In der letzten Woche hast du das Lösen reinquadratischer Gleichungen kennengelernt und geübt. Heute löst du Gleichungen, in denen nicht nur das quadratische Glied (ax2) sondern auch das lineare Glied (bx) vorkommt.
Zunächst lernst du nur Gleichungen kennen, bei denen a = 1 ist. Das ist ein Sonderfall. Die Gleichungen würden jetzt so aussehen: x2 + bx + c = 0. In diesem Sonderfall ist es aber üblich, andere Buchstaben zu verwenden. Nämlich p anstelle von b, und q anstelle von c. Das nennt man dann Normalform.
Gelöst werden solche Gleichungen erstmal nicht durch Umstellen. Denn das geht nicht.
(Wonach sollte man umstellen, nach x2 oder nach px? Und wie dann weiter?)
Dafür gibt es eine Lösungsformel. Die sieht zunächst mal ganz verrückt aus. Aber du wirst sehen, dass es gar nicht so schlimm ist. Generationen von Schülern vor dir haben es auch geschafft.
Lösen gemischtquadratischer Gleichungen Gleichungen in der Normalform x
2+ px + q = 0
1. Beispiel: x2 + 2x – 3 = 0 p = 2 q = -3
Lösungsformel: x1,2 = −𝟐 𝒑 ±√(𝒑𝟐)𝟐− 𝒒
p = 2 und q = -3 einsetzen
x1,2 = −𝟐 𝟐 ±√(𝟐𝟐)𝟐− (−𝟑) schrittweise ausrechnen
x1,2 = −𝟏 ±√(𝟏)𝟐+ 𝟑 x1,2 = −𝟏 ±√𝟒
x1,2 = −𝟏 ± 𝟐
Du hast dich sicher schon über das Plus-Minus gewundert. Jetzt teilt sich das Ganze nämlich auf in x1 und x2. Einmal plus rechnen, einmal minus rechnen.
x1 = −𝟏 + 𝟐 x1 = 𝟏
x2 = −𝟏 − 𝟐 x2 = −𝟑
Fertig.
Auf die Proben verzichten wir erstmal.
Wir sehen uns zwei weitere Beispiele an.
2. Beispiel: x2 + 5x + 6 = 0 p = 5 q = 6
Lösungsformel: x1,2 = −𝟐 𝒑 ±√(𝒑𝟐)𝟐− 𝒒
p = 5 und q = 6 einsetzen
x1,2 = −𝟐 𝟓 ±√(𝟓𝟐)𝟐− 𝟔 schrittweise ausrechnen
x1,2 = −𝟐, 𝟓 ±√(𝟐, 𝟓)𝟐− 𝟔 x1,2 = −𝟐, 𝟓 ±√𝟔, 𝟐𝟓 − 𝟔 x1,2 = −𝟐, 𝟓 ±√𝟎, 𝟐𝟓 x1,2 = −𝟐, 𝟓 ± 𝟎, 𝟓 x1 = −𝟐, 𝟓 + 𝟎, 𝟓 x1 = −𝟐
x2 = −𝟐, 𝟓 − 𝟎, 𝟓 x1 = −𝟑
3. Beispiel: x2 - 6x + 8 = 0 p = - 6 q = 8
Lösungsformel: x1,2 = −𝟐 𝒑 ±√(𝒑𝟐)𝟐− 𝒒
p = -6 und q = 8 einsetzen
x1,2 = −− 𝟔𝟐 ±√(− 𝟔𝟐)𝟐− 𝟖 schrittweise ausrechnen
x1,2 = 𝟑 ±√(−𝟑)𝟐− 𝟖 x1,2 = 𝟑 ±√𝟗 − 𝟖 x1,2 = 𝟑 ±√𝟏 x1 = 𝟑 + 𝟏 x1 = 4 x2 = 𝟑 − 𝟏 x2 = 2