Schnitt- & Abstandsprobleme in der Vektorgeomtrie
Aufgabenserie zum Stresssiv-Programm
Ronald Balestra CH - 8046 Z¨ urich www.ronaldbalestra.ch
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Vorname:
18. April 2017
Inhaltsverzeichnis
5.1 Die Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor . . . 2
5.2 Das Spatprodukt . . . 3
5.3 Schnittpunkt & Schnittwinkel zweier Geraden . . . 4
5.4 Schnittpunkt & Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene . . . 5
5.5 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen . . . 6
5.6 Abstand eines Punkes von einer Geraden. . . 7
5.7 Abstand zwischen zwei Geraden. . . 8
5.8 Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . 9
5.9 Abstand einer Geraden von einer Ebene . . . 10
5.10 Abstand zweier Ebenen . . . 11
5.11 . . . weitere Aufgaben zu Abstandsberechnungen . . . 12
1
5.1 Die Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor
Aufgabe :
Wir betrachten die folgenden Punkte:
A= (1/−2/3), B= (5/−8/1), C = (2/4/3), D= (−1/9/1) Bestimme die Komponenten der Projektion von−−→
ABauf−−→
CD.
2
5.2 Das Spatprodukt
Aufgabe :
Wir betrachten die folgenden Vektoren:
~a=
2 1 2
~b=
3 4 3
~c=
5 6 5
Berechne [~a ~b ~c]
3
5.3 Schnittpunkt & Schnittwinkel zweier Geraden
Aufgabe :
Wir betrachten die folgenden Geraden:
g:~g(t) =
3 2
−1
+t·
8 2
−10
und h:~h(s) =
2 6 1
+s·
−4
−1 5
k:~k(u) =
0 0 1
+u·
3 2 3
und j:~h(v) =
−2
−2 5
+v·
4 3 1
Bestimme die Schnittpunkte und -winkel vong undh und vonkundj
4
5.4 Schnittpunkt & Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
Aufgabe :
Wir betrachten die folgenden Geraden und Ebenen:
g: mitP= (5/1/2)∈g und Richtungsvektor~a=
3 1 2
und
E: mitQ= (2/1/8)∈E und Normalenvektor~n=
−1 3 1
h:~h(t) =
3 5 6
+t·
2 5 1
und
F : mit~n·(~r−r~0) =
3
−1
−1
·
x−1 y−1 z−1
= 0
Bestimme die Schnittpunkte und -winkel vong undE und vonhundF
5
5.5 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen
Aufgabe :
Wir betrachten die folgenden Ebenen:
E1:n~1·(~r−r~1) =
3 1 2
·
x−2 y−5 z−6
= 0
E2: mit Normalenvektorn~2=
2 0 3
undP = (1/5/1)∈E2
Bestimme die Schnittgerade und den Schnittwinkel vonE1 mitE2.
6
5.6 Abstand eines Punkes von einer Geraden
Aufgabe :
Wir betrachten die folgende Gerade und Punkte:
g: mitP = (4/2/3)∈g und Richtungsvektor~a=
2 1 3
Q= (4/1/1) und R= (2/1/0)
Bestimme d(g, Q) und d(g, R)
7
5.7 Abstand zwischen zwei Geraden
Aufgabe :
Wir betrachten die folgende Geradenpaare:
g:~g(t) =
4 2 5
+t·
4 2 1
und h:~h(s) =
7 3 2
+s·
8 4 2
g:~g(t) =
−3 6 0
+t·
−1 2 1
und h:~h(s) =
4 0
−3
+s·
1 0 0
g:~g(t) =
−1 0 3
+t·
0 1 1
und h:~h(s) =
3 2 1
+s·
6
−1 2
Bestimme jeweils die Abst¨anded(g, h).
8
5.8 Abstand eines Punktes von einer Ebene
Aufgabe :
Wir betrachten den folgenden PunktP und die EbeneE:
P = (3/3/5) und E:x−12y+ 12z+ 7 = 0
Bestimmed(P, E).
9
5.9 Abstand einer Geraden von einer Ebene
Aufgabe :
Bestimme eine zu E :x−2y+ 3z+ 6 = 0 parallele Geradeg und bestimme dessen Abstand zuE
10
5.10 Abstand zweier Ebenen
Aufgabe :
Bestimme eine zu E : x−2y+ 3z+ 6 = 0 parallele Ebene F und bestimme dessen Abstand zuE
11
5.11 . . . weitere Aufgaben zu Abstandsberechnungen
1. Wir betrachten:
P = (9/−1/8) und ~g(t) =
1 1 1
+t·
3 2 2
Bestimme den Abstandd(P, g) des PunktesP von der Geradeng.
(L¨osung: d= 7)
2. Wir betrachten:
~ g(t) =
2 3 5
+t·
1 2 2
und ~h(s) =
9 5
−5
+s·
2 4 4
Beweise, dass die Geradengundhzueinander parallel sind und bestimme deren Abstandd(g, h)
(L¨osung: d= 12)
3. Wir betrachten:
g: ~g(t) =
0 0 5
+t·
1 1
−2
und E: x−y+ 2z−6 = 0
Bestimme den Durchstosspunkt der Geradengmit der EbeneE und den Winkel∠(g, E), unter welche die Gerade die Ebene schneidet.
(L¨osung: S= (1/1/3), ϕ= 41.80)
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4. Wir betrachten:
E: 2x−y+ 2z−6 = 0 undP = (6/3/12) Bestimmed(P, E) undd(O, E)
(L¨osung: d(O, E) = 2, d(P, E) = 9)
5. Wir betrachten:
E: x+2y+3z−14 = 0, F : 3x+6y−7z+6 = 0 undG: −x−2y−3z+2 = 0 Bestimme die Schnittgerade und den Schnittwinkel zwischen den sich schneidenden Ebenen und den Abstand zwischen den zueinander paral- lelen Ebenen.
(L¨osung: ∠(E, F) = 80.50, Schnittgerade~g(t) =
5 0 3
+t·
2
−1 0
d(E, G) = 3.207
)
13
