Diskrete Mathematik Vorlesung
10Steffen Reith
10.1.2018
Fall b¥O : Es
gilt
#Tb< a , d. L . # ( Tarts ) < *und # (
Tbn
Tube)
< a .Wirzeigeu
Tantb = Tbntatbc .
" E " Seit eTanTb , dauu
gilt
tla and tlb .Mit
Teilbarheitsregel
iii ,agibt
sick tllatcb)
und dawit t E
Tb
^ Tatbc ." 2 " Seit
eTynTa+bc
, dauugibt
es dude EZwit t.de = b und t.dz = atbc . Also
gilt
tcdn = be und dawit tdz - tcde =a . Deshalb
t.CI#d)=a
, d. h.tla
. D.h .ttlanlb
.=D
Dawit habeu die eudlicheu Meugeu Tan
Tb
and 2Tb
ntatbc
does gleiche Maximum , was iii,
zeigt
, #kor°Ha= Es
gilt ggtlaib
) =ggT(
amodb , b)
( Schleifeuiuvaviauk d. Euhlidischeu
Algorithms
)Sake
Seieu a. be Z , dauu ex . x.ye
Z unitD=
ggtla
,b)
=axtby
" Linear darstellung des
ggts
"Beweis:_
Analyse
des erweituteu EuhlidischeuAlgorithms
. #tear
Sci men , mx 2 .Gilt ggtl
a ,m ) at30
und O E a < m
, daun ist a in Resthlasseu
ring Zm
iuvertiobar .
Beirut Gilt ggtla ,m)=1
, dauu ex xiy £2 witaxtbgt
,also aX±1 modm . #
thorold
: Scipep
, dauu istZp
ein koinpen .Def
:§(m)=aef
#{
al Oeacm endggtla
, 4=1 }( E
Miohtigheit
do Einheiteugruppe ( Zm*,
.
)
desRestuasscu rings km )
{ olusohe Phi ' Fuuhtiou ( totieut
function )
4
Sato ( Satz von Euler
)
: Sei ae IN , at 0 and men , m%2 .Gilt ggtla
,m)=1 , dauu ista # →
=L modem
Beirise
Sei Zm*=2 an .az , ... , aohm , } dieEiuheiteugruppedesmultiplikativeuMouoidsdesResthlasseuriugsZm.Dauugittal0W.a@aouy-aae.a
.az ' . . . - . Ai adcm )
I an .
Ayaan
) modmDa 2m* line
Gruppeist
,gilt
wit do kuwzuugsregel in Gruppenactual
modem . #toroidal ,5O
scipep
and a¥
omodpdauu
gilt apt
= 1 mod
P
Benny
Weanper
, dauu &Cp) =p -1 . Alsodirehtetolge
aus dem Satz von Euler .
#
Auweuduu=
( RSA - divest Shamir Adelman )
Schlissel erzeugung : i, wa" He Primzahleu
p uudq
ii , bereave h=pq und ¢Cu) - Lp- n) (qt)
iii , wale ein e unit ggT( e, 4
4)
ativ ,
bereaved
unit e. del mod 0/4)Verschl8sselongi.ECxI-xemodnf.lineNaokricht0excn@Eutschlisselungi.D
(× ) =
Xdmodu f.
ein versdelisselte Nadericht OE xcu ,Sate
Esgilt
E ° D= DOE =idBeirise
Fall 11=-0 modn : Offeusichtlich
gilt
EODC 01=0 = DOECO ) .Fall x
¥0
modn und ggT( xin )=1 . Dawngibtes
einYEZ
wit e.
dty
. 44=1 . Also ( xe)d=
(×d)e±
xed ==
xt
-Solon = × . 9$'x.
" ± X.(×$a
')
's ± x. t 9 zx mod n¥1 ( Euler )
Fall X¥ Onoda und