ist [ 1 4 ] . D a n n ist aber a u c h K r e e l l - p y t h a g o r ä i s c h [ 1 ] , also n(K) = 0.

Beispiel 4.3. Ist n(K) ^ 3, so ist ( - 1) i r r e g u l ä r , denn K(]/- 1) hat die Stufe 1, also H ö h e 2.

Lemma 4.4. Von drei verschiedenen Quadratklassen (a), (fr), (ab) ist wenigstens eine regulär.

Beweis. N a c h [ 1 4 ] e n t h ä l t der K e r n v o n

W(K)-> W(K(]/a)) x W(K(]/b)) x W(K(\/oh)) nur E l e m e n t e der O r d n u n g ^ 2. D a m i t folgt leicht die B e h a u p t u n g .

Korollar 4.5. Für jede Quadratklasse (a)=t=( + 1) ist (a) oder ( — a) regulär.

D a s folgt aus 4.2, 4.3 u n d 4.4

Satz 4.6. Sei a Summe von Quadraten in K und h(K)^S. Die Quadratklasse , h(K)

(- a) ist genau dann irregulär, wenn a Summe von weniger als —-— Quadraten ist.

Beweis. F ü r h(K)= x ist die B e h a u p t u n g evident. Sei jetzt h(K) e n d l i c h . Ist a S u m m e v o n < Q u a d r a t e n , so ist - 1 i n K(\f^a) S u m m e v o n

< Q u a d r a t e n , also v o n ^ Q u a d r a t e n u n d somit ( - a) i r r e g u l ä r . D i e U m k e h r u n g folgt aus Satz 3.7 i n [ 6 ] .

M i t 4.2 u n d 4.6 h a b e n w i r bei n i c h t - r e e l l e m K eine Ü b e r s i c h t ü b e r alle i r r e g u l ä r e n Q u a d r a t k l a s s e n g e w o n n e n .

Satz 4.7. Sei K reell und a Summe von höchstens + 1 Quadraten,

(a) 4= 1. Dann ist (a) regulär.

Beweis. Ist a S u m m e v o n h ö c h s t e n s - 1 Q u a d r a t e n , so folgt dies s c h o n aus Satz 4.6 u n d K o r . 4.5. D a h e r k ö n n e n w i r ab jetzt insbesondere h(K) < x a n n e h m e n .

A n g e n o m m e n , (a) ist i r r e g u l ä r . W i r w ä h l e n eine Q u a d r a t s u m m e c e X , z u deren D a r s t e l l u n g m a n mindestens + 1 Q u a d r a t e b r a u c h t . In L = K(]/a) haben w i r eine G l e i c h u n g

h(L)

m i t x,, y{ G K , s o m i t

h(L) h(L)

N a c h [ 1 0 ] , Satz 2, ist £ x ? • ^yf eine S u m m e v o n h(L)- 1 ^ - ^ - ^ - 1 Q u a - i /

draten. W i r k ö n n e n daher c • ^yf\ als S u m m e v o n

h(K) _ ⁱ MKl ^{+ 1 =} h(K)

4 4 2

Q u a d r a t e n schreiben, u n d £ y f ist s i c h e r l i c h + 0 . N a c h d e m gleichen Satz v o n i

Pfister l ä ß t sich n u n c als S u m m e v o n Q u a d r a t e n schreiben. W i d e r s p r u c h !

196 M . Knebusch und W. Scharlau: Witt-Gruppe bei Erweiterungen

Vermutung. Ist h(K) = oo u n d L eine e n d l i c h e reelle K ö r p e r e r w e i t e r u n g v o n K , so ist a u c h h(L) = oo. (Dies w u r d e i m letzten Satz für L = K(\/ä) m i t a S u m m e v o n Q u a d r a t e n bewiesen.)

Zusatz bei der Korrektur. Herr Pfister hat Satz 2.5 inzwischen wesentlich verbessert und unsere Vermutung Ende § 3 bewiesen [briefliche Mitteilung]: Für einen Körper K bezeichne t(K) die kleinste Anzahl von Quadraten, die erforderlich ist, um jedes totalpositive Element von K als Quadratsumme zu schreiben. Für jede Körpererweiterung L/K vom Grade n gilt t(L) ^ nt(K).

1. Diller,J., Dress,A.: Zur Galoistheorie pythagoräischer Körper. Arch. Math. 16 (1965).

2. Knebusch, M . : Grothendieck- und Wittringe von nichtausgearteten symmetrischen Bilinear- formen. Sitzungsber. Heidelberg. Akad. Wiss., Math.-nat. Klasse, 3. Abh. Berlin-Heidelberg- New York: Springer 1969/70 (als Einzelheft im Handel).

3. Knebusch, M . : Runde Formen über semilokalen Ringen. Math. Ann. 193, 21—34(1971).

4. — Rosenberg, A., Ware, R.: Structure of Witt rings, quotients of abelian group rings, and orderings of fields. Erscheint in Bull. A. M . S.

5. Leicht,J., Lorenz,F.: Die Primideale des Wittschen Ringes. Inventiones math. 10, 82—88 (1970).

6. Lorenz,F.: Quadratische Formen über Körpern. Lecture notes in Mathematics 130. Berlin- Heidelberg-New York: Springer 1970.

7. Milnor,J.: Algebraic ^-theory and quadratic forms. Inventiones math. 9, 318—344 (1970).

8. Pfister,A.: Quadratische Formen in beliebigen Körpern. Inventiones math. 1, 116—132 (1966).

9. — Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten. Inventiones math. 4, 229—237 (1967).

10. — Zur Darstellung von - 1 als Summe von Quadraten in einem Körper. J. London Math.

Soc. 40, 159—165 (1965).

11. Rosenberg, A., Ware, R.: The zero-dimensional Galois cohomology of Witt rings. Inventiones math. 11, 65—72 (1970).

12. Scharlau, W.: Zur Pfisterschen Theorie der quadratischen Formen. Inventiones math. 6, 327—328 (1969).

13. — Quadratic forms. Queen's papers on pure and applied mathematics, No. 22 (1969).

14. — Induction theorems and the structure of the Witt group. Inventiones math. 11, 37—44 (1970).

Literatur

M . Knebusch Math. Inst, der Univ.

BRD-6600 Saarbrücken 11, Bau 27 Deutschland

W. Scharlau Math. Inst, der Univ.

BRD-4400 Münster, Roxeler Straße Deutschland

(Eingegangen am 18. Dezember 1970)