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Vorlesung 10

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Academic year: 2022

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Diskrete Mathematik Vorlesung

10

Steffen Reith

10.1.2018

(2)

Fall b¥O : Es

gilt

#Tb< a , d. L . # ( Tarts ) < *

und # (

Tbn

Tube

)

< a .

Wirzeigeu

Tantb = Tbntatbc .

" E " Seit eTanTb , dauu

gilt

tla and tlb .

Mit

Teilbarheitsregel

iii ,

agibt

sick tllatcb

)

und dawit t E

Tb

^ Tatbc .

" 2 " Seit

eTynTa+bc

, dauu

gibt

es dude EZ

wit t.de = b und t.dz = atbc . Also

gilt

tcdn = be und dawit tdz - tcde =a . Deshalb

t.CI#d)=a

, d. h.

tla

. D.h .

ttlanlb

.

=D

(3)

Dawit habeu die eudlicheu Meugeu Tan

Tb

and 2

Tb

ntatbc

does gleiche Maximum , was iii

,

zeigt

, #

kor°Ha= Es

gilt ggtlaib

) =

ggT(

amodb , b

)

( Schleifeuiuvaviauk d. Euhlidischeu

Algorithms

)

Sake

Seieu a. be Z , dauu ex . x.

ye

Z unit

D=

ggtla

,

b)

=

axtby

" Linear darstellung des

ggts

"

Beweis:_

Analyse

des erweituteu Euhlidischeu

Algorithms

. #

(4)

tear

Sci men , mx 2 .

Gilt ggtl

a ,m ) at

30

und O E a < m

, daun ist a in Resthlasseu

ring Zm

iuvertiobar .

Beirut Gilt ggtla ,m)=1

, dauu ex xiy £2 wit

axtbgt

,

also aX±1 modm . #

thorold

: Sci

pep

, dauu ist

Zp

ein koinpen .

Def

:

§(m)=aef

#

{

al Oeacm end

ggtla

, 4=1 }

( E

Miohtigheit

do Einheiteugruppe ( Zm*

,

.

)

des

Restuasscu rings km )

{ olusohe Phi ' Fuuhtiou ( totieut

function )

(5)

4

Sato ( Satz von Euler

)

: Sei ae IN , at 0 and men , m%2 .

Gilt ggtla

,m)=1 , dauu ist

a #

=L modem

Beirise

Sei Zm*=2 an .az , ... , aohm , } die

EiuheiteugruppedesmultiplikativeuMouoidsdesResthlasseuriugsZm.Dauugittal0W.a@aouy-aae.a

.az ' . . . - . Ai adcm )

I an .

Ayaan

) modm

Da 2m* line

Gruppeist

,

gilt

wit do kuwzuugsregel in Gruppen

actual

modem . #

(6)

toroidal ,5O

sci

pep

and a

¥

omodp

dauu

gilt apt

= 1 mod

P

Benny

Wean

per

, dauu &Cp) =p -1 . Also

direhtetolge

aus dem Satz von Euler .

#

Auweuduu=

( RSA - divest Shamir Adelman )

Schlissel erzeugung : i, wa" He Primzahleu

p uudq

ii , bereave h=pq und ¢Cu) - Lp- n) (qt)

iii , wale ein e unit ggT( e, 4

4)

at

iv ,

bereaved

unit e. del mod 0/4)

(7)

Verschl8sselongi.ECxI-xemodnf.lineNaokricht0excn@Eutschlisselungi.D

(× ) =

Xdmodu f.

ein versdelisselte Nadericht OE xcu ,

Sate

Es

gilt

E ° D= DOE =id

Beirise

Fall 11=-0 modn : Offeusichtlich

gilt

EODC 01=0 = DOECO ) .

Fall x

¥0

modn und ggT( xin )=1 . Dawn

gibtes

ein

YEZ

wit e.

dty

. 44=1 . Also ( xe

)d=

(

×d)e±

xed =

=

xt

-Solon = × . 9$'

x.

" ± X.

(×$a

'

)

's ± x. t 9 zx mod n

¥1 ( Euler )

Fall X¥ Onoda und

ggT(

an ) > 1 : gauz auhwlich

#

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